暑假提升训练：三角形的再认识（专项训练）-2026-2027学年五年级上册数学北师大版

**基本信息** 以三角形分类、内角和、等腰性质及三边关系为核心，通过生活情境题系统提炼解题方法，构建“概念-性质-应用”逻辑链，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |三角形分类|3题（红领巾/风筝等）|按边（等腰）与按角（钝角/锐角）双重分类法|从生活实例抽象三角形特征，建立分类标准| |内角和计算|6题（顶角底角互求）|等腰三角形底角=（180°-顶角）÷2，利用平角求隐含角|以180°定理为基础，推导等腰三角形角关系| |三边关系|7题（第三边取值/周长）|两边之和＞第三边，两边之差＜第三边，排除法判断腰长|从线段能否围成三角形到实际周长计算，深化关系应用|

暑假提升训练：三角形的再认识 一、填空题 1．中国少年先锋队队员佩戴的红领巾的形状按边分是一个( )三角形，按角分是( )三角形。 2．一个等腰三角形的底角是48°，它的顶角是( )°。 3．一块三角形的饼干，吃掉一个角后，发现剩下两个角的和小于90°，原来这块饼干是( )三角形。 4．喀什古城景区有一批三角形木牌（用于古城导视）。其中一个等腰三角形顶角80°，底角是( )°。 5．一个等腰三角形的顶角是70°，它的底角是( )°；另一个等腰三角形相邻两条边的长度分别是12厘米和6厘米，它的周长是( )厘米。 6．一个三角形的两条边分别是4厘米和9厘米，第三条边最长是( )厘米，最短是( )厘米。（取整厘米数） 7．如图，一张三角形纸片被撕去了一个角，撕去的角是( )度，原来这张纸片的形状是( )三角形 8．制作巧家传统风筝时，常采用等腰三角形的骨架。如果一个风筝的顶角是40°，那么它的一个底角是( )°；如果它的一个底角是70°，那么它的顶角是( )°。 9．用一根长18dm的铁丝围成一个等腰三角形，如果一条腰长是5dm，那么底边长是( )。 10．如图所示，∠1＝( )°。 11．2026年是建党105周年，某校开展红色主题教育活动，请完成填空。制作三角形宣传展板，两条边长分别是5分米和9分米，第三条边一定大于( )分米。 12．如图所示，将一个三角形的三条边紧贴直尺翻滚一圈，正好转到图中箭头所指位置，它的第三条边长是____________cm。 二、选择题 13．下面四组线段能围成三角形的是（    ）。 A．3cm、4cm、5cm B．4cm、6cm、14cm C．5cm、6cm、12cm D．6cm、4cm、2cm 14．一个三角形的两个内角分别是40°和50°，这个三角形是（    ）。 A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 15．一个等腰三角形的一个底角是65°，这个三角形一定是（    ）三角形。 A．锐角 B．直角 C．钝角 D．无法确定 16．三角形具有的特性是（    ）。 A．容易变形 B．稳定性 C．可伸缩性 D．滚动性 17．在三角形ABC中，∠A＝∠B＋∠C，则这个三角形是（    ）三角形。 A．锐角 B．直角 C．钝角 D．无法判断 三、判断题 18．在长度为3厘米、6厘米、7厘米和8厘米的这几根小棒中，任选三根小棒都可以围成三角形。( ) 19．一个三角形中，两边之差一定小于第三边。( ) 20．制作巧家传统风筝时，常采用等边三角形的骨架。如果一个风筝的骨架是等边三角形，边长是12分米，那么这个骨架的周长是36分米。( ) 21．一个三角形中最小的内角是50度，这个三角形一定是钝角三角形。( ) 22．用4cm、5cm、9cm长的三根小棒可以拼成一个三角形。( ) 四、计算题 23．计算下面各三角形中未知角的度数。 五、解答题 24．用一根铁丝恰好能围成一个边长是8厘米的正方形。如果用这根铁丝围成一个底边长10厘米的等腰三角形，这个等腰三角形的腰长是多少厘米？ 25．王老师做一个等腰三角形玩具： (1)如果两条边分别是49cm和24cm，第三条边长是( )cm。 (2)如果一个底角是65°，顶角是多少度？ 26．王伯伯要用篱笆围一块三角形的菜地。其中两条边分别用篱笆12米、9米。第三条边最短要用多长的篱笆才能围成三角形菜地？最长呢？（取整米数） 27．社区开展“垃圾分类志愿服务”活动，志愿者用彩色胶带装饰分类垃圾桶。制作一个等腰三角形造型的装饰边框，三角形一条边长0.7分米，另一条边长1.4分米。这个等腰三角形边框的周长可能是多少分米？ 28．空间站舱内实验区温度保持恒温23℃。科研人员制作一块三角形的观测挡板，测得这块挡板的两个内角分别是48度和65度，第三个内角是多少度？这个三角形按角分是什么三角形？ 29．科学课上，冬冬用一张宽是12厘米的长方形卡纸制作瓦楞纸桥。反复等距离折成波浪形后，如图展开，每个小三角形的顶角是60°，摆放的总长度为40厘米。原来长方形卡纸的面积是多少？ 30．王叔叔要制作一个等腰三角形的风筝，已知它的顶角是70°。 (1)这个风筝的一个底角是多少度？ (2)如果这个风筝的一条腰长45厘米，底边长30厘米，制作这个风筝的框架至少需要多长的竹条？ 第4页，共4页 第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1． 等腰 钝角 【分析】按边分类：红领巾有两条边长度相等，符合等腰三角形的特征，因此按边分是等腰三角形。按角分类：红领巾最大的内角是钝角，有一个角是钝角的三角形就是钝角三角形，因此按角分是钝角三角形。 【详解】中国少年先锋队队员佩戴的红领巾的形状按边分是一个等腰三角形，按角分是钝角三角形。 2． 84 【分析】等腰三角形两底角相等，已知一个底角是48°，就能得出两个底角度数总和是48°×2，再用内角和180°减去两个底角的总度数，剩余数值即为顶角的度数。 【详解】180°－2×48° ＝180°－96° ＝84° 3．钝角 【分析】三角形按角来分，分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形，有一个角是直角的三角形叫做直角三角形，有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形。三角形的内角和为180°。据此解答。 【详解】由题意可知，一块三角形的饼干，吃掉一个角后，发现剩下两个角的和小于90°，180°－90°＝90°，剩下两个角的和小于90°，那么吃掉的那个角的度数大于90°，是一个钝角，所以这块饼干是钝角三角形。 4．50 【分析】三角形的内角和等于180°，等腰三角形的两底角相等。用180°减去顶角的80°，等于两个底角的度数和，再除以2，即等于一个底角的度数；列式计算即可。 【详解】（180°－80°）÷2 ＝100°÷2 ＝50° 喀什古城景区有一批三角形木牌（用于古城导视）。其中一个等腰三角形顶角80°，底角是50°。 5． 55 30 【分析】（1）根据三角形的内角和为180°，等腰三角形的两个底角相等，故底角＝（180°－顶角）÷2； （2）根据三角形的任意两边之和大于第三边，等腰三角形的两条腰相等，判断12厘米和6厘米是等腰三角形的腰和底，再根据三角形的周长等于三条边长的和。 【详解】等腰三角形的底角： ＝（180°－顶角）÷2 ＝（180°－70°）÷2 ＝110°÷2 ＝55° 当6厘米为等腰三角形的腰、12厘米为等腰三角形的底时，由于6＋6＝12，不满足三角形的三边关系，故12厘米为等腰三角形的腰、6厘米为等腰三角形的底。 故等腰三角形的周长： ＝12＋12＋6 ＝24＋6 ＝30（厘米） 6． 12 6 【分析】根据三角形的三边关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。据此解答即可。 【详解】9厘米－4厘米＜第三边＜9厘米＋4厘米 所以5厘米＜第三边＜13厘米 最短：5＋1＝6（厘米） 最长：13－1＝12（厘米） 7． 20 钝角 【分析】用三角形内角和求出撕去的角，再依据三角形按角分类的知识判断三角形的形状。 【详解】，三角形的三个角是、、。，有一个角大于的三角形是钝角三角形。 8． 70 40 【分析】已知顶角求底角，先用180°减去顶角求出两个底角的和，再除以2；已知底角求顶角，先用底角乘2求出两个底角的和，再用180°减去两个底角的和。据此解答。 【详解】底角：（180°－40°）÷2 ＝140°÷2 ＝70° 顶角：180°－70°×2 ＝180°－140° ＝40° 9． 【分析】等腰三角形的两条腰相等，从三角形的周长中去掉两条腰的长度就是底边的长。 【详解】 （dm） 10．70 【分析】观察图形底部是一条直线，这就形成了一个平角，度数是180°。这个平角由三部分组成：左边的60°角、中间三角形的内角、右边的45°角。据此用平角的总度数减去左右两个已知角的度数，就能算出中间那个内角的度数；再根据“三角形的内角和是180°”，用180°减去上一步求出的内角度数和已知的35°，剩下的就是∠1的度数。 【详解】180°－60°－45° ＝120°－45° ＝75° 180°－35°－75° ＝145°－75° ＝70° 11．4 【分析】根据第三条边一定大于两边之差，据此得出答案。 【详解】（分米） 第三条边一定大于分米。 12．3 【分析】从题图可得，三角形翻滚一圈对应的周长为9厘米，两条已知边长度分别为2.7厘米、3.3厘米，用三角形的周长减去已知两条边的长度，求出第三条边的长度。 【详解】  9－（2.7＋3.3） ＝9－6 ＝3（厘米） 13．A 【分析】三角形任意两边之和大于第三边。判断三条线段能否围成三角形，只需计算两条较短线段的长度之和，看其是否大于最长线段的长度即可。 【详解】A．两条较短线段长度之和为3＋4＝7（cm），7＞5，能围成三角形，此选项正确； B．两条较短线段长度之和为4＋6＝10（cm），10＜14，不能围成三角形，此选项错误； C．两条较短线段长度之和为5＋6＝11（cm），11＜12，不能围成三角形，此选项错误； D．两条较短线段长度之和为2＋4＝6（cm），6＝6，不能围成三角形，此选项错误。 14．A 【分析】利用三角形内角和等于180°，减去已知的两个内角度数，求出第三个内角的度数；然后根据第三个内角的度数判断三角形的类型，有一个角是直角的三角形是直角三角形。 【详解】180°－40°－50° ＝140°－50° ＝90° 有一个角是直角的三角形是直角三角形，所以这个三角形是直角三角形。 15．A 【分析】等腰三角形的两个底角相等；三角形的内角和是；三个角都是锐角的三角形是锐角三角形。已知一个底角是，可求出另一个底角和顶角的度数，进而判断三角形的形状。 【详解】因为等腰三角形的两个底角相等，已知一个底角是，所以另一个底角也是。 根据三角形内角和是，顶角的度数为： 因为，，三个角都是锐角， 所以这个三角形一定是锐角三角形。 16．B 【分析】根据三角形的特性：三角形具有稳定性；据此解答。 【详解】三角形具有的特性是稳定性。 17．B 【分析】三角形内角和是，即。已知，可以通过等量代换将三个角的和转化为两个的和，从而求出的度数。根据的度数判断三角形的形状。 【详解】因为三角形的内角和是，所以 又因为，所以 即，，。 有一个角是直角的三角形是直角三角形，所以这个三角形是直角三角形。 18．√ 【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边。要判断题干中“任选三根小棒都可以围成三角形”是否正确，需要运用列举法，将所有可能的三根小棒组合列出来，逐一验证是否满足“两边之和大于第三边”的条件。只要有一组不满足，说法即为错误；若所有组合均满足，说法即为正确。 【详解】从长度为厘米、厘米、厘米和厘米的根小棒中任选根，共有种选法，验证如下： 1.选厘米、厘米、厘米：（厘米），，能围成三角形； 2.选厘米、厘米、厘米：（厘米），，能围成三角形； 3.选厘米、厘米、厘米：（厘米），，能围成三角形； 4.选厘米、厘米、厘米：（厘米），，能围成三角形。 综上所述，所有组合均满足三角形三边关系，原题说法正确。 故答案为：√ 19． √ 【分析】三角形任意两边之和大于第三边。由加法与减法的关系可知，三角形任意两边之差小于第三边。 【详解】根据三角形三边的关系可知：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 举例验证：设一个三角形的三条边长分别是 、、。 计算任意两边之差与第三边比较： ，； ，； ，。 经过验证，任意两边之差均小于第三边。 因此，一个三角形中，两边之差一定小于第三边。 故答案为：√ 20．√ 【分析】等边三角形的三条边长度相等，周长等于边长乘 3。通过计算得出实际周长，再与题干中的数值进行比对，从而判断正误。 【详解】12×3＝36（分米） 所以这个骨架的周长是36分米，原题说法正确。 故答案为：√ 21． × 【分析】根据三角形内角和是，求出另外两个内角的和。再根据“最小内角是”这一条件，推断出最大内角的取值范围，从而确定三角形的形状。 【详解】三角形的内角和是。另外两个内角的和为：。因为是最小的内角，所以另外两个内角都大于或等于。当其中一个内角取最小值时，最大的内角达到最大值，为：。因为最大内角，所以三个内角都是锐角。这个三角形一定是锐角三角形，故题干说法错误。 故答案为：× 22．× 【分析】根据三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边。判断三条线段能否围成三角形，通常比较两条较短线段的长度之和与最长线段的长度大小关系。若两条较短线段的长度之和小于或等于最长线段，则不能围成三角形。 【详解】（） ，所以这三根小棒不能拼成一个三角形，原题说法错误。 故答案为：× 23．（1）55°（2）42° 【分析】第1小题用180°减去直角和已知角求未知角；第2小题先利用平角180°算出三角形内的邻角，再用内角和求∠A。 【详解】（1）180°－90°－35° ＝90°－35° ＝55° （2）180°－（180°－80°）－38° ＝180°－100°－38° ＝80°－38° ＝42° 24． 11厘米 【分析】根据正方形的周长=边长×4，用8乘4，计算出铁丝的总长度，这根铁丝的长度即为等腰三角形的周长。等腰三角形的两条腰长度相等，用周长减去底边长求出两条腰的长度和，再除以2，即可求出一条腰的长度。 【详解】正方形的周长：（厘米） 等腰三角形两条腰的长度和：（厘米） 等腰三角形的腰长：（厘米） 答：这个等腰三角形的腰长是11厘米。 25．(1) (2) 【分析】三角形的三边关系，任意两边之和大于第三边；三角形的内角和为度，根据已知条件得出未知角度数。 【详解】（1）等腰三角形有两条边相等，已知两条边分别是cm和cm； 根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边； 第一种假设：腰是cm，底是cm，三边分别是cm、cm、cm，验证：cm，cmcm，符合三角形三边关系； 第二种假设：腰是cm，底是cm，三边分别是cm、cm、cm，验证：cm，cmcm，不符合三角形三边关系； 因此，只有第一种假设符合，第三条边长是cm。 （2）根据已知条件，有一个底角是，因等腰三角形两个底角相等，所以另一个底角也是； 已知三角形内角和为，所以顶角。 26．最短米，最长米 【分析】根据三角形的特性：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。已知两条边的长度，通过计算两边之和、两边之差，就能确定第三条边的取值范围；题目要求取整米数，在取值范围内找出最小、最大整数即为答案。 【详解】根据三角形三边关系：第三边＞两边之差，第三边＜两边之和。 两边之和：（米） 两边之差：（米） 因此第三条边长度范围：3米＜第三边＜21米。 因为篱笆长度取整米数， 最短长度：（米） 最长长度：（米） 答：第三条边最短要用米长的篱笆，最长要用米长的篱笆才能围成三角形菜地。 27． 分米 【分析】已知等腰三角形的两条边长，需分两种情况讨论哪条边是腰：第一种情况腰长是分米，第二种情况腰长是分米。根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”进行验证，排除不能组成三角形的情况，最后计算符合情况的三角形周长。 【详解】情况一：假设腰长是分米，则三条边长分别为分米、分米、分米。 ，两边之和等于第三边，不符合三角形任意两边之和大于第三边，所以这种情况不能围成三角形。 情况二：假设腰长是分米，则三条边长分别为分米、分米、分米。 ，，符合三角形任意两边之和大于第三边，所以这种情况能围成三角形。 （分米） 答：这个等腰三角形边框的周长可能是分米。 28． 67度；锐角三角形 【分析】根据三角形内角和定理，三角形的三个内角和等于度。已知其中两个内角的度数，用度减去这两个角的度数，即可求出第三个内角的度数。然后根据三个内角的大小判断三角形的类型：三个角都是锐角的三角形是锐角三角形；有一个角是直角的三角形是直角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形。 【详解】 （度） 因为度、度、度都小于度，即三个角都是锐角，所以这个三角形是锐角三角形。 答：第三个内角是度，这个三角形是锐角三角形。 29．960平方厘米 【分析】已知是等距离折成波浪，则每个小三角形是等腰三角形，又已知每个小三角形的顶角是60°，所以用三角形的内角和减去顶角，再用差除以2，即可求出等腰三角形的底角的度数（180°－60°）÷2＝60°；比较小三角形的3个内角的度数，发现都是60°，那么每个小三角形是等边三角形。根据题图可知，冬冬将长方形卡纸水平方向上折成了10个小三角形，那么用摆放的总长度除以10，即可求出小三角形的边长。长方形卡纸的长＝小三角边长×长方形卡纸水平方向上折成的小三角形的个数×2，最后再根据长方形的面积＝长×宽，求出原长方形卡纸的面积。 【详解】（180°－60°）÷2 ＝120°÷2 ＝60° 因此小三角形的三个内角都是60°，即小三角形是等边三角形。 40÷10＝4（厘米） 4×10×2＝80（厘米） 80×12＝960（平方厘米） 答：原来长方形卡纸的面积是960平方厘米。 30．(1)55度 (2)120厘米 【分析】（1）三角形内角和为180度，等腰三角形两个底角相等、两条腰长度相等。先用180减去70，计算两个底角的总度数；再除以2，就是一个底角的度数。 （2）需要竹条的长度就是三角形框架的周长，周长等于三条边长度之和，把两个腰和一个底边长相加，列式计算即可。 【详解】（1）（180－70）÷2 ＝110÷2 ＝55（度） 答：这个风筝的一个底角是55度。 （2）45＋45＋30 ＝90＋30 ＝120（厘米） 答：制作这个风筝的框架至少需要120厘米长的竹条。 答案第2页，共10页 答案第1页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $