3.2.1单调性与最大（小）值第一课时课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦函数单调性的概念及定义法证明，课堂导入从初中函数图像增减性质切入，以f(x)=x²为载体，通过图像直观感知、文字描述、特殊值分析到符号语言刻画，构建从具体到抽象的学习支架，衔接前后知识。 其亮点在于融合数学眼光、思维与语言。通过图像观察抽象单调性概念体现数学眼光，定义证明步骤规范且结合一次函数、玻意耳定律实例培养数学思维的推理能力，用符号语言精确表达定义及等价形式强化数学语言。助力学生提升抽象与逻辑能力，为教师提供结构化教学流程与丰富实例。

3.2.1单调性与最大（小）值 第1课时 函数的单调性 学习目标 1.能借助函数图象理解函数在某区间上单调递增(或递减) 和增函数、减函数的概念. 2.理解在某区间上具有(严格的)单调性和单调区间的概念. 3.能运用定义法证明函数的单调性. 观察下面各个函数图像，他们分别反映了相应函数的哪些性质？ 复习引入 在初中，我们利用函数图像研究过函数值随自变量的增大而增大（或减小）的性质，这一性质叫做函数的单调性。下面进一步用符号语言刻画这种性质。 复习引入 先研究二次函数 请画出函数的图象，观察其具有怎样的变化趋势？ 画出函数的f(x)＝x2 的函数图像，观察并说出图象的变化趋势. 课堂探究 直观感知： 图象在y 轴左侧是下降的，y轴右侧是上升的。 文字语言： 当x<0时，y 随x 的增大而减小； 当x>0时，y 随x 的增大而增大； 如何用数学符号语言来描述呢？ 将自变量x的取值任意化： 自变量x从-5逐渐增大到-1时， 函数值y从25逐渐减小到-1. 课堂探究 请取一些特殊值，观察相应函数值的情况. 当x≤0时， 符号语言： 这时我们说： x … -5 -4 -3 -2 -1 f(x) … … … 25 16 9 4 1 课堂探究 当x≤0时，y随x的增大而减小 当x≥0时，y随x的增大而增大 ,当 时， 都有, 那么就称函数在 上单调递增. ,当时，都有, 那么就称函数在 上单调递减. 追问 1： ， 与定义域有何关系？ 2：你能说明 x≤0时，为什么？ x≥0时，为什么？ 课堂探究 追问2：说明x≤0时，为什么？ x≥0时，为什么？ 特别地，当函数在它的定义域D上单调递增时， 我们就称它是增函数. 概念生成 函数的单调性： 一般地，设函数: 如果,当时, 都有， 那么就称函数在区间上单调递增。 那么就说函数在这一区间具有（严格的）单调性， 就叫做函数的单调递增区间，简称增区间. x O y 如果,当时,都有， 那么就称函数在区间上单调递减。 那么就说函数在这一区间具有（严格的）单调性， 就叫做函数的单调递减区间，简称减区间. 特别地，当函数在它的定义域D上单调递减时， 我们就称它是减函数. 概念生成 思考： 1.单调性是函数的局部性质还是函数的整体性质？ 2.增(减)函数是函数的局部性质还是函数的整体性质？ 单调递增(递减)是函数的局部性质，增(减)函数是函数的整体性质。 函数的单调性： 一般地，设函数: x O y 追问： 1.函数在定义域内是单调函数吗？应怎样描述其单调性？ 注意:端点值于单调区间不重要，但要明确端点是否在定义域内。 2.函数单调性的定义中，对，什么要求？ 有三点要求： （1）属于同一个单调区间； （2）任意性：不能以特殊代替一般； （3）有大小之分. 3.若函数在区间I上单调递增，对于,则有“,”，反之是否也成立？ , ① ② ③在区间上单调递增 ③①⟹ ② ③②⟹ ① ①②⟹ ③ (定义) 思考： 注：不是所有函数都有单调区间； -⒉ ⒈ ⒉ ⒉ 3 -⒈ -⒉ -⒈ ⒈ x y o A={-2,-1,0,1,2,} （2）函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，你能举出在整个定义域内是单调递增的函数例子吗?你能举出在定义域内的某些区间上单调递增但在另一些区间上单调递减的函数例子吗？ 思考： y x o 但(k>0)不是单调递增的 (k>0) A={-1,3} (k>0)在 和 上分别单调递减 注：当函数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可以用“，”分开，也可以用“和”来表示，但不能使用“⋃” 例1 根据定义，研究函数的单调性. 解：函数的定义域是 且，则 由，得，所以： ①当时， ， 即即 ②当时，， 即 取值 作差 定号 结论 变形 定号 结论 例题共享 例2 物理学中的玻意耳定律 告诉我们，对于一定质量的气体，当其温度不变时，体积V减小，压强 p 将增大。试对此用函数的单调性证明。 证明： 所以，根据函数单调性的定义，函数 是减函数。也就是说，当体积V减小时，压强 p 将增大. 例题共享 取值 作差 定号 结论 变形 通过例1和例2，请同学们尝试总结用定义证明函数单调性的步骤. 取值：设，∈某个区间，且 作差：作差 变形：向有利于判断差的符号的方向变形，一般化为积或商的形式 ； 定号：确定 的符号； 结论：写出函数的增减性。 用定义证明函数的单调性的步骤： 因式分解、通分 分子有理化等 例题小结 （有时要分类讨论） 例3 根据定义证明函数 在区间(1，+∞)上单调递增？ 证明： 对于且 ，有 又由 所以 所以，函数 在区间 (1，+∞)上单调递增。 取值 作差 变形 定号 结论 例题共享     在D上为增函数；     在D上为减函数；   在D上为增函数；     在D上为减函数.   概念深化 请判断以下关系是否正确？ 函数单调性定义的等价形式(对于任意的， ) 图形语言 文字语言 符号语言 课堂小结 取值：设，∈某个区间，且 作差：作差 变形：向有利于判断差的符号的方向变形，一般化为积或商的形式 ； 定号：确定 的符号（有时要分类讨论）； 结论：写出函数的增减性。 1.函数单调性的定义 2.用定义证明函数单调性的步骤： 作业：习题3.2第3题 课后作业：79页练习1,2,3,4. 作业布置 $