第2章 3 一元二次方程的根与系数的关系-【勤径学升】2026-2027学年九年级上册数学同步练测（北师大版·新教材）

同步练测·九年级数学·上册·北师版 3一元二次方程的根与系数的关系 [答案P13] 《基础巩因练> 知跟点（①直接利用根与系数的关系进行计算 细跟点②一元二次方程的根与系数的关系的 ①若方程3x2+7x-9=0的两个实数根分别为x1, 应用 x2,则x1+x2等于 6(河北中考)若一元二次方程x(x+2)-3=0的 A-子B子 C.-3 D.3 两根之和与两根之积分别为m,n,则点(m,n)在 平面直角坐标系中位于 () 2(湖北中考)一元二次方程x2-4x+3=0的两个 A.第一象限 B.第二象限 实数根为x1,x2,下列结论正确的是 C.第三象限 D.第四象限 A.x1+x2=-4 B.x1+x2=3 7一元二次方程x2-3x-1=0与x2-2x-3=0的 C.x1x2=4 D.x1x2=3 所有实数根的和等于 3(苏州中考)已知x1,x2是关于x的一元二次方 8(巴中中考)已知方程x2-2x+k=0的一个根为 程x2+2x-m=0的两个实数根，其中x1=1,则 -2,则方程的另一个根为 X2= 9(江苏南通期中)已知α，B是方程x2-2x+k=0 4(眉山中考)已知方程x2-2x-5=0的两根分别 的两个实数根，且a2-a+B=5,则k的值 为x1,x2,则(x1+1)(x2+1)的值为 为 5已知x1,x2是一元二次方程4x2+8x-2=0的两 10(南充中考)设x1,x2是关于x的方程(x-1)(x- 个实数根，不解方程，求下列式子的值， 2)=m2的两根 (1)当x1=-1时，求x2及m的值； (2)求证：(x1-1)(x2-1)≤0. (2)x+x2; (3)(x1-x2)2 340 第二章 一元二次方程 《能力提升练>· [答案P13] 若一元二次方程x2-7x+5=0的两个实数根分8设x1,x2是方程2x2+4x-3=0的两个根，利用 别是a,b,则一次函数y=abx+a+b的图象一定 根与系数的关系，求下列各式的值： 不经过 ( (1)(x1+2)(x2+2); A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2若关于x的一元二次方程x2-(2m-3)x-m= 0的两个根互为相反数，则m的值为( A号 &号 2院培 C. 房 3小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方 程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得 到方程的两个根是6和1；小冬在化简过程中写 ⑨[核心素养]已知关于x的一元二次方程x2- 错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是 (m+2)x+2m=0. -2和-5，则原来的方程是 () (1)求证：无论m取何值，方程总有两个实数根； A.x2+6x+5=0 B.x2-7x+10=0 (2)如果方程的两个实数根分别为x1,x2,且 C.x2-5x+2=0 D.x2-6x-10=0 (x1+2)(x2+2)=18,求m的值； 4(广安中考)已知方程x2-5x-24=0的两根分 (3)如果方程的两个实数根分别为x1,x2,且等 别为a和b,则代数式a2-4a+b的值 腰三角形的三边长分别为x1,x2,3,求m 为 的值 5已知关于x的一元二次方程x2-4x+m-1=0 的实数根分别是x1,x2,满足3x1x2-x1-x2>2, 则m的取值范围是 6设a,b是一元二次方程3x2-2x-7=0的两根， 则3a2-a+b的值为 7已知方程5x2+x-6=0的一个根为2，求它的 另一个根及k的值. 35(3)a=1,b=-25,c=-4, .b2-4ac=(-25)2-4×1×(-4)=36>0, x=-b±0-4ae_25±36.25±6 2a 2×1 2 .x1=5+3,2=5-3. 5.解：(1)原方程可变形为2x(x+1)-x(x-1)=0, x(2x+2-x+1)=0, x(x+3)=0,x=0或x+3=0, 所以x1=0,x2=-3. (2)原方程可变形为[2(2-3x)]2=[3(x-1)]2, [2(2-3x)]2-[3(x-1)]2=0, [2(2-3x)+3(x-1)][2(2-3x)-3(x-1)]=0, 即(1-3x)(7-9x)=0, 1-3x=0或7-9x=0, 1 7 所以x1=3为=9 (3)整理，得x2-7x+12=0, 因式分解，得(x-4)(x-3)=0, 所以x-4=0或x-3=0, 解得x1=4,x2=3. 6.解：(1)x2-2x+1=3+1,(x-1)2=4, .x-1=±2，.1=3，x2=-1. (2)a=3,6=-2,c=-4 4=(-万2-4x3×(-=5>0, =±5巨45，E5 2×3 6 6 (3)2(x+1)2-(x+1)(x-1)=0, (x+1)[2(x+1)-(x-1)]=0,(x+1)(x+3)=0, x+1=0或x+3=0,1=-1,x2=-3. (4)(x-2)(3x-4)=0,∴x-2=0或3x-4=0, 4 x1=2,为=3 7.解：①当x-3≥0即x≥3时， 原方程可化为x2-(x-3)-3=0,即x2-x=0, 解得1=0，x2=1. x≥3，x=1或x=0均不符合题意； ②当x-3<0即x<3时， 原方程可化为x2+(x-3)-3=0,即x2+x-6=0, 解得x1=2,x2=-3. 综上所述，原方程的解为1=2,2=-3. 8.解：(1)设1=4x-1,则原方程化为2-10：+24=0， 因式分解，得(t-4)(t-6)=0, 解得1=4,2=6. 5 当1=4时，4x-1=4,4x=5,x=4 当1=6时，4x-1=6,4x=7,x=4, 7 5 7 所以原方程的解为=4为=4 (2)设t=x2,则原方程化为2-5t+4=0, 因式分解，得(t-1)(t-4)=0,解得1=1,2=4. 当t=1时，x2=1,x=±1；当t=4时，x2=4,x=±2， 所以原方程的解为名1=1，x2=-1,=2,4=-2 参考答案及解析 3一元二次方程的龈与系数的关系 【基础巩固练】 1.A2.D3.-34.-2 5.解：a=4,b=8,c=-2, 西+为=-b。-8 a (1)1+1-+5.-2 4 (2)号+号=（名+为2）2-2x12=(-2)2-2× ()5 (3)(1-x2)2=(x1+名)2-4x12=（-2)2-4× (-)6 6.C7.58.4 9.-3[解析]a,B是方程x2-2x+k=0的两个实数根， △=（-2)2-4k≥0，解得k≤1.a,B是方程x2-2x+k =0的两个实数根，a2-2a+k=0,a+B=2,.a2-2a= -ka2-a+B=5,.a2-2a+a+B=5,.-k+2=5, .k=-3. 10.(1)解：把x1=-1代人方程(x-1)(x-2)=m2, 得m2=6,.m=±6， .(x-1)(x-2)=6,即x2-3x-4=0, .(x-4)(x+1)=0, .x1=-1,x2=4, .x2=4,m=±√6. (2)证明：方程(x-1)(x-2)=m2可化为x2-3x+2-m2=0. 4=9-4(2-m2)=4m2+1>0, ·,方程有两个不相等的实数根. 方程(x-1)(x-2)=m2, 即x2-3x+2-m2=0的两根为名1,2， x1+x2=3,x12=2-m2, (x1-1)(x2-1)=x1x2-(x1+x2)+1=2-m2-3+1 =-m2. m2≥0，-m2≤0，即(x1-1)(x2-1)≤0. 【能力提升练】 1.D2.C 3.B[解析]设原来的方程为ax2+bx+c=0(a≠0)，由题知 -合=6+1=7，÷=-2×(-5)=10,6=-7a,0= 10a,.原来的方程为ax2-7ax+10a=0.当a=1时，方程 为x2-7x+10=0.故选B. 4.295.3<m≤56.7号 7,解：设方程的另一个根是，则21=-号， 3 x1=-5 “名+2=令号+2=专解得=-7 8.解：根据根与系数的关系，得 3 x1+x2=-2,x1为=-2 ·13 同步练测·九年级数学·上册·北师版 (1)(名+2)（名+2）=+2（出1+）+4=- 2 -+2× （-2》+4=是 (2)点+女号+近_（+2-24 + x121x2 x1x2 (-2)2-2×-2 31 14 31 9.(1)证明：b2-4ac=[-(m+2)]2-4×2m=(m-2)2≥ 0,∴.无论m取何值，方程总有两个实数根， (2)解：根据题意，得x1+x2=m+2,x1x2=2m (x1+2)(x2+2)=18, .名1x2+2(x1+2)+4=18, 即2m+2(m+2)+4=18, 整理，得4m=10, 5 解得m=2 (3)解：①当x1=3时，3-3<x2<3+3, 即0<x2<6. 名，x2是方程的两个实数根， ∴.3+x2=m+2,3x2=2m, .3(m-1)=2m, 解得m=3,此时x2=2,符合题意； 同理得，当x2=3时，m=3,此时x1=2,符合题意； ②当x1=:2时，即b2-4ac=0, 由(1)可知此时m=2, 此时方程的解为x1=x2=2,符合题意。 综上所述，m的值为3或2. 4一元二次方程的应用 课时1一元二次方程的应用（一） 【基础巩固练】 1.C2.A3.8m4.120 5.解：设小路的宽度为xm,则9块矩形地块可合成长为(20- 4x)m,宽为(14-4x)m的矩形 根据题意，得(20-4x)(14-4x)=24×9, 整理，得2x2-17x+8=0, 1 解得x1=2名=8（不合题意，合去）. 1 答：小路的宽度为乞m 6.解：设经过xh能拦截住该可疑船只，则AB=24 x n mile,OB =30x n mile. 在Rt△A0B中，由勾股定理，得OA2+AB2=OB2, 即182+(24x)2=(30x)2, 解得1=1，x2=-1(不合题意，舍去). 答：经过1h能拦截住该可疑船只. 7.解：设出发xs时，△MCW的面积为2cm2,且x<3. 根据题意，得8-2x)3-=2, 2 解得x1=2,x2=5(舍去). 答：出发2s时，△MCN的面积为2cm2. 【能力提升练】 1.A2.D3.A 4.C[解析]设道路宽为xm,由题意，得(20-x)(32-x)= ·14· 540,整理，得x2-52x+100=0,解得x1=50(不合题意，舍 去)，x2=2,则道路宽为2m.故选C. 5.(1,4)或(2,2) 6.解：(1)设轮船出发th后，两艘轮船之间的直线距离为 50 n mile,则轮船甲与码头A的距离为40 t n mile,.轮船乙与 码头A的距离为(80-50t)n mile. 根据题意，得(80-50)2+(40)2=502， 解得=1=碧 艘轮船出发1h或是h后，两艘轮船之间的直线 为50 n mile. (2)设轮船甲出发xh后向轮船乙发出需要补充物资的指 令，则CD=50 x n mile,AC=AD-CD=(80-50x)n mile,AB =40x n mile,BC=50(9 -7-x)n mile. 在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB2+AC2=BC2, 即(40x)2+(80-50x)2=[50(9-7-x)]2, 整理，得4x2+5x-9=0, 解得=1，名=-？（不合题意，舍去）， .7+1=8, ∴.轮船甲上午8时向轮船乙发出需要补充物资的指令 7.解：(1)根据题意，得AQ=tcm,BP=2tcm,0≤t≤3. ,·四边形ABCD为矩形，AB=6cm,AD=4cm, ∴.DQ=(4-t)cm,AP=(6-2t)cm,∠A=90°， ∴Sa0=7D0:AP=2(4-0(6-20）=6 整理，得2-7t+6=0,解得1=1,2=6. 0≤t≤3，∴.t=1, .当t=1时，△PDQ的面积为6cm2 (2)不存在实数t,使得△PDQ为等腰三角形.理由如下： 由(1)知DQ=(4-t)cm,AP=(6-2t)cm,AQ=tcm, .PQ2=AQ2+4P2=t2+(6-2t)2 △PDQ为钝角三角形，且为等腰三角形，∴.DQ=PQ, 、.DQ2=PQ2,即(4-t)2=2+(6-2t)2, 2-4t+5=0. 4=(-4)2-4×1×5=-4<0, .原方程没有实数根， ∴.不存在实数t,使得△PDQ为等腰三角形. 课时2一元二次方程的应用（二） 【基础巩固练】 1.C2.B3.B4.13 5.解：(1)当售价为300元时，月利润为(300-200)×100= 10000(元). 设售价应定为x元，则每件的利润为(x-200)元，月销售量 为100+20(300-】=(700-2x)件. 10 依题意，得(x-200)(700-2x)=10000, 解得x1=250,x2=300(不合题意，舍去) 答：售价应定为250元. (2)线上购买所需费用为250×38=9500（元）. 因为线下购买，买五送一， 所以线下超市购买只需付32件的费用， 所以线下购买所需费用为300×32=9600（元）. .·9500<9600, ..选择在线上购买更优惠.