专题01 锐角三角函数（专项训练）数学新教材湘教版九年级上册

**基本信息** 以考点为纲，题型为目，通过典例+变式构建从定义辨析到综合应用的递进式训练体系，强化数学思维与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解直角三角形的基本计算|3题型（典例3+变式6）|聚焦定义辨析、函数值与边长互求|从三角函数定义生成，构建"概念-性质-应用"逻辑链| |特殊角的三角函数值|4题型（典例4+变式8）|涵盖求值、运算、角度转化及三角形形状判定|以特殊角为桥梁，连接定义与几何性质| |同角与互余三角函数关系|2题型（典例2+变式4）|突出公式应用与关系推导|拓展定义内涵，形成知识网络|

专题01 锐角三角函数 常考题型·精准突破 考点一 解直角三角形的基本计算 题型1 三角函数定义的辨析 题型2 利用锐角三角函数定义求函数值 题型3 由锐角三角函数定义求边长 考点二 特殊角的三角函数值 题型4 特殊角三角函数值 题型5 特殊角三角函数的混合运算 题型6 由特殊角三角函数值求角度 题型7 由特殊角三角函数值判定三角形形状 考点三 同角与互余三角函数关系 题型8 利用同角关系求值 题型9 利用互余关系计算 综合攻坚·知能拔高（难） 综合攻坚·知能拔高 考点一 解直角三角形的基本计算 ◆题型1 三角函数定义的辨析 【典例1】（25-26九年级下·全国·课前预习）在中，，那么等于(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形中锐角余弦的定义，需明确的邻边与斜边，再根据余弦定义判断选项． 【详解】解：如图，在中，， ∴ 故选：B． 【变式1-1】（25-26九年级上·浙江金华·期末）在中，，若将各边长度都扩大为原来的倍，则的正弦值（    ） A．不变 B．扩大2倍 C．扩大4倍 D．缩小2倍 【答案】A 【分析】本题考查正弦的定义是对边与斜边的比值，涉及相似三角形判定与性质，熟记正弦的定义是解决问题的关键． 先得到原直角三角形的正弦值，再将各边长度扩大为原来的倍，由相似三角形的判定与性质可知，，再计算的正弦值，比较正弦值即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 令， 的正弦值； 若将各边长度都扩大为原来的倍，则扩大后的直角三角形三条边为， ， ， ， 的正弦值； 综上所述，， 故选：A． 【变式1-2】（2025九年级·全国·专题练习）如图，梯子（长度不变）和地面所成的锐角为．关于的正切值与梯子的倾斜程度的关系，下列叙述正确的是（   ） A．的值越大，梯子越缓 B．的值越小，梯子越陡 C．的值越大，梯子越陡 D．梯子的倾斜程度与的正切值无关 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形的应用－坡度坡角问题，以及掌握锐角三角函数值的变化规律． 锐角三角函数值的变化规律：正弦值和正切值都是随着角的增大而增大，余弦值随着角的增大而减小． 【详解】解：根据锐角三角函数的变化规律，知的值越大，越大，梯子越陡． A、的值越大，梯子越陡，原说法错误，不符合题意； B、的值越小，梯子越缓，原说法错误，不符合题意； C、的值越大，梯子越陡，说法正确，符合题意； D、梯子的倾斜程度与的正切值有关，原说法错误，不符合题意； 故选： C． ◆题型2 利用锐角三角函数定义求函数值 【典例2】（24-25九年级上·湖南湘潭·阶段检测）在平面直角坐标系中点，连接，若与轴正半轴夹角为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点的坐标和解直角三角形，能求出和的长是解此题的关键．过P作轴于N，根据点P的坐标求出和，解直角三角形求出即可． 【详解】解：过P作轴于N，则，    ∵点， ∴，，， ∴， 故选：C． 【变式2-1】如图，在中，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解直角三角形，先利用勾股定理求得，再利用余弦定义求解即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴， 故选：B． 【变式2-2】（24-25九年级上·湖南永州·期末）如图，在中，，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查求锐角三角函数，熟知在中，，锐角A的对边a与邻边b的比叫做的正切是解题的关键． 根据锐角的正切函数的定义解答即可． 【详解】解：∵，，， ∴． 故选：D． ◆题型3 由锐角三角函数定义求边长 【典例3】（25-26九年级上·山东菏泽·期中）在中，，，，则的长为______． 【答案】9 【分析】本题考查了锐角三角函数的余弦函数的定义，解题的关键是掌握直角三角形中余弦值为邻边与斜边的比值．在中，由余弦函数的定义得，代入已知的和的数值，求解斜边． 【详解】解：在中，，根据余弦的定义：， 已知，，代入得：， 解得， 故答案为：． 【变式3-1】（24-25九年级上·湖南益阳·期末）如图，在中，，，，则________． 【答案】9 【分析】此题考查了正弦的定义，根据正弦的定义得到，则． 【详解】解：∵，，， ∴ ∴， 故答案为：9 【变式3-2】如图，在中，，，，点在上，且． (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先由得出，再由勾股定理进行计算即可得出答案； （2）设，则，，由勾股定理可得，求出的值，最后再由余弦的定义进行计算即可． 【详解】（1）解：在中，，，， ， ， 由勾股定理可得； （2）解：设， ，， 由（1）知， 在中，由勾股定理， ， 解得， ，， ． 考点二 特殊角的三角函数值 ◆题型4 特殊角三角函数值 【典例4】的相反数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， 的相反数为． 【变式4-1】（25-26九年级下·四川自贡·期中）下列各数为有理数的是（    ） A． B． C．0.3030030003… D． 【答案】B 【详解】解：∵是无理数，∴是无理数，排除A． ∵，是整数，属于有理数，故B符合题意． ∵是无限不循环小数，∴是无理数，排除C． ∵，是无理数，排除D． 【变式4-2】计算：___________ 【答案】 【详解】解：． ◆题型5 特殊角三角函数的混合运算 【典例5】（25-26九年级下·湖南长沙·期中）计算：． 【答案】3 【分析】根据绝对值意义，负整数指数幂运算法则，零指数幂运算法则，特殊角的三角函数值，进行计算即可． 【详解】解： ． 【变式5-1】（25-26九年级上·湖南邵阳·阶段检测）计算：． 【答案】 【分析】本题考查实数的混合运算，先进行乘方，开方，特殊角的三角函数值，去绝对值运算，再进行加减运算即可． 【详解】解：原式 ． 【变式5-2】（2025·湖南·一模）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了含特殊角三角函数值的运算，先化简乘方，特殊角的三角函数值，绝对值，再根据有理数的混合运算法则进行计算，即可作答． 【详解】解： ． ◆题型6 由特殊角三角函数值求角度 【典例6】（25-26九年级上·湖南衡阳·期末）若，且为锐角，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据特殊角三角函数值求角的度数，根据特殊角的三角函数值，直接比较的值，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，且， ∴， 故选：． 【变式6-1】（25-26九年级上·河北沧州·期末）已知，则锐角A的度数为________ 【答案】 /45度 【详解】∵， ∴锐角A的度数为． 【变式6-2】（25-26九年级上·河南周口·期末）若为锐角，且，则锐角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值．先通过等式变形求出的值，再利用特殊角的正切值确定的度数，最后结合为锐角的条件计算出的大小． 【详解】解：∵ ∴ ∵，且为锐角，为小于的角 ∴ ∴ 故选：A． ◆题型7 由特殊角三角函数值判定三角形形状 【典例7】（24-25九年级上·山东烟台·期中）在中，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，利用非负性，得到，根据特殊角的三角函数值，求出的度数，再利用三角形的内角和定理，求出的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选C． 【变式7-1】（25-26九年级上·山东枣庄·阶段检测）在中，，则是______三角形．（填“锐角”“直角”或“钝角”） 【答案】钝角 【分析】本题考查了绝对值，平方数的非负性，特殊角的三角函数值，三角形内角和定理，利用绝对值和平方的非负性可得，，求出的度数，再根据三角形内角和定理即可求解，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴是钝角三角形， 故答案为：钝角． 【变式7-2】（25-26九年级上·山东济南·阶段检测）在中，若，都是锐角，且，，则的形状是 __________ ． 【答案】等腰直角三角形 【分析】本题考查锐角三角函数与等腰直角三角形的判定，掌握好特殊的锐角三角函数值是关键． 根据特殊角的三角函数值求出和的度数，再利用三角形内角和定理求出的度数，从而判断三角形的形状． 【详解】解：∵，且是锐角， ∴， ∵，且是锐角， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形． 故答案为：等腰直角三角形． 考点三 同角与互余三角函数关系 ◆题型8 利用同角关系求值 【典例8】已知，则锐角的取值范围是（ 　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据特殊角的三角函数值，，，再由余弦函数值在锐角范围内，随角度增大而减小即可得到答案 【详解】解：，， 由可得， 在锐角范围内，余弦函数值随着角度的增大而减小， ， 故选：D． 【点睛】本题考查利用特殊角的三角函数值及余弦函数的性质比较角度大小，熟练掌握特殊角的三角函数值性质是解决问题的关键． 【变式8-1】（2025九年级·全国·专题练习）已知是锐角，，则的值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，熟练掌握三角函数的性质是解答本题的关键． 先通过求出的值，再将求出的代入代数式中求值即可． 【详解】解：∵是锐角，且， ∴ ， ， 原式 ． 故答案为：． 【变式8-2】（24-25八年级下·浙江·阶段检测）已知α为锐角满足． (1)求证：； (2)求的值． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查了三角函数的概念，同角三角函数的关系，对（2）中式子实施不断降幂是解题的关键． （1）画出图形，利用三角函数定义和勾股定理即可解答； （2）利用三角函数的定义和（1）中结论可得，再对原式进行降幂，即可解答． 【详解】（1）证明：如图，在直角三角形中，，设， ， ， ， ， 根据勾股定理可得， ； （2）解：根据图形可得， 根据（1）中结论可得，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． ◆题型9 利用互余关系计算 【典例9】如图，在中，，垂足为D．给出下列四个结论：①；②；③；④，其中正确的结论有_______． 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查锐角的三角函数，解题的关键是熟练掌握互余两角的三角函数间的关系．根据，可得，再利用锐角三角函数的定义可列式进行逐项判断． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴， ∴，故①正确； ，故②正确；故③错误； ∵， ∴故④正确； 故答案为①②④． 【变式9-1】在中，，若，则的值为 ______ ． 【答案】 【分析】运用一个锐角的余弦值等于它的余角的正弦值即可得解． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴． 【变式9-2】（25-26九年级上·湖南娄底·期末）若，且是锐角，则_____度． 【答案】62 【分析】此题考查了正弦和余弦的互余关系，利用正弦和余弦的互余关系求解． 【详解】解：∵，，且是锐角， ∴． 故答案为：62． 综合攻坚·知能拔高 28．（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）在中，，，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据勾股定理求出的长，再根据正切的定义求出的值． 【详解】解：在中，，，， ， ， 故选：C ． 29．在中，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形，根据题意作出直角，然后根据，设一条直角边为，斜边为，根据勾股定理求出另一条直角边的长度，然后根据三角函数的定义可求出． 【详解】解：如图， ， 设，， 则， 故． 故选：． 30．如图，在正方形网格中，点A，B，C为网格交点，，垂足为D，则的值为（     ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据网格图得出，利用勾股定理求出的长，再根据同角的余角相等证明，最后利用锐角三角函数的定义求解即可． 【详解】解：由图可知，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 31．（25-26九年级上·湖南郴州·期末）在中，，则下列三角函数表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形．本题先利用勾股定理求出斜边的长度，再根据锐角三角函数的定义，分别判断每个选项的三角函数值是否正确． 【详解】解：在中，，， 由勾股定理得， 根据锐角三角函数定义： ，故A选项正确． ，故B选项错误． ，故C选项错误． ，故D选项错误． 故选：A． 32．下列四个命题中只有一个是正确的，则正确的命题的选项为（     ） A．若，则 B． C．若为锐角且，则 D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的性质，实数大小比较，锐角三角函数性质，幂的运算性质，逐个验证各选项即可得到结果． 【详解】解：对选项A：∵，成立需满足且， ∴，与命题中不符，A错误； 对选项B：∵， 又∵，， 又∵，，且， ∴，则，即， ∴，即， ∴，B错误； 对选项C：∵锐角的余弦值随角度增大而减小，且， ∴若，可得，又为锐角， ∴，C正确； 对选项D：，D错误． 33．从实数，，0，，，中，挑选出的两个数都是无理数的为（   ） A．，0 B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】结合无理数和有理数的定义（无理数是无限不循环小数，有理数是整数和分数的统称），负整数指数幂，以及特殊角的三角函数值，化简题干中每个数并判断类型，找出所有无理数，再对应选项，即可得到结果． 【详解】解：逐个化简判断各数的类型： ∵ ，是分数，属于有理数； ，是整数，属于有理数； 0是整数，属于有理数； 是分数，属于有理数； 是无限不循环小数，属于无理数； 是无限不循环小数，属于无理数． ∴只有选项D中的两个数都是无理数． 34．如图，在△ABC中，∠C=45°，=，AD⊥BC于点D，AC=，若E、F分别为AC、BC的中点，则EF的长为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】由勾股定理求得AD的长，进而通过特殊三角函数值求得角B的大小，进而求得AB长，进而可得到EF的长． 【详解】解：∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵E、F分别为AC、BC的中点 ∴ 故选：B． 【点睛】本题考查解直角三角形、特殊角的三角函数值，熟练掌握相关知识是解题的关键． 35．（25-26九年级下·四川南充·期中）如图，在中，若，则的值为____． 【答案】 【分析】根据平行四边形的性质求出，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 36．（25-26九年级上·河南平顶山·阶段检测）如图，在中，．若，，则___________． 【答案】 【分析】取的中点D，连接，得到，根据，不妨设，则，根据勾股定理解答即可． 本题考查了等腰三角形的性质，三角函数的应用，勾股定理，熟练掌握这些定理和性质，三角函数定义是解题的关键． 【详解】解：取的中点D，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， 不妨设， ∴， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 37．（25-26八年级下·上海普陀·期末）如图，在矩形中，，，对角线、相交于点M，N为边的中点，将绕点A顺时针旋转得到，点、，分别与点M、N对应，直线分别交线段、于点E、F．如果是以为腰的等腰三角形，那么的长是_____________． 【答案】或 【分析】根据是以为腰的等腰三角形，需要分类讨论，当，利用旋转的性质得出，利用矩形的性质进一步证明为等边三角形，在中求解；当时，先导出，得出，再把问题转化为进行求解． 【详解】在矩形中，，，对角线、相交于点M，， ， 为等边三角形， ， N为边的中点， ， 将绕点A顺时针旋转得到， ， 是以为腰的等腰三角形，当时，作图如下： ， ， 两点重合在一起， ， 在中，， ； 当时，作图如下： ， ， ， 过点作的垂线交于， ， ， 在中，， ， ． 38．如图，网格图中每个小正方形的面积都为，经过网格点的一条直线，把网格图分成了两个部分，其中的面积为，则（1）______，（2）的值为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的判定与性质，勾股定理等，掌握以上性质是解题的关键． 设，根据相似三角形的判定和性质可求得，根据的面积为3，得到，求得，解方程得到，根据勾股定理求得，即可求出的值． 【详解】解：如图， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵的面积为，网格图中每个小正方形的面积都为， ∴， 即， ， ∴， 解得，（舍去）， 即； 在中，， 故， ∴． 故答案为：，． 39．计算：． 【答案】 【详解】解： 40．如图，在中，，平分交于点，过点作，于点，于点，于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴为矩形； (2) 【分析】（1）由两组对边分别平行可证四边形是平行四边形，再由，即可证明题目； （2）由题意可证，设，因为，则，证明，得，则可知，在中根据勾股定理可求，则，因为，所以，则，设，在中由勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：略； （2）解：∵平分，， ∴， ∵，， ∴ 设，则， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， 在中，， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，， 解得， ∴． 41．如图，在中，点，分别是边和上的点，． (1) 求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由题意易得，然后问题可求证； （2）由（1）可知，则有，然后可得，进而根据三角函数可进行求解． 【详解】（1）证明：∵， 又，， ∴， 又∵， ∴； （2）解：由（1）知， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查三角函数及相似三角形的性质与判定，熟练掌握三角函数及相似三角形的性质与判定是解题的关键． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 锐角三角函数 常考题型·精准突破 考点一 解直角三角形的基本计算 题型1 三角函数定义的辨析 题型2 利用锐角三角函数定义求函数值 题型3 由锐角三角函数定义求边长 考点二 特殊角的三角函数值 题型4 特殊角三角函数值 题型5 特殊角三角函数的混合运算 题型6 由特殊角三角函数值求角度 题型7 由特殊角三角函数值判定三角形形状 考点三 同角与互余三角函数关系 题型8 利用同角关系求值 题型9 利用互余关系计算 综合攻坚·知能拔高（难） 综合攻坚·知能拔高 考点一 解直角三角形的基本计算 ◆题型1 三角函数定义的辨析 【典例1】（25-26九年级下·全国·课前预习）在中，，那么等于(    ) A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26九年级上·浙江金华·期末）在中，，若将各边长度都扩大为原来的倍，则的正弦值（    ） A．不变 B．扩大2倍 C．扩大4倍 D．缩小2倍 【变式1-2】（2025九年级·全国·专题练习）如图，梯子（长度不变）和地面所成的锐角为．关于的正切值与梯子的倾斜程度的关系，下列叙述正确的是（   ） A．的值越大，梯子越缓 B．的值越小，梯子越陡 C．的值越大，梯子越陡 D．梯子的倾斜程度与的正切值无关 ◆题型2 利用锐角三角函数定义求函数值 【典例2】（24-25九年级上·湖南湘潭·阶段检测）在平面直角坐标系中点，连接，若与轴正半轴夹角为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】如图，在中，，，，则（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25九年级上·湖南永州·期末）如图，在中，，，，则的值为（   ） A． B． C． D． ◆题型3 由锐角三角函数定义求边长 【典例3】（25-26九年级上·山东菏泽·期中）在中，，，，则的长为______． 【变式3-1】（24-25九年级上·湖南益阳·期末）如图，在中，，，，则________． 【变式3-2】如图，在中，，，，点在上，且． (1)求的长； (2)求的值． 考点二 特殊角的三角函数值 ◆题型4 特殊角三角函数值 【典例4】的相反数为（     ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26九年级下·四川自贡·期中）下列各数为有理数的是（    ） A． B． C．0.3030030003… D． 【变式4-2】计算：___________ ◆题型5 特殊角三角函数的混合运算 【典例5】（25-26九年级下·湖南长沙·期中）计算：． 【变式5-1】（25-26九年级上·湖南邵阳·阶段检测）计算：． 【变式5-2】（2025·湖南·一模）计算：． ◆题型6 由特殊角三角函数值求角度 【典例6】（25-26九年级上·湖南衡阳·期末）若，且为锐角，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【变式6-1】（25-26九年级上·河北沧州·期末）已知，则锐角A的度数为________ 【变式6-2】（25-26九年级上·河南周口·期末）若为锐角，且，则锐角的大小为（    ） A． B． C． D． ◆题型7 由特殊角三角函数值判定三角形形状 【典例7】（24-25九年级上·山东烟台·期中）在中，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26九年级上·山东枣庄·阶段检测）在中，，则是______三角形．（填“锐角”“直角”或“钝角”） 【变式7-2】（25-26九年级上·山东济南·阶段检测）在中，若，都是锐角，且，，则的形状是 __________ ． 考点三 同角与互余三角函数关系 ◆题型8 利用同角关系求值 【典例8】已知，则锐角的取值范围是（ 　） A． B． C． D． 【变式8-1】（2025九年级·全国·专题练习）已知是锐角，，则的值为______． 【变式8-2】（24-25八年级下·浙江·阶段检测）已知α为锐角满足． (1)求证：； (2)求的值． ◆题型9 利用互余关系计算 【典例9】如图，在中，，垂足为D．给出下列四个结论：①；②；③；④，其中正确的结论有_______． 【变式9-1】在中，，若，则的值为 ______ ． 【变式9-2】（25-26九年级上·湖南娄底·期末）若，且是锐角，则_____度． 综合攻坚·知能拔高 28．（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）在中，，，，则的值是（    ） A． B． C． D． 29．在中，，则的值是（   ） A． B． C． D． 30．如图，在正方形网格中，点A，B，C为网格交点，，垂足为D，则的值为（     ）. A． B． C． D． 31．（25-26九年级上·湖南郴州·期末）在中，，则下列三角函数表示正确的是（    ） A． B． C． D． 32．下列四个命题中只有一个是正确的，则正确的命题的选项为（     ） A．若，则 B． C．若为锐角且，则 D． 33．从实数，，0，，，中，挑选出的两个数都是无理数的为（   ） A．，0 B．， C．， D．， 34．如图，在△ABC中，∠C=45°，=，AD⊥BC于点D，AC=，若E、F分别为AC、BC的中点，则EF的长为（    ） A． B．2 C． D． 35．（25-26九年级下·四川南充·期中）如图，在中，若，则的值为____． 36．（25-26九年级上·河南平顶山·阶段检测）如图，在中，．若，，则___________． 37．（25-26八年级下·上海普陀·期末）如图，在矩形中，，，对角线、相交于点M，N为边的中点，将绕点A顺时针旋转得到，点、，分别与点M、N对应，直线分别交线段、于点E、F．如果是以为腰的等腰三角形，那么的长是_____________． 38．如图，网格图中每个小正方形的面积都为，经过网格点的一条直线，把网格图分成了两个部分，其中的面积为，则（1）______，（2）的值为_______． 39．计算：． 40．如图，在中，，平分交于点，过点作，于点，于点，于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 41．如图，在中，点，分别是边和上的点，． (1) 求证：； (2)若，求的长． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $