第1章 3 课时2 矩形的判定&微专题3 含60°角的特殊平行四边形-【勤径学升】2026-2027学年九年级上册数学同步练测（北师大版·新教材）

同步练测·九年级数学·上册·北师版 课时2矩形的判定 《基础巩固练 [答案P3] 知跟点①根据定义进行矩形的判定 细识点③根据对角线进行矩形的判定 ①如图，要使口ABCD成为矩形，需添加的条件是 5要检验一个四边形的桌面是否为矩形，可行的 测量方案是 A.AB=BC A.测量两条对角线是否相等 B.AC⊥BD B.度量两个角是不是90° C.∠1+∠2=90° C.测量两条对角线的交点到四个顶点的距离 D.∠1=∠2 1题图 D.测量两组对边是否分别相等 2(教材母题变式)如图，在口ABCD中，M是BC 6(福建漳州期中)如图，四边形ABCD的对角线 的中点，连接MA,MD,且∠MAD=∠MDA.求证： 相交于点O,AB=CD,AB∥CD.若四边形AEBO 四边形ABCD是矩形 是菱形.求证：四边形ABCD是矩形 M B 2题图 6题图 知跟点④矩形的性质与判定的综合运用 知银点（②根据角进行矩形的判定 7如图，在矩形ABCD中，M为AD边的中点，P为 3如图，直角∠AOB内的任意一点P到这个角两 BC上一点，PE⊥MC,PF⊥MB,当AB,BC满足 边的距离之和为6cm,则图中四边形的周长为 条件」 时，四边形PEMF为矩形 cm. A A 7题图 3题图 8如图，在平行四边形ABCD中，四个角的平分线 4(云南中考)如图，在△ABC中，∠ABC=90°，0 分别相交于点E,F,G,H. 是AC的中点.延长BO至点D,使OD=OB.连 (1)求证：四边形EFGH是矩形； 接AD,CD.记AB=a,BC=b,△AOB的周长为 (2)连接EG,若EF=2,EH=5,求EG的值 L1,△BOC的周长为L2,四边形ABCD的周长 为l3 (1)求证：四边形ABCD是矩形； (2)若l2-L1=2,l3=28,求AC的长 8题图 4题图 第一章特殊平行四边形 《能力提升练> [答案P4] ①要判定四边形是矩形，以下不可行的是(）⑤（山西晋中期中）如图，直线AB的 A.先判定它是平行四边形，再说明它有一个角 函数表达式为y=2x+5,与y轴交 是直角 于点A,与x轴交于点B,P为线段 B.说明它的两组对边分别平行且对角线相等 AB上的一个动点，作PE⊥y轴于 C.说明它的一组对边平行、一组对边相等、对角 点E,PF⊥x轴于点F,连接EF,则 B F 0 线相等 线段EF的最小值为 5题图 D.说明它的邻角都互补、且有一对邻角相等 6[核心素养]如图，在矩形ABCD中，AB=3cm, 2如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC, BC=4cm,E,F是对角线AC上的两个动点，分 AB于点D,F,BE⊥DF交DF的延长线于点E, 别从A,C同时出发相向而行，速度均为1cm/s, 已知∠A=30°，DF=1,AF=BF,则四边形BCDE 运动时间为ts,0≤t≤5. 的面积为 (1)AE= cm,EF= cm;(用含 A.23 B.43 C.45 D.25 t的代数式表示) (2)若G,H分别是AB,DC的中点，求证：四边形 EGFH是平行四边形； (3)在(2)的条件下，当t为何值时，四边形 EGFH为矩形. 2题图 3题图 4题图 3如图，在矩形ABCD中，AB=5,AD=3,E为BC 上一点，把△CDE沿DE翻折，点C恰好落在边 AB上的点F处，则CE的长是 c 6题图 A.1 ④如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD,垂足 为O,E,F,G,H分别为边AD,AB,BC,CD的中 点.若AC=8,BD=6,则四边形EFGH的面积 为 微专题3 含60°角的特殊平行四边形 【模型展示) A.①②③④ B.①③④ a a A460°边 6 >CA<60° 2a 等边0C C.①②③ a D.①②④ T如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，E是AB边 上一动点（不与点A,B重合），且∠EDF= ∠A,点F在边BC上.下列结论：①AE=BF; 1题图 2题图 ②∠ADE=∠BEF;③△DEF是等边三角形； 2如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于 ④△BEF的周长与点E的位置无关.其中正 点O,∠AOB=60°，AE平分∠BAD交BC于点 确的结论有 E,连接OE,则∠BOE的度数是 C9.9.解：(1)EF⊥AC.证明如下： 如答图，连接AE,CE. ∠BAD=90°，∠DCB=90°，E为BD的中点， AE=2BD,CE=BDAF=CE. 又F是AC的中点，EF⊥AC. B 9题答图 (2)由(1)知AE=CE= BD,EFLAC BD=10,.AE=CE=5. F是AC的中点，4C=8,CF=子4C=4, .EF=√CE2-CF=√52-42=3. 【能力提升练】 1.B2.B 3.65[解析]四边形ABCD是菱形，对角线AC,BD相交 于点O,,AC⊥BD,OA=OC.AE⊥BC,垂足为E,OE= 5,∠ABC=90°，0E=0A=0C=24C,AC=-20E= 25.:BD=6,Sm=号4C,BD=号x25x6= 65. 4.16°[解析]：四边形ABCD是矩形，AC=BD,AB∥DC, D0=OA=0B=OC,.∠0CB=∠OBC.OG⊥AC,∴.OG 是AC的垂直平分线，.AG=CG,.∠OAG=LOCG. AB∥DC,∴.∠OAG=∠0CD.:∠B0G=16°，∠C0G= 90°，∴.∠C0B=74°.∠0CB=∠OBC,.∠OCB=∠0BC =180°-74°=53°.：∠BCD-90°，L0CD=∠BCD- ∠0CB=90°-53°=37°，∴.∠0CG=∠0AG=∠0CD= 37°，∴.∠BCG=∠0CB-∠0CG=53°-37°=16. 5.(1)证明：如答图，连接AF,由题意可知MW垂直平分AB, ∴.AF=BF 由折叠性质可得AB=BF,∠1=∠2， ∴.AF=BF=AB,,△ABF为等边三角形， .∠ABF=60°. 即∠1+∠2=60°， ∴.∠1=∠2=30°. N 又，∠ABC=90°， 3 .∠3=30°，.∠1=∠2=∠3. B 5题答图 (2)解：由折叠的性质可知AM=BM,AB=BF=4, .BM=2,由题意得，MN垂直平分AB. 在Rt△BMF中，由勾股定理，得 MF=√BF2-BM=√42-22=25. 由对折的性质易得MN=AD=6, .FN=MW-MF=6-23. (3)解：BQ=2FQ[解析]由折叠可得∠BFE=∠BAE= 参考答案及解析 90°，.∠BFE=∠BFG=90°.在△EBF和△GBF中， r∠EBF=∠GBF, BFBF, .△EBF≌△GBF(ASA),.BE=BG. L∠BFE=∠BFG, ∠EBG=60°，∴△EBG是等边三角形.EH⊥BG,EH 平分∠BEG,即∠BEH=∠GEH=30°."'∠EBF=30°，∴.EQ =BQ,在Rt△EQF中，EQ=2FQ,.BQ=2FQ. 微专题2遇直角三角形斜边的中点，构造斜边上的中线 1.214 2.(1)证明：如答图，连接DE. AD⊥BC,.∠ADB=90 CE是△ABC的中线， E是AB的中点，DB=之4B=BE DC=BE,.'.DE DC. 又.DG⊥CE,.G是CE的中点， B D (2)解：35° 2题答图 课时2矩形的判定 【基础巩固练】 1.C 2.证明：四边形ABCD是平行四边形， .∴.AB=CD,AB∥CD,∴.∠B+∠C=180° .·M是BC边的中点，.BM=CM. ,'∠MAD=∠MDA, ∴.AM=DM,∴.△ABM≌△DCM,∴.∠B=∠C ,·∠B+∠C=180°，.∠B=∠C=90°， ∴.四边形ABCD是矩形 3.12 4.(1)证明：.0是AC的中点，∴，OA=OC OB=OD,.四边形ABCD是平行四边形. :∠ABC=90°，.平行四边形ABCD是矩形. (2)解：.记AB=a,BC=b,△AOB的周长为U1,△BOC的 周长为2，四边形ABCD的周长为3， ∴.2-l1=BC-AB=b-a=2,43=2(AB+BC)=2(a+b) =28 b-a=2, .「a=6, 六{6+a=14,“1b=8, .AB=6,BC=8 .AC=V√AB2+BC2=10. 5.C 6.证明：四边形AEB0是菱形，∴.OA=OB. .·AB=CD,AB∥CD, ∴.四边形ABCD是平行四边形， .OA-OC-AC.OD-OB-BD..AC-BD .平行四边形ABCD是矩形. 7.AB-2 BC 8.(1)证明：四边形ABCD是平行四边形， .AD∥BC,∴.∠DAB+∠ABC=180° AH,BH分别平分∠DAB与∠ABC, ∠HB=分∠DAB,∠HBA=号∠ABC, ∠HAB+∠BA=之（∠DAB+LABC)=号×180©= ·3… 同步练测·九年级数学·上册·北师版 90°，∴.∠H=90 同理∠HEF=∠FGH=∠F=90°， .四边形EFGH是矩形. (2)解：：四边形EFGH是矩形，∴.FG=EH=5. 在Rt△EFG中，由勾股定理，得EG=√EF2+FG= /22+52=√/29. 【能力提升练】 1.C2.A3.D 4.125.√5 6.(1)解：t(5-2t)(0≤t≤2.5)或(2t-5)(2.5<t≤5) (2)证明：：四边形ABCD是矩形， ∴.AB=CD,AB∥CD,∴.∠GAF=∠HCE. G,H分别是AB,DC的中点，.AG=CH. ,AE=CF,∴.AF=CE AG=CH. 在△AFG和△CEH中， ∠GAF=∠HCE LAF =CE. .△AFG≌△CEH(SAS),∴.GF=HE. rAG=CH. 在△AGE和△CHF中，{∠GAE=∠HCF, LAE=CF. .△AGE≌△CHF(SAS),∴.GE=HF, .四边形EGFH是平行四边形 (3)解：如答图，连接GH. H 6题答图 由(2)知四边形EGFH是平行四边形 G,H分别是矩形ABCD的边AB,DC的中点， .∴.GH=BC=4cm,.当EF=GH=4cm时，四边形EGFH是 矩形，分两种情况： ①当0≤t≤2.5时，EF=(5-2t)cm, 即5-2t=4,解得t=0.5: ②当2.5<t≤5时，EF=(2t-5)cm, 即2t-5=4,解得t=4.5, ∴.当t=0.5或4.5时，四边形EGH为矩形 微专题3含60°角的特殊平行四边形 1.C2.75 4正方形的性质与判定 课时1正方形的性质 【基础巩固练】 1.B2.B3.B 4.67.5°5.4 6.75[解析]四边形ABCD为正方形，∴.∠B=∠D= 90°，AB=AD.:△AEF为等边三角形，，AE=AF,∠EAF= 6O°，.Rt△ABE≌Rt△ADF(HL),.∠BAE=∠DAF ∠BAE+∠DAF=90°-60°=30°，∴∠BAE=15°， ∴.∠AEB=90°-15°=750. 7.证明：.·四边形ABCD是正方形， ∴.AB=BC=DC=AD,∠B=∠D 。4… r∠D=∠B, 在△ABE和△ADF中，AD=AB, L∠DAF=∠BAE, .△ABE≌△ADF(ASA), ∴.BE=DF,∴.BC-BE=DC-DF,即CE=CF. 8.(1)证明：由旋转的性质，得△ADN≌△ABE, ∴.∠DAN=∠BAE,AN=AE. ∠DAB=90°，∠MAW=45°， ∴.∠MAE=∠BAE+∠BAM=∠DAN+∠BAM=45°， ∴.∠MAE=∠MAN. 又.·MA=MA,AE=AN,.△AEM≌△ANM. (2)解：正方形ABCD的周长是12，.BC=CD=3. DN=1,CW=2,BE=1. 设BM=x,则CM=3-x △AEM≌△ANM,.MN=EM=BM+BE=x+1. 在Rt△CMW中，CM2+CW2=MW2, .(3-x)2+22=(x+1)2,解得x=1.5,.ME=2.5. 【能力提升练】 1.B 2.A[解析]四边形ABCD是正方形，AB=2,AB=BC= 2,AC⊥BD,∠AB0=∠BC0=45°，OB=0C.AC⊥BD, ∴∠B0C=90°，.∠C0F+∠B0F=90°.0F⊥0E, ∴.∠BOE+∠BOF=90°，∴.∠BOE=∠COF. r∠BOE=∠COF. 在△BOE和△COF中， OB=OC, .△BOE≌ L∠OBE=∠OCF, △COF(ASA),.S△BOE=S△COF,.Sg边形EBFO=S△COP+ SAB0r=SAB0C.:AB=BC=2,.S正方形A8CD=4,∴.SAB0c= 1 4S亚方形BCD=1,.四边形EBF0的面积为1.故选A 3.42-4 4.(3,10)[解析]~四边形ABCD是正方形，边AB在x轴 上，.AD=AB=CD=CB,AD⊥x轴，CD⊥y轴.由折叠，得 FB=CB,FE=CE.设CD交y轴于点G,AD=AB=CB=CD =m,则BF=0G=m.:A(-2,0),F(0,6),∴.OA=GD=2, OF=6,.0B=m-2.∠B0F=90°，.OB2+0F2=BF2 .(m-2)2+62=m2,解得m=10,.AD=0G=CD=10, ∴.FG=10-6=4,FE=CE=10-2-GE=8-GE..∠EGF =90°，.GE2+FG2=FE2,.GE2+42=（8-GE)2,解得 GE=3,∴E(3,10). 5.80[解析]连接BD,如答图.：四边形ABCD是正方形， AC为对角线，.AB=BC=CD=AD,∠BAC=∠DAC= ∠BCA=∠DCA=45°.在△AMB和△AMD中， AB=AD, ∠BAM=∠DAM,.△AMB≌△AMD(SAS),∴.MB=MD, LAM=AM, .∴.∠MBD=∠MDB,.∴.∠BME=∠MBD+∠MDB= 2MDB.同理△BCN≌△DCN,∴.NB=ND,..∠NBD= ∠NDB,∴.∠BNF=∠NBD+∠NDB=2∠NDB,∴.∠BME+ ∠BNF=2(∠MDB+∠NDB)=2∠EDF=80°. D 5题答图