单元复习讲义：专题03 综合实践 小小设计师（考点梳理+例题讲解+举一反三+提升练习）-2026-2027学年数学五年级上册（北师大版·新教材）

该小学数学讲义以“图形密铺”为核心，通过知识框架系统梳理核心概念、单一与组合图形密铺规律，用表格清晰呈现正多边形内角度数、拼接个数及密铺条件，突出“拼接点内角和360°”的内在逻辑与重难点分布。 讲义亮点在于“问题解决式”练习设计，如“用四边形废木料铺地板是否可行”的实际问题，引导学生运用内角和原理推理，培养数学思维与应用意识。分层练习覆盖选择、操作等题型，基础题巩固概念，拓展题提升创新意识，为教师提供精准教学资源，助力学生自主复习与能力进阶。

专题03 综合实践 小小设计师 内容导航 考点梳理 1 考点一、核心概念界定 1 考点二、单一正多边形的密铺规律 1 考点三、一般图形的密铺特性 1 考点四、组合图形的密铺 2 例题讲解 2 题型一、图形的密铺 2 提升练习 3 考点梳理 考点一、核心概念界定 1. 密铺定义： (1) 用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接。 (2) 彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片。 (3) 关键点：无缝隙、无重叠、全覆盖。 2. 密铺的必要条件：在拼接点（公共顶点）处，所有图形的内角之和必须等于 360°。 考点二、单一正多边形的密铺规律 只有以下三种正多边形可以单独进行密铺： 图形名称 内角度数 拼接点所需个数 计算验证 是否可密铺 正三角形 60° 6个 ✅ 是 正方形 90° 4个 ✅ 是 正六边形 120° 3个 ✅ 是 (1) 不可密铺的正多边形示例： 1　 正五边形：内角108°， 不能整除，无法凑成360°。 2　 正八边形：内角135°， 不能整除。 考点三、一般图形的密铺特性 1. 任意三角形： (1) 结论：任何形状、大小的三角形都可以密铺。 (2) 原理：三角形内角和为180°，两个全等三角形可拼成平行四边形，或通过旋转、平移使6个角（每种角2个）在一点汇聚， 。 2. 任意四边形： (1) 结论：任何形状、大小的四边形都可以密铺。 (2) 原理：四边形内角和为360°，将四个不同内角集中在一个顶点处，恰好构成360°。 考点四、组合图形的密铺 当单一图形无法密铺时，常考查两种或多种图形的组合密铺。关键在于拼接点处的角度和为360°。 (1) 常见组合案例： 1　 正三角形 + 正方形： 例如：3个正三角形 + 2个正方形 。 2　 正三角形 + 正六边形： 例如：2个正三角形 + 2个正六边形 。 例如：4个正三角形 + 1个正六边形 。 3　 正方形 + 正八边形： 例如：1个正方形 + 2个正八边形 。 例题讲解 题型一、图形的密铺 【典型例题】下图中有( )个图形可以密铺。 举一反三 【变式训练1】下列图案中，属于密铺设计的是（    ）。 A． B． C． D． 【变式训练2】几个正多边形的一个内角拼在一起能组成一个( )角，即( )°，这几个正多边形可以进行密铺。 【变式训练3】图形的密铺。 (1)经过观察，我们会发现组成密铺的图形公共顶点处角的度数和为( )度。 (2)能单独进行密铺的图形还有( )( )等，不能单独进行密铺的图形还有( )等。 提升练习 1．学校教室要进行翻修，要密铺地板，建材市场有以下几种板砖，（    ）不能选。 A．三角形 B．四边形 C．正六边形 D．正五边形 2．下面各个图形中，不能密铺的是（    ）。 A． B． C． D． 3．下面不属于密铺图案的是（    ）。 A． B． C． D． 4．关于密铺的说法正确的是（    ）。 A．等腰三角形和圆都能单独密铺 B．凡是四边形都能单独密铺 C．边数是双数的多边形都能单独密铺 D．边数是单数的多边形都不能密铺 5．下面五幅作品中，“密铺”图案有（    ）幅。 A．2 B．3 C．4 D．5 6．下列图形中，可以单独密铺的有（    ）个。 A．2 B．3 C．4 D．5 7．用平面图形进行拼接，如果彼此之间不留( )，又不( )地铺在同一平面上，这种铺法就叫密铺。 8．下面的图形中，可以密铺的画“√”，不可以密铺的画“×”。 ( )         ( )     ( )     ( )      ( ) 9．写出能可以密铺的两个平面图形( )、( )。 10．正八边形一个内角是135°，无论怎么拼也组不成( )°，所以不能密铺。 11．下面这幅图( )密铺（填“是”或“不是”），因为彼此之间不留( )，但是( )。 12．如图是由相同的正六边形拼成的花砖地板，利用的是正六边形可以( )的原理。图中圈起来的拼接处形成的内角和正好是( )度。 13．如图在研究图形的密铺时，以下图形( )不能单独密铺。 14．几个完全相同的图形（如图所示），能密铺吗？如果可以，试着画一画。    15．在一个工厂的废料堆里堆放着大量四边形木块，这些废木料的大小和形状是一样的，它们既不是正方形，也不是长方形。如果把它们做成比较规则的形状，必须锯掉一些边角，就要浪费很多木料，有人建议用这些木料来铺地板，你认为行吗？请说明理由。 16．品品家客厅的地板砖太旧了，妈妈准备换新的，现有、 、 、 四种地板砖可供选择，妈妈让品品挑一种形状的地板砖，你能帮品品挑一挑吗，有哪些不同的选法？ 17．淘气在黑板报上看到一个正六边形图案（如图）。这个正六边形是由6个等边三角形拼成，图形中间没有空隙，也不重叠，是密铺。淘气产生了一个疑问：等边三角形能密铺，其他类别的三角形能不能密铺呢？他设计了以下研究步骤来解决这个问题： 第一步：________________ 第二步：将每种三角形进行拼摆并观察拼摆结果。 第三步：依据拼摆结果得出结论。 （1）淘气设计的研究步骤的第一步是什么？请写在上面的横线上。 （2）请将第三步的研究结论在（    ）里补充完整。 （3）请以下图为例分析解释：为什么三角形可以密铺？ 18．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作，其中记载了多边形的内角和的计算公式，一起来探究一下。 （1）从下面图形的一个顶点出发，可以画出一条或几条线段，能将其分成若干个三角形。在图上先画一画，再填表。 形状 分成的三角形个数 内角和 四边形 180°×（    ）＝（      ）。 五边形 180°×（    ）＝（      ）。 六边形 180°×（    ）＝（      ）。 （2）由此猜测：按上述方式，从边数为加n（n＞3）的多边形的一个顶点出发向与其不相邻的顶点画线段，这些线段把多边形分成（    ）个三角形，这个多边形的内角和是（    ）（从下面的选项中选序号）。 ①180°×n        ②180°×（n－1）    ③180°×（n－2）    ④180°×（n－3） （3）请你从上面三种图形中，任选一种设计出密铺图案。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 14 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 综合实践 小小设计师 内容导航 考点梳理 1 考点一、核心概念界定 1 考点二、单一正多边形的密铺规律 1 考点三、一般图形的密铺特性 1 考点四、组合图形的密铺 2 例题讲解 2 题型一、图形的密铺 2 提升练习 4 考点梳理 考点一、核心概念界定 1. 密铺定义： (1) 用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接。 (2) 彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片。 (3) 关键点：无缝隙、无重叠、全覆盖。 2. 密铺的必要条件：在拼接点（公共顶点）处，所有图形的内角之和必须等于 360°。 考点二、单一正多边形的密铺规律 只有以下三种正多边形可以单独进行密铺： 图形名称 内角度数 拼接点所需个数 计算验证 是否可密铺 正三角形 60° 6个 ✅ 是 正方形 90° 4个 ✅ 是 正六边形 120° 3个 ✅ 是 (1) 不可密铺的正多边形示例： 1　 正五边形：内角108°， 不能整除，无法凑成360°。 2　 正八边形：内角135°， 不能整除。 考点三、一般图形的密铺特性 1. 任意三角形： (1) 结论：任何形状、大小的三角形都可以密铺。 (2) 原理：三角形内角和为180°，两个全等三角形可拼成平行四边形，或通过旋转、平移使6个角（每种角2个）在一点汇聚， 。 2. 任意四边形： (1) 结论：任何形状、大小的四边形都可以密铺。 (2) 原理：四边形内角和为360°，将四个不同内角集中在一个顶点处，恰好构成360°。 考点四、组合图形的密铺 当单一图形无法密铺时，常考查两种或多种图形的组合密铺。关键在于拼接点处的角度和为360°。 (1) 常见组合案例： 1　 正三角形 + 正方形： 例如：3个正三角形 + 2个正方形 。 2　 正三角形 + 正六边形： 例如：2个正三角形 + 2个正六边形 。 例如：4个正三角形 + 1个正六边形 。 3　 正方形 + 正八边形： 例如：1个正方形 + 2个正八边形 。 例题讲解 题型一、图形的密铺 【典型例题】下图中有( )个图形可以密铺。 【答案】4 【分析】平面图形密铺的要求是：拼接处的内角和恰好等于360°，且拼接后不留空隙、不重叠，逐个判断即可。 【详解】长方形：每个内角为 90°，4个内角和刚好为360°，可以密铺； 梯形：属于四边形，四边形内角和为360°，可以密铺； 正六边形：每个内角为120°，3个内角和刚好为360°，可以密铺； 正三角形：每个内角为 60°，6个内角和刚好为360°，可以密铺； 正五边形：每个内角为108°，无论几个都无法凑出 360° ，不能密铺； 圆形：拼接后会有空隙，不能密铺。 综上，一共有4个图形可以密铺。 举一反三 【变式训练1】下列图案中，属于密铺设计的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】密铺是指用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，拼接时需满足：图形彼此之间不重叠，无缝隙。依此逐一分析各个选项的正确性。 【详解】A．图形是用大小完全相同的正五边形进行拼接，图形彼此之间有缝隙，不符合要求。 B．图形是用大小完全相同的平行四边形进行拼接，图形彼此之间重叠，不符合要求。 C．图形是用大小完全相同的正六边形进行拼接，图形彼此之间不重叠，无缝隙，符合要求。 D．图形是用大小完全相同的圆进行拼接，图形彼此之间重叠，不符合要求。 【变式训练2】几个正多边形的一个内角拼在一起能组成一个( )角，即( )°，这几个正多边形可以进行密铺。 【答案】 周 360 【分析】能密铺的图形在一个拼接点处的特点是：几个图形的内角拼接在一起时，其和等于360°，并使相等的边互相重合。 【详解】几个正多边形的一个内角拼在一起能组成一个周角，即360°，这几个正多边形可以进行密铺。 【点睛】掌握密铺图形的特点是解题的关键。 【变式训练3】图形的密铺。 (1)经过观察，我们会发现组成密铺的图形公共顶点处角的度数和为( )度。 (2)能单独进行密铺的图形还有( )( )等，不能单独进行密铺的图形还有( )等。 【答案】(1)360 (2) 等边三角形 长方形 圆 【分析】平面图形密铺的特点：（1）用一种或几种全等图形进行拼接；（2）拼接处不留空隙、不重叠；（3）连续铺成一片，能密铺的图形在一个拼接点处的特点是：几个图形的内角拼接在一起时，其和等于360度，并使相等的边互相重合。 （1）周角为360度，观察三个图片可以发现，组成密铺的图形公共顶点处的角为周角，度数为360度。 （2）密铺是指用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片。在密铺中，公共顶点处各个角拼在一起的度数和必须是360度，这样才能保证拼接处没有空隙和重叠。例如：等边三角形：每个内角是60度，因为60°×6＝360°，所以6个等边三角形的内角可以在公共顶点处拼成360度，能单独密铺，长方形：每个内角是90度，90°×4＝360°，所以4个长方形的内角能在公共顶点处拼成 360度，能单独密铺。圆没有角，在拼接时圆与圆之间必然会有空隙，所以不能单独进行密铺。 【详解】（1）由分析可知，组成密铺的图形公共顶点处角的度数和为360度。 （2）由分析可知， 等边三角形：60°×6＝360° 长方形：90°×4＝360° 所以能单独进行密铺的图形还有等边三角形、长方形等，不能单独进行密铺的图形还有圆等。（答案不唯一） 提升练习 1．学校教室要进行翻修，要密铺地板，建材市场有以下几种板砖，（    ）不能选。 A．三角形 B．四边形 C．正六边形 D．正五边形 【答案】D 【分析】根据题意可知，所选的地板砖能够密铺才行，图形的密铺是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角；因此判断图形能否单独进行密铺的关键是看这个图形的内角和能否整除360°或被360°整除，据此解答即可。 【详解】密铺的条件是围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角，即。 A．三角形的内角和是180°，360°÷180°＝2，因此三角形可以单独进行密铺，可以选，此选项错误； B．四边形的内角和为360°，360°÷360°＝1，因此四边形可以单独进行密铺，可以选，此选项错误； C．正六边形的内角和是720°，720°÷360°＝2，因此正六边形可以单独进行密铺，可以选，此选项错误； D．正五边形的内角和是540°，540°÷360°＝1……180°，不能整除，因此正五边形不可以单独进行密铺；不能选，此选项正确。 2．下面各个图形中，不能密铺的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】从密铺的定义出发，判断拼接点处的角度和是否能刚好等于360°，没有空隙也不重叠。 【详解】A．三角形可以用6个内角凑成360°； B．四边形可以用4个内角凑成360°； C．正五边形用3个内角和不足360°，用4个内角和超过360°，无法刚好凑成360°，所以不能密铺； D．正六边形可以用3个内角凑成360°。 3．下面不属于密铺图案的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】密铺是指用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，拼接时需满足：图形彼此之间不重叠，无缝隙。依此逐一分析各个选项的正确性。 【详解】A．本选项所给的是用相同的三角形拼接成的图案，图案中的图形之间不重叠，也无缝隙，所以是密铺，不是正确选项； B．本选项所给的是用相同的六边形拼接成的图案，图案中的图形之间不重叠，也无缝隙，所以是密铺，不是正确选项； C．本选项所给的是用相同的五边形拼接成的图案，图案中的图形之间不重叠，但有缝隙，所以不是密铺，是正确选项； D．本选项所给的是用相同的等腰梯形拼接成的图案，图案中的图形之间不重叠，也无缝隙，所以是密铺，不是正确选项； 所以不是密铺的是C选项中的图案。 4．关于密铺的说法正确的是（    ）。 A．等腰三角形和圆都能单独密铺 B．凡是四边形都能单独密铺 C．边数是双数的多边形都能单独密铺 D．边数是单数的多边形都不能密铺 【答案】B 【分析】用一种或几种全等图形（规则图形或不规则图形）进行拼接，图形之间没有空隙，也不重叠，这种铺法在数学上叫图形的密铺，也叫图形的镶嵌；在拼接时，同一顶点处多个多边形的内角和是360度的可以密铺；任何弧线图形不能密铺；除正三角形、正四边形和正六边形外，其他正多边形都不可以单独密铺平面；所有任意三角形与任意四边形都可以密铺；因此，一个多边形的内角和除以360度没有余数或者360度除以一个多边形的内角和没有余数，这样的多边形能密铺，据此逐项分析即可解答。 【详解】A．等腰三角形属于三角形，可以单独密铺，圆是由曲线构成的，不能单独密铺，该选项错误； B．任意四边形都可以单独密铺，该选项正确； C．边数是双数的多边形有四边形、六边形、八边形……但除了正四边形和正六边形外，其他边数是双数的正多边形都不可以单独密铺，该选项错误； D．边数是单数的多边形有三角形、五边形、七边形……任意三角形都可以单独密铺，该选项错误。 故答案为：B 5．下面五幅作品中，“密铺”图案有（    ）幅。 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】图形的密铺是将形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠的铺成一片。图案没有空隙、不重叠即为密铺。 【详解】下面5个图案都是由一种或几种平面图形进行拼接而成，中间没有空隙，并且不重叠，5幅图案都是密铺，所以“密铺”图案有5幅。 6．下列图形中，可以单独密铺的有（    ）个。 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】平面图形密铺的特点： （1）用一种或几种相同图形进行拼接； （2）拼接处不留空隙、不重叠； （3）连续铺成一片。能密铺的图形在一个拼接点处的特点是：几个图形的内角拼接在一起时，其和等于360°，并使相等的边互相重合，据此解答即可。 【详解】长方形、梯形的内角和都是360°，可以密铺。 正三角形的每个内角是60°，能整除360°，可以密铺。 圆形与圆形之间有空隙，不能密铺。 正五边形的每个内角是108°，不能整除360°，不可以密铺。 正六边形的每个内角是120°，能整除360°，可以密铺。 图形中可以用来单独密铺的有4种。 7．用平面图形进行拼接，如果彼此之间不留( )，又不( )地铺在同一平面上，这种铺法就叫密铺。 【答案】 空隙 重叠 【详解】所谓密铺，就是指任何一种图形，如果彼此之间不留空隙，又不重叠地铺在同一平面上，这种铺法就叫做“密铺”；可以一种图形进行密铺，也可以多种图形进行密铺；正三角形与四边形均可以单独密铺；正多边形只有正三角形、正四边形、正六边形可以单独密铺。 8．下面的图形中，可以密铺的画“√”，不可以密铺的画“×”。 ( )         ( )     ( )     ( )      ( ) 【答案】 √ √ × √ × 【分析】密铺，即平面图形的镶嵌，用形状、大小完全相同的几种或几十种平面图形进行拼接，彼此间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面图形的密铺，又称平面图形的镶嵌。密铺需要满足两个条件：1、没有空隙；2、不重叠。正多边形要满足这两个条件就需要内角的整数倍为360°，所以正多边形中正三角形、正方形、正六边形可以密铺。圆形不能密铺，正五边形不可以密铺，因为它的每个内角都是108°，而360°不是108的整数倍，在每个拼接点处的内角不能保证没空隙或重叠现象。 【详解】    √                √              ×          √              × 9．写出能可以密铺的两个平面图形( )、( )。 【答案】 等边三角形 正方形 【分析】用一种或几种全等图形（规则图形或不规则图形）进行拼接，图形之间没有空隙，也不重叠，这种铺法在数学上叫图形的密铺，也叫图形的镶嵌。在拼接时，同一顶点处多个多边形的内角和是360度的可以密铺；任何弧线图形不能密铺；据此即可解答。 【详解】由分析知，同一顶点处多个多边形的内角和是360度的可以密铺，如等边三角形、正方形。（答案不唯一） 10．正八边形一个内角是135°，无论怎么拼也组不成( )°，所以不能密铺。 【答案】360 【分析】用形状大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此间不留空隙，不重叠地铺成一片，就是密铺。在拼接时，同一顶点处多个多边形的内角和为360°的可以密铺。 【详解】正八边形不可以密铺，因为它的每个内角都是135°，而360°不是135°的整数倍，在每个拼接点处的内角不能保证没有空隙或没有重叠现象。所以正八边形一个内角是135°，无论怎么拼也组不成360°，所以不能密铺。 【点睛】明确能密铺的条件是解决此题的关键。用一种多边形密铺时，三角形、四边形、正六边形都能密铺。 11．下面这幅图( )密铺（填“是”或“不是”），因为彼此之间不留( )，但是( )。 【答案】 不是 空隙 重叠 【分析】用一种或几种全等图形（规则图形或不规则图形）进行拼接，图形之间没有空隙，也不重复，这种铺法在数学上叫图形的密铺，也叫图形的镶嵌。图形之间没有空隙，也不重叠，是密铺。据此解答。 【详解】观察图形，平行四边形之间确实没留空隙，但是相互之间有重叠，所以不是密铺。故这幅图不是密铺，因为彼此之间不留空隙，但是重叠。 12．如图是由相同的正六边形拼成的花砖地板，利用的是正六边形可以( )的原理。图中圈起来的拼接处形成的内角和正好是( )度。 【答案】 密铺 360 【分析】平面图形密铺的特点：（1）用一种或几种全等图形进行拼接；（2）拼接处不留空隙、不重叠；（3）连续铺成一片。能密铺的图形在一个拼接点处的特点是：几个图形的内角拼接在一起时，其和等于360°，并使相等的边互相重合；长方形、四边形、三角形、正六边形等都具备这一特点，据此解答即可。 【详解】由相同的正六边形拼成的花砖地板，利用正六边形可以密铺的原理。圈起来的拼接处形成的内角和正好是360度。 13．如图在研究图形的密铺时，以下图形( )不能单独密铺。 【答案】正五边形 【分析】平面图形密铺的特点：（1）用一种或几种完全一样的图形进行拼接；（2）拼接处不留空隙、不重叠；（3）连续铺成一片。几何图形密铺成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角。因此判断图形能否单独密铺的关键是看这个图形的内角和能否被360°整除，或整除360°。据此填空即可。 【详解】三角形内角和为180°，能被360°整除，可以单独密铺； 正方形四个角都是直角，内角和为360°，能被360°整除，可以单独密铺； 正五边形可以分成三个三角形，内角和为540°，不能整除360°，不可以单独密铺； 正六边形可以分成四个三角形，内角和为720°，能整除360°，可以单独密铺。 正五边形不能单独密铺。 14．几个完全相同的图形（如图所示），能密铺吗？如果可以，试着画一画。    【答案】能；见详解 【分析】图形的密铺是将形状、大小完全相同的一种或者几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠的铺成一片。 【详解】能密铺。 如图：    【点睛】掌握密铺图形的定义是解题的关键。 15．在一个工厂的废料堆里堆放着大量四边形木块，这些废木料的大小和形状是一样的，它们既不是正方形，也不是长方形。如果把它们做成比较规则的形状，必须锯掉一些边角，就要浪费很多木料，有人建议用这些木料来铺地板，你认为行吗？请说明理由。 【答案】行，理由见详解 【分析】平面图形密铺的特点：（1）用一种或几种全等图形进行拼接；（2）拼接处不留空隙、不重叠；（3）连续铺成一片。能密铺的图形在一个拼接点处的特点是：几个图形的内角拼接在一起时，其和等于360°，并使相等的边互相重合。四边形的内角和是360°，放在同一顶点处4个即能密铺。据此解答。 【详解】 用这些木料来铺地板可行，因为四边形的内角和是360°，按如图所示的拼法拼，就能填满整个平面，而且毫无缝隙。因此，凡是有同样大小、同样形状的任意四边形木料，都可用来铺地板。 【点睛】本题考查了密铺的知识点，要明确能密铺的图形在一个拼接点处的特点。 16．品品家客厅的地板砖太旧了，妈妈准备换新的，现有、 、 、 四种地板砖可供选择，妈妈让品品挑一种形状的地板砖，你能帮品品挑一挑吗，有哪些不同的选法？ 【答案】可以挑三角形、正方形或六边形地板砖，一共有3种选法。 【分析】几何图形密铺成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角。因此，一个多边形的内角之和能被360°整除，这样的多边形能密铺；找出可以密铺的地板砖即可解答。 【详解】三角形的内角和是180°，360°÷180°＝2，三角形能密铺； 四边形的内角和是360°，360°÷360°＝1，正方形、长方形能密铺； 正六边形的每个内角是120°，能整除360°，可以单独进行密铺； 正五边形的每个内角都是108°，不管几个角拼在一起都不能正好等于360°，在每个拼接点处的内角不能保证没空隙或重叠现象，不能密铺； 答：可以挑三角形、正方形或六边形地板砖，一共有3种选法。 【点睛】密铺，即平面图形的镶嵌，指用形状、大小完全相同的几种或几十种平面图形进行拼接，使彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片。判断图形能否密铺的关键是看这个图形的内角和能被360°整除。 17．淘气在黑板报上看到一个正六边形图案（如图）。这个正六边形是由6个等边三角形拼成，图形中间没有空隙，也不重叠，是密铺。淘气产生了一个疑问：等边三角形能密铺，其他类别的三角形能不能密铺呢？他设计了以下研究步骤来解决这个问题： 第一步：________________ 第二步：将每种三角形进行拼摆并观察拼摆结果。 第三步：依据拼摆结果得出结论。 （1）淘气设计的研究步骤的第一步是什么？请写在上面的横线上。 （2）请将第三步的研究结论在（    ）里补充完整。 （3）请以下图为例分析解释：为什么三角形可以密铺？ 【答案】（1）剪出完全相同的锐角三角形、钝角三角形、直角三角形各若干张 （2）锐角；钝角；直角 （3）两个全等的直角三角形可以拼成长方形，长方形可以单独密铺，因此，直角三角形也可以单独密铺。再由此推出所有三角形都可以单独密铺。 由于两个全等的任意三角形都能组合成一个平行四边形（或长方形或正方形），这启示我们，任意三角形同样具备密铺的能力。 【分析】（1）等边三角形能密铺，其他类别的三角形能不能密铺，再根据第三步下面的图，提出锐角三角形、钝角三角形、直角三角形能否密铺呢，剪出完全相同的锐角三角形、钝角三角形、直角三角形各若干张。 （2）通过观察第三步的图可知，锐角三角形，钝角三角形，直角三角形都能密铺。 （3）结合图可知：两个全等的直角三角形可以拼成长方形，长方形可以单独密铺，因此，直角三角形也可以单独密铺。再由此推出所有三角形都可以单独密铺。 由于两个全等的任意三角形都能组合成一个平行四边形（或长方形或正方形），这启示我们，任意三角形同样具备密铺的能力。 【详解】淘气在黑板报上看到一个正六边形图案（如图）。这个正六边形是由6个等边三角形拼成，图形中间没有空隙，也不重叠，是密铺。淘气产生了一个疑问：等边三角形能密铺，其他类别的三角形能不能密铺呢？他设计了以下研究步骤来解决这个问题： 第一步：剪出完全相同的锐角三角形、钝角三角形、直角三角形各若干张。 第二步：将每种三角形进行拼摆并观察拼摆结果。 第三步：依据拼摆结果得出结论。 （1）淘气设计的研究步骤的第一步是什么？请写在上面的横线上。 （2）请将第三步的研究结论在（    ）里补充完整。 （3）请以下图为例分析解释：为什么三角形可以密铺？ 结合图可知：两个全等的直角三角形可以拼成长方形，长方形可以单独密铺，因此，直角三角形也可以单独密铺。再由此推出所有三角形都可以单独密铺。 由于两个全等的任意三角形都能组合成一个平行四边形（或长方形或正方形），因此，任意三角形同样具备密铺的能力。 18．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作，其中记载了多边形的内角和的计算公式，一起来探究一下。 （1）从下面图形的一个顶点出发，可以画出一条或几条线段，能将其分成若干个三角形。在图上先画一画，再填表。 形状 分成的三角形个数 内角和 四边形 180°×（    ）＝（      ）。 五边形 180°×（    ）＝（      ）。 六边形 180°×（    ）＝（      ）。 （2）由此猜测：按上述方式，从边数为加n（n＞3）的多边形的一个顶点出发向与其不相邻的顶点画线段，这些线段把多边形分成（    ）个三角形，这个多边形的内角和是（    ）（从下面的选项中选序号）。 ①180°×n        ②180°×（n－1）    ③180°×（n－2）    ④180°×（n－3） （3）请你从上面三种图形中，任选一种设计出密铺图案。 【答案】（1）见详解 （2）③ （3）图见详解 【分析】（1）（2）从多边形的一个顶点作与不与它相邻顶点的连接线，将求多边形内角和变成几个三角形内角和的和，并找出求多边形内角和的规律，即可解答； （3）几何图形密铺成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角，因此，一个多边形的内角和能被整除，这个图形就能密铺，据此选择平行四边形并设计出密铺图案即可。 【详解】（1） 形状 分成的三角形个数 内角和 四边形 四边形中共画出1条线段，将其分成2个三角形， 180°×（2）＝（360°）。 五边形 五边形中共画出2条线段，将其分成3个三角形 180°×（3）＝（540°）。 六边形 六边形中共画出3条线段，将其分成4个三角形， 180°×（4）＝（720°）。 （2）由此猜测：按上述方式，从边数为n（n＞3）的多边形的一个顶点出发向与其不相邻的顶点画线段，最多能画（n－3）条，这些线段把多边形分成（n－2）个三角形，每个三角形的内角和是180°，由此可推导出n边形的内角和是180°×（n－2），这个多边形的内角和是③。 （3）360°÷360°＝1 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 14 页 学科网（北京）股份有限公司 $