用字母表示数量关系（同步练习）-2026-2027学年数学五年级上册北师大版

**基本信息** 聚焦“用字母表示数量关系”，通过基础巩固、关联整合、综合探究三层设计，实现从概念理解到模型建构的进阶，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|单一概念应用|填空题1-6直接考查字母表示年龄、周长等基础关系，选择题9-10强化公式与运算律认知| |提升|关联知识整合|填空题7结合乘法分配律辨析，选择题11-13融合方程与几何，培养运算能力与推理意识| |拓展|跨情境综合探究|解答题24通过扇形拼三角形推导圆面积，体现模型意识，22题规律探究发展创新思维|

专项提升训练：用字母表示数量关系 一、填空题 1．今年爸爸的年龄是小刚的5倍，假设小刚今年的年龄是x岁，则爸爸的年龄是( )岁，今年爸爸比小刚大( )岁，爸爸和小刚的年龄和是( )岁。 2．王阳a岁时，爸爸的年龄比他的4倍还多2岁，爸爸的年龄是( )岁。当时，爸爸的年龄是( )岁。 3．拼1个正方形用4根小棒；拼2个正方形用7根小棒；拼3个正方形用10根小棒；拼4个正方形用( )根小棒；……拼100个正方形用( )根小棒；如果拼n个正方形用( )根小棒。 4．一个长方形的长是a厘米，宽比长短2厘米，这个长方形的周长是( )厘米，面积是( )平方厘米。 5．大家已经学过“＋、－、×、÷”四种运算，如果用“*”来定义一种新的运算，。例如，那么( )。 6．一个正方形边长为a厘米，那它的周长是( )厘米。 7．粗心大意的亮亮在计算时把80×（a＋4）错写成80×a＋4，他算的结果与正确结果相差( )；正确计算列式是( )，应用了( )律。 8．一个正方形的边长是a，如果它的边长乘3，那么这个正方形的面积是( )。 二、选择题 9．小明用字母表示长方形的面积公式，正确的是（    ）。 A．S＝a＋b B．S＝a×b C．C＝2（a＋b） D．S＝a2 10．用含有字母的式子可以表示什么？下列说法错误的是（    ）。 A．可以表示运算律 B．可以表示计算公式 C．可以表示数量关系 D．不能表示运算结果 11．计算：am＋bm－cm＝m×______，横线上应填写（    ）。 A．（a＋m－c） B．（a＋b－c） C．（am＋b－c） D．（a＋bm－c） 12．如图，密闭容器中装着有高5分米的液体，容器的盖子是高为3分米的圆锥体软木塞。若将这个容器倒置过来，这时液体的高度为（    ）分米。 A．4 B．6 C．7 D．8 13．下列说法正确的是（    ）。 A．含有未知数的式子一定是方程 B．（a＋b）c＝ac＋bc运用了乘法交换律 C．因为22＝2×2，所以a2＝2a D．如果3x＋4＝19，那么2x＋7＝17 三、判断题 14．长方形的周长是C厘米，宽是4厘米，那么长是（C－4）÷2厘米。( ) 15．正方形的边长是a，它的面积是4a。( ) 16．正方体的体积V＝a×a×a＝3a。( ) 17．琪琪把m×101错算成了m×100＋1，她的结果比正确结果小8，m应是9。( ) 18．梯形的上底和下底都扩大到原来的2倍，高不变，梯形的面积就扩大到原来的4倍。( ) 四、计算题 19．口算下面各题。 0.71×100＝       2.4÷0.04＝        41.3×0＝        5.4÷0.6＝ 8.9÷8.9＝        0.12×5＝          8÷100＝         ＝ 五、解答题 20．除了拼接的方法，还有同学提出：可以将一个梯形分割成一个平行四边形和一个三角形（如下图），请分别写出这个平行四边形和三角形的面积（用a、b、h字母表示）。 21．明明观察下图，列了一个等式：。这个等式成立吗？请说明理由。 22．观察算式，，…你发现了什么规律？请你用文字或者含有字母的式子表示出这个规律，并运用规律直接写出的结果。 23．用两个长m分米，宽n分米的长方形拼成一个大长方形。 （1）用含有字母的式子表示拼成的大长方形的周长最少是多少分米，最多是多少分米？ （2）当，时，这个大长方形的周长最多是多少分米？ 24．推导圆的面积公式有很多种方法。淘气把一个圆平均分成16份，得到16个完全一样的扇形，再把这些小扇形拼成一个近似的三角形（如图）。请你结合以上思路，写出圆面积公式的推导过程。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1． 【分析】今年爸爸的年龄是小刚的5倍，用乘法计算爸爸的年龄；爸爸的年龄－小刚的年龄＝爸爸比小刚大的年龄；爸爸的年龄＋小刚的年龄＝爸爸和小刚的年龄和。 【详解】爸爸的年龄：岁 爸爸比小刚大：（岁） 年龄和：（岁） 2． /2＋4a 【分析】根据题意可知，爸爸的年龄等于王阳的年龄乘4再加2。王阳a岁，则爸爸的年龄可用含有字母的式子表示；当a＝9时，将数值代入式子中进行计算即可得出爸爸的具体年龄。 【详解】王阳a岁，则爸爸的年龄是（）岁； 当时， 爸爸的年龄是：4a＋2 ＝4×9＋2 ＝36＋2 ＝38（岁） 3． 13 301 3n＋1 【分析】根据题意可知，每增加一个正方形，就增加3个小棒。 拼1个正方形用4根小棒，可以写成：3×1＋1； 拼2个正方形用7根小棒，可以写成：3×2＋1； 拼3个正方形用10根小棒，可以写成：3×3＋1； …… 由此可知，拼n个正方形，用（3n＋1）根小棒，据此求出n＝4，n＝100时，需要小棒的根数。 【详解】根据分析可知，拼n个正方形，用（3n＋1）根小棒。 当n＝4时： 3×4＋1 ＝12＋1 ＝13（根） 当n＝100时： 3×100＋1 ＝300＋1 ＝301（根） 4． 4a−4 a2－2a 【分析】宽比长短2厘米，用长－2。求出长方形的宽，再根据长方形周长＝（长＋宽）×2，长方形面积＝长×宽，据此解答。 【详解】宽：（a－2）厘米 周长：（a＋a－2）×2 ＝（2a－2）×2 ＝（4a－4）厘米 面积：a×（a－2）＝（a2－2a）平方厘米 5．48 【分析】题目规定“”，其中m和n是参与运算的两个数，运算方法是：用这两个数的和乘这两个数的差。要求“”，此时对应规则中的m＝8，n＝4，把数据代入计算即可。 【详解】 ＝（8＋4）×（8－4） ＝12×4 ＝48 6．4a 【分析】正方形周长＝边长×4，据此解答。 【详解】a×4＝4a（厘米） 7． 316 80×a＋80×4 乘法分配 【分析】将算式80×（a＋4）展开，把80分别与a和4相乘之后再相加，据此得到正确计算列式和运算律，正确算式－错误算式＝相差结果。 【详解】80×（a＋4）＝80×a＋80×4 80×a＋80×4－（80×a＋4） ＝80a＋320－80a－4 ＝80a－80a＋320－4 ＝320－4 ＝316 所以他算的结果与正确结果相差316，正确计算列式是80×a＋80×4，应用了乘法分配律。 8．9a2 【分析】用边长×3算出新的边长，再根据正方形的面积＝边长×边长计算。 【详解】a×3＝3a 3a×3a＝3×a×3×a＝（3×3）×（a×a）＝9×a2＝9a2 一个正方形的边长是a，如果它的边长乘3，那么这个正方形的面积是9a2。 9．B 【分析】根据长方形面积＝长×宽，在用字母表示公式时，通常用表示面积，表示长，表示宽。所以长方形的面积公式用字母表示为：。 【详解】A．，表示长与宽的和，不是面积公式，此选项错误； B．，表示长与宽的积，是面积公式，此选项正确； C．，表示长方形的周长公式，不是面积公式，此选项错误； D．，表示正方形的面积公式，不是长方形的面积公式，此选项错误。 10．D 【分析】含有字母的式子既可以表示运算律、计算公式和数量关系，也可以用含有字母的式子表示运算结果，举例说明即可。 【详解】A．用含有字母的式子表示运算律，如：乘法分配律； B．用含有字母的式子表示计算公式，如：长方形的面积公式； C．用含有字母的式子表示数量关系，如：路程、时间、速度的关系表示为； D．用含有字母的式子表示运算结果，如：。 说法错误的是“用含有字母的式子不能表示运算结果”。 11．B 【分析】观察算式am＋bm－cm，发现每一项都含有相同的因数m。根据乘法分配律的逆运算，可以将相同的因数m提取出来，将剩余的部分相加减写在括号内。 【详解】am＋bm－cm ＝m×a＋m×b－m×c ＝m×（a＋b－c） 计算：am＋bm－cm＝m×______，横线上应填写（a＋b－c）。 12．B 【分析】由图形可知，容器是一个圆柱体，和圆锥体软木塞的底面积是相等的，现在液体的高是5分米，圆锥体的高是3分米，根据圆柱的体积公式V＝，液体的容积是5S立方分米，根据圆锥的体积公式V＝，圆锥体软木塞的体积为×S×3，等于S立方分米，容器倒置过来，液体的体积不变，底面积不变，圆锥体木塞要占据容器底部空间，所以总体积等于液体体积加软木塞的体积，用总体积除以底面积即可。 【详解】假设容器和圆锥体软木塞的底面积是S平方分米， 液体的体积： S×5＝5S（立方分米） 软木塞的体积： ×S×3＝S（立方分米） 倒置后总体积： 5S＋S＝6S（立方分米） 6S÷S＝6（分米） 所以若将这个容器倒置过来，这时液体的高度为6分米。 13．D 【分析】A．含有未知数的等式是方程。 B．乘法分配律用字母表示是（a＋b）×c＝a×c＋b×c；乘法交换律用字母表示是a×b＝b×a。 C．a2表示2个a相乘；2a表示2个a相加。 D．根据等式的性质求出方程3x＋4＝19的解，再将x的值代入2x＋7＝17中验证左右两边是否相等。 【详解】A．若一个式子只含未知数但不是等式，则不是方程，如3x＋5，该选项错误。 B．（a＋b）c＝ac＋bc运用的是乘法分配律，乘法交换律的公式为a×b＝b×a，该选项错误。 C．当a＝2时，a2＝2×2＝4，2a＝2×2＝4，相等；但当a＝3时，a2＝3×3＝9，2a＝2×3＝6，不相等；因此a2＝2a不一定成立，该选项错误。 D．3x＋4＝19 解：3x＋4－4＝19－4 3x＝15 3x÷3＝15÷3 x＝5 将x＝5代入2x＋7＝17中， 左边＝2×5＋7 ＝10＋7 ＝17 17＝17，左边＝右边，x＝5是2x＋7＝17的解。 所以如果3x＋4＝19，那么2x＋7＝17，该选项正确。 14．× 【分析】根据长方形周长＝（长＋宽）×2，根据等式的性质1和2，对周长公式做变形，推导出已知周长和宽时，长的表达式。 【详解】（长＋4）×2＝C 解：（长＋4）×2÷2＝C÷2 长＋4＝C÷2 长＋4－4＝C÷2－4 长＝C÷2－4 因此，长是（C÷2－4）厘米。 故答案为：× 15．× 【分析】根据正方形的面积公式，即正方形的面积＝边长×边长，将边长a代入公式，即可得出面积。 【详解】正方形的边长是a，它的面积是a×a＝a，原题说法错误。 故答案为：× 16．× 【分析】正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，用字母表示公式为V＝a×a×a。根据字母表示数的规则，a×a×a可以写作a3，表示3个a相乘；而3a表示3个a相加。两者意义不同，据此判断。 【详解】正方体的体积V＝a×a×a＝a3。 原题说法错误。 故答案为：× 17．√ 【分析】正确结果表示101个m，错误计算为100个m＋1，说明错误结果少算了1个m，多算了1个一，因此，m与1刚好相差8，即m－1＝8，由此求出m的值。 【详解】根据分析，正确结果－m＋1＝错误的结果，且正确结果与错误结果相差8，因此m－1＝8， m＝9，题目说法正确。 故答案为：√ 18．× 【分析】根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，表示出当上底和下底都扩大到原来的2倍，高不变时，新梯形的面积，比较新梯形的面积与原来梯形的面积之间的关系即可判断。 【详解】设梯形的上底为a，下底为b，高为h，原来梯形的面积＝（a＋b）× h ÷ 2 当上底和下底都扩大到原来的2倍后，上底变为2a，下底变为2b，高仍为h 新梯形的面积＝（2a＋2b）× h ÷ 2＝2 ×（a＋b）× h ÷ 2 ＝ 2 × [（a＋b）× h ÷ 2] ＝ 2 ×原面积 因此，梯形的上底和下底都扩大到原来的2倍，高不变，梯形的面积扩大到原来的2倍，而不是4倍。 故答案为：× 19．71；60；0；9； 1；0.6；0.08；0.09 【解析】略 20．ah；（b－a）h÷2 【分析】由图可知，被分割成的平行四边形和三角形与梯形是等高的，平行四边形的底是梯形的上底，三角形的底是梯形下底与上底的差；根据平行四边形的面积公式：面积＝底×高和三角形的面积公式是：面积＝底×高÷2。 【详解】平行四边形的面积＝底×高＝a×h＝ah； 三角形的面积＝底×高÷2＝（b－a）×h÷2＝（b－a）h÷2。 21．成立；因为大正方形的面积等于4个小图形的面积和。（理由不唯一） 【分析】观察图可知，正方形的面积＝边长×边长，也可以把大正方形转化成一个小正方形和一个较大的正方形与两个长方形，然后把面积相加，两种方法求出的面积相等，据此写出推导过程。 【详解】（a＋b）2是大正方形的面积 a2是左上小正方形的面积 b2是右下小正方形的面积 2ab是左下和右上两个长方形的面积和 因为大正方形的面积等于4个小图形的面积和， 所以（a＋b）2＝ a2＋2ab＋b2，等式成立。 22．两个连续自然数的倒数之差等于这两个自然数积的倒数，即（为大于0的自然数）； 【分析】观察可知，减法算式中被减数和减数是两个连续自然数的倒数，而它们的差等于这两个连续自然数乘积的倒数，然后用含有字母的式子表示出这个规律即可，最后根据计算出算式的结果，据此解答。 【详解】规律略； ＝ ＝ 答：的结果是。 23．（1）最少：（2m＋4n）分米；最多：（4m＋2n）分米 （2）88分米 【分析】（1）当两个长方形拼在一起，减少的长度最多，则周长最少，把两个长方形的长重合在一起时周长最小；减少的长度最少，则周长最大，把两个长方形的宽重合在一起时周长最大；根据长方形周长公式：周长＝（长＋宽）×2，据此求出大长方形的周长最少、最多，据此解答。 （2）把m＝16，n＝12代入（1）的算式，即可解答。 【详解】（1）周长最少，把两个长方形的长重合在一起。 长是m分米；宽是n×2＝2n（分米）。 周长： （m＋2n）×2 ＝（2m＋4n）分米 周长最多，把两个长方形的宽重合在一起。 长：m×2＝2m（分米），宽是n分米。 周长： （2m＋n）×2 ＝（4m＋2n）分米 答：大长方形的周长最少是（2m＋4n）分米，最多是（4m＋2n）分米。 （2）当m＝16，n＝12时： 周长最多是： 16×4＋12×2 ＝64＋24 ＝88（分米） 答：这个大长方形的周长最多是88分米。 24．见详解 【分析】由图可知，小扇形的总数是16个，拼成三角形的底占整个圆周长的4÷16＝，拼成的三角形的高相当于半径的4倍，再根据三角形的面积＝底×高÷2，进而表示出圆的面积，据此解答。 【详解】设这个圆的半径为r，则圆的周长为， 三角形的底： 三角形的高： 三角形的面积： ＝ ＝ 所以，圆的面积。 【点睛】此题考查的目的是理解掌握圆面积公式推导，准确找到三角形的底和高是解决这道题的关键。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $