第1章 4 正方形的性质与判定&微专题4 特殊平行四边形中等面积法的应用-【勤径学升】2026-2027学年九年级上册数学同步练测（北师大版·新教材）

同步练测·九年级数学·上册·北师版 90°，∴.∠H=90 同理∠HEF=∠FGH=∠F=90°， .四边形EFGH是矩形. (2)解：：四边形EFGH是矩形，∴.FG=EH=5. 在Rt△EFG中，由勾股定理，得EG=√EF2+FG= /22+52=√/29. 【能力提升练】 1.C2.A3.D 4.125.√5 6.(1)解：t(5-2t)(0≤t≤2.5)或(2t-5)(2.5<t≤5) (2)证明：：四边形ABCD是矩形， ∴.AB=CD,AB∥CD,∴.∠GAF=∠HCE. G,H分别是AB,DC的中点，.AG=CH. ,AE=CF,∴.AF=CE AG=CH. 在△AFG和△CEH中， ∠GAF=∠HCE LAF =CE. .△AFG≌△CEH(SAS),∴.GF=HE. rAG=CH. 在△AGE和△CHF中，{∠GAE=∠HCF, LAE=CF. .△AGE≌△CHF(SAS),∴.GE=HF, .四边形EGFH是平行四边形 (3)解：如答图，连接GH. H 6题答图 由(2)知四边形EGFH是平行四边形 G,H分别是矩形ABCD的边AB,DC的中点， .∴.GH=BC=4cm,.当EF=GH=4cm时，四边形EGFH是 矩形，分两种情况： ①当0≤t≤2.5时，EF=(5-2t)cm, 即5-2t=4,解得t=0.5: ②当2.5<t≤5时，EF=(2t-5)cm, 即2t-5=4,解得t=4.5, ∴.当t=0.5或4.5时，四边形EGH为矩形 微专题3含60°角的特殊平行四边形 1.C2.75 4正方形的性质与判定 课时1正方形的性质 【基础巩固练】 1.B2.B3.B 4.67.5°5.4 6.75[解析]四边形ABCD为正方形，∴.∠B=∠D= 90°，AB=AD.:△AEF为等边三角形，，AE=AF,∠EAF= 6O°，.Rt△ABE≌Rt△ADF(HL),.∠BAE=∠DAF ∠BAE+∠DAF=90°-60°=30°，∴∠BAE=15°， ∴.∠AEB=90°-15°=750. 7.证明：.·四边形ABCD是正方形， ∴.AB=BC=DC=AD,∠B=∠D 。4… r∠D=∠B, 在△ABE和△ADF中，AD=AB, L∠DAF=∠BAE, .△ABE≌△ADF(ASA), ∴.BE=DF,∴.BC-BE=DC-DF,即CE=CF. 8.(1)证明：由旋转的性质，得△ADN≌△ABE, ∴.∠DAN=∠BAE,AN=AE. ∠DAB=90°，∠MAW=45°， ∴.∠MAE=∠BAE+∠BAM=∠DAN+∠BAM=45°， ∴.∠MAE=∠MAN. 又.·MA=MA,AE=AN,.△AEM≌△ANM. (2)解：正方形ABCD的周长是12，.BC=CD=3. DN=1,CW=2,BE=1. 设BM=x,则CM=3-x △AEM≌△ANM,.MN=EM=BM+BE=x+1. 在Rt△CMW中，CM2+CW2=MW2, .(3-x)2+22=(x+1)2,解得x=1.5,.ME=2.5. 【能力提升练】 1.B 2.A[解析]四边形ABCD是正方形，AB=2,AB=BC= 2,AC⊥BD,∠AB0=∠BC0=45°，OB=0C.AC⊥BD, ∴∠B0C=90°，.∠C0F+∠B0F=90°.0F⊥0E, ∴.∠BOE+∠BOF=90°，∴.∠BOE=∠COF. r∠BOE=∠COF. 在△BOE和△COF中， OB=OC, .△BOE≌ L∠OBE=∠OCF, △COF(ASA),.S△BOE=S△COF,.Sg边形EBFO=S△COP+ SAB0r=SAB0C.:AB=BC=2,.S正方形A8CD=4,∴.SAB0c= 1 4S亚方形BCD=1,.四边形EBF0的面积为1.故选A 3.42-4 4.(3,10)[解析]~四边形ABCD是正方形，边AB在x轴 上，.AD=AB=CD=CB,AD⊥x轴，CD⊥y轴.由折叠，得 FB=CB,FE=CE.设CD交y轴于点G,AD=AB=CB=CD =m,则BF=0G=m.:A(-2,0),F(0,6),∴.OA=GD=2, OF=6,.0B=m-2.∠B0F=90°，.OB2+0F2=BF2 .(m-2)2+62=m2,解得m=10,.AD=0G=CD=10, ∴.FG=10-6=4,FE=CE=10-2-GE=8-GE..∠EGF =90°，.GE2+FG2=FE2,.GE2+42=（8-GE)2,解得 GE=3,∴E(3,10). 5.80[解析]连接BD,如答图.：四边形ABCD是正方形， AC为对角线，.AB=BC=CD=AD,∠BAC=∠DAC= ∠BCA=∠DCA=45°.在△AMB和△AMD中， AB=AD, ∠BAM=∠DAM,.△AMB≌△AMD(SAS),∴.MB=MD, LAM=AM, .∴.∠MBD=∠MDB,.∴.∠BME=∠MBD+∠MDB= 2MDB.同理△BCN≌△DCN,∴.NB=ND,..∠NBD= ∠NDB,∴.∠BNF=∠NBD+∠NDB=2∠NDB,∴.∠BME+ ∠BNF=2(∠MDB+∠NDB)=2∠EDF=80°. D 5题答图 6.证明：(1)由折叠性质可知△CDE≌△CFE, ∴.∠DCE=∠FCE,CD=CF. 又.CD=CB,∠CBG=∠CFG=90°，∴.CB=CF, .Rt△CBG≌Rt△CFG,.LBCG=∠FCG, LECG-LFCG+LFCE-45* (2)由(1)可知△CBG≌△CFG,BG=FG,∠BCC=LFGC. ,·G为AB的中点，∴.AG=BG,.AG=FG, ∴.∠GAF=∠GFA. :LBGC+∠FGC+∠AGF=180°，∠GAF+∠GFA+∠AGF =180°， .∴.∠BGC+∠FGC=∠GAF+∠GFA, .∴.∠FGC=∠GFA,.AF∥CG. 7.(1)证明：四边形ABCD是正方形， ∴.AB=CB,∠ABD=∠CBD. 又：BE=BE,,△ABE≌△CBE. (2)解：四边形ABCD是正方形， ∴.∠BAD=90°，∠ADB=45°. DE=DA, ,∴.∠DAE=∠DEA,.∴，∠DAE+∠DEA+∠ADE=180°， ∴.∠DAE=∠DEA=67.5°， .∠BAE=∠BAD-∠DAE=22.5° 课时2正方形的判定 【基础巩固练】 1.B2.B 3.证明：.在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,AD⊥BC ∴.∠CDA=∠ADB=90°. E,F分别是AB,AC的中点， .DF是△ACD边AC上的中线， DE是△ABD边AB上的中线， ∴.DF=AF,DE=AE. ,AC=AB,∴，AF=AE,..AF=AE=DF=DE, ∴.四边形AEDF是菱形 ∠BAC=90°，.菱形AEDF是正方形. 4.B5.10 62 [解析]如答图，连接AD并延长交BC 于点P.AB=AC,BD=CD,∴.AP是线段BC 的垂直平分线，∴.BP=CP=5,AP⊥BC.在 Rt△BDC中，∠BDC=9O°，BP=CP,∴DP= ZBC=5.在R△MPB中，AP=VAB-BP =12,∴.AD=12-5=7.,E,F分别是AB,ACB 的中点，∴.EF是△ABC的中位线，.EF=6题答图 2Bc=5,EF∥BC.同里，GH=之BC,GH/ BC,BG=之AD=子，BC/AD,GH=ER,GH/BP,四边 形EFHG为平行四边形.：EF∥BC,EG∥AD,AP⊥BC,∴.EF ⊥EG,.四边形EFHG为矩形，∴.四边形EFHG的面积为 5x子- 7.A[解析]如答图，连接BB',BD.四边形ABCD是正方 形，.BD=√2AB=2√2，BD平分∠ABC.:E为AB边的中 点，.AE=BE=1.四边形BEB'F是正方形，.BB= √2BE=√2，BB平分∠ABC,.B,B',D三，点共线，BD= 参考答案及解析 BD-BB'=√2.故选A B 7题答图 8.解：四边形PQEF是正方形. 证明：·四边形ABCD是正方形， ∴.AB=BC=CD=DA. AP BQ=CE DF,..PB=QC=ED =FA. 又，∠A=∠B=∠C=∠D=90°， ·.△AFP≌△BPQ≌△CQE≌△DEF, ∴.FP=PQ=QE=EF,∠APF=∠PQB, .∴.四边形PQEF是菱形. ∠BPQ+∠PQB=90°，.∠BPQ+∠APF=90°， .∠FPQ=90°，.四边形PQEF是正方形. 【能力提升练】 1.C 2.D[解析]：四边形ABCD是矩形，.∠DCB=∠ABC= 90°.：BF与CF分别平分∠ABC和∠BCD,∴∠FCB= ∠LDGB=45,∠FBC=2LABG=45,LFCB=LPBC =45°，.CF=BF,∠F=180°-45°-45°=90°.①EB∥ CF,CE∥BF,.四边形BECF是平行四边形.，CF=BF, ∠F=90°，∴.四边形BECF是正方形，故①正确；BE= CE,BF=BE,CF=BF,∴BF=CF=CE=BE,∴.四边形 BECF是菱形.∠F=90°，∴四边形BECF是正方形，故② 正确；：BE∥CF,CE⊥BE,∴.CF⊥CE,.∠FCE=∠E= ∠F=90°，四边形BECF是矩形.BF=CF,.四边形 BECF是正方形，故③正确；，CE∥BF,∠FBC=∠FCB= 45°，∴.∠ECB=∠FBC=45°..BE=CE,.∴.∠EBC=∠ECB =45°.∠F=90°，.∠FCE=∠FBE=∠F=90°，∴.四边 形BECF是矩形.BF=CF,.四边形BECF是正方形，故 ④正确.即正确的个数是4.故选D. 3.B4.1:2 5.(1)证明：作AG⊥EF于点G,如答图， 则∠AGE=∠AGF=90°」 .·AB⊥CE,AD⊥CF, ∠B=∠D=90°=∠C,.四边形ABCD是矩形 .∠CEF,∠CFE的外角平分线交于点A, ∴.AB=AG,AD=AG,∴.AB=AD, ∴.四边形ABCD是正方形. B E 5题答图 (2)解：：四边形ABCD是正方形，∴.BC=CD=6. 、如答图，在Rt△ABE和Rt△AGE中，AB=, .5… 同步练测·九年级数学·上册·北师版 ∴.Rt△ABE≌Rt△AGE(HL),.BE=GE. 同理，Rt△ADF≌Rt△AGF,..DF=GF, .BE+DF =GE+GF=EF 设BE=x,DF=y, CE=BC-BE=6-x,CF=CD-DF=6-y,EF=x+y. 在Rt△CEF中，由勾股定理，得(6-x)2+(6-y)2=(x+ y)2,整理，得y+6(x+y)=36, ∴.(BE+6)(DF+6)=(x+6)(y+6)=xy+6(x+y)+36 =36+36=72. 微专题4特殊平行四边形中等面积法的应用 1.B224 专题1与正方形有关的常考模型 1.【探究】(1)证明：如答图，将GF平移 AG 到AH处，则AH∥GF,AH=GF GF⊥BE,∴.AH⊥BE, ∴.∠ABE+∠BAH=90° E 四边形ABCD是正方形， .AB=BC,∠ABH=∠BCE=90°， ∴.∠ABE+∠CBE=90°， H F ,∴.∠BAH=∠CBE 1题答图 r∠BAH=∠CBE， 在△ABH和△BCE中 AB=BC. L∠ABH=∠BCE, .△ABH≌△BCE(ASA),AH=BE,,BE=FG. (2)解：2 【应用】解：9 2.解：(1)MN=DM+BN[解析]由旋转的性质可知AE= AM,BE=DM,∠EAM=90°，∠ABE=∠D=90°，∴.∠ABE+ ∠ABC=90°+90°=180°，∴.E,B,C三，点共线.∠MAW= 45°，∴.∠EAN=∠EAM-∠MAN=45°=∠MAN.在△EAN AE AM, 和△MAN中 ∠EAN=∠MAN,'.△EAN≌△MAN(SAS), AN=AN. .'EN MN.EN BE BN,..MN DM+BN. (2)MW=BN-DM.理由如下： 如答图①，在BC上取BE=MD,连接AE. AB=AD,∠B=∠ADM=90°， ∴，△ABE≌△ADM, ∴.AE=AM,∠BAE=∠DAM ∠DAM+∠DAN=45°，.∠BAE+∠DAN=45°， ∴.∠EAN=45°=∠MAN AE =AM. 在△EAN和△MAN中，{ ∠EAN=∠MAW, LAN =AN. .△EAN≌△MAN(SAS),.EN=MN. .EN =BN BE,..MN BN-DM. B E 2题答图① 2题答图② 。6… (3)MW=DM+BN.理由如下： 如答图②，将△ABN绕点A逆时针旋转120°得△ADE, ∴.∠B=∠ADE,AN=AE,BN=DE. .·∠B+∠ADC=180°， .∠ADE+∠ADC=180°， ∴E,D,C三点共线. 由(1)同理可得△EAM≌△NAM(SAS), ∴.MN=DM+DE=DM+BN. 3.(1)证明：在正方形ABCD中，A0=B0,∠A0B=90°， ∠0AB=∠OBC=45°. :四边形A1B1C10是正方形，.∠A10C1=90°， .∠AOE+∠E0B=90°，∠BOF+∠E0B=90°， .∠AOE=∠BOF r∠OAE=∠OBF, 在△AOE和△BOF中，{OA=OB, L∠AOE=∠BOF, .△AOE≌△BOF(ASA). (2)解：两个正方形重叠部分的面积等于42。 理由如下：.由(1)知△A0E≌△B0F,.S△AOE=S△BOP, ∴.S四边形0BBF=S△E0B+S△0BF=S△E0B+S△A0E=S△40B= 子5E方形=子2 1 4.解：(1)AH=CH+√2BH.理由如下： 当点G,H重合时， .·四边形ABCD和四边形BEFG是正方形 ∴.AB=BC,BE=BH,LABC=90°，∠EBH=90°， .EH=√2BH,∠ABE=90°-∠EBC=∠CBG, ∴△ABE≌△CBG, .AE CG,..AH=AE+EH=CH+2BH. (2)AH=CH+√2BH, 理由如下： 由(1)得△ABE≌△CBG, ∴.∠BCH=∠MAB. 在AE上截取AM=CH, 如答图①. ∠BCH=∠MAB,AB=BC, .△MAB≌△HCB, ∴.∠MBA=∠CBH,BM=BH. ∠HBG=90°-LCBH-∠EBC, ∠EBM=90°-∠MBA-∠EBC, 4题答图① ∴.∠HBG=∠EBM, ∴.∠MBH=∠EBM+∠EBC+∠CBH=∠HBG+∠EBC+ ∠CBH=∠EBG=90°， ∴.△MBH是等腰直角三角形， .MH=√2BH D AH =AM +MH, .AH=CH+√2BH. (3)CH=AH+√2BH.理由如下： M B 由(1)得△ABE≌△CBG, ∴.AE=CG,∠BCH=∠HAB. 在CG上截取CM=AH, G 如答图②. 4题答图②同步练测·九年级数学·上册·北师版 4正方形的性质与判定 课时1 正方形的性质 《基础巩固练。 [答案P4] 知跟点（○正方形的性质 7(陕西中考)如图，在正方形ABCD中，点E,F分 正方形具有而菱形不具有的性质是 别在边BC,CD上，且∠BAE=∠DAF.求证：CE A.两组对角分别相等 CF. B.对角线相等 C.四条边都相等 D.对角线互相垂直 2图①的杜岭二号方鼎是河南博物院九大镇院之 7题图 宝之一，方鼎的口呈正方形（如图②），正方形 ABCD的对角线AC与BD相交于点O,则下列说 法不正确的是 ( A.AC⊥BD B.AD=AO C.DO=CO D.∠DAO=∠BAC 8(河南开封期中)如图，点M,N分别在正方形 ABCD的边BC,CD上，且∠MAN=45°.把△ADW 绕点A顺时针旋转90°得到△ABE,点E、点B、 2题图① 2题图② 3题图 点M共线， 3如图，正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点 (1)求证：△AEM≌△ANM; O,E,F分别是线段AO,B0的中点，若AC+BD (2)若正方形ABCD的周长为12，DN=1.求ME =82cm,则EF的长度为 的长 A.1cm B.2 cm C.2.2 cm D.4cm 4如图，正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O, BE平分∠OBC,则∠BEO的度数为 8题图 4题图 5题图 6题图 5如图，在正方形ABCD中，E,F分别是AB,AD的 中点，若EF=2,则AC的长是 6如图，在正方形ABCD中，等边三角形AEF的顶 点E,F分别在边BC和CD上，则∠AEB的度数 是 第一章特殊平行四边形 《能力提升练> [答案P4] T如图，E是正方形ABCD的边CD上一点，连接 6如图，在正方形ABCD中，AB=12,E是AD边上 AE,过点A作AF⊥AE交CB的延长线于点F,连 的一点，将正方形沿CE折叠，点D的对应点为 接EF.若AB=3,CE=2DE,则△AEF的面积为 点F,G为AB的中点，当点F恰好落在线段EG 上时，求证： (1)∠ECG=45°； (2)AF∥CG. 1题图 A.3 B.5 C.8 D.10 2(江西九江期中)如图，正方形ABCD的对角线 6题图 相交于点O,E为AB上一动点，连接OE,作OF ⊥OE交BC于点F,已知AB=2,则四边形 EBFO的面积为 ( A.1 B.2 C.2 D.4 [核心素养]【问题背景】如图，某兴趣小组需要 2题图 3题图 在正方形纸板ABCD上剪下机翼状纸板（阴影 3如图，在正方形ABCD中，AC与BD交于点O, 部分)，点E在对角线BD上. BE平分∠CBD,交CD于点E,交OC于点F,若 【数学理解】 AB=4,则CF= (1)该机翼状纸板是由两个全等三角形组成，请 ④新考法如图，在平面直角坐标系中，正方形 写出△ABE≌△CBE的证明过程； ABCD的边AB在x轴上，点A的坐标为(-2， (2)若裁剪过程中满足DE=DA,求“机翼角” O),点E在边CD上.将△BCE沿BE折叠，点C ∠BAE的度数， 落在点F处.若点F的坐标为(0,6)，则点E的 坐标为 7题图 4题图 5题图 5(广东深圳期中)如图，已知E,F分别是正方形 ABCD的边AB,BC上的点，且DE,DF分别与对 角线AC相交于点M,N,若∠EDF=40°，则 ∠BME+∠BNF=o. e从 ①同步练测·九年级数学·上册·北师版 课时2 正方形的判定 《基础巩固练> [答案P5] 知跟点（①正方形的判定 5(徐州中考)如图，E,F,G,H分别为矩形ABCD ①下列说法正确的是 各边的中点.若AB=3,BC=4,则四边形EFGH A.有一个角是直角的平行四边形是正方形 的周长为■ B.对角线互相垂直的矩形是正方形 C.有一组邻边相等的菱形是正方形 D.各边都相等的四边形是正方形 2如图，将矩形纸片折叠，使点A落在BC上点F 处，折痕为BE.若沿EF把所折部分剪下来，展 开是一个正方形，其数学原理是 5题图 6题图 7题图 A E D 6(江苏南京期末)在△ABC中，AB=AC=13,BC =10,D在△ABC内，且BD=CD,∠BDC=90°， E,F,G,H分别是AB,AC,BD,CD的中点，则四 B 边形EFHG的面积为 2题图 知限点③正方形的性质与判定的综合 A.正方形是轴对称图形 B.邻边相等的矩形是正方形 7如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB边的中 C.对角线相等的菱形是正方形 点，点F在BC边上，点B关于直线EF的对称 D.正方形被对角线分成两个全等的等腰三角形 点记为B',连接B'D,B'E,B'F当点F在BC边 3如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,AD⊥ 上移动使得四边形BEB'F成为正方形时，B'D BC于点D,E,F分别是AB,AC的中点，连接 的长为 DE,DF.求证：四边形AEDF是正方形 A.2 B.3 C.22D.3 8(教村母题变式)如图，有四个动点P,Q,E,F分 别从正方形ABCD的四个顶点出发，沿着AB, BC,CD,DA以同样的速度向点B,C,D,A移动 请判断四边形PQEF的形状并证明. 3题图 8题图 知眼点®中点四边形 4（德阳中考)如图，E,F,G,H分别是四边形 ABCD边AB,BC,CD,DA的中点，如果BD=AC, 四边形EFGH的面积为24.且HF=6,则GH= 4题图 A.4 B.5 C.8 D.10 20 第一章特殊平行四边形 《能力提升练> [答案P] ①如图，已知四边形ABCD是平行四边形，那么添4④如图，在矩形ABCD中，M,N分 加下列条件能判定四边形ABCD是正方形的是 别是边AD,BC的中点，E,F分 ( 别是边BM,CM的中点.当 A.AB=AD且AC⊥BD AB:AD 时，四边形 B.AC⊥BD且AC和BD互相平分 MENF是正方形. 4题图 C.∠ABC=90°且AB=AD 5如图，在Rt△CEF中，∠C=90°，∠CEF,∠CFE D.∠BAD=∠ABC且AC=BD 的外角平分线交于点A,过点A分别作直线CE, CF的垂线，B,D为垂足 (1)求证：四边形ABCD是正方形； (2)已知AB的长为6，求(BE+6)(DF+6)的值 1题图 2题图 3题图 2(山西晋中期末)如图，在矩形ABCD内有一点 F,BF与CF分别平分∠ABC和∠BCD,E为矩 形ABCD外一点，连接BE,CE.现添加下列条 件：①EB∥CF,CE∥BF;②BE=CE,BE=BF; 5题图 ③BE∥CF,CE⊥BE;④BE=CE,CE∥BF.其中 能判定四边形BECF是正方形的共有( A.1个B.2个C.3个 D.4个 3如图所示为“赵爽弦图”，其中△ABE,△CBF, △CDG,△ADH是四个全等的直角三角形，且两 条直角边长之比为1：2，连接BG,DE,分别交 AE,CG于点M,N,连接MN,则四边形GBED和 四边形GMEN的面积比为 ( A.5:2 B.2:1 C.2:1 D.3:1 微专题4特珠平行四边形中等面积法的应用 ①贾宪提出：“从长方形对角线上任一点作两条 2如图，在菱形ABCD中，P是对角线AC上一动 分别平行于两邻边的直线，则所得两长方形 点，过点P作PE⊥BC于点E,PF⊥AB于 面积相等（如图所示）”这一推论，根据该图可 点F.若菱形ABCD的周长为20，面积为24， 则PE+PF的值为 得到与矩形EBMF面积相等的矩形为( 1题图 2题图 3题图 A.矩形AEFN 3如图，E是边长为1的正方形ABCD的对角线 B.矩形NFGD BD上一点，且BE=BC,P为CE上任意一点， C.矩形CGFM PQ⊥BC于点Q,PR⊥BE于点R,则PQ+PR 的值是 D.矩形NMCD