2.3 一元二次方程的根与系数的关系 新课预习2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程根与系数关系，通过基础巩固、综合应用、创新拓展三层设计，实现从概念理解到问题解决的递进，培养运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|根与系数基本关系|单选题1-5直接考查两根和积计算，填空题8-10结合方程根求参数| |中档|公式综合应用|单选题6-7涉及错解分析、新定义运算，解答题13-14结合判别式与根的平方和| |提升|跨知识创新应用|解答题15-17通过构造方程、换元法解决实际问题，培养模型意识与创新思维|

2.3 一元二次方程的根与系数的关系 新课预习 2026-2027学年北师大版九年级数学上册 一、单选题 1．已知是一元二次方程的两根，则的值是（     ） A．0 B．2 C． D．4 2．一元二次方程的根的情况，下列结论正确的是（     ） A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．两实数根之积为1 D．两实数根之和为 3．已知关于的方程的两根为，则以为两根的一元二次方程是（    ） A． B． C． D． 4．若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为m，n，则点在平面直角坐标系中位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．一直角三角形的两直角边长分别为方程的两根，则它的面积是（    ） A．5 B．7 C．10 D．35 6．甲、乙两个同学分别解一道一元二次方程，甲因把一次项系数看错了，而解得方程两根为和5，乙把常数项看错了，解得两根为和，则原方程是（    ） A． B． C． D． 7．对于实数a，b，定义新运算，则下列结论正确的有（　　） ①； ②当时， ； ③； ④若，是一元二次方程的两个根，则或﹣17； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 8．已知是关于x的一元二次方程的一个根，则另一个根是______． 9．一元二次方程的二个根分别是和，这个方程的一般形式可以是______． 10．已知两直角边的长度恰好是一元二次方程的两个实数根，那么的面积是______． 11．定义：如果一元二次方程(，，为常数，且)的两个实数根，满足，那么称这样的方程为“倒数方程”．已知关于的一元二次方程(为常数)是“倒数方程”，则的值为________． 12．若关于x的一元二次方程的两个根为，则，．利用以上关系及所学知识，解决以下问题 ①若一元二次方程的两根分别为m，n，则=_______． ②若一元二次方程的两个根为，则最小值为_______ 三、解答题 13．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若且为整数，求方程的根． 14．在学习一元二次方程的根与系数关系一课时，老师出示了这样一个问题：已知关于x的一元二次方程的两个实数根的平方和为23，求m的值．某同学的解答如下框：请判断该同学的解答是否完整？若完整，请在框内打“√”；若不完整，请你把解答过程补充完整． 由题意得：，， ， ∴，解得：或， ∴m的值为7或． 15．有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元二次方程的有关知识将其解决．请你完成下面两个问题： (1)已知实数m、n满足、，求的值． (2)已知实数a、b、c满足，且，求c的最大值． 16．综合与探究 已知关于的方程． (1)若方程有实数根，求的取值范围． (2)我们知道，若一元二次方程的两根分别为和，则有，．当方程的两根，满足时，求的值． (3)若，，1三个数中有两个数相等，且，为方程的两个实数根，求的值． 17．阅读材料，解决问题。 【材料1】为了解决方程，若我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，我们通常把以上这种解决问题的方程叫做换元法． 【材料2】已知实数满足，且，显然是方程的两个不相等的实数根，由根与系数的关系可知， 根据上述材料，解决以下问题： (1)直接应用：方程的解为__________． (2)间接应用：已知实数满足，且，求的值； (3)拓展应用：已知实数满足，且，求的值． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 A C A B A D B 1．【答案】A 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【详解】解：一元二次方程中，，， 由根与系数的关系得． 2．【答案】C 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】先利用判别式判断根的存在情况，再计算两根之和与两根之积，即可判断选项正误． 【详解】解：对于一元二次方程 ，可得 ，，， 计算根的判别式： ， ∴方程有两个不相等的实数根，选项A，B错误； 根据一元二次方程根与系数的关系： 两根之和 ，∴选项D错误； 两根之积 ，∴选项C正确． 3．【答案】A 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】先利用根与系数的关系求得，则新方程的两个根为再逐项判断即可． 【详解】解：A．由根与系数的关系可得方程的，符合题意； B．由根与系数的关系可得方程的，不符合题意； C．由根与系数的关系可得方程的，不符合题意； D．由根与系数的关系可得方程的，不符合题意． 4．【答案】B 【知识点】判断点所在的象限、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，点的坐标；将方程化为标准形式后，利用根与系数的关系求出两根之和与积，再根据点的坐标判断所在象限． 【详解】解：原方程展开并整理为标准形式：， 其中． ， ∴点，即，故位于平面直角坐标系的第二象限． 故选：B． 5．【答案】A 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的两根满足：和．设方程的两根为，根据一元二次方程根与系数的关系即得的值，再根据三角形的面积为计算即得． 【详解】设方程的两根为 ∵在中， ∴ ∴三角形的面积为： 故选：A． 6．【答案】D 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系，即可列式作答． 【详解】解：∵甲因把一次项系数看错了，而解得方程两根为和5， ∴，即 ∵乙把常数项看错了，解得两根为和， ∴，即 A、因为，所以，，故该选项是错误的； B、因为，所以，，故该选项是错误的； C、因为，所以，，故该选项是错误的； D、，所以，，故该选项是正确的； 故选：D 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，以及根据一元二次方程根的情况求参数等内容，正确掌握，是解题的关键． 7．【答案】B 【知识点】整式四则混合运算、新定义下的实数运算、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】根据新定义的计算公式分别计算判断． 【详解】解：①，正确； ②当时，， ∴，故错误； ③，故错误； ④若，是一元二次方程的两个根，则，， ， 故或﹣17；故正确； 综上分析可得，正确的有：①④， 故选：B． 【点睛】此题考查了新定义运算，正确理解计算公式，掌握有理数混合运算法则，整式混合运算法则，一元二次方程根与系数的关系式是解题的关键． 8．【答案】4 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，． 利用一元二次方程根与系数的关系，已知一个根，通过两根之积求另一个根即可． 【详解】解：设另一个根为，根据根与系数的关系，有， 解得． 故答案为4． 9．【答案】（答案不唯一） 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系分析求解即可． 【详解】解：设该方程为， ∵该方程的两根分别为和， ∴ ， ， ∴，． 当时，该一元二次方程为． 故答案为（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，牢记两根之和为，两根之积为是解题的关键． 10．【答案】6 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】设两直角边的长度分别为，n，则，n是方程的两个实数根，再利用一元二次方程的根与系数的关系即可求得答案． 【详解】解：设两直角边的长度分别为，n， 由题意可得：，n是方程的两个实数根， ∴， ∴， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，若，是一元二次方程的两根时，则，，熟练掌握根与系数的关系是解决本题的关键． 11．【答案】 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．根据根与系数的关系，得到方程两根之和与两根之积，代入倒数方程的条件，得到关于的方程，求解并验证判别式即可． 【详解】解：设方程的两个根为和， 根据根与系数的关系，有： 由倒数方程的定义， 代入得： 解得：， 经检验是原方程的解，且当时，原方程为，，原方程有两个实数根 故答案为：． 12．【答案】 【知识点】分式化简求值、配方法的应用、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法、韦达定理以及根的判别式，熟记公式并整体代入是解题关键．①利用根与系数的关系求出两根和与积，再代入所求式化简计算；②利用根与系数的关系将表达式转化为，再利用配方法变形为，由即可解答． 【详解】解：①对于方程，由根与系数的关系，得，， 则， 故答案为：； ②对于方程，由根与系数的关系，得，， 则， ∵， ∴， 则的最小值为． 故答案为：． 13．【答案】(1) (2) 【知识点】因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，因式分解法解一元二次方程， （1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根，可得，由此即可求解； （2）由（1）可得，结合且为整数，可得整数的值为，代入方程，根据因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得，． （2）解：∵且为整数，且， ∴， ∴整数的值为， 当时，原方程可化为：， ∴， 解得，． 14．【答案】 解：该同学的解法不正确． 正确解法为： ∵有两个实数根， 设原方程的两个实数根为a、b，则，， ， ， 又， ， 解得：或， 当时，，符合题意， 当时，，不符合题意， ∴． 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】该同学的解法没有考虑根的判别式的意义，所以他的解法不正确．把两个实数根的平方和变形为两根之积或两根之和的形式，根据这两种情况确定m的值即可． 【详解】略 【点睛】此题考查了一元二次方程根与系数的关系以及完全平方式的应用．此题难度不大，解题的关键是掌握：若二次项系数为1，常用以下关系：是方程的两根时，性质的应用． 15．【答案】(1)或2 (2)3 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，不等式，根的判别式等知识，灵活应用一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 当m、n不相等时，由题意可知m，n是方程的两个实数根，再由根与系数的关系可得和的值，即可解答；当m、n相等时，直接将代入计算即可； 由题意可知a，b是方程的两个实数根，再由根的判别式求解即可． 【详解】（1）解：当m、n不相等时， 实数m、n满足、， ，n是方程的两个实数根， ，， ； 当m、n相等时， ； 综上所述，的值为或2； （2）解：，， ， ， ，b是关于x的方程的两个根，且，， ， ， ， ， ， ， 的最大值是 16．【答案】(1) (2)的值为1 (3)的值为或或． 【知识点】公式法解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解一元二次方程． （1）利用根的判别式得到，解不等式即可求解； （2）利用根与系数的关系得到结合已知求得，解方程，求得合适的值即可求解； （3）分①当或时，②当时，两种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ， 方程有实数根， ， 解得； （2）解：根据材料可得，， ， ，即， 解得，． ， 的值为1； （3）解：①当或时， ，为方程的两个实数根， 将1代入方程得， 解得或； ， 的值为或； ②当时， ，为方程的两个实数根， ，解得． 综上所述，的值为或或． 17．【答案】(1)，，， (2) (3)15 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、因式分解法解一元二次方程、换元法解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】（1）利用换元法降次解决问题即可； （2）模仿例题，利用一元二次方程，根与系数的关系，解决问题即可； （3）令，，则，，再模仿例题，结合一元二次方程根与系数关系，解决问题即可． 【详解】（1）解：令，则有， ∴， ∴，， ∴或3， ∴，，，； （2）解：令，， ∵， ∴则，， ∴，是方程的两个不相等的实数根， ∴， 此时； （3）解：令，，则，， ∵， ∴即， ∴，是方程的两个不相等的实数根， ∴， 故． 【点睛】本题主要考查了根与系数的关系，幂的乘方与积的乘方，换元法，解一元二次方程等知识，解题的关键是理解题意，学会模仿例题解决问题． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $