7.6 用锐角三角函数解决问题（题型专练）数学苏科版九年级下册

7.6 用锐角三角函数解决问题 题型一 坡度坡角问题 1．（2025·镇江·真题）如图，小丽从点A出发，沿坡度为10°的坡道向上走了120米到达点B，则她沿垂直方向升高了（　　） A．米 B．米 C．120tan10°米 D．120sin10°米 2．（2025·锡山区·校级月考）有一斜坡的坡度i＝12：5，斜坡上最高点到地面的距离为2.4米，那么这个斜坡的长度为　　米． 3．（2025·淮安·校级月考）图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是安装热水器的侧面示意图．已知屋面AE的倾斜角∠EAD为22°，长为3米的真空管AB与水平线AD的夹角为37°，安装热水器的铁架竖直管CE的长度为0.7米．求安装热水器的铁架水平横管BC的长度．（结果精确到0.1米，参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan22°≈0.4） 4．（2025·连云港·校级二模）家用洗手盆上常装有一种抬启式水龙头（如图1），完全开启后，把手AM与水平线的夹角为37°，此时把手端点A、出水口点B和落水点C在同一直线上，洗手盆及水龙头示意图如图2，M，D，E在一条直线上，ME⊥EC，其相关数据为AM＝10cm，ME＝27cm，求EC的长．（结果精确到1cm，参考数据：sin37°，cos37°，tan37°，1.73） 5．（2025·梁溪区·校级二模）实验是培养学生的创新能力的重要途径之一．如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，AB＝30cm，BEAB，试管倾斜角α为10°． （1）求酒精灯与铁架台的水平距离CD的长度； （2）实验时，当导气管紧贴水槽MN，延长BM交CN的延长线于点F，且MN⊥CF（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：DE＝21.7cm，MN＝8cm，∠ABM＝145°，求线段DN的长度． （参考数据：sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18） 题型二 圆中三角形问题 1．（2025·启东市·二模）如图，一条细绳系着一个小球在平面内摆动．已知细绳从悬挂点O到球心的长度为50厘米，小球在左、右两个最高位置时，细绳相应所成的角∠AOB为40°，那么小球在最高位置和最低位置时的高度差为（　　） A．（50﹣50sin40°）厘米 B．（50﹣50cos40°）厘米 C．（50﹣50sin20°）厘米 D．（50﹣50cos20°）厘米 2．（2024·吴江区·二模）圆周率是指圆的周长与圆的直径的比值，我国南北朝时期的数学家祖冲之用“割圆术”将圆周率算到了小数后面第七位，成为当时世界上最先进的成就，“割圆术”是指用圆的内接正多边形的周长来近似替代圆的周长，如图所示，从正六边形起算，并依次倍增，使误差逐渐减小．当圆的内接正多边形的边数为360时，由“割圆术”可得圆周率的近似值可用代数式表示为（　　） A．360sin1° B．360sin0.125° C．360sin0.25° D．360sin0.5° 3．（2023·淮阴区·模拟）周末，小明一家到附近公园里踏青，公园里一处月牙湖景观（如图），A、B两点之间有两条石板路，一条是直路AB，长度为100米，另一条是圆弧路，圆弧路上有一棵松树，小明在松树处测得∠APB＝118°，小明在圆弧路上行走，行走过程中离路AB的最大距离约为多少米．（结果保留整数，参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0•86，tan31°≈0.60．） 4．（2024·盱眙县·校级月考）如图，某地欲搭建一座圆弧型拱桥，跨度AB＝32米，拱高CD＝8米，其中C为AB的中点，D为弧AB的中点．（参考数据：cos37°≈0.8，sin37°≈0.6，tan37°≈0.75，结果保留π） （1）求该圆弧所在圆的半径； （2）求弧AB的长． 5．（2024·泰兴市·二模）北斗卫星是我国自主研发的地球同步轨道卫星，位于赤道正上方，为全球用户提供全天候、全天时、高精度的定位导航等服务．如图，⊙O是地球的轴截面（把地球的轴截面近似的看成圆形），点P是一颗北斗卫星，在北纬60°的点A（即∠POA＝60°）观测，BC是点A处的地平线（即BC与⊙O相切于点A），测得∠PAC＝15°58′，已知地球半径约为6400km，图中各点均在同一平面内，求卫星P到地球表面的最短距离． （sin75°58′≈0.97，cos75°58′≈0.24，tan75°58′≈4.00，，结果精确到1km．） 题型三 仰角俯角问题 1．（2025·崇川区·校级月考）两建筑物的水平距离为a米，从A点测得D点的俯角为α，测得C点的俯角为β，则较低建筑物CD的高为（　　） A．a米 B．米 C．米 D．a（tanβ﹣tanα）米 2．（2025·梁溪区·三模）如图，利用无人机测量雕像BF的高度，在点C处测得雕像底部点B的俯角为45°，水平前行9米到达点D，在点D处测得雕像顶部点F和底部点B的俯角分别为37°和68°，若点C、D与雕像BF均在同一平面内，则雕像BF的高约为　　米． （参考数据：） 3．（2025·淮安区·校级二模）如图，利用无人机测量某小区南北大门之间的距离BC，无人机在A处测得北大门上方标志物B的俯角∠EAB为37°，南大门上方标志物C的俯角∠FAC为20.5°，无人机沿AF方向继续飞行20m到D处，此时测得北大门上方标志物B的俯角∠ADB为31°．图中，点A、B、C、D、E、F在同一竖直平面内，EF和BC均与地面平行．求B、C之间的距离．（结果保留整数，参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，sin31°≈0.5，cos31°≈0.86，tan31°≈0.6，sin20.5°≈0.35，cos20.5°≈0.9，tan20.5°≈0.37） 4．（2025·姑苏区·校级月考）某数学兴趣小组到一公园测量塔楼的高度，如图所示，塔楼剖面图与斜坡剖面图在同一平面内，在斜坡CD底部C处测得塔顶B的仰角为54.5°，沿斜坡CD走13米到达斜坡D处，测得塔顶B的仰角为26.7°，且斜坡CD的坡度i＝1：2.4，其中点A，C，G，F在同一条水平直线上．求： （1）点D到地面AG的距离； （2）塔AB的高．（精确到0.1米） （参考数据：tan54.5°≈1.40，sin54.5°≈0.81，cos54.5°≈0.58，tan26.7°≈0.50，sin26.7°≈0.45，cos26.7°≈0.89） 5．（2025·沭阳县·校级一模）脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高AB所在的直线．为了测量房屋的高度，在地面上C点测得屋顶A的仰角为35°，此时地面上C点、屋檐上E点、屋顶上A点三点恰好共线，继续向房屋方向走8m到达点D时，又测得屋檐E点的仰角为55°，房屋的顶层横梁EF＝12m，EF∥CB，AB交EF于点G（点C，D，B在同一水平线上）．（参考数据：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，sin55°≈0.8，cos55°≈0.6，tan55°≈1.4） （1）求屋顶到横梁的距离AG； （2）求房屋的高AB．（结果精确到1m） 题型四 方向角问题 1．（2025·姑苏区·校级期中）如图，在A处测得点P在北偏东60°方向上，在B处测得点P在北偏东30°方向上，若AB＝2米，则点P到直线AB距离PC为（　　） A．3米 B．米 C．2米 D．1米 2．（2025·海安市·一模）如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向，距离灯塔30海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东45°方向上的B处，此时B处与灯塔P的距离为 　　海里（结果保留根号）． 3．（2025·鼓楼区·一模）如图，小明乘高铁从南向北匀速行驶，速度为50m/s．小明在B处通过窗口看到远处两棵树（记为C和D），此时C在小明的北偏东45°方向，D在小明的北偏东63.4°方向．7s后，小明到达A处，此时C和D恰好都在自己的南偏东53.1°方向．求两棵树之间的距离CD．（参考数据：tan63.4°≈2，tan53.1°．） 4．（2025·鼓楼区·校级模拟）如图，在东西方向的海岸线l上有一长为1千米的码头MN，在距码头西端M的正西方向59.5千米处有一观测站O，现测得位于观测站O的北偏西37°方向，且与观测站O相距60千米的小岛A处有一艘轮船开始航行驶向港口MN．经过一段时间后又测得该轮船位于观测站O的正北方向，且与观测站O相距30千米的B处． （1）求AB两地的距离；（结果保留根号） （2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否行至码头MN靠岸？请说明理由．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37≈0.75．） 5．（2025·亭湖区·校级月考）寒假期间，小明和小红在A处游玩，结束后相约去学校自习室，学校在点C处，小明家在点D处，小红家在点B处，点D在点A的正东方向，点B在点A的正北方向，点C在点B的北偏东60°方向，点C在点D的东北方向，且AB＝200米，BC＝800米． （1）求小明家到学校的距离CD的长度（结果保留根号）； （2）小明和小红同时从A处出发，两人先各自回家取书包．再去学校自习室，小明步行的速度为40米/分，小红步行的速度为45米/分，请通过计算说明谁先到达学校自习室（两人取书包的时间忽略不计）．（参考数据：，，结果精确到十分位） 题型五 其他应用问题 1．（2025·江都区·二模）图1是一款用于汽车抬升的螺旋式千斤顶，旋转螺杆能起到升降千斤顶顶部高度的作用．图2是该螺旋式千斤顶的平面示意图，已知四条支撑杆AB，BC，CD，DA的长度均为20cm，螺杆AC与水平地面平行．当∠DAC＝α时，千斤顶顶部到水平地面的距离BD的长为（　　）cm． A． B．40sinα C． D．40cosα 2．（2025·通州区·二模）图1为《天工开物》记载的用于舂（chōng）捣谷物的工具—“碓（duì）”的结构简图，图2为其平面示意图．已知AB⊥CD于点B，AB与水平线l相交于点O，OE⊥l．若BC＝6dm，OB＝14dm，∠BOE＝60°，则点C到水平线l的距离CF为　　dm（结果保留小数点后一位，取1.414，取1.732）． 3．（2024·盐城·模拟）如图①，某款线上教学设备由底座，支撑臂AB，连杆BC，悬臂CD和安装在D处的摄像头组成．如图②是该款设备放置在水平桌面上的示意图．已知支撑臂AB⊥l，AB＝18cm，BC＝40cm，CD＝44cm，固定∠ABC＝148°，可通过调试悬臂CD与连杆BC的夹角提高拍摄效果． （1）问悬臂端点C到桌面l的距离约为多少？ （2）已知摄像头点D到桌面l的距离为30cm时拍摄效果较好，那么此时悬臂CD与连杆BC的夹角∠BCD的度数约为多少？（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60 ） 4．（2025·宿城区·校级一模）如图①，春碓是我国上世纪乡村农用工具，形状呈L型，将其抽象成如图②的平面图形，呈L型的ABC可绕点O旋转，其中A，O，B三点在同一条直线上，点O在直线MN上，BC⊥AB，OA＝60cm，BC＝50cm，OB＝120cm，初始时∠BOM＝37°． （1）如图②，求初始时点A到MN的距离； （2）如图③，当点C第一次落在MN上时，求点A在竖直方向上上升了多少厘米．（结果保留1位小数；参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75） 5．（2025·泰州·期中）现有一台红外线理疗灯（如图1所示），该设备的主体由底座AB、立柱BC、伸缩杆CD和灯臂DE组成，A、B、C三点在同一直线上，图2是该设备的平面示意图．AC垂直于AF，AF与水平线l平行，CD与l的夹角为∠1，DE与l的夹角为∠2．经测量：AB为12cm，BC为26cm，DE为30cm，∠BCD＝154°，∠CDE＝63°． （1）填空：∠1＝　　°，∠2＝　　°； （2）已知点E到AF的距离EM为50cm时，该设备使用效果最佳．求此时伸缩杆CD的长度．（参考数据：sin26°＝0.44，cos26°＝0.90，sin37°＝0.60，cos37°＝0.80） 题型一 赵爽弦图与解直角三角形 1．（2023·通州区·校级月考）第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形（△DAE，△ABF，△BCG，△CDH）和中间一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD中，∠ABF＞∠BAF，连接BE．设∠BAF＝α，∠BEF＝β，若正方形EFGH与正方形ABCD的面积之比为1：n，2tanα＝tan2β，则n＝（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（2025·天宁区·校级期中）勾股定理的证明方法丰富多样，其中我国古代数学家赵爽利用“弦图”的证明简明、直观，是世界公认最巧妙的方法．“赵爽弦图”已成为我国古代数学成就的一个重要标志，千百年来倍受人们的喜爱．小亮在如图所示的“赵爽弦图”中，连接EG，DG．若正方形ABCD与正方形EFGH的面积之比为5：1，则cos∠DGE等于　　． 1．（2025·江阴市·期中）两个智能机器人在如图所示的Rt△ABC区域工作，∠ABC＝90°，AB＝30m，BC＝30m，直线BD为生产流水线，且BD平分△ABC的面积（即D为AC中点）．机器人甲从点A出发，沿A→B的方向以v1（m/min）的速度匀速运动，其所在位置用点P表示，机器人乙从点B出发，沿B→C→D的方向以v2（m/min）的速度匀速运动，其所在位置用点Q表示．两个机器人同时出发，设机器人运动的时间为t（min），记点P到BD的距离（即垂线段PP′的长）为d1（m），点Q到BD的距离（即垂线段QQ′的长）为d2（m）．当机器人乙到达终点时，两个机器人立即同时停止运动，此时d1＝6m．d2与t的部分对应数值如表（t1＜t2）： t（min） 0 t1 t2 6 d2（m） 0 10 10 0 （1）机器人乙运动的路线长为　　m； （2）求t2﹣t1的值； （3）当机器人甲、乙到生产流水线BD的距离相等（即d1＝d2）时，求t的值． 2．（2024·南京·真题）如图（1），夜晚，小明从路灯L的正下方P1处出发，先沿平路走到P2处，再上坡到达P3处．已知小明的身高为1.5m，他在道路上的影长y（单位：m）与行走的路程x（单位：m）之间的函数关系如图（2）所示，其中，OA，BC是线段，AB是曲线． （1）结合P2的位置，解释点A的横坐标、纵坐标的实际意义． （2）路灯L的高度是　　m． （3）设P2P3的坡角为α（0°＜α＜45°）． ①通过计算：比较线段OA与线段BC的倾斜程度． ②当α取不同的值时，下列关于曲线AB的变化趋势的描述；（a）y随x的增大而增大；（b）y随x的增大而减小；（c）y随x的增大先增大后减小；（d）y随x的增大先减小后增大．其中，所有可能出现的序号是　　． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.6 用锐角三角函数解决问题 题型一 坡度坡角问题 1．（2025·镇江·真题）如图，小丽从点A出发，沿坡度为10°的坡道向上走了120米到达点B，则她沿垂直方向升高了（　　） A．米 B．米 C．120tan10°米 D．120sin10°米 【详解】解：如图， 由题意可知：在Rt△ABC中，AB＝120米，∠A＝10°， ∵sinA， ∴BC＝AB•sinA＝120sin10°（米）． 故选：D． 2．（2025·锡山区·校级月考）有一斜坡的坡度i＝12：5，斜坡上最高点到地面的距离为2.4米，那么这个斜坡的长度为　　米． 【详解】解：设水平距离为m米，斜边长为n米， 由题意可得：，解得：m＝1， ∴（米）． 故答案为：2.6． 3．（2025·淮安·校级月考）图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是安装热水器的侧面示意图．已知屋面AE的倾斜角∠EAD为22°，长为3米的真空管AB与水平线AD的夹角为37°，安装热水器的铁架竖直管CE的长度为0.7米．求安装热水器的铁架水平横管BC的长度．（结果精确到0.1米，参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan22°≈0.4） 【详解】解：如图，过B作BF⊥AD交AD于点F， ∵， 则BF＝AB•sin∠BAF＝3sin37°≈1.8（米）， ∵， 则AF＝ABcos∠BAF＝3cos37°≈2.4（米）， 由题意可得：四边形BFDC是矩形， ∴BF＝CD＝1.8米，BC＝DF， ∵CE＝0.7米， ∴DE＝CD﹣CE＝1.1米， ∴， 则（米）， ∴BC＝DF＝AD﹣AF＝2.8﹣2.4≈0.4（米）， 答：安装热水器的水平横管BC的长度约为0.4米． 4．（2025·连云港·校级二模）家用洗手盆上常装有一种抬启式水龙头（如图1），完全开启后，把手AM与水平线的夹角为37°，此时把手端点A、出水口点B和落水点C在同一直线上，洗手盆及水龙头示意图如图2，M，D，E在一条直线上，ME⊥EC，其相关数据为AM＝10cm，ME＝27cm，求EC的长．（结果精确到1cm，参考数据：sin37°，cos37°，tan37°，1.73） 【详解】解：如图，过点A作AG⊥EH于G，过点M作MN⊥AG于N， 则四边形MEGN为矩形， ∴EG＝MN，NG＝ME＝27（cm）， 在Rt△AMN中，sin∠AMN，cos∠AMN， ∴AN＝AM×sin37°≈106（cm），MN＝AM×cos37°≈108（cm）， ∴EG＝8cm，AG＝AN+NG＝6+27＝33（cm）， ∵∠ACG＝60°， ∴CG1119.02（cm）， ∴EC＝EG+CG＝8+19.02≈27（cm）， 答：EC的长约为27cm． 5．（2025·梁溪区·校级二模）实验是培养学生的创新能力的重要途径之一．如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，AB＝30cm，BEAB，试管倾斜角α为10°． （1）求酒精灯与铁架台的水平距离CD的长度； （2）实验时，当导气管紧贴水槽MN，延长BM交CN的延长线于点F，且MN⊥CF（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：DE＝21.7cm，MN＝8cm，∠ABM＝145°，求线段DN的长度． （参考数据：sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18） 【详解】解：（1）如图，过点E作EG⊥AC于点G， ∵AB＝30cm，BEAB， ∴BE＝10cm，AE＝20cm， ∵∠AEG＝α＝10°， ∴GE＝AE•cosα＝20×cos10°≈19.6（cm）， ∴CD＝GE＝19.6cm， 答：酒精灯与铁架台的水平距离CD的长度为19.6cm； （2）过点B作BH⊥CF于点H，BP⊥DE于点P，过点M作MQ⊥BH于点Q， 则BP＝BE•cosα＝10×cos10°≈9.8（cm），EP＝BE•sinα＝10×sin10°≈1.7（cm）， ∵DE＝21.7cm， ∴PD＝DE﹣EP＝21.7﹣1.7＝20（cm）， ∴BH＝20cm， ∵MN＝8cm， ∴QH＝8cm， ∴BQ＝BH﹣QH＝20﹣8＝12（cm）， ∵∠ABM＝145°， ∴∠QBM＝∠ABM﹣α﹣90°＝145°﹣10°﹣90°＝45°， ∴QM＝BQ＝12cm， ∴DN＝DH+HN＝BP+QM＝9.8+12＝21.8（cm）， 答：线段DN的长度为21.8cm． 题型二 圆中三角形问题 1．（2025·启东市·二模）如图，一条细绳系着一个小球在平面内摆动．已知细绳从悬挂点O到球心的长度为50厘米，小球在左、右两个最高位置时，细绳相应所成的角∠AOB为40°，那么小球在最高位置和最低位置时的高度差为（　　） A．（50﹣50sin40°）厘米 B．（50﹣50cos40°）厘米 C．（50﹣50sin20°）厘米 D．（50﹣50cos20°）厘米 【详解】解：如图，过A作AC⊥OB于C， Rt△OAC中，OA＝50厘米，∠AOC＝40°÷2＝20°， ∴OC＝OA•cos20°＝50×cos20°， ∴CD＝OA﹣OC＝50﹣50×cos20°＝50（1﹣cos20°）（厘米）． 故选：D． 2．（2024·吴江区·二模）圆周率是指圆的周长与圆的直径的比值，我国南北朝时期的数学家祖冲之用“割圆术”将圆周率算到了小数后面第七位，成为当时世界上最先进的成就，“割圆术”是指用圆的内接正多边形的周长来近似替代圆的周长，如图所示，从正六边形起算，并依次倍增，使误差逐渐减小．当圆的内接正多边形的边数为360时，由“割圆术”可得圆周率的近似值可用代数式表示为（　　） A．360sin1° B．360sin0.125° C．360sin0.25° D．360sin0.5° 【详解】解：如图，过点O作OC⊥AB，垂足为C， ∵圆内接正360边形被半径分成360个全等的等腰三角形AOB， ∴其顶角∠AOB＝1°， ∵OA＝OB，OC⊥AB， ∴∠AOC∠AOB＝0.5°，AB＝2AC， 设OA＝OB＝r， 在Rt△AOC中，AC＝OA•sin0.5°＝rsin0.5°， ∴AB＝2AC＝2rsin0.5°， ∴由“割圆术”可得圆周率的近似值360sin0.5°． 故选：D． 3．（2023·淮阴区·模拟）周末，小明一家到附近公园里踏青，公园里一处月牙湖景观（如图），A、B两点之间有两条石板路，一条是直路AB，长度为100米，另一条是圆弧路，圆弧路上有一棵松树，小明在松树处测得∠APB＝118°，小明在圆弧路上行走，行走过程中离路AB的最大距离约为多少米．（结果保留整数，参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0•86，tan31°≈0.60．） 【详解】解：如图：取的中点C，连接CA，CB，过点C作CD⊥AB，垂足为D， 当小明行走到圆弧路的中点C时，离直路AB的距离最大，此时最大距离为CD的长， ∵∠APB＝118°， ∴∠APB＝∠ACB＝118°， ∵点C是的中点， ∴， ∵CA＝CB， ∴∠CAB＝∠CBA（180°﹣∠ACB）＝31°， ∵CD⊥AB，AB＝100米， ∴ADAB＝50（米）， 在Rt△ACD中，CD＝AD•tan31°≈50×0.6＝30（米）， ∴小明在圆弧路上行走，行走过程中离路AB的最大距离约为30米． 4．（2024·盱眙县·校级月考）如图，某地欲搭建一座圆弧型拱桥，跨度AB＝32米，拱高CD＝8米，其中C为AB的中点，D为弧AB的中点．（参考数据：cos37°≈0.8，sin37°≈0.6，tan37°≈0.75，结果保留π） （1）求该圆弧所在圆的半径； （2）求弧AB的长． 【详解】解：（1）如图，设该圆弧的圆心为O，连接OA，OC，OD， ∵C为AB的中点，D为弧AB的中点， ∴OD⊥AB，OC⊥AB， ∴O、C、D三点共线， 设该圆弧所在圆的半径为r米，则OD＝OA＝r米， ∵AB＝32米，CD＝8米， ∴米，OC＝OD﹣CD＝（r﹣8）米， ∵AC2+OC2＝OA2， ∴162+（r﹣8）2＝r2，解得：r＝20， ∴该圆弧所在圆的半径为20米； （2）如图，连接OB， ∵， ∴∠OAC＝37°， ∴∠AOC＝90°﹣37°＝53°， ∴∠AOB＝2∠AOC＝106°， ∴的长为（米）． 5．（2024·泰兴市·二模）北斗卫星是我国自主研发的地球同步轨道卫星，位于赤道正上方，为全球用户提供全天候、全天时、高精度的定位导航等服务．如图，⊙O是地球的轴截面（把地球的轴截面近似的看成圆形），点P是一颗北斗卫星，在北纬60°的点A（即∠POA＝60°）观测，BC是点A处的地平线（即BC与⊙O相切于点A），测得∠PAC＝15°58′，已知地球半径约为6400km，图中各点均在同一平面内，求卫星P到地球表面的最短距离． （sin75°58′≈0.97，cos75°58′≈0.24，tan75°58′≈4.00，，结果精确到1km．） 【详解】解：如图，过点A作AD⊥OP，垂足为D， ∴∠ADO＝90°， ∵∠POA＝60°， ∴∠OAD＝90°﹣∠AOD＝30°， ∵OA＝OE＝6400km， ∴ODOA＝3200（km），ADOD＝3200（km）， ∵BC与⊙O相切于点A， ∴∠OAC＝90°， ∵∠PAC＝15°58′， ∴∠DAP＝∠OAC+∠PAC﹣∠OAD＝75°58′， 在Rt△ADP中，DP＝AD•tan75°58′≈32004＝12800（km）， ∴PE＝OD+PD﹣OE＝3200+128006400≈18970（km）， ∴卫星P到地球表面的最短距离约为18970km． 题型三 仰角俯角问题 1．（2025·崇川区·校级月考）两建筑物的水平距离为a米，从A点测得D点的俯角为α，测得C点的俯角为β，则较低建筑物CD的高为（　　） A．a米 B．米 C．米 D．a（tanβ﹣tanα）米 【详解】解：由题意可得：AB∥CD，AB⊥BC，∠ADE＝α，∠ACB＝∠β， 在Rt△AED中，AE＝atanα， 在Rt△ABC中，AB＝atanβ， ∴CD＝BE＝AB﹣AE＝atanβ﹣atanα＝a（tanβ﹣tanα）． 故选：D． 2．（2025·梁溪区·三模）如图，利用无人机测量雕像BF的高度，在点C处测得雕像底部点B的俯角为45°，水平前行9米到达点D，在点D处测得雕像顶部点F和底部点B的俯角分别为37°和68°，若点C、D与雕像BF均在同一平面内，则雕像BF的高约为　　米． （参考数据：） 【详解】解：如图，CD延长线与BF延长线交于点E， ∠CEB＝90°，∠EDF＝37°，∠EDB＝68°， 由题意可得：， ∴BE＝CE， 设DE＝a（米）， ∵， ∴（米）， ∵， ∴（米）， ∴（米）， ∵BE＝CE， ∴，解得：a＝6， ∴（米）． 故答案为：． 3．（2025·淮安区·校级二模）如图，利用无人机测量某小区南北大门之间的距离BC，无人机在A处测得北大门上方标志物B的俯角∠EAB为37°，南大门上方标志物C的俯角∠FAC为20.5°，无人机沿AF方向继续飞行20m到D处，此时测得北大门上方标志物B的俯角∠ADB为31°．图中，点A、B、C、D、E、F在同一竖直平面内，EF和BC均与地面平行．求B、C之间的距离．（结果保留整数，参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，sin31°≈0.5，cos31°≈0.86，tan31°≈0.6，sin20.5°≈0.35，cos20.5°≈0.9，tan20.5°≈0.37） 【详解】解：如图，过点B作BG⊥EF，垂足为G，过点C作CH⊥EF，垂足为H， 由题意可得：BC＝GH，BG＝CH， 设AG＝x米， ∵AD＝20米， ∴DG＝AD+AG＝（x+20）米， 在Rt△ABG中，∠EAB＝37°， ∴BG＝AG•tan37°≈0.75x（米）， 在Rt△DBG中，∠ADB＝31°， ∴BG＝DG•tan31°≈0.6（x+20）米， ∴0.75x＝0.6（x+20），解得：x＝80， ∴BG＝CH＝0.75x＝60（米），DG＝x+20＝100（米）， 在Rt△ACH中，∠FAC＝20.5°， ∴AH162.2（米）， ∴BC＝GH＝DG+AH﹣AD＝100+162.2﹣20≈242（米）， ∴B、C之间的距离约为242米． 4．（2025·姑苏区·校级月考）某数学兴趣小组到一公园测量塔楼的高度，如图所示，塔楼剖面图与斜坡剖面图在同一平面内，在斜坡CD底部C处测得塔顶B的仰角为54.5°，沿斜坡CD走13米到达斜坡D处，测得塔顶B的仰角为26.7°，且斜坡CD的坡度i＝1：2.4，其中点A，C，G，F在同一条水平直线上．求： （1）点D到地面AG的距离； （2）塔AB的高．（精确到0.1米） （参考数据：tan54.5°≈1.40，sin54.5°≈0.81，cos54.5°≈0.58，tan26.7°≈0.50，sin26.7°≈0.45，cos26.7°≈0.89） 【详解】解：（1）∵斜坡CD的坡度i＝1：2.4， ∴设DG＝x，CG＝2.4x， ∵CD＝13，DG2+CG2＝CD2， ∴x2+（2.4x）2＝132，解得：x＝5， 答：点D到地面AC的距离为5米； （2）如图，过点D作DH⊥AB，垂足为H， ∵DG＝AH＝5米，DH＝AG，DG⊥AF， ∵斜坡CD的坡度i＝1：2.4，DG＝5米， 设AC＝m米， ∴AG＝DH＝CG+AC＝（m+12）米， ∵∠BCA＝54.5°， ∴AB＝AC•tan54.5°≈1.4m米， ∵∠BDH＝26.7°， ∴BH＝DH•tan26.7°≈0.5（m+12）米， ∵BH+AH＝AB， ∴0.5（m+12）+5＝1.4m，解得：m， ∴AB＝1.4m≈17.1米， ∴塔高AB约为17.1米． 5．（2025·沭阳县·校级一模）脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高AB所在的直线．为了测量房屋的高度，在地面上C点测得屋顶A的仰角为35°，此时地面上C点、屋檐上E点、屋顶上A点三点恰好共线，继续向房屋方向走8m到达点D时，又测得屋檐E点的仰角为55°，房屋的顶层横梁EF＝12m，EF∥CB，AB交EF于点G（点C，D，B在同一水平线上）．（参考数据：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，sin55°≈0.8，cos55°≈0.6，tan55°≈1.4） （1）求屋顶到横梁的距离AG； （2）求房屋的高AB．（结果精确到1m） 【详解】解：（1）∵房屋的侧面示意图是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高AB所在的直线，EF∥BC， ∴AG⊥EF，EGEF，∠AEG＝∠ACB＝35°， 在Rt△AGE中，∠AGE＝90°，∠AEG＝35°， ∵tan∠AEG＝tan35°，EG＝6， ∴AG＝6×0.7＝4.2（米）， 答：屋顶到横梁的距离AG约为4.2米； （2）如图，过点E作EH⊥BC于点H， 设EH＝x， 在Rt△EDH中，∠EHD＝90°，∠EDH＝55°， ∵tan∠EDH， ∴DH， 在Rt△ECH中，∠EHC＝90°，∠ECH＝35°， ∵tan∠ECH， ∴CH， ∵CH﹣DH＝CD＝8， ∴8，解得：x≈11.2， ∴AB＝AG+BG＝15.4≈15（米）， 答：房屋的高AB约为15米． 题型四 方向角问题 1．（2025·姑苏区·校级期中）如图，在A处测得点P在北偏东60°方向上，在B处测得点P在北偏东30°方向上，若AB＝2米，则点P到直线AB距离PC为（　　） A．3米 B．米 C．2米 D．1米 【详解】解：设点P到直线AB距离PC为x米， 在Rt△APC中，ACx， 在Rt△BPC中，BCx， 由题意可得：xx＝2，解得：x（米）． 故选：B． 2．（2025·海安市·一模）如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向，距离灯塔30海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东45°方向上的B处，此时B处与灯塔P的距离为 　　海里（结果保留根号）． 【详解】解：由题意可得：PC⊥AB，∠APC＝30°，∠BPC＝45°，PA＝30海里， 在Rt△APC中，∠ACP＝90°，∠APC＝30°， ∴ACPA30＝15（海里）， ∴PCAC15＝15（海里）， 在Rt△PCB中，∠BCP＝90°，∠BPC＝45°， ∴BC＝PC＝15海里， ∴BPPC1515（海里）． 故答案为：． 3．（2025·鼓楼区·一模）如图，小明乘高铁从南向北匀速行驶，速度为50m/s．小明在B处通过窗口看到远处两棵树（记为C和D），此时C在小明的北偏东45°方向，D在小明的北偏东63.4°方向．7s后，小明到达A处，此时C和D恰好都在自己的南偏东53.1°方向．求两棵树之间的距离CD．（参考数据：tan63.4°≈2，tan53.1°．） 【详解】解：如图，作CE⊥AB于点E，DF⊥AB于点F，则∠AEC＝∠BEC＝∠AFD＝∠BFD＝90°， 设CE长x m， ∵∠ABC＝45°， ∴BE＝x m， ∵∠A＝53.1°， ∴AE0.75xm， 由题意可得：AB＝50×7＝350（m）， ∴x+0.75x＝350，解得：x＝200， ∴AE＝150m，CE＝200m， ∴AC＝250m， 设BF长ym，则AF＝（350﹣y）m， ∵∠ABD＝63.4°， ∴DF＝2ym， ∵tan∠A， ∴，解得：y＝140， ∴DF＝280m，AF＝210m， ∴AD＝350m， ∴CD＝350﹣250＝100（m）， 答：两棵树之间的距离CD约为100m． 4．（2025·鼓楼区·校级模拟）如图，在东西方向的海岸线l上有一长为1千米的码头MN，在距码头西端M的正西方向59.5千米处有一观测站O，现测得位于观测站O的北偏西37°方向，且与观测站O相距60千米的小岛A处有一艘轮船开始航行驶向港口MN．经过一段时间后又测得该轮船位于观测站O的正北方向，且与观测站O相距30千米的B处． （1）求AB两地的距离；（结果保留根号） （2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否行至码头MN靠岸？请说明理由．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37≈0.75．） 【详解】解：（1）如图，过点A作AC⊥OB于点C， 由题意可得：OA＝60千米，OB＝30千米，∠AOC＝37°， ∴AC＝OAsin37°≈60×0.60＝36（千米）， 在Rt△AOC中，OC＝OA•cos∠AOC≈60×0.8＝48（千米）， ∴BC＝OC﹣OB＝48﹣30＝18（千米）， 在Rt△ABC中，AB18（千米）； （2）如果该轮船不改变航向继续航行，不能行至码头MN靠岸，理由如才： 如图，延长AB交l于点D， ∵∠ABC＝∠OBD，∠ACB＝∠BOD＝90°， ∴△ABC∽△DBO， ∴， ∴， ∴OD＝60（千米）， ∵60＜59.5+1， ∴该轮船不改变航向继续航行，能行至码头MN靠岸． 5．（2025·亭湖区·校级月考）寒假期间，小明和小红在A处游玩，结束后相约去学校自习室，学校在点C处，小明家在点D处，小红家在点B处，点D在点A的正东方向，点B在点A的正北方向，点C在点B的北偏东60°方向，点C在点D的东北方向，且AB＝200米，BC＝800米． （1）求小明家到学校的距离CD的长度（结果保留根号）； （2）小明和小红同时从A处出发，两人先各自回家取书包．再去学校自习室，小明步行的速度为40米/分，小红步行的速度为45米/分，请通过计算说明谁先到达学校自习室（两人取书包的时间忽略不计）．（参考数据：，，结果精确到十分位） 【详解】解：（1）如图， 由题意可得：AE＝CF，∠BEC＝∠AFC＝90°，∠CDF＝45°， 在Rt△BEC中，BC＝800米，∠EBC＝60°， ∴EB＝BC•cos60°＝800400（米）， ∵AB＝200米， ∴CF＝AE＝AB+BE＝200+400＝600（米）， 在Rt△CDF中，CD600（米）， ∴小明家到学校的距离CD的长度为600米； （2）小红先到达学校自习室，理由如下： 由题意可得：CE＝AF， 在Rt△BEC中，BC＝800米，∠EBC＝60°， ∴CE＝BC•sin60°＝800400（米）， ∴AF＝CE＝400（米）， 在Rt△CDF中，∠CDF＝45°，CF＝600米， ∴DF600（米）， ∴AD＝AF﹣DF＝（400600）米， ∵小明步行的速度为40米/分，小红步行的速度为45米/分， ∴小明需要的时间23.5（分）， 小红需要的时间22.2（分）， ∵22.2分＜23.5分， ∴小红先到达学校自习室． 题型五 其他应用问题 1．（2025·江都区·二模）图1是一款用于汽车抬升的螺旋式千斤顶，旋转螺杆能起到升降千斤顶顶部高度的作用．图2是该螺旋式千斤顶的平面示意图，已知四条支撑杆AB，BC，CD，DA的长度均为20cm，螺杆AC与水平地面平行．当∠DAC＝α时，千斤顶顶部到水平地面的距离BD的长为（　　）cm． A． B．40sinα C． D．40cosα 【详解】解：如图2，连结BD，设AC与BD的交点为O， ∵四条支撑杆AB，BC，CD，DA的长度均为20cm， ∴四边形ABCD为菱形， ∴AC⊥BD，BD＝2DO， 当∠DAC＝α时，在直角三角形ADO中，， ∴DO＝20sinα cm， ∴BD＝40sinα cm． 故选：B． 2．（2025·通州区·二模）图1为《天工开物》记载的用于舂（chōng）捣谷物的工具—“碓（duì）”的结构简图，图2为其平面示意图．已知AB⊥CD于点B，AB与水平线l相交于点O，OE⊥l．若BC＝6dm，OB＝14dm，∠BOE＝60°，则点C到水平线l的距离CF为　　dm（结果保留小数点后一位，取1.414，取1.732）． 【详解】解：如图，延长BC交直线l于点M， ∵OE⊥l， ∴∠MOE＝90°， ∵∠BOE＝60°， ∴∠BOM＝90°﹣60°＝30°， ∵AB⊥CD， ∴∠ABC＝90°， ∴∠M＝60°， ∵OB＝14dm， ∴BM＝OB×tan30°≈8.08（dm）， ∵BC＝6dm， ∴CM＝8.08﹣6＝2.08（dm）， ∵CF⊥l， ∴∠CFM＝90°， ∴CF＝CM•sin60°≈1.8（dm）． 故答案为：1.8． 3．（2024·盐城·模拟）如图①，某款线上教学设备由底座，支撑臂AB，连杆BC，悬臂CD和安装在D处的摄像头组成．如图②是该款设备放置在水平桌面上的示意图．已知支撑臂AB⊥l，AB＝18cm，BC＝40cm，CD＝44cm，固定∠ABC＝148°，可通过调试悬臂CD与连杆BC的夹角提高拍摄效果． （1）问悬臂端点C到桌面l的距离约为多少？ （2）已知摄像头点D到桌面l的距离为30cm时拍摄效果较好，那么此时悬臂CD与连杆BC的夹角∠BCD的度数约为多少？（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60 ） 【详解】解：（1）如图，过点C作CF⊥l，垂足为F，过点B作BN⊥CF，垂足为N， 则FN＝AB＝18cm，BN＝AF，∠ABN＝90°，∠CNB＝90°， ∵∠ABC＝148°， ∴∠CBN＝∠ABC﹣∠ABN＝148°﹣90°＝58°， 在Rt△CBN中，BC＝40cm， ∴CN＝BC•sin58°≈40×0.85＝34（cm）， ∴CF＝CN+NF＝34+18＝52（cm）， ∴悬臂端点C到桌面l的距离约为52cm； （2）过点D作DM⊥CF，垂足为M，设DM与BC交于点G， 则DE＝MF，DM∥l， ∵摄像头点D到桌面l的距离为30cm， ∴DE＝MF＝30cm， ∴CM＝CF﹣MF＝52﹣30＝22（cm）， 在Rt△CDM中，CD＝44cm，CM＝22cm， ∴sin∠CDM， ∴∠CDM＝30°，∠DCM＝60°， 在Rt△CBN中，∠CBN＝58°， ∴∠BCN＝32°， ∴∠BCD＝∠DCM﹣∠BCN＝60°﹣32°＝28°． 4．（2025·宿城区·校级一模）如图①，春碓是我国上世纪乡村农用工具，形状呈L型，将其抽象成如图②的平面图形，呈L型的ABC可绕点O旋转，其中A，O，B三点在同一条直线上，点O在直线MN上，BC⊥AB，OA＝60cm，BC＝50cm，OB＝120cm，初始时∠BOM＝37°． （1）如图②，求初始时点A到MN的距离； （2）如图③，当点C第一次落在MN上时，求点A在竖直方向上上升了多少厘米．（结果保留1位小数；参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75） 【详解】解：（1）如图②，过A作AH⊥MN于H， 在Rt△AOH中，∠AON＝∠BOM＝37°，OA＝60cm， ∴， ∴AH＝sin37°•OA≈0.6×60＝36（cm）， 即点A到MN的距离约为36cm； （2）如图③，过A′作A′H′⊥MN于H′， 由旋转的性质可得：B′C′＝BC＝50cm，OB′＝OB＝120cm， OC′＝OC，B′C′⊥A′B′，OA＝OA′＝60cm， 在Rt△B′OC′中，由勾股定理可得：（cm）， ∵B′C′⊥A′B′，A′H′⊥MN， ∴∠B′＝∠A′H′O＝90°， ∵∠B′OM＝∠A′ON， ∴△B′OC′∽△H′OA′， ∴， ∴，解得：H′A′≈23.1， ∴AH﹣H′A′＝36﹣23.1＝12.9（cm）， 答：点A在竖直方向上上升了12.9cm． 5．（2025·泰州·期中）现有一台红外线理疗灯（如图1所示），该设备的主体由底座AB、立柱BC、伸缩杆CD和灯臂DE组成，A、B、C三点在同一直线上，图2是该设备的平面示意图．AC垂直于AF，AF与水平线l平行，CD与l的夹角为∠1，DE与l的夹角为∠2．经测量：AB为12cm，BC为26cm，DE为30cm，∠BCD＝154°，∠CDE＝63°． （1）填空：∠1＝　　°，∠2＝　　°； （2）已知点E到AF的距离EM为50cm时，该设备使用效果最佳．求此时伸缩杆CD的长度．（参考数据：sin26°＝0.44，cos26°＝0.90，sin37°＝0.60，cos37°＝0.80） 【详解】解：（1）如图，延长AC交DG于G点，延长ME交DG于H点， ∴∠CGD＝90°，∠EHD＝90°， ∵∠BCD＝154°， ∴∠1＝∠BCD﹣∠CGD＝154°﹣90°＝64°， ∵∠CDE＝63°， ∴∠2＝180°﹣∠1﹣∠CDE＝180°﹣64°﹣63°＝53°， 故答案为：64，53； （2）∵∠2＝53°，∠EHD＝90°， ∴∠HED＝37°， ∵在Rt△EDH中，DE＝30cm，cos∠HED， ∴EH＝DE•cos∠HED＝30×cos37°≈24（cm）， ∵EM＝50cm， ∴MH＝EM+EH＝74（cm）， ∴AG＝MH＝74cm， ∵AC＝AB+BC＝12+26＝38（cm）， ∴CG＝AG﹣AC＝36（cm）， ∵在Rt△CGD中，∠GCD＝90°﹣∠1＝26°，cos∠GCD， ∴CD40（cm）， 答：此时伸缩杆CD的长度约为40cm． 题型一 赵爽弦图与解直角三角形 1．（2023·通州区·校级月考）第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形（△DAE，△ABF，△BCG，△CDH）和中间一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD中，∠ABF＞∠BAF，连接BE．设∠BAF＝α，∠BEF＝β，若正方形EFGH与正方形ABCD的面积之比为1：n，2tanα＝tan2β，则n＝（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【详解】解：设AE＝a，DE＝b，则BF＝a，AF＝b， ∵tanα，tanβ，2tanα＝tan2β， ∴（）2， ∴（b﹣a）2ab， ∴a2+b2ab， ∵a2+b2＝AD2＝S正方形ABCD，（b﹣a）2＝S正方形EFGH， ∴S正方形EFGH：S正方形ABCDab：ab＝1：5， ∵S正方形EFGH：S正方形ABCD＝1：n， ∴n＝5． 故选：D． 2．（2025·天宁区·校级期中）勾股定理的证明方法丰富多样，其中我国古代数学家赵爽利用“弦图”的证明简明、直观，是世界公认最巧妙的方法．“赵爽弦图”已成为我国古代数学成就的一个重要标志，千百年来倍受人们的喜爱．小亮在如图所示的“赵爽弦图”中，连接EG，DG．若正方形ABCD与正方形EFGH的面积之比为5：1，则cos∠DGE等于　　． 【详解】解：如图，过点D作DN⊥GE，交GE的延长线于点N， 设AF＝BG＝CH＝DE＝a，DF＝AG＝BH＝CE＝b， ∵正方形ABCD与正方形EFGH的面积之比为5：1， ∴正方形ABCD与EFGH的边长之比为：1， ∴设正方形ABCD的边长为，则正方形EFGH的边长为x， ∵AF2+DF2＝AD2，DF﹣DE＝EF， ∴， ∴， ∴AG＝DE＝b＝2x，AF＝a＝x， ∴AG＝2AF， ∵∠AFD＝90°， ∴DF是AG的垂直平分线， ∴， ∵∠EFG＝90°，EF＝FG＝x， ∴，∠FEG＝∠FGE＝45°， ∴∠NED＝∠FEG＝45°， 在Rt△END中，NE＝DEcos 45°x， ∴GN＝EG+NExxx， ∴在Rt△DNG中，． 故答案为：． 1．（2025·江阴市·期中）两个智能机器人在如图所示的Rt△ABC区域工作，∠ABC＝90°，AB＝30m，BC＝30m，直线BD为生产流水线，且BD平分△ABC的面积（即D为AC中点）．机器人甲从点A出发，沿A→B的方向以v1（m/min）的速度匀速运动，其所在位置用点P表示，机器人乙从点B出发，沿B→C→D的方向以v2（m/min）的速度匀速运动，其所在位置用点Q表示．两个机器人同时出发，设机器人运动的时间为t（min），记点P到BD的距离（即垂线段PP′的长）为d1（m），点Q到BD的距离（即垂线段QQ′的长）为d2（m）．当机器人乙到达终点时，两个机器人立即同时停止运动，此时d1＝6m．d2与t的部分对应数值如表（t1＜t2）： t（min） 0 t1 t2 6 d2（m） 0 10 10 0 （1）机器人乙运动的路线长为　　m； （2）求t2﹣t1的值； （3）当机器人甲、乙到生产流水线BD的距离相等（即d1＝d2）时，求t的值． 【详解】解：（1）∵∠ABC＝90°，AB＝30m，BC＝30m， ∴AC＝60m， ∵D为AC中点， ∴， ∵BC+CD＝30+30＝60（m）， ∴机器人乙运动的路线长为60m， 故答案为：60； （2）由题意可得：（m/min）， ∵△ABC中，∠ABC＝90°，D为AC中点， ∴BD＝CD＝AD＝30m， ∴∠ABD＝∠BAC，∠DBC＝∠C， ∴sin∠ABD＝sin∠BAC，， 当点Q在BC上时，d2＝BQ•sin∠DBC， ，解得：t1＝2； 如图，当点Q在CD上时，作AH⊥BD，垂足为H， 则AH＝AB•sin∠ABD（m）， ∵∠CDB＝∠ADH， ∴sin∠CDB＝sin∠ADH， ∴， ，解得：t2＝4， ∴t2﹣t1＝4﹣2＝2； （3）当t＝6时，d1＝6m， ∴m， ∴AP＝AB﹣BP（m）， ∴（m/min）， ∴， 当点Q在BC上时，由d1＝d2可得：，解得：； 当点Q在CD上时，由d1＝d2可得：，解得：； 综上，或． 2．（2024·南京·真题）如图（1），夜晚，小明从路灯L的正下方P1处出发，先沿平路走到P2处，再上坡到达P3处．已知小明的身高为1.5m，他在道路上的影长y（单位：m）与行走的路程x（单位：m）之间的函数关系如图（2）所示，其中，OA，BC是线段，AB是曲线． （1）结合P2的位置，解释点A的横坐标、纵坐标的实际意义． （2）路灯L的高度是　　m． （3）设P2P3的坡角为α（0°＜α＜45°）． ①通过计算：比较线段OA与线段BC的倾斜程度． ②当α取不同的值时，下列关于曲线AB的变化趋势的描述；（a）y随x的增大而增大；（b）y随x的增大而减小；（c）y随x的增大先增大后减小；（d）y随x的增大先减小后增大．其中，所有可能出现的序号是　　（说明：全部填对的得满分，有填错的不得分）． 【详解】解：（1）由题意可得：A（6，2）， 横坐标：小明走到灯下6m处，纵坐标：此时影长为2m，影长的顶端正好在P2处； （2）由题意可得：，解得：x＝6， ∴路灯L的高度是6m， 故答案为：6； （3）①∵A（6，2）， ∴kOA， ∵EF为小明在坡上任意一点， ∴BF＝（x﹣8）m，影长FC＝ym，P1G＝8tanα m， ∵EF∥LG， ∴， ∴， ∵cosα， ∴BG， ∴CG， ∴，整理得：， ∴， ∵， ∴kBC＜kOA， ∴线段OA的倾斜程度更大； ②A：小明走到灯下6m处，影子正好顶端在P2处， B：小明走到灯下8m处，到达P2， 可以看出AB段先增大后减小， ∴当α取不同的值时，可能出现（a）（b）（c）的情况， 故答案为：（a）（b）（c）． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $