专项提升训练：探索三角形的面积（专项练习）-2026-2027学年数学五年级上册（北师大版）

**基本信息** 以三角形面积公式为核心，通过正逆应用、等积变换、跨图形结合构建方法体系，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|填空3/4/13、判断14-18|公式正逆用（面积=底×高÷2；底=2面积÷高）|从概念定义到公式推导，强化运算能力| |变式拓展|填空1/2/5/6、选择9-11|等底等高面积关系、比例缩放规律（边长放大n倍面积放大n²倍）|连接图形变换与数量关系，发展空间观念| |综合探究|解答20/21/22|辅助线分割法、面积转化思想（分割成等积小三角形）|融合实际问题与几何推理，提升应用意识|

专项提升训练：探索三角形的面积 一、填空题 1．如下图，如果把一个圆锥沿着高切成完全相同的两部分，两个切面都是底10厘米、面积30平方厘米的三角形。原来这个圆锥的高是( )厘米，体积是( )立方厘米。 2．黄河三角洲湿地有一块三角形芦苇地，底边长6米，若将底延长2米，面积就增加4平方米。原来这块芦苇地的面积是( )平方米。 3．一个直角三角形的面积是12平方厘米，它的一条直角边是3厘米，则另一条直角边是( )厘米。 4．一个三角形的底是10厘米，这条底边上的高是5厘米，这个三角形的面积是( )平方厘米，与它等底等高的平行四边形的面积是( )平方厘米。 5．如图，三角形的面积是36平方厘米，，，三角形的面积是( )平方厘米。 6．一个高为6厘米的圆锥，沿顶点和底面直径将它切成两个完全相同的部分（如图），表面积增加了24平方厘米，这个圆锥的底面直径是( )厘米。 7．如图，下面每个小方格的大小相等。已知直角三角形ABC的周长是48cm，这个直角三角形的斜边长( )cm，它的面积是( )cm2。 8．一个直角三角形三条边的长度分别为5厘米，12厘米，13厘米，以这个直角三角形的斜边为轴旋转一周，所得图形的体积为( )立方厘米。（结果保留两位小数） 二、选择题 9．如图，甲、乙、丙三个图形的面积比是（    ）。 A．3∶5∶2 B．4∶5∶1 C．4∶10∶1 D．5∶5∶2 10．下图中，图②是图①按一定比例缩小后的图形。图②三角形的面积是（    ）平方厘米。 A．24 B．12 C． D． 11．如图的涂色部分占整个大长方形面积的（    ）。 A． B． C． D． 12．下面说法正确的有（    ）个。 ①两个圆柱的侧面积相等，它们的体积不一定相等。 ②在一个比例里，两个外项的积与两个内项的积之间的差为0。 ③三角形的面积一定，它的底和高成反比例。 ④9400÷500＝18……4。 A．1 B．2 C．3 D．4 13．一个三角形的面积是20平方厘米，高是5厘米，则它的底是（    ）厘米。 A．4 B．8 C．10 D．16 三、判断题 14．平行四边形的面积是三角形面积的2倍。( ) 15．面积相等的两个三角形一定等底等高。( ) 16．三角形的底和高都扩大到原来的3倍，面积扩大到原来的4.5倍。( ) 17．把一个三角形的底扩大2倍，高扩大3倍，则它的面积扩大了5倍。( ) 18．把三角形各边放大到原来的5倍，它的面积也放大到原来的5倍。( ) 四、计算题 19．求阴影部分的面积。（单位：cm） 五、解答题 20．如图，将三角形ABC的各边长都延长一倍至A＇、B＇、C＇三点，得到一个新的三角形A＇B＇C＇。若三角形ABC的面积是2，则三角形A＇B＇C＇的面积是多少？ 21．如图，在三角形ABC中，，D为BC的中点，三角形ADC的面积是，三角形BCE的面积是，求阴影部分的面积。 22．在一幅比例尺是1∶200的平面图上，量得一块直角三角形钢板的两条直角边共长7.2厘米，它们的长度比是5∶3，这块钢板的实际面积是多少平方米？ 23．有一块三角形的茶园，底是480米，高是200米，平均每公顷茶园一年可产茶叶0.8吨，这个茶园一年共产茶叶多少吨？ 24．一个面积是48平方分米的三角形，它的底是6分米，它的高是多少分米？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1． 6 157 【分析】把一个圆锥沿着高切成完全相同的两部分，切面是两个完全相同的等腰三角形。这个三角形的底边长度等于圆锥底面的直径。这个三角形的高等于圆锥的高。根据三角形的面积公式S＝底×高÷2，可以推导出高＝面积×2÷底，代入数据求出三角形的高（即圆锥的高）；再代入圆锥的体积V＝πr2h，求出圆锥的体积。 【详解】圆锥的高： 30×2÷10 ＝60÷10 ＝6（厘米） 圆锥的体积： ×3.14×（10÷2）2×6 ＝×3.14×52×6 ＝×3.14×25×6 ＝157（立方厘米） 2．12 【分析】三角形底边延长，顶点位置不变，因此三角形的高不变。增加的部分是一个底为2米、面积为4平方米的小三角形，它与原三角形等高。先利用增加部分的面积和底求出高（三角形面积×2÷底＝高），再根据原三角形的底和高求出原三角形的面积（底×高÷2＝三角形面积）。 【详解】（米） （平方米） 3． 8 【分析】根据三角形的面积＝底×高÷2，直角三角形的两条直角边分别相当于底和高。已知三角形的面积和其中一条直角边，求另一条直角边，可以用面积乘2再除以已知直角边的长度。 【详解】（厘米） 4． 25 50 【分析】根据三角形的面积＝底×高÷2，代入数据计算出三角形的面积；根据平行四边形的面积＝底×高，计算出平行四边形的面积。 【详解】10×5÷2 ＝50÷2 ＝25（平方厘米） 10×5＝50（平方厘米） 因此，这个三角形的面积是25平方厘米，与它等底等高的平行四边形的面积是50平方厘米。 5．16 【分析】由题可知，△ACE和△AEB等高，且，那么△AEB的面积是△ABC的；△AED和△EDB等高，且，那么△AED的面积是△AEB面积的，据此解答。 【详解】△AEB的面积：36×＝24（平方厘米） △AED的面积：24×＝16（平方厘米） 6．4 【分析】通过观察图形可知，把一个高6厘米的圆锥，沿顶点和底面直径将它切成两个完全相同的部分，表面积增加了24平方厘米，表面积增加的是两个切面的面积，每个切面的底等于圆锥的底面直径，每个切面的高等于圆锥的高，根据三角形的面积公式：S＝ah÷2，那么a＝2S÷h，把数据代入公式解答。 【详解】24÷2×2÷6 ＝24÷6 ＝4（厘米） 这个圆锥的底面直径是4厘米。 7． 20 96 【分析】从图中可知，直角三角形ABC三条边的长度比是AB∶BC∶AC＝3∶4∶5，即AB长占3份，BC长占4份，AC占5份，一共是（3＋4＋5）份； 已知直角三角形ABC的周长是48cm，用周长除以（3＋4＋5）份，求出一份数，再用一份数分别乘各边占的份数，求出AB、BC、AC的长度； 根据三角形的面积＝底×高÷2，求出它的面积。 【详解】AB∶BC∶AC＝3∶4∶5 一份数： 48÷（3＋4＋5） ＝48÷12 ＝4（cm） 直角边AB长：4×3＝12（cm） 直角边BC长：4×4＝16（cm） 斜边AC长：4×5＝20（cm） 面积： 12×16÷2 ＝192÷2 ＝96（cm2） 8．289.85 【分析】先根据已知是直角三角形，确定5厘米、12厘米为直角边，13厘米是斜边，根据三角形面积＝底×高÷2，先用两条直角边求出三角形面积，再根据面积公式求出斜边上的高，这条高就是旋转后组合圆锥的底面半径；以斜边为轴旋转一周会形成两个底面相同的圆锥拼接的立体，两个圆锥的高之和等于斜边长度，最后根据圆锥体积公式V＝πr2h（π取3.14），代入数值即可求出整体体积，并利用四舍五入法按要求保留两位小数。 【详解】三角形面积：5×12÷2 ＝60÷2 ＝30（平方厘米） 斜边上的高（底面半径）：30×2÷13 ＝60÷13 ＝（厘米） 体积：×3.14×（）2×13 ＝×3.14××13 ＝×3.14 ≈289.85（立方厘米） 9．B 【分析】三个图形的高相等，依据各自的面积公式：三角形的面积＝底×高÷2；平行四边形的面积＝底×高；梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2；代入数据分别求得面积，进而求出它们的面积比。 【详解】解：设甲、乙、丙三个图形的高都是h， 甲面积：（3＋5＋2）÷2＝10÷2＝5 （3＋5）h÷2＝8h÷2＝4h 乙面积：5×h＝5h 丙面积：2h÷2＝ h 甲∶乙∶丙＝4 h∶5h∶h＝4∶5∶1 故答案为：B 10．C 【分析】先根据两个三角形的底算出缩放比例，再利用比例求出图②三角形对应的高； 最后依据三角形面积公式：，计算图②面积。 【详解】 （平方厘米） 11．B 【分析】原题把大长方形平均分成三个相等的小矩形，涂色部分三角形的底为两个小矩形的长，宽为矩形的宽，根据三角形的面积等于和它同底等高的矩形面积的一半，解答即可。 【详解】设原题中一个小矩形的面积为S，则大长方形面积是3S； 根据分析，涂色部分三角形和两个小矩形组成的矩形底和高都相等，即涂色部分三角形等于一个小矩形的面积为S，所以涂色部分占整个大长方形面积的； 所以正确选项是B。 12．C 【分析】根据圆柱的特征、比例的基本性质、正反比例的判定以及有余数除法的计算判断每一句。 圆柱的侧面长为底面周长，宽为圆柱的高；比例的基本性质：两个外项的积等于两个内项的积；判断成什么比例，只需看两个变量的比值一定还是积一定。 【详解】①侧面积相等，体积取决于底面积和高，不一定相等，正确； ②比例中内项积等于外项积，差为0，正确； ③三角形面积＝底×高÷2，面积一定，底和高乘积一定，成反比例，正确； ④9400÷500＝18……400，余数应该是400，不是4，错误。 正确的说法有3个。 13．B 【分析】三角形的面积底高，所以已知面积反求底的话，需要面积先乘再除以高。 【详解】 （厘米） 14．× 【分析】根据三角形和平行四边形的面积公式，只有二者等底等高时，平行四边形的面积才是三角形面积的2倍，本题没有给出这个前提条件。 【详解】三角形的面积公式：，平行四边形的面积公式：。只有当平行四边形和三角形等底等高时，平行四边形的面积才是三角形面积的2倍，原题没有前提条件“等底等高”，说法错误。 故答案为：× 15．× 【分析】根据三角形的面积公式可知，三角形的面积取决于底和高的乘积。若两个三角形面积相等，说明它们的底与高的乘积相等，但底和高具体的数值不一定分别相等。因此可以通过举反例的方法来验证该说法是否正确。 【详解】三角形的面积＝底×高÷2 假设第一个三角形的底是4厘米，高是3厘米。 4×3÷2 ＝12÷2 ＝6（平方厘米） 假设第二个三角形的底是6厘米，高是2厘米。 6×2÷2 ＝12÷2 ＝6（平方厘米） 这两个三角形的面积相等，但是底和高不相等。 所以面积相等的两个三角形不一定等底等高。 故答案为：× 16．× 【分析】三角形的面积等于底乘高除以2。当三角形的底和高都发生变化时，面积也会随之变化。可以通过假设具体的底和高，分别计算出原来和现在的面积，再求出面积扩大的倍数，最后与题干中的倍数进行比较，从而判断说法是否正确。 【详解】假设原来三角形的底是2厘米，高是4厘米。 原来三角形的面积： （平方厘米） 现在三角形的底：（厘米） 现在三角形的高：（厘米） 现在三角形的面积： （平方厘米） 面积扩大到原来的倍数： 因为9不等于4.5，所以三角形的底和高都扩大到原来的3倍，面积扩大到原来的9倍。 故答案为：× 17．× 【分析】利用“特殊值代入法”解题。假设三角形的底是1，高是2，底扩大到原来的2倍是2，高扩大到原来的3倍是6；再根据“三角形的面积＝底×高÷2”分别计算出原来三角形的面积和新三角形的面积；最后用新三角形的面积除以原来三角形的面积即可。 【详解】假设三角形的底是1，高是2。 底扩大到原来的2倍为：1×2＝2 高扩大到原来的3倍为：2×3＝6 原来三角形的面积为：1×2÷2＝2÷2＝1 新三角形的面积为：2×6÷2＝12÷2＝6 因为6÷1＝6，所以新三角形的面积扩大到原来的6倍。原说法错误。 故答案为：× 18．× 【分析】根据三角形的面积＝底×高÷2，则三角形的面积由底和高决定。当各边放大到原来的5倍时，底和对应的高都会扩大到原来的5倍，由此即可判断。 【详解】三角形的面积＝底×高÷2； 把三角形各边放大到原来的5倍的三角形的面积＝底×5×高×5÷2＝（底×高÷2）×25＝原来三角形的面积×25； 即把三角形各边放大到原来的5倍，它的面积也放大到原来的25倍。 故答案为：× 19．19.44平方厘米 【分析】阴影部分的面积＝梯形的面积-圆面积的三角形的面积。，圆的面积公式，。从图中可知，这个三角形是等腰直角三角形，它的两个直角边相等。 【详解】 （平方厘米） （平方厘米） （平方厘米） （平方厘米） 阴影部分的面积是19.44平方厘米。 20． 14 【分析】利用“等底等高的三角形面积相等”这一性质，通过连接辅助线（、、），可以将新的大三角形分割成个面积相等的小三角形，每个小三角形的面积都等于原三角形的面积。已知三角形的面积是，据此即可求出三角形的面积。 【详解】 如图，连接、、。 因为三角形的各边长都延长一倍至、、， 所以，，。 对于和： 因为、、在一条直线上，且，这两个三角形等底（和）同高（顶点到所在直线的距离）， 所以。 对于和： 因为、、在一条直线上，且，这两个三角形等底（和）同高（顶点到所在直线的距离）， 所以。 同理可得： ， ， ， 。 综上，三角形被分割成了个面积相等的小三角形，每个小三角形的面积都是。 答：三角形的面积是。 21． 【分析】先根据D是BC中点，得出△ABD与△ADC面积相等，算出△ABC总面积，接着连接OC，设△OEC面积为a，依据AE＝2EC推出△OAE面积为2a、△OAC面积为3a，利用△ABD和△ADC以及△OBD和△ODC等底等高，得到△OAB面积等于△OAC为3a，依次表示出△ABE、△BCE的面积，用总面积求出a的数值，最后用△ABC总面积减去空白△OAB的面积，得到阴影部分面积。 【详解】因为D是BC的中点，BD＝DC，△ADB与△ADC同高， S△ADC＝S△ADB＝ 所以S△ABC＝×2＝ 连接OC，如图， 设S△OEC＝a 因为AE＝2EC，△OAE和△OEC同高，底的比是2∶1， 那么S△OAE＝2a，S△OAC＝2a＋a＝3a 因为D是BC中点，BD＝DC，△ODB和△ODC等底等高面积相等， 又因为S△ADC＝S△ADB 所以S△OAB＝S△OAC＝3a，S△BAE＝3a＋2a＝5a 因为AE∶EC＝2∶1，△BAE与△BEC同高，面积比2∶1， S△BEC＝5a÷2＝2.5a，S△ABC＝5a＋2.5a＝7.5a 由于总面积是 a＝÷7.5＝÷＝×＝ S阴影＝S△ABC －S△OAB ＝－×3 ＝－ ＝－ ＝ 答：阴影部分的面积是。 22．24.3平方米 【分析】三角形长度和，和两条直角边的比例可以求出分别的长度是多少；又因是平面图上的长度，是图上距离，结合比例尺，比例尺＝图上距离比实际距离，算出实际长度，再根据计算面积。 【详解】7.2×＝7.2×＝7.2÷8×5＝0.9×5＝4.5（厘米） 7.2－4.5＝2.7（厘米） 4.5×200＝900（厘米） 900厘米＝9米 2.7×200＝540（厘米） 540厘米＝5.4米 S＝9×5.4÷2 ＝48.6÷2 ＝24.3（平方米） 答：这块钢板的实际面积是24.3平方米。 23． 3.84吨 【分析】先根据三角形的面积公式“底×高÷2”，计算出茶园的面积是多少平方米。再根据面积单位间的进率，将平方米换算成公顷，然后 根据“单产量×面积＝总产量”，用每公顷的产量乘茶园的公顷数，求出总产量。 【详解】480×200÷2＝48000（平方米） 48000÷10000＝4.8（公顷） 4.8×0.8＝3.84（吨） 答：这个茶园一年共产茶叶3.84吨。 24． 16 分米 【分析】根据三角形的面积公式：面积＝底×高÷2，可知求三角形的高需要用面积乘2再除以底。 【详解】48×2÷6 ＝96÷6 ＝16（分米） 答：它的高是 16 分米。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $