第3章 ☆问题解决活动：利用相似三角形测高&易错疑难集训三-【勤径学升】2026-2027学年九年级上册数学同步练测（北师大版·新教材）

由答图可得，点D的坐标为(-2，-1) (2)如答图，△A1B1C1即为所求. 7题答图 【能力提升练】 1.c2c3(-4,) 4.解：(1)(-2,1)(-3，-2)（1，-2) (2)分两种情况，如答图，△A1B1C1和△A2B2C2即为所求. 6 B A 5432以01 23456x B 上3 B -上6 4题答图 (3)变换后的三角形的面积为？×8×6=24， 5.解：(1)由题意，得k=-2, 把点(3,1)和k=-2代人y=kx+b,得1=-2×3+b, ∴.b=7. (2)如答图. :相似比为1：2 ∴.函数y=x+b的图象有两种情况： ①不经过第三象限时，过点(1,0)和点(0,2)， 此时表达式为y=-2x+2; ②不经过第一象限时，过点(-1,0)和点(0，-2)， 此时表达式为y=-2x-2. 综上所述，函数y=kx+b的表达式为y=-2x+2或y= -2x-2. 0i八2345x 5题答图 参考答案及解析 ☆问题解决活动：利用相似三角形测高 1.C2.1.5 3.解：过点A作AF⊥MN,垂足为F,交BD于点E, NF DE =AC =0.8 m,AE CD =1.25 m,EF DN 30m,∠AEB=∠AFM=90 又.∠BAE=∠MAF,∴.△ABE∽△AMF 器-怎即6M82六20Mr=20m, .MN=MF+FN=20+0.8=20.8(m). 答：住宅楼的高度约为20.8m. 4.7 5.解：根据光的反射定律易得∠DEC=∠BEA. 又：∠DCE=∠BAE=90°，.△CDE∽△ABE, 鼎器 .AE=2 m,CE=0.5 m,CD =1.5 m, .1.50.5 六AB=2心AB=6m 答：旗杆AB的高度为6m. 易错疑难集训三 1.A :易错分析 利用平行线分线段成比例时，要结合图形确定成比 例线段的四条线段的对应位置关系，不能混淆，同时注 意平行线分线段成比例中的比例线段与平行线上所截 的线段无关 2.B3.B 4.解：设较大三角形的面积为xcm2,则较小三角形的面积为 (x-90)cm2. 由题意，得产”(， 解得x=120. 答：较大三角形的面积为120cm2, :易错分析… 两个相似三角形的面积比等于相似比的平方.不要 误认为面积比等于相似比： 5.解：D,E是AB的三等分点， 0=安铝了，由DF∥sc/Bc, 易得△ADF∽△AEG,△ADF∽△ABC, （器-（片 1 SAAEG。 .S2=3S1,S2+S3=8S1,S1:S2S3=1:3:5. 6.4:9或1：3[解析]分两种情况讨论：①当△AED∽△ABC时， .DE_AD CB=AC=了，△ADE与△ACB的周长之比为1：3②当 1 DE AD 4 △ADE∽△ABC时，B配=AB=9,△ADE与△ABC的周 长之比为4：9.综上，△ADE与△ABC的周长之比为1：3或4：9. :易错分析… 已知两个三角形相似时，如果没有用相似符号连 接，则需要进行分类讨论.本题中两个三角形的对应边 ,没有明确，故此题有多解， 7.2或45[解折]当△A△4BC时，船-2 3 AF= 名，得4F=2:当△MBF△MCB时架-胎即=g, .36 ·25· 同步练测·九年级数学·上册·北师版 得AF=4.5.综上，AF等于2或4.5 本章考点检测训练 1.C2.C3.W2:14.2+55.C6.D7.B8.D 9.c10.(4.0)或（兰.o 11.(1)证明：.：四边形ABCD是矩形 .AD∥BC,AD=BC,.△ADG∽△CMG, …%-0 :M是BC的中点， ∴.BC=2CM,∴.AD=2CM, ÷28=24G=20c (2)解：①在RL△ABC中，AB=6,BC=8, AC=√62+82=10，.BD=AC=10. 如答图①，过点I作H⊥BC,垂足为H. 设H=r,则宁Bc+CD+BD)r=c.GD, ∴r=2,即H=2, .点I到BC的距离为2 A 0 B MH M OH 11题答图① 11题答图② ②如答图②，作HLBC,垂足为H,作GCQ⊥BC,垂足为Q, IH=r,AB=CD=c,AC =BD=b 由AB+4C=2BC,得6C=生9 在△B0D中，(b+c+告)r=宁·空兰c, =3c 60/4B,△cc0acMB器-器 .AG=2GC,.'.AC=3GC, ∴器=分0=寸60=m IH⊥BC,GQ⊥BC,∴.GQ∥IH .四边形GQH是平行四边形， .GI∥BC,即EF∥BC e-△DEDRG, 院既号 12.20 13.解：过点C作CG⊥MN于点G,交AB于点H. 由题意，得AB∥MN, .∴.∠CAH=∠CMG,∠CHA=∠CGM, △CAACC是-8忍 即3-1.71 MG=1+39, ∴.MG=52m,.MW=MG+GN=52+1.7=53.7(m), .大楼的高度MW为53.7m. ·26· 14.(-10,2) [解析]设直线AP的函数表达式为y=x+ 6+b=子解容{ 3 b(k≠0)，则 k=-4'则直线AP的 4k+b=3, b=6, 函数表达式为了=一子+6， 4=√6-4)2+（子-3=各由题意，得4P=2P =5,A2P=2A1P=10,A3P=2A2P=20.设点A3的坐标为 (m,-m+6)则(m-62+(-子m+6-2} 202,解得m1=-10,m2=22(不合题意，舍去).当m= -10时，-子m+6=受点A的坐标为(-10，受) 15.解：(1)如答图，点P即为所求，点P的坐标为(0,2). (2)如答图，△A2B2C2即为所求.点A2的坐标为(-2 2),点B2的坐标为(-3，-1)，点C2的坐标为(-2,0). y◆ 6 4 、A2 G11C2 742101234x B -12 L..-1--t-3 L1。L。 15题答图 第四章投影与视图 1投影 课时1投影、中心投影 【基础巩固练】 1.B2.A3.B 4.解：(1)如答图，点O为灯泡的位置，FH为小亮在灯光下的 影子 D F 4题答图 (2)由AB∥OD,易得△ABC∽△DOC, 8-瑞即2治400=4m ∴.路灯的高为4m 5.A6.C7.(4,0) 8.解：(1)8(2)影长变短了，变短了3.5m 课时2平行投影 【基础巩固练】 1.D2.C3.C 4.解：(1)如答图，连接AC,过点M作MP∥AC交NC所在的 直线于点P,NP就是测杆MN的影子香同步练测·九年级数学·上册·北师版 ☆问题解决活动：利用相似三角形测高 [答案25] 知跟点①利用阳光下的影子测高 知跟点③利用镜子反射测量高度 1[传统文化]《孙子算经》是中国古代经典的数学 ④小丽利用镜子的反射来测量一座雕塑的高度， 著作，其中就有利用影长测量物体高度的方法. 如图，小丽将镜子放在距离雕塑底端10.5m的 如图，一根竖立的竹竿在太阳光下的影长为 点E处（镜子大小忽略不计），然后站在点C处， 2m,同时身高1.5m的元元的影长为0.5m,则 恰好看到雕塑顶端B在镜子中的像与镜子上的 竹竿的长度为 标记重合，若小丽的眼睛离地面的高度CD= A.2m B.4.5mC.6m D.8.5m 1.6m,CE=2.4m,则雕塑的高度AB为 m 1题图 2题图 CE 2如图，阳光从教室的窗户射人室内，窗户框AB 4题图 在地面的影长DE=1.8m,窗户下端离地面的高 5如图，小颖为测量学校旗杆AB的高度，在E处 度BC=1m,CE=1.2m,则窗户的高AB为 放置一块镜子，然后退到C处站立，刚好从镜子 m. 中看到旗杆的顶部B.已知小颖的眼睛D离地面 知识点②利用标杆测高 的高度CD=1.5m,她离镜子的水平距离CE= 3如图，小亮蹲在地上，小芳站在小亮和楼之间， 0.5m,镜子E离旗杆的底部A的距离AE=2m, 且A,C,E三点在同一水平直线上，求旗杆AB的 两人适当调整自己的位置，当楼的顶部M、小芳 高度 的头顶B及小亮的眼睛A恰在一条直线上时， B 两人分别标定自己的位置C,D.然后测出两人 之间的距离CD=1.25m,小芳与楼之间的距离 DN=30m(C,D,N在一条直线上)，小芳的身高 BD=1.6m,小亮蹲地观测时眼睛到地面的距离 CE A AC=0.8m.请帮他们求出住宅楼的高度. 5题图 可 3题图 00 第三章图形的相似 易错疑难集训三 [答案P25] 圆错疑难点①应用平行线分线段成比例时容易【 5如图，已知D,E是AB的三等分点，DF,EG将 弄混比例线段的对应关系出错 △ABC分成三部分，且DF∥EG∥BC,图中三部 1(湖北武汉期末)如图，已知AB∥CD∥EF,那么 分的面积分别为S1,S2,S3,求S1:S2:S的值 下列结论正确的是 5题图 1题图 1#船 B.BC、DF CEAD C.CD_BC EF BE D.CD、AD EFAF 圆错凝难点®在图形不确定的情况下因考虑问 题不全面而出错 2如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8， 另一个与它相似的直角三角形的三边长分别是 3,4,x,那么x的值 A.只有1个 B.有2个 C.有3个 D.有无数个 圆错疑难点③误认为相似三角形面积比等于相 似比而出错 3已知△ABC~△DEF,且△ABC与△DEF的面积 比为9：16，则△ABC与△DEF的周长比为 圆错疑避点④对分类问题缺乏讨论意识而出错，/ ( 6在△ABC中，AB=9,AC=12,BC=18,D为AC A.4:3 B.3:4 C.16:9 D.9:16 边上一点，AD=4.在AB边上取一点E,连接 4两个相似三角形对应边的长分别为20cm和 DE,得到△ADE.若这两个三角形相似，则△ADE 40cm,且两个三角形的面积差为90cm2.求较大 与△ABC的周长之比是 三角形的面积. ⑦如图，在△ABC中，AB=9,AC=6,点E在AB 上，且AE=3,点F在AC上，连接EF,若△AEF 与△ABC相似，则AF= 7题图 。