第1章 专题2 与正方形有关的三种常考模型（PDF部分书稿）-【鸿鹄志·名师测控】2026-2027学年九年级上册数学（北师大版·新教材 宁夏专版）

专题二与正方形有关的三种常考模型 类型1十字模型（教材P22习题T6变式） 【变式题1】如图，在正方形ABCD中，点E, 模型总结：连接正方形的两组对边（或其延长线）上 H,F,G分别在边BC,DC,AD,AB上，EF, 任意两点，得到的两条线段（如图①中的AE与 GH交于点O,∠FOH=90°，EF=4,则GH BF,如图②中的AE与GF,如图③中的EF与 的长为 HG)满足：若垂直，则相等；若相等，则垂直. ED HD o B E B G B G B G (变式题1图) (变式题2图) 图① 图② 图③ 【变式题2】如图，已知正方形ABCD的边长为 1.一题多变思维延伸在综合实践活动中，同学 8,点E,F,G分别在DC,AD,BC上，DE= 们将对学校的一块正方形花园ABCD进行 BG=2,AE=GF,AE与GF相交于点H,I为 测量规划使用.如图，点E,F处是它的两个 门，且AE=DF,要修建两条直路AF,BE, GE的中点，连接HI,则HI的长为 AF与BE相交于点O(两个门E,F的大小 类型2 一线三等角模型 忽略不计).请问这两条路是否等长？它们 在正方形ABCD中，E是射线BC上一点， 条件 有什么位置关系？请说明理由 AE⊥EF,∠BCF=135. 图形 在AB上截取AM=延长BA到点M,使得 辅助线 CE,连接ME AM=CE,连接ME 结论 △AME≌△ECF,AE=EF,CF=√2BE 2.类比探究新趋势如图，四边形ABCD是正方 形，点E在直线BC上（不与点B,C重合）， ∠AEF=90°，且EF交正方形外角∠DCG 的平分线于点F. BE CEG 图① 图② (1)如图①，当点E在线段BC上时，求证： AE=EF; 17第一章特殊平行四边形 (2)如图②，当点E在BC的延长线上时，判断3.如图①，点E,F分别在正方形ABCD的边 (1)中的结论是否仍然成立，并说明理由. BC,CD上，∠EAF=45°，连接EF,试猜想 EF,BE,DF之间的数量关系 (1)在CD的延长线取一点G,使DG=BE, 连接AG,请根据以上思路推导出EF, BE,DF之间的数量关系， (2)如图②，点E,F分别在正方形ABCD的 边CB,DC的延长线上，∠EAF=45°.连 接EF,试猜想EF,BE,DF之间的数量 关系，并给出证明， D 图① 图② 类型3半角模型 模型呈现 辅助线 结论 在EB的 △ABG≌△ADF, 延长线上 BAG-DAF. 取一点G, △AEG≌△AEF 在正方形ABCD中， 使BG EF=EG=BE十 点E,F分别在边BC, DF,连接 DF CD上，∠EAF=45 AG 数学九年级上册配BSD版18能力提升 5.C6.22.5°7.(1)证明：四边形ABCD是正方形，∴.∠BAD=90°，AC是∠BAD 的平分线.PM⊥AD,PN⊥AB,∴.PM=PN,∠PMA=∠PNA=90°.∴.∠PMA= ∠PNA=∠BAD=90°.∴.四边形PMAN是矩形.又：PM=PN,.四边形PMAN是 正方形.(2)解：：四边形PMAN是正方形，.∠APM=∠APN=45°.∠EPA=15°， ∠EPM=∠APM-∠EPA=30.∴EM=2ED=1.PM=√E-EM-E. .SE方形PMAN=(W5)2=3. 教材拓展角 (1)C(2)正方形(3)106(4)AC=BD(5)证明：连接AC,BD交于点O.,E,F 分别是AB,BC的中点EF是△ABC的中位线.EF∥AC,EF=2AC同理，得 HG∥AC,HG=号AC.∴EF∥HG,EF=HG.·四边形EFGH是平行四边形.：AB= AD,BC=CD,AC是线段BD的垂直平分线.∴.AC⊥BD.E,H分别为AB,AD的 中点，∴EH是△ABD的中位线.∴.EH∥BD.:EF∥AC,∴EF⊥EH,即∠HEF= 90°..四边形EFGH是矩形. 大单元整合练特殊四边形的折叠问题【落实课标】 1.D2.75°3.44.证明：(1)四边形ABCD是矩形，.AB=CD,∠B=∠D=90° 由折叠的性质，得∠F=∠D=∠B=90°，CF=CD=AB.:∠AEB=∠CEF,∴.△ABE ≌△CFE(AAS).(2),△ABE≌△CFE,∴.AE=CE.∴.△AEC是等腰三角形.(3)解： 设CE=AE=x.四边形ABCD是矩形，.BC=AD=8..BE=BC-CE=8-x.在 Rt△ABE中，BE十AB=AE,即(8-x)2十4=x2,解得x=5..AE=5.5.(1)证 明：由折叠的性质知∠EAB=∠PAB,∠FAD=∠PAD,.2(∠PAB十∠PAD)= 180°，即∠BAD=∠PAB十∠PAD=90°，同理可得∠ADC=∠ABC=90°，∴四边形 ABCD是矩形.(2)解：连接AC.由折叠的性质知AE=AP=AF,“AF=之ER,同理 可得CG=2GH,“四边形EFGH是菱形，∴.EF=GH,EF∥GH.AF=CG,AF∥ CG..四边形ACGF是平行四边形.∴.FG=AC.:四边形ABCD是矩形，∴.BC=AD= √6，∠ABC=90°..AC=√AB+BC=3.∴.FG=3,即菱形纸片EFGH的边长为3. 专题一特殊平行四边形中的作图问题【宁夏热点】 1.(1)解：如图，菱形ABEF即为所求. FD(2)证明：：四边形ABCD是 平行四边形，.AD∥BC.AF=AB,BE=AB,.AF=BE..四边形ABEF是平行四 边形.AB=AF,∴.四边形ABEF是菱形.2.解：(1)如图①，点F即为所求.(2)如 图②，点G即为所求. 图① 图② 3.解：(1)如图①，平行四边形ABCD即为所求（答案不唯一）.(2)如图②，正方形AB- CD即为所求.(3)如图③，菱形ABCD即为所求.8 图① 图② 图③ 4.解：(1)(2)(3)如图. 图① 图② 图③ 专题二与正方形有关的三种常考模型 1.解：两条路等长，它们的位置关系是互相垂直，理由如下：，四边形ABCD是正方形 ,.BA=AD=CD,∠BAE=∠D=90°.AE=DF,,.△BAE2△ADF(SAS)..BE= AF,∠ABE=∠DAF.,∠BAE=∠BAO+∠DAF=90°，.∠BAO十∠ABE=90. ∠AOB=180°-（∠BAO十∠ABE)=90°..AF⊥BE..AF与BE等长，且互相垂 直.【变式题1】4【变式题2】3√22.(1)证明：在AB上截取BM=BE,连接ME, 58 四边形ABCD是正方形，.AB=BC,∠ABC=∠BCD=90°..∠BAE十∠AEB= 90.BM=BE,∴.△BEM是等腰直角三角形，AM=EC.∴.∠BME=45°.∠AME= 180°-∠BME=135.EF⊥AE,∴.∠AEF=90°..∠AEB+∠CEF=90°..∠BAE ∠CEF.∠DCG=180°-∠BCD=90°，CF平分∠DCG,.∠DCF=∠GCF=45. ∴.∠ECF=∠BCD+∠DCF=135°.∴.∠AME=∠ECF=135°.∴.△AME≌△ECF (ASA).∴AE=EF.(2)解：仍然成立.理由如下：延长BA至点H,使AH=CE,连接 HE.,四边形ABCD是正方形，.∠B=90°，AB=BC,AD∥BC..BH=BE,∠HAD= 90°，∠DAE=∠AEB.∴△BEH是等腰直角三角形.∴.∠H=45°.：CF平分∠DCE, ∴∠ECF=号∠DCE=45.∠H=∠ECRF.:∠AEF=90,.∠HAD+∠DAE= ∠AEF+∠AEB..∠HAE=∠CEF..△AEH≌2△EFC(ASA)..AE=EF.3. 解：(1).四边形ABCD为正方形，.∠B=∠ADF=90°，AB=AD.,.∠ADG=90°= ∠B.:DG=BE,∴△ADG≌△ABE(SAS).∴.∠DAG=∠BAE,AE=AG.∴∠FAG= ∠FAD+∠GAD=∠FAD十∠BAE=90°-∠EAF=45°，即∠EAF=∠FAG..'AF= AF,.△AFG≌△AFE(SAS)..EF=FG..EF=DF+DG=DF+BE,即EF= BE+DF.(2)DF=EF+BE.证明如下：在CD上截取GD=BE,连接AG.同(1)可证 △AEB≌△AGD,.AE=AG,∠EAB=∠GAD.又.'∠BAG+∠GAD=90°，∴.∠EAG= ∠EAB+∠BAG=∠GAD+∠BAG=90°.∴·∠FAG=∠EAG-∠EAF=45°. ∴∠EAF=∠GAF.AF=AF,∴△EAF≌△GAF(SAS).∴.EF=FG.:FD=FG+ DG..'.DF-EFBE. 专题三特殊平行四边形中的定值、最值问题【宁夏热点】 1.B【变式题1】g【变式题2】解：1)：四边形ABCD是菱形，∴A0=C0,AC1 BD,B0=合BD=8.在R△AB0中，A0=VAB-B0=6.AC=2A0=12. ∴Sm=分AC·BD=96.(2)GE十GF的值不发生变化.理由如下：连接AG.由题 意，得S4D=2SD=S4x十Sa,即号×96=号X10GE+X10GF,GE 1 GF=9.6..GE十GF的值不发生变化.2.B3.(1)证明：：四边形ABCD是菱形， 六AD∥BC,∠BAC=Z∠BAD=60.·∠B=180°-∠BAD=60.△ABC为等边 三角形..AB=BC=AC.:△AEF为等边三角形，.AE=AF,∠EAF=60°. ∴.∠BAC-∠EAC=∠EAF-∠EAC,即∠BAE=∠CAF.·△ABE≌△ACF(SAS). BE=CF.(2)解：四边形AECF的面积不发生变化.：△ABE≌△ACF,.SAAE S△AF,.S四边形AECF=S△Ax十S△AKF=S△AEc十S△ABE=S△AC·由(1)知△ABC为等边三 角形，过点A作AH.LBC于点H.易得AH=2,∴Sc=号X4X25=45 Saa5m=Sa=44395.3万6.107.后84 【变式题6√ 9.√2110.2十2/1311.2√5 问题解决活动：作内嵌于正方形的正八边形 【观察判断】①③【回顾反思】48【解决问题】解：菱形ABCD的内接矩形EFGH 的三种草图如图所示， A(E) D(H) C(G) 【拓展探究】解：(1)(2)如图所示. 图① 图② 第一章章末复习 思维导图 相等垂直平分相等互相垂直相等一半直角相等且互相平分一半 直角相等直角直角相等相等且互相垂直平分相等互相垂直直角 相等 考点整合 1.C2.C3.C4.(1)证明：四边形ABCD是平行四边形，.OA=OC.△EAC 59 是等边三角形，∴.EA=EC.∴.EO⊥AC.∴.四边形ABCD是菱形.(2)解：由(1)知四边 形ABCD是菱形，OA=OC=子AC=4,OB=OD.在R1△AOB中，OB √AB-OA=3.,.OD=OB=3.△EAC是等边三角形，..AE=AC=8.在 R△A0E中，OE=V/AE-0A=4EDE=0E-OD=4E-3.5.C6号 7.解：(1)如图，线段BE即为所求。 (2)如图，截取线段BF,连接DF. 四边形ABCD是菱形，.AB∥CD..BF∥DE.BF=DE,.四边形DFBE是平行 四边形.由(1)作法知：BE⊥CD,∴.∠BED=90°，.四边形DFBE是矩形..∠DFB= 90°.∠DFA=90°.：四边形ABCD是菱形，AB=8,∴.AD=AB=8.在R△AFD中， :∠A=60,∴∠ADF=30.∴AF=号AD=4.·DF=VAD-AF=V8-平= 4√3，BF=AB-AF=8-4=4..矩形DFBE的周长为(43十4)×2=8W3十8. 8.AB=AC(答案不唯一)9.510.(1)证明：：四边形ABCD是正方形，∴.AD=BC, AD∥BC.∴∠ADE=∠CBF.又：DE=BF,∴.△ADE≌△CBF(SAS).(2)解：连接 AC,交BD于点O.:四边形ABCD是正方形，.BD⊥AC,OA=OC=OB=OD= 号BD=5.:DE=BR,∴OD-DE=OB-BF,即OE=OF.四边形AECF是平行四 边形.又BD⊥AC,.四边形AECF是菱形，EF=2OF.四边形AECF的周长为 4AF=4√34，∴AF=√34.在Rt△AOF中，OF=√AF-OA=3.∴.EF=2OF=6. 聚焦课标 11.【概念理解】解：菱形，正方形【性质探究】解：AD十BC BDXAC【问题解决】 2 (1)解：1340(2)解：5a(3)证明：设CE与AB交于点M,BG与CE交于点V. :四边形ACFG是正方形，∴.AC=AG,∠GAC=90°.：四边形ABDE是正方形，∴.AE= AB,∠BAE=90°.∴.∠GAC十∠BAC=∠BAE十∠BAC,即∠GAB=∠CAE.在 AG=AC, △GAB和△CAE中，∠GAB=∠CAE,.△GAB≌△CAE(SAS)..∠GBA= AB=AE, ∠CEA..∠BAE=90°，∴.∠CEA十∠AME=90°..∠GBA+∠AME=90°. ∠AME=∠BMN,∴∠GBA十∠BMN=90.∴.∠BNM=90°..BGLCE..四边形 BCGE为“垂美四边形” 第二章一元二次方程 1认识一元二次方程 第1课时一元二次方程 基础过关 1.C2.C3.3x2-7=02x2-4x十5=0x2-3x-4=03210-4-3 -75-44.B5.x(12-x)=32x2-12x十32=0 能力提升 6.B7.(65十2x)(30十2x)=24508.解：(1)设较短一段的长为xm.根据题意，得 2x=(2-x).化成一般形式为x2一6x十4=0.(2)设中间的奇数为x.根据题意，得 (x-2)2十x2十（x十2)2=251.化成一般形式为3x2-243=0. 第2课时一元二次方程的解及其估算 基础过关 1.B2.C3.一94.B5.解：假设能围成，设矩形花圃的长为xm,则宽为(20一x)m. 根据题意，得x(20-x)=75.整理，得x2-20x十75=0.用列表法估算方程的解，可得 x1=5,x2=15.当x=5时，20-x=15;15>5,.不合理，舍去.当x=15时，20-x= 5.答：能围成一个面积为75m2的矩形花圃，矩形花圃的长为15m,宽为5m. 能力提升 6.B7.20348x=1x=-19.解：根据题意可列方程为251一号×10r=15.用 列表法估算方程的解，可得t1≈0.7，t2≈4.3.答：约0.7s或4.3s后它在离抛出点 15m高的地方. 2一元二次方程的解法 第1课时用配方法求解简单的一元二次方程 基础过关 1.C2.D3.解：(1)整理，得x2=- “-写<0∴方程没有实数根.(2)移项，得 9· 60