1.3 用反比例函数解决问题(1) 教学设计 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦用反比例函数解决实际问题，以杠杆原理情景导入，通过动力与动力臂关系抽象出反比例函数，衔接反比例函数概念，搭建“实际问题—数学模型—解决问题”的学习支架。 资料以模型意识和应用意识为特色，结合杠杆、压强、饮水机、奶茶浓度等跨学科实例，引导学生用数学语言表达现实数量关系。补讲中考模拟题与分层练习，培养推理能力，助力学生形成用数学思维解决问题的习惯，也为教师提供丰富教学资源，提升课堂效率。

盐城市北蒋实验学校九年级数学导学活动单 九年级数学·上册· 第1章·反比例函数 1.3 用反比例函数解决问题(1) 【学习目标】 1、能运用反比例函数的相关知识分析和解决一些简单的实际问题； 2、在解决实际问题的过程中，体会和认识反比例函数是刻画现实世界中数量关系的一种数学模型； 【学习重点】运用反比例函数的相关知识分析和解决一些简单的实际问题. 【学习难点】运用反比例函数的相关知识分析和解决一些简单的实际问题. 【学习过程】 一、情景引入： 根据杠杆原理的知识，可以用较小的力撬起很重的物体.某人用一根撬棒移除重1200N的重物，如图1-8，杠杆的阻力臂为0.5m，当动力臂l分别为2m，1.6m，1m时，此人分别要使出多大的力才能撬起重物且使杠杆保持平衡？ 二、新课讲解 1、如图1-8，在这个问题中，阻力为1200N，阻力臂为0.5m.根据杠杆原理，当杠杆平衡时，动力F（N）×动力臂l(m)=阻力×阻力臂，即：F•l=1200×0.5.所以. 对每一个l (l＞0)的值，F都有唯一确定的值与它对应，F是l的反比例函数. 当l=2时，F= ；当l=1.6时，F= ；当l=1时，F= ； 2、归小结：通过上面的例子，我们可以发现：在解决一些简单的实际问题的时候，我们可以把实际问题转化为数学问题，利用我们所学过的数学知识来解决实际问题. 三、例题讲解： 1、讲解例1：在压力不变的情况下，某物体所受到的压强p(Pa)与受力面积S(m2)成反比例函数关系，其图象如图1-9所示. (1)求p(Pa)关于S(m2)的函数关系式； (2)要使该物体所受到的压强p不超过250Pa，它的受力面积最小为多少？ 2、尝试练习： (1)(书本第16页练习第1题)在一定温度下，给某种容器充满一定质量的某种气体，当温度不变时，容器内的压强p(KPa)是气体体积V(m3)的反比例函数，其图象如图所示，当容器内的压强大于140KPa时，容器就会爆炸. 容器内气体体积在不小于多少立方米时容器才不会爆炸？ (2)(书本第17页练习第2题)浸在液体中的某物体所受浮力的大小F(N)与被物体排开的液体体积V(m3)、液体密度ρ(kg/m3)满足F=gV(g是常量，约为9.8N/kg). 当F为定值时，ρ与V之间的函数图象如图所示. ①请根据图象写出这个反比例函数表达式. ②当液体密度是1kg/m3时，V是多少？ ③当V不超过0.2m3时，液体的密度至少是多少？ 3、补讲例题：（2026春•盐城月考）为保障学生饮水健康安全，鹿鸣路初中配备了智能全自动饮水机．八年级数学兴趣小组研究发现：饮水机接通电源后加热时，水温匀速上升，每分钟上升10℃，加热到100℃时停止加热；随后水温自然回落，此阶段水温y（℃）与通电时间x（min）成反比例关系．当水温降至20℃时，饮水机再自动加热，开始下一轮循环．若初始水温在20℃时接通电源，八年级数学兴趣小组绘制了水温随通电时间变化的部分函数图象（如图所示），请结合图象解答下列问题． （1）图象中停止加热后水温自然回落至20℃的过程中，水温y（℃）与通电时间x（min）之间的函数关系式是　 　 ，自变量x的取值范围是　 　 ； （2）图象中从接通电源开始，到水温首次回落至20℃为止，求这一过程中水温不低于40℃时长为多少分钟？ （3）早晨7：40接通电源启动加热（此时水温为20℃），当天上午9：20下课时同学们　 　 （填“能”或“不能”）接到35℃～45℃的温开水，此时水温为　 　 ℃． 4、尝试练习：（2026•兴宁区校级模拟）在学校开展的红领巾爱心义卖活动中，某小组计划售卖自制的黑糖奶茶．他们采购了一定质量的黑糖，加入适量清水后熬煮糖浆，黑糖总质量不变的情况下，糖浆浓度y（g/L）与糖浆总体积x（L）成反比例关系，其中x与y的对应值如表： x（L） 2 2.5 3 4 y（g/L） 750 600 500 375 （1）求y关于x的函数表达式； （2）为保证奶茶风味，熬煮时要控制加水量，若熬制出的糖浆总体积最多为3.75L，则糖浆浓度至少是多少？ （3）该小组熬制出xL糖浆，试喝后发现甜度偏高（试喝损耗忽略不计），于是加水稀释至1.5xL，稀释后糖浆浓度比原来降低了250g/L，求x的值． 1.3 用反比例函数解决问题(1)（答案） 【学习目标】 1、能运用反比例函数的相关知识分析和解决一些简单的实际问题； 2、在解决实际问题的过程中，体会和认识反比例函数是刻画现实世界中数量关系的一种数学模型； 【学习重点】运用反比例函数的相关知识分析和解决一些简单的实际问题. 【学习难点】运用反比例函数的相关知识分析和解决一些简单的实际问题. 【学习过程】 一、情景引入： 根据杠杆原理的知识，可以用较小的力撬起很重的物体.某人用一根撬棒移除重1200N的重物，如图1-8，杠杆的阻力臂为0.5m，当动力臂l分别为2m，1.6m，1m时，此人分别要使出多大的力才能撬起重物且使杠杆保持平衡？ 二、新课讲解 1、如图1-8，在这个问题中，阻力为1200N，阻力臂为0.5m.根据杠杆原理，当杠杆平衡时，动力F（N）×动力臂l(m)=阻力×阻力臂，即：F•l=1200×0.5.所以. 对每一个l (l＞0)的值，F都有唯一确定的值与它对应，F是l的反比例函数. 当l=2时，F= 300 ；当l=1.6时，F= 375 ；当l=1时，F= 600 ； 2、归纳小结：通过上面的例子，我们可以发现：在解决一些简单的实际问题的时候，我们可以把实际问题转化为数学问题，利用我们所学过的数学知识来解决实际问题. 三、例题讲解： 1、讲解例1：在压力不变的情况下，某物体所受到的压强p(Pa)与受力面积S(m2)成反比例函数关系，其图象如图1-9所示. (1)求p(Pa)关于S(m2)的函数关系式； (2)要使该物体所受到的压强p不超过250Pa，它的受力面积最小为多少？ 解：(1)设p关于S的函数关系式为， 由图象知，当S=0.1时，p=1000. 所以k=1000×0.1=100 所以 (2)当p=250时，，S=0.4 因为k=100＞0,所以在每个象限内，p随着S的增大而减小， 所以当p≤250，S≥0.4，所以S的最小值是0.4 2、尝试练习： (1)(书本第16页练习第1题)在一定温度下，给某种容器充满一定质量的某种气体，当温度不变时，容器内的压强p(KPa)是气体体积V(m3)的反比例函数，其图象如图所示，当容器内的压强大于140KPa时，容器就会爆炸. 容器内气体体积在不小于多少立方米时容器才不会爆炸？ 解：(1)设p关于V的函数关系式为， 因为图象经过点A(0.8，120)所以k=0.8×120=96 所以p关于V的函数关系式为 当p＞140时，≤140，所以V≥ 答：容器内气体体积在不小于立方米时容器才不会爆炸. (2)(书本第17页练习第2题)浸在液体中的某物体所受浮力的大小F(N)与被物体排开的液体体积V(m3)、液体密度ρ(kg/m3)满足F=gV(g是常量，约为9.8N/kg). 当F为定值时，ρ与V之间的函数图象如图所示. ①请根据图象写出这个反比例函数表达式. ②当液体密度是1kg/m3时，V是多少？ ③当V不超过0.2m3时，液体的密度至少是多少？ 解：①; ②当ρ=1时，,③V≤0.2时，≤0.2，ρ≥1.5 答：当V不超过0.2m3时，液体的密度至少是1.5(kg/m3. 3、补讲例题：（2026春•盐城月考）为保障学生饮水健康安全，鹿鸣路初中配备了智能全自动饮水机．八年级数学兴趣小组研究发现：饮水机接通电源后加热时，水温匀速上升，每分钟上升10℃，加热到100℃时停止加热；随后水温自然回落，此阶段水温y（℃）与通电时间x（min）成反比例关系．当水温降至20℃时，饮水机再自动加热，开始下一轮循环．若初始水温在20℃时接通电源，八年级数学兴趣小组绘制了水温随通电时间变化的部分函数图象（如图所示），请结合图象解答下列问题． （1）图象中停止加热后水温自然回落至20℃的过程中，水温y（℃）与通电时间x（min）之间的函数关系式是　　 ，自变量x的取值范围是　8≤x≤40　 ； （2）图象中从接通电源开始，到水温首次回落至20℃为止，求这一过程中水温不低于40℃时长为多少分钟？ （3）早晨7：40接通电源启动加热（此时水温为20℃），当天上午9：20下课时同学们　能　 （填“能”或“不能”）接到35℃～45℃的温开水，此时水温为　40　 ℃． 解：（1）由题意可知加热到100℃所需时间为，即停止加热时x＝8，y＝100． 设停止加热后水温y与通电时间x的函数关系式为，则，解得k＝800， ∴函数关系式为． 当水温降至20℃时，，解得x＝40， ∴自变量x的取值范围是8≤x≤40． （2）由题意，加热阶段水温y与通电时间x的关系为y＝20+10x（0≤x≤8）， 当y＝40时，40＝20+10x，解得x＝2， ∴加热阶段水温不低于40℃的时长为8﹣2＝6（min）． 回落阶段水温y与通电时间x的关系为（8≤x≤40）， 当y＝40时，，解得x＝20， ∴回落阶段水温不低于40℃的时长为20﹣8＝12（min）． ∴这一过程中水温不低于40℃的总时长为6+12＝18（min）． （3）∵加热需8min，回落需40﹣8＝32（min），∴一个完整周期为40min． ∵早晨7：40到上午9：20共100min，100＝2×40+20， ∴经过2个完整周期后，第3个周期又进行了20min． 第3个周期中，前8min加热，后32min回落， ∵20＞8，∴此时处于第3个周期的回落阶段， 故可知，第1个周期20min的温度，第3个周期开始后第20min的温度一样，此时的温度为：， ∵35＜40＜45，∴同学们能接到35℃～45℃的温开水，此时水温为40℃． 4、尝试练习：（2026•兴宁区校级模拟）在学校开展的红领巾爱心义卖活动中，某小组计划售卖自制的黑糖奶茶．他们采购了一定质量的黑糖，加入适量清水后熬煮糖浆，黑糖总质量不变的情况下，糖浆浓度y（g/L）与糖浆总体积x（L）成反比例关系，其中x与y的对应值如表： x（L） 2 2.5 3 4 y（g/L） 750 600 500 375 （1）求y关于x的函数表达式； （2）为保证奶茶风味，熬煮时要控制加水量，若熬制出的糖浆总体积最多为3.75L，则糖浆浓度至少是多少？ （3）该小组熬制出xL糖浆，试喝后发现甜度偏高（试喝损耗忽略不计），于是加水稀释至1.5xL，稀释后糖浆浓度比原来降低了250g/L，求x的值． 解：（1）设y关于x的函数表达式为， 当x＝2时，y＝750，∴k＝2×750＝1500，∴y关于x的函数表达式为； （2）x＝3.75，，∴当糖浆总体积最多为3.75L，则糖浆浓度至少是400g/L； （3）由题意得，，1500×1.5＝1500+250×1.5x，2250＝1500+375x，解得x＝2， 经检验，x＝2是原分式方程的解， ∴x的值为2． 1 学科网（北京）股份有限公司 $