1.3一元二次方程的根与系数的关系 教学设计2026-2027学年苏科版数学九年级上册

该初中数学教学设计聚焦一元二次方程根与系数的关系，通过解具体方程填表观察根与系数联系，结合求根公式推导韦达定理，搭建从特殊到一般的学习支架，衔接求根公式与定理应用。 此资料以探究式教学为特色，情境创设引导学生观察猜想培养数学眼光，推导过程强化代数推理发展数学思维，例题作业涵盖对称代数式求值等提升数学语言应用。助力学生规范运算与推理，为教师提供分层教学资源，提升课堂效率。

1.3一元二次方程的根与系数的关系 教学目标 知识目标：经历根与系数关系的推导，掌握韦达定理；清楚定理适用条件（a≠0、Δ≥0）；能够利用定理求两根和、积，完成对称代数式求值，求解简单参数问题. 思维目标：经历观察、猜想、证明的探究过程，体会从特殊到一般、整体代换的数学思想，发展代数推理能力. 素养目标：规范代数变形与运算，提升数学运算、逻辑推理素养；养成周密思考习惯，解题主动检验隐含限制条件. 教学重点：掌握一元二次方程根与系数的关系；运用定理进行基础计算与简单应用. 教学难点：理解定理成立的前提条件；两根对称代数式的恒等变形；含参数问题中综合结合判别式确定参数范围. 教学设计 一、情境创设 1．一元二次方程：的求根公式为： ． 2．（1）试一试：解下面的表格中的一元二次方程，将方程的解 的值填入相应表格中，并分别计算、．的值. 一元二次方程 + ． +2x-15=0 3-4x+1=0 2-3x-1=0 (2) 观察：上述方程两根的和与两根的积与每个方程的二次项系数、一次项系数、常数项有什么联系? 3．一元二次方程的根与系数之间存在下列关系： 如果的两个根那么= ，．= ． 二、知识建构 活动一： 比较一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0, b²—4ac≥0) 两个实数根的表达式： 它们有何特征？你能发现根与系数之间有哪些联系？ 一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0); 当Δ≥0时，两个实数根由方程的各项系数a,b,c 确定；反过来，根据两根表达式的特征， 通过下面的计算可以发现，方程系数之间的关系也可以用两个实数根表示： = = ; ．= = ． 由此可以得出：若方程ax²+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x₁,x₂,则 这就是一元二次方程的根与系数的关系也叫韦达定理. 活动二：讨论交流： 一元二次方程根与系数之间的关系可用的条件是什么? 活动三：典例评析 例1 不解方程，判断方程2x²+x=1是否有实数根，若有，求两根的和 与两根的积. 例2 已知方程x²+ x+c=0的一个实数根是，求另一个实数根和常数项. 例3 已知某一元二次方程有两个实数根，且两根之和为2,两根之积为—3.写出一个满足条件的一元二次方程. 活动四：尝试与交流 请写一个一元二次方程，使它的两个根分别为2+和2—. 分析：可以尝试用不同的方法. 三、课堂检测 1．若方程的两根中只有一个为0，那么 （ ） A．p=q=0 B．P=0，q≠0 C．p≠0，q=0 D．p≠0， q≠0 2．已知方程的一个根是，则k的值为________，求另一根为_______． 3．若方程的两个根分别是和，则m=_____，n=_______． 4．下列方程两根的和与两根的积各是多少？ （1）y2-3y+1=0 （2） 3x2-2x=2 （3）2x2+3x=0 （4） 4p(p-1)-3=0 四、小结与反思 通过本节课的学习你有哪些收获？ 五、课后作业设计 1．若一元二次方程的两个实数根分别为，则_____________． 2．已知，是关于的方程的两实数根，且，，则的= ． 3．关于x的方程的两个根是﹣2和1，则nm的值为_____． 4．设α、β是方程的两个实数根，则的值为_______. 5．阅读材料I：教材中我们学习了:若关于的一元二次方程的两根为 ，根据这一性质，我们可以求出己知方程关于的代数式的值． 问题解决: （1）已知为方程的两根，则 ， ，那么 ．(请你完成以上的填空) 阅读材料II：已知，且．求的值． 解:由可知 又且，即 是方程的两根． 问题解决: （2）已知且．求的值； （3）若，则 ． 参考答案 情境创设 1. 例1 把方程2x²+x=1化成一般形式，得2x² +x-1=0. 由a=2,b=1,c=—1,△=1²—4×2×(-1)=9>0, 可得原方程有两个不相等的实数根. 设方程的两根分别是x₁,x₂,由根与系数的关系，得 例2设方程的另一个实数根为x₁. 由根与系数的关系，得 解得 再由根与系数的关系，得 =—1. 所以方程的另一个实数根为 ，常数项为一1. 例3 设所求一元二次方程为x²+px+q=0. 根据题意，得 p=-2,q=-3. 将p=—2,q= -3 代人所设方程，得x²—2x—3=0. 经检验，方程有两个实数根. 所以方程x²—2x—3=0 即为所求. 课堂检测 1. 答案：C 2. 将 x=-3 代入方程 2x²+kx-9=0，求得 k=3 设另一根为 x₀，由根与系数关系求得另一根为 3/2 答案：k=3，另一根 = 3/2 3. 两根分别是 2+√3 、2-√3 m=(2+√3)+(2-√3)=4 n=(2+√3)×(2-√3)=1 答案：m=4，n=1 4. (1) y²-3y+1=0 两根之和：3，两根之积：1 (2) 3x²-2x=2，整理：3x²-2x-2=0 两根之和：2/3，两根之积：-2/3 (3) 2x²+3x=0 两根之和：-3/2，两根之积：0 (4) 4p (p-1)-3=0，整理：4p²-4p-3=0 两根之和：1，两根之积：-3/4 课后作业设计： 1.解：由韦达定理 x1+x2=，方程 2x²-x-4=0，x1+x2= . 答案： 2. 解：x1+x2=-a=-2，得 a=2； x1・x2=-2b=1，得 b=- ∴ = 答案： 3. 解：两根为 - 2 和 1， x1+x2=-1，解得 m=2； x1・x2=-2，解得 n=-4 ∴nm=(-4)×2=-8 答案：-8 4. 解：α 是方程根，所以 α²+α=2012，由韦达定理 α+β=-1α²+2α+β=(α²+α)+(α+β)=2012+(-1)=2011 答案：2011 5.(1) 解：方程 x²+3x-1=0,x1+x2=-3， x1・x2=-1 x1²+x2²=(x1+x2)²-2x1x2=9+2=11 填空依次：-3 ， -1 ， 11. (2) 解：对 n²+3n-2=0 两边同除以 n²，整理得 2・()²-3・()-1=0 已知 2m²-3m-1=0，且 mn≠1 即 m≠， 因此 m 和是方程 2x²-3x-1=0 的两个实数根根据韦达定理： m+=， m・=- m²+= 答案：. (3) 解：对 3b²+2018b+2=0 两边同除以 b²， 整理得 2・()²+2018・()+3=0对比 2a²+2018a+3=0， 可知 a 与是方程 2x²+2018x+3=0 的两根a+=-1009 ， a・()=可得 ab + = 答案： 学科网（北京）股份有限公司 $