27.1反比例函数的概念（教学课件）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学课件聚焦反比例函数概念，涵盖定义、三种表达形式、自变量取值范围及待定系数法。通过路程、矩形面积等生活实例导入，类比正比例函数，构建“实际情境—列关系式—归纳定义”的学习支架，衔接前后知识。 其亮点在于以真实问题为载体，引导学生用数学眼光观察变量关系，通过归纳解析式特征培养推理意识，结合汽车行驶、注意力指标等实例渗透模型思想。小结提炼类比、建模等方法，助力学生发展抽象能力与应用意识，教师可借助分层练习提升教学效率。

27.1 反比例函数的概念 第二十七章 反比例函数 人教版（新教材）·九年级上册 学 习 目 标 1 2 3 理解反比例函数的定义，掌握反比例函数的三种表达形式；能准确判断一个函数是否为反比例函数；明确反比例函数自变量的取值范围；会用待定系数法求解反比例函数解析式. 经历“实际情境—列关系式—观察特征—归纳定义—应用巩固”的完整探究过程，通过类比正比例函数，培养观察归纳、类比推理、数学建模的能力. 感受反比例函数在生活中的广泛应用，体会变量之间的对应关系，养成严谨的数学思维习惯，提升运用函数知识解决实际问题的意识. 从具体计算来看，由s = vt可知，在路程 s 一定的前提下， vt乘积是定值，所以平均速度 v 与运行时间 t 成反比例关系。 现实世界中的变化现象多种多样，除了一次函数、二次函数，还有其他函数模型可以用于刻画不同的变化规律。 从函数角度看，平均速度 v 随运行时间 t 的变化而变化的规律，可表示为 v = ，这类函数就是本章要研究的反比例函数。 同一条铁路线上，由于不同车次列车的运行时间有长有短，所以它们的平均速度有快有慢。 从生活实例抽象规律 章前引言 与研究一次函数、二次函数类似，我们先从现实世界中具有反比例关系的具体变化实例出发，抽象得出反比例函数的概念，然后研究反比例函数的图象和性质，并运用反比例函数解决一些实际问题。 在经历建立模型、求解模型、验证反思的学习过程中，你将再次体会建立函数模型解决问题的思想与方法。 本章探究路线 实例抽象→概念定义→图象探究→性质分析→实际应用 章前引言 导入新课 1. 请列出下列问题中的变量关系式 （1）路程一定（120km），行驶速度v与行驶时间t的关系； ∵路程=速度×时间 ∴120 = vt ∴v = （3）总电量w一定，电器功率P与工作时间t的关系。 （2）矩形面积一定（24㎡），长x与宽y的关系； ∵矩形面积=长×宽 ∴24 = xy ∴x = ∵总电量 =电器功率×工作时间 ∴w = pt ∴p = 2. 这些关系式与正比例函数y=kx(k≠0)有什么不同？变量之间存在什么规律？ 式子均为分式形式 两个变量的乘积是固定常数 一个变量增大，另一个变量随之减小 解析式形式 等量关系 变量变化 反比例函数 新知探究 探究点1 反比例函数定义 活动1. (1)京沪高铁全程为1318km，某次列车的平均速度v(单位:km/h)随此次列车的全程运行时间t(单位:h)的变化而变化; ①平均速度 v，运行时间t 存在什么数量关系？ ②这两个变量间有函数关系吗？试说明理由. 在问题中有两个变量 t 和 v ，当一个量 t 变化时，另一个量 v 随着t的变化而变化，而且对于 t 的每一个确定的值，v 都有唯一确定的值与其对应.，所以v是t的函数 v = 在下列问题中，变量之间具有函数关系吗?如果有，它们的解析式有什么共同特点? ③你能写出 v 关于 t 的解析式吗？ 平均速度 v×运行时间t=总路程1318km 新知探究 探究点1 反比例函数定义 议一议 (2)某住宅小区要种植一块面积为1000m的矩形草坪，草坪相邻两边的一边长y(单位:m)随另一边长x(单位:m)的变化而变化; 一块矩形草坪面积为1000m的 即 xy=1000， 在问题中有两个变量边长 x 和 y ，当一个量x变化时，另一个量 y 随着x的变化而变化，而且对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应.，所以y是x的函数 y = 变量 y 与x之间的函数关系可以表示为 解析式形式 等量关系 变量变化关系 新知探究 探究点1 反比例函数定义 议一议 (3)李明计划在一段时间内使用完5GB手机流量，平均每天使用的流量Q(单位:GB)随使用完流量的总时间t(单位:天)的变化而变化. 5GB手机流量，手机总使用流量一定 即 5= Q t ， Q = 变量 Q与t之间的函数关系可以表示为 在问题中有两个变量平均每天使用的流量Q 和使用完流量的总时间t ，当一个量t变化时，另一个量 Q随着t的变化而变化，而且对于 t 的每一个确定的值，Q 都有唯一确定的值与其对应，所以Q是t的函数 解析式形式 等量关系 变量变化关系 反比例函数定义 新知探究 探究点1 反比例函数定义 议一议 注意：自变量 x 的取值范围是不等于 0 的一切实数. 一般地，形如（k 为常数，k ≠ 0）的函数，叫作反比例函数，其中 x 是自变量，y 是x的函数. v = y = Q = （k ≠ 0的常数） 观察三个问题的函数解析式，有什么共同点 归一归 新知探究 探究点2 反比例函数不同表达形式及自变量取值范围 议一议 （1）反比例函数除了可以用y = (k ≠ 0) 的形式表示，还有没有其他表达方式？ ③ 负指数型：y=k(k≠0) ② 乘积型：xy=k(k≠0) 分式转化为乘积式 除以一个数等于乘以它的倒数 ① 分式型：y=(k≠0) （常用的表达形式） （2）反比例函数y=（k为常数，k≠0）中自变量x的取值范围是什么？ ∵分母不能为0，乘积定值不为0 ∴自变量 x≠0，函数值 y≠0 新知探究 探究点3 待定系数法求反比例函数解析式 议一议 已知 y 是 x 的反比例函数，且当 x = 2 时， y = 6. （1）写出 y 关于 x 的函数解析式； （2）当 x = 4 时，求 y 的值. （2）把 x = 4代入 ，得： 求解析式时， ①设反比例函数解析式 ②由已知条件求出 k . 待定系数法 解：（1）设 ， 把x = 2，y = 6代入解析式得： 解得 k = 12. 因此 新知探究 探究点3 待定系数法求反比例函数解析式 归一归 待定系数法求反比例函数解析式，解题步骤： 设解析式→代入已知值→求k→定解析式. ①设：设出含有待定系数的反比例函数解析式 ②代：将已知条件(自变量与函数的对应值)代入解析式，得到关于待定系数的方程； ③解：解方程，求出待定系数； ④定：写出反比例函数解析式. 典例分析 例1．已知一个反比例函数为，求的值． 由反比例函数为负指数幂的形式可得： 且，从而可得答案． 解：∵反比例函数为， ∴且， 解得：． 【分析】 典例分析 例2．汽车从甲地开往乙地，记汽车行驶时间为小时，平均速度为千米/小时（汽车行时速度不超过千米/小时），根据经验，，的一组对应值如下表； （千米/小时） （小时） (1)根据表中的数据，分析说明平均速度（千米/小时）关于行驶时间（小时）的函数关系，并求出其表达式； (2)汽车上午从甲地出发，能否在上午之前到达乙地？请说明理由． （1）解：∵，， 即每一对与的对应值乘积为一定值， 在减小，在增大， ∴与成反比关系，设， 把，代入反比例函数得， ，∴与的表达式为， ∵汽车行时速度不超过千米/小时， ∴，∴， ∴平均速度（千米/小时）关于行驶时间（小时）的函数关系是反比例函数，表达式为：． 典例分析 例2．汽车从甲地开往乙地，记汽车行驶时间为小时，平均速度为千米/小时（汽车行时速度不超过千米/小时），根据经验，，的一组对应值如下表； （千米/小时） （小时） (1)根据表中的数据，分析说明平均速度（千米/小时）关于行驶时间（小时）的函数关系，并求出其表达式； (2)汽车上午从甲地出发，能否在上午之前到达乙地？请说明理由． （2）解： 由（1）得：． ∵t =（小时）， ∴（千米/小时）， ∵汽车行时速度不超过千米/小时，， ∴不能在上午𝟏𝟎:𝟑𝟎之前到达乙地 新知巩固 1.用函数解析式表示下列问题中变量之间的关系: （1）一个游泳池的容积为 2000 m3，游泳池注满水所用时间 t（单位：h）随注水速度 v（单位：m3/h）的变化而变化； （2）学校准备将1000 m2实践田平均划分给一些班级，每班分得的实践田面积y(单位:m2)随班级个数x的变化而变化； 　　 （3）在某次物理实验中，电路中的电压U为3V，则该电路中的电流Ⅰ(单位:A）随电阻R(单位: Ω)的变化而变化. 解：由题意得：t =(v ＞0) 解：由题意得： y =(x ＞0) 解：由题意得： I =(R ＞0) 教材第65页 解：设 y = ， 把 x = －2，y = 4，代入得： 4= 解得 k = －8. ∴反比例函数解析式：y = －(x ≠0) 新知巩固 2.已知 y 是 x 的反比例函数，当 x =－2时，y = 4.求这个函数的解析式和自变量的取值范围. 教材第65页 拓展提升 1．心理学家研究发现，一般情况下，一节课分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化：开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x（分钟）的变化规律如图所示（其中分别为线段，轴，为双曲线的一部分），其中段的关系式为． (1)点B坐标为 ； (2)根据图中数据，求出段双曲线的表达式； (3)一道数学竞赛题，需要讲分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目? 解:（1）∵段的关系式为， 点B的横坐标为， ∴， ∴点B坐标为； 拓展提升 1．心理学家研究发现，一般情况下，一节课分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化：开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x（分钟）的变化规律如图所示（其中分别为线段，轴，为双曲线的一部分），其中段的关系式为． (1)点B坐标为 ； (2)根据图中数据，求出段双曲线的表达式； (3)一道数学竞赛题，需要讲分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目? 如图，轴，点B坐标为， ∴点C的坐标为，                 设C、D所在双曲线的解析式为， 把代入得，， ， ∴． （2）解： 拓展提升 1．心理学家研究发现，一般情况下，一节课分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化：开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x（分钟）的变化规律如图所示（其中分别为线段，轴，为双曲线的一部分），其中段的关系式为． (1)点B坐标为 ； (2)根据图中数据，求出段双曲线的表达式； (3)一道数学竞赛题，需要讲分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目? 令， ∴．                令， ∴，           （3）解： ∵， ∴经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目． 真题感知 1.（2026六安校考）在下列式子中，y是x的反比例函数的有哪些？每一个反比例函数中，相应的k值是多少？ (1)； (2)； (3)； (4)． 解:（1），是反比例函数，； （2），不是反比例函数； （3），不是反比例函数； （4），是反比例函数，． 真题感知 2．（2026四川省成都）人的视觉机能受运动速度的影响很大．在一定条件下，某人驾驶车辆时的视野f（单位：）与车速v（单位：）之间的关系式是．当车速为时，他的视野为______． 解：由题意，将代入得： ， 即他的视野为． 真题感知 3．（2025•山西）氢气是一种绿色清洁能源，可通过电解水获得．实践小组通过实验发现，在电解水的过程中，生成物氢气的质量y（g）与分解的水的质量x（g）满足我们学过的某种函数关系．如表是一组实验数据，根据表中数据，y与x之间的函数关系式为（　　） 水的质量x/g 4.5 9 18 36 45 氢气的质量y/g 0.5 1 2 4 5 A．y B． y＝9x C．yx D．y 解：通过观察表格数据可知：， 故y与x之间的函数关系式为yx， C 课堂小结 掌握了反比例函数的标准定义和三种表达形式； 能根据定义判定一个函数是否为反比例函数； 明确了自变量和函数值均不为0的取值要求； 熟练掌握利用待定系数法求解反比例函数解析式的基本步骤，能初步辨析正比例函数与反比例函数的区别. 知识与技能 课堂小结 （1）类比思想： 类比正比例函数的定义、形式、学习方法，探究反比例函数新知，实现旧知迁移、新知建构； （2）建模思想： 从生活实际情境中提炼变量关系，抽象为反比例函数数学模型，体会函数刻画现实变化规律的作用； （3）方程思想： 利用方程、不等式求解参数取值，解决反比例函数判定问题. 思想与方法 课堂小结 （1）忽略核心条件： 判定反比例函数时，忘记验证k≠0，导致参数取值错误； （2）概念混淆： 混淆正比例函数y=kx与反比例函数y=(k≠0)的解析式形式和变化规律； （3）取值遗漏： 忽略反比例函数自变量x≠0的隐含条件； （4）格式错误： 不会灵活运用乘积型、负指数型变式，解题形式单一. 易错点提醒 课后练习 1.用函数解析式表示下列问题中变量之间的关系，并指出它们各是什么函数： 反比例函数 （2）王芳要把一篇包含32000字的调查报告录入电脑，完成录入所用时间t(单位:min)与录入平均速度v(单位:字/min）之间的关系； （3）列车从相距2240 km的甲地行驶到乙地，平均速度v(单位: km/h)与全程行驶时间t(单位:h）之间的关系； 反比例函数 正比例函数 解：由题意得S = (h ＞0) 解：由题意得：t = (v ＞0) 反比例函数 解：由题意得：vt = (t ＞0) 解：由题意得：s =300t 习题 27.1 课本p66页 （4）列车以300 km/h的平均速度从甲地行驶到乙地，行驶路程s(单位:km)与行驶时间t(单位:h）之间的关系. （1）圆柱形蓄水池的容积是常数V(单位:m3)，其底面积S(单位:m2）与高h(单位:m）之间的关系； 课后练习 2.已知反比例函数(k>0)，当自变量x扩大到原来的a倍（a≥2，且a为正整数)时，对应的函数值y将如何变化?请说明理由. 解：当x扩大到原来的a倍时，得： 即 y，所以对应的函数值变为原来的 . ∴ 习题 27.1 课本p66页 课后练习 3.已知y与x2成反比例，且当x=3时，y=4. (1)写出y关于x的函数解析式； (2)当x=1.5时，求y的值； (3)当y=6时，求x的值. 解: （1）设y =，把 x = 3，y = 4 代入得 k = 36. 即y = . （2）当 x = 1.5 时， y = =16. （3）当 y = 6 时， x=±. 习题 27.1 课本p66页 谢谢聆听 $