第1章 专题1 与正方形有关的常考模型-【勤径学升】2026-2027学年九年级上册数学同步练测（北师大版·新教材）

同步练测·九年级数学·上册·北师版 ∴.Rt△ABE≌Rt△AGE(HL),.BE=GE. 同理，Rt△ADF≌Rt△AGF,..DF=GF, .BE+DF =GE+GF=EF 设BE=x,DF=y, CE=BC-BE=6-x,CF=CD-DF=6-y,EF=x+y. 在Rt△CEF中，由勾股定理，得(6-x)2+(6-y)2=(x+ y)2,整理，得y+6(x+y)=36, ∴.(BE+6)(DF+6)=(x+6)(y+6)=xy+6(x+y)+36 =36+36=72. 微专题4特殊平行四边形中等面积法的应用 1.B224 专题1与正方形有关的常考模型 1.【探究】(1)证明：如答图，将GF平移 AG 到AH处，则AH∥GF,AH=GF GF⊥BE,∴.AH⊥BE, ∴.∠ABE+∠BAH=90° E 四边形ABCD是正方形， .AB=BC,∠ABH=∠BCE=90°， ∴.∠ABE+∠CBE=90°， H F ,∴.∠BAH=∠CBE 1题答图 r∠BAH=∠CBE， 在△ABH和△BCE中 AB=BC. L∠ABH=∠BCE, .△ABH≌△BCE(ASA),AH=BE,,BE=FG. (2)解：2 【应用】解：9 2.解：(1)MN=DM+BN[解析]由旋转的性质可知AE= AM,BE=DM,∠EAM=90°，∠ABE=∠D=90°，∴.∠ABE+ ∠ABC=90°+90°=180°，∴.E,B,C三，点共线.∠MAW= 45°，∴.∠EAN=∠EAM-∠MAN=45°=∠MAN.在△EAN AE AM, 和△MAN中 ∠EAN=∠MAN,'.△EAN≌△MAN(SAS), AN=AN. .'EN MN.EN BE BN,..MN DM+BN. (2)MW=BN-DM.理由如下： 如答图①，在BC上取BE=MD,连接AE. AB=AD,∠B=∠ADM=90°， ∴，△ABE≌△ADM, ∴.AE=AM,∠BAE=∠DAM ∠DAM+∠DAN=45°，.∠BAE+∠DAN=45°， ∴.∠EAN=45°=∠MAN AE =AM. 在△EAN和△MAN中，{ ∠EAN=∠MAW, LAN =AN. .△EAN≌△MAN(SAS),.EN=MN. .EN =BN BE,..MN BN-DM. B E 2题答图① 2题答图② 。6… (3)MW=DM+BN.理由如下： 如答图②，将△ABN绕点A逆时针旋转120°得△ADE, ∴.∠B=∠ADE,AN=AE,BN=DE. .·∠B+∠ADC=180°， .∠ADE+∠ADC=180°， ∴E,D,C三点共线. 由(1)同理可得△EAM≌△NAM(SAS), ∴.MN=DM+DE=DM+BN. 3.(1)证明：在正方形ABCD中，A0=B0,∠A0B=90°， ∠0AB=∠OBC=45°. :四边形A1B1C10是正方形，.∠A10C1=90°， .∠AOE+∠E0B=90°，∠BOF+∠E0B=90°， .∠AOE=∠BOF r∠OAE=∠OBF, 在△AOE和△BOF中，{OA=OB, L∠AOE=∠BOF, .△AOE≌△BOF(ASA). (2)解：两个正方形重叠部分的面积等于42。 理由如下：.由(1)知△A0E≌△B0F,.S△AOE=S△BOP, ∴.S四边形0BBF=S△E0B+S△0BF=S△E0B+S△A0E=S△40B= 子5E方形=子2 1 4.解：(1)AH=CH+√2BH.理由如下： 当点G,H重合时， .·四边形ABCD和四边形BEFG是正方形 ∴.AB=BC,BE=BH,LABC=90°，∠EBH=90°， .EH=√2BH,∠ABE=90°-∠EBC=∠CBG, ∴△ABE≌△CBG, .AE CG,..AH=AE+EH=CH+2BH. (2)AH=CH+√2BH, 理由如下： 由(1)得△ABE≌△CBG, ∴.∠BCH=∠MAB. 在AE上截取AM=CH, 如答图①. ∠BCH=∠MAB,AB=BC, .△MAB≌△HCB, ∴.∠MBA=∠CBH,BM=BH. ∠HBG=90°-LCBH-∠EBC, ∠EBM=90°-∠MBA-∠EBC, 4题答图① ∴.∠HBG=∠EBM, ∴.∠MBH=∠EBM+∠EBC+∠CBH=∠HBG+∠EBC+ ∠CBH=∠EBG=90°， ∴.△MBH是等腰直角三角形， .MH=√2BH D AH =AM +MH, .AH=CH+√2BH. (3)CH=AH+√2BH.理由如下： M B 由(1)得△ABE≌△CBG, ∴.AE=CG,∠BCH=∠HAB. 在CG上截取CM=AH, G 如答图②. 4题答图② ·∠BCH=∠HAB,BC=AB, .△ABH≌△CBM, .BH=BM,∠MBC=∠ABH. 同理，△MBH是等腰直角三角形， ∴.MH=√2BH. .·CH=CM+MH,∴.CH=AH+√2BH 专题2特殊平行四边形中的折叠向题 1.D[解析]连接BD,设C'D与AB 的交点为P,如答图.四边形ABCD 为菱形，.AB=AD.”∠A=60°，A .△ABD为等边三角形，∠ADC= 120°，∠C=60°.DC是AB的垂 C 直平分线，P为AB的中点， ,DP为∠ADB的平分线，即 1题答图 ∠ADP=∠BDP=30°，.∠PDC=90°，∴.由折叠的性质，得 ∠CDE=∠PDE=45.在△DEC中，∠DEC=180°- (∠CDE+∠C)=75°.故选D. 2.2√5-2[解析]如答图，连接AC,CE.四边形ABCD是 菱形，AD=4,∠B=60°，∴.CD=AD=4,∠D=∠B=60°， ∴.△ACD是等边三角形.E为AD的中点，DE=AE= AD-2,CELADLCED90CE=CD-DE √42-2=25.由翻折，得D'E=DE=2.CD'+D'E≥ CE,.CD'+2≥2√3，.CD'≥25-2，.CD'的最小值 为23-2. 2题答图 3.A4.D 52 [解析]：四边形ABCD是矩形，AD=BC,AB=CD, ∠ABC=90°.EF∥BD,.∠CEF=∠CBD,∠FEM= ∠EMB.由翻折，得∠CEF=∠FEM,MF=CF,∴，∠EMB= ∠EBM,.CE=BE=ME..AD∥BC,.∠ADM=∠EBM .∠ADM=∠AMD,AD=AM.设BE=ME=x,则AD=AM =2x,AE=AM+EM=3x,∴.AB=√AE2-BE2=2V2x, 品号 6.C[解析]四边形ABCD是正方形，AB=6,E是BC的中 点，.CB=CD=AD=AB=6,∠D=∠B=∠C=90°，∴.BE =CE=CB=3.由折叠，得A=AB,FE=BE=3,LAFE =∠B=90°，∴.AF=AD,∠AFG=∠D=90°.在Rt△AFG和 △ADG中，{AC:AG,△AFG≌R△ADc(HL),万 =DG.CE2+CG2=EG2,CG=6-DG,EG=3+FG=3+ DG,.32+(6-DG)2=(3+DG)2,解得DG=2,.AG= √/AD2+DG=√62+22=2√10.故选C. 7.4 8.75°[解析]如答图，设AM与ND相交于点E,由翻折，得 ∠DAM=∠MAN,AD=AN,AM⊥DN,∴.∠DEM=90°. 参考答案及解析 ∠NDM=30°，.∠DMA=60°.四边形ABCD是正方 形，∴.AB=AD,∠BAD=∠CDA=90°，.∠DAM=90°- ∠DMA=30°，AB=AW,∴∠MAN=∠DAM=30°，∴.∠BAN =∠BAD-∠DAM-∠MAN=90°-30°-30°=30°..·AB =AN,LABN=∠AB=之(I80°-LBN)=7× (180°-30°)=75°. D 8题答图 专题3特殊平行四边形中的动点问题 1.D 2.C[解析]四边形ABCD是正方形，AB=AD=BC= CD,∠D=∠BAD=∠B=90°.如答图，将△ABM绕点A顺 时针旋转90°得到△ADE,则AE=AM,∠ADE=∠B=90°， BM=DE,∠EAD=∠MAB,.E在CD的延长线上 .·∠MAB+∠DAN=∠DAB-∠MAN=45°=∠MAN, .'.∠EAD+∠DAN=∠EAN=∠MAN.在△EAN和△MAN [AE =AM, 中，{∠EAN=∠MAW,∴.△EAN≌△MAN(SAS),.MN= LAN=AN, EN=DE+DN=BM+DN,∴，△MNC的周长为MC+NC+ MN (MC+BM)+(NC DN)=BC DC..DC BC=AB =√2，.△MWC的周长为2√2.故选C. B DN 2题答图 3.(1)(3,8)(15,0)(2)7 4.解：(1)四边形B0CE是矩形.证明如下： .BE∥OC,EC∥OB, .四边形BOCE是平行四边形 :四边形ABCD是菱形，AC⊥BD, ∴.∠BOC=90°，∴.四边形B0CE是矩形. (2):四边形ABCD是菱形，AC=6cm,BD=8cm, ..OA=OC=3 cm,OB=OD=4 cm. S△ABG=2S△OBG,.AG=20G, ∴.2t=2(3-2t)或2t=2(2t-3), 解得t=1或t=3. 5.(1)证明：如答图①，过点P作MN∥AD,分别交AB于点M, 交CD于点N:PB⊥PE,.∠BPE=90°， .∴∠MPB+∠EPN=90°. :四边形ABCD是正方形，.∠BAD=∠D=90 .'AD∥MN,.∠BMP=∠BAD=∠PNE=∠D=90°， .∠MPB+∠MBP=90°，∴.∠EPN=∠MBP. 在Rt△PWC中，∠PCN=45°， ·△PNC是等腰直角三角形， .PN=CN,∴.BM=CN=PN. T∠PBM=∠EPN, 在△BMP和△PNE中，BM=PN, L∠BMP=∠PNE, 7同步练测·九年级数学·上册·北师版 专题1与正方形 类型0十字模型 ⊙模型展示>>-·- 的内 1在正方形ABCD中，E是边CD上一点（点E不 与点C,D重合)，连接BE. 【感知】如图①，过点A作AF⊥BE交BC于点 F.易证△ABF≌△BCE(不需要证明)； 【探究】如图②，取BE的中点M,过点M作FG ⊥BE交BC于点F,交AD于点G. (1)求证：BE=FG; (2)连接CM.若CM=1,则FG的长为 【应用】如图③，取BE的中点M,连接CM.过点 C作CG⊥BE交AD于点G,连接EG,MG.若CM =3,则四边形GMCE的面积为 1题图①1题图②1题图③ 类型②旋转半角模型 ⊙模型展示》一…一·-一一·一· ①△AEF≌△AEG; ②EF=BE+DF; ③△CEF的周长为2AB 40 有关的常考模型 [答案P6] 2(东营中考)【问题情境】在数学综合实践课上， 同学们以四边形为背景，探究非动点的几何问 题.若四边形ABCD是正方形，M,N分别在边 CD,BC上，且∠MAN=45°，我们称之为“半角模 型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常 用的方法. EB N C N 2题图① 2题图② 2题图③ 【初步尝试】 (1)如图①，将△ADM绕点A顺时针旋转0°， 点D与点B重合，得到△ABE,连接MN.用 等式写出线段DM,BN,MN的数量关 苏 【类比探究】 (2)小明改变点的位置后，进一步探究：如图②， 点M,N分别在正方形ABCD的边CD,BC的 延长线上，∠MAN=45°，连接MN,用等式写 出线段MN,DM,BN的数量关系，并说明 理由； 【拓展延伸】 (3)其他小组提出新的探究方向：如图③，在四 边形ABCD中，AB=AD,∠BAD=120°， ∠B+∠D=180°，点N,M分别在边BC,CD 上，∠MAN=60°，用等式写出线段BN,DM, MW的数量关系，并说明理由. 类型③对角互补模型 ⊙模型展示>一…一·-·-…一一··一··一 图示 条件 ∠E0F=90° △AOE≌△BOF,△AGO≌△BHO, 结论 1。 S四边形0EBn=4S正方形ABCD ·<《归 3如图，正方形ABCD的对角线AC和BD相交于 点0,0又是正方形A1BC10的一个顶点，OA 交AB于点E,OC1交BC于点F: (1)求证：△AOE兰△B0F; (2)如果两个正方形的边长都为a,那么正方形 AB1C10绕点0转动时，两个正方形重叠部 分的面积等于多少？为什么？ 3题图 类型⑨手拉手模型 ⊙模型展示>···- 】 ①△ABE≌△ADG; ②BE⊥DG 《咀 第一章特殊平行四边形 ④（兰州中考）【提出问题】数学讨论课上，小明绘 制图①所示的图形，正方形ABCD与正方形 BEFG(AB>BE),点E,G分别在AB,BC上.根 据图形提出问题：如图②，正方形BEFG绕点B 顺时针旋转，旋转角为α(0°<α<180°)，直线 AE与CG相交于点H,连接BH,探究线段AH, BH,CH之间的数量关系. 【解决问题】 (1)小明将上述问题特殊化，如图③，当点G,H 重合时，请你写出AH,BH,CH之间的数量关 系，并说明理由； (2)小明借鉴(1)中特殊化的解题策略后，再解 决图②所示的一般化问题，当点G,H不重合 时，请你写出AH,BH,CH之间的数量关系， 并说明理由； 【拓展问题】 (3)小明将图②所示问题中的旋转角α：的范围 再扩大，正方形BEFG绕点B顺时针旋转， 旋转角为a(180°<a<360),直线AE与 CG相交于点H,连接BH,请直接写出AH, BH,CH之间的数量关系 D 4题图① 4题图② 4题图③ 。5