11.5.2 公式法 课件-2026-2027学年华东师大版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦“公式法因式分解”，核心讲解平方差公式与完全平方公式的应用。通过“想一想”引导学生观察多项式特点，结合探究、针对训练、典例精析构建学习支架，衔接整式乘法与因式分解，形成完整知识脉络。 其亮点在于用“两数是平方，减号在中央”等口诀强化记忆，以“一提二套三查”步骤培养推理意识与运算能力。如例1将25x²-16y²转化为平方差形式，例3处理首项为负的完全平方，提升抽象能力。帮助学生系统掌握方法，教师可直接用于教学，提高效率。

11.5.2 公式法 第11章 整式的乘除 想一想：多项式 a2 - b2 有什么特点？你能将它分解因式吗？ 是 a，b 两数的平方差的形式 ) )( ( b a b a - + = 2 2 b a - ) )( ( 2 2 b a b a b a - + = - 整式乘法 因式分解 两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积. 平方差公式： 运用平方差公式因式分解 1 【探究1】平方差公式因式分解 【针对训练】 探究与应用 √ √ × × 下列多项式能否用平方差公式来分解因式，为什么？ √ √ 两数是平方， 减号在中央． （1）x2+y2； （2）x2-y2； （3）-x2-y2； -(x2+y2) （4）-x2+y2； （5）x2-25y2； （6）m2-1. ★符合平方差的形式的多项式才能用平方差公式进行因式分解，即能写成： ( )2-( )2的形式. 别着急 (authorId_208376095) - 让学生通过自己的归纳找到因式分解中平方差公式的特征,并能利用相关结论进行实例练习. = (5x+4y)(5x-4y). 例1 分解因式： a a b b ( + ) ( - ) a2 - b2 = 解：(1)原式 = 5x 4y 5x 5x 4y 4y (2)原式 a b 4y (5x)2 - (4y)2 典例精析 (1) 25x²－16y²； 方法总结：公式中的 a，b 无论表示数，单项式，还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解. 方法总结 【探究1】平方差公式因式分解 【应用】 探究与应用 例2 分解因式： (2)原式＝(x2)2-(y2)2 ＝(x2+y2)(x2-y2) 分解因式后，一定要检查是否还有能继续分解的因式，若有，则需继续分解. ＝(x2+y2)(x+y)(x-y). 解：(1)原式＝ab(a2-1) 分解因式时，一般先用提公因式法进行分解，然后再用公式法，最后进行检查. ＝ab(a+1)(a-1). 【探究2】两数和（差）的平方公式因式分解 探究与应用 (a±b)2=a2±2ab+b2 a2±2ab+b2=(a±b)2 两数和（差）的 平方公式： 整式乘法 因式分解 特点： 首平方，尾平方， 首尾两倍在中央. a2 2 a b b2 ± . + . = (a ± b)² 两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方． 两数和（差）的平方公式的特点： 1.必须是三项式（或可以看成三项的）； 2.有两个同号的数或式的平方； 3.中间是两底数之积的±2倍. 两数和(或差)平方公式： 两数和(或差)平方公式的特点： 1.必须是三项式（或可以看成三项的）； 2.有两个同号的数或式的平方； 3.中间有两底数之积的±2 倍. 简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央. =（a ± b）2 运用两数和(或差)平方公式因式分解 2 凡具备这些特点的三项式，就是两数和(或差)平方公式，将它写成两数和(或差)平方形式，便实现了因式分解. a2 2 a b b2 ± . + . = (a ± b)² 利用公式把某些具有特殊形式（如平方差式，两数和(或差)平方公式等）的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法. 【探究2】两数和（差）的平方公式因式分解 探究与应用 3.a²+4ab+4b²=( )²+2· ( ) ·( )+( )²=( )² 2.m²-6m+9=( )² - 2· ( ) ·( )+( )² =( )² 1.x²+4x+4= ( )² +2·( )·( )+( )² =( )² x 2 x + 2 a a 2b a + 2b 2b 对照公式a²±2ab+b²=(a±b)²进行因式分解，你会吗？ m m - 3 3 x 2 m 3 【探究2】两数和（差）的平方公式因式分解 探究与应用 【针对训练】 下列各式是不是两数和（差）的平方？ （1）a2－4a+4; （2）1+4a²; （3）4b2+4b-1; （4）a2+ab+b2; （5）x2+x+0.25. 是 （2）因为它只有两项； 不是 （3）4b²与-1的符号不统一； 不是 解析： 不是 是 （4）因为ab不是a与b的积的2倍. 例3 分解因式： （1）16x2 + 24x + 9； （2）-x2 + 4xy - 4y2. 分析：(1)中，16x2 = (4x)2， 9 = 3²，24x = 2·4x·3， 所以 16x2 + 24x + 9 是一个两数和平方公式，即 16x2 + 24x + 9 = (4x)2 + 2×4x·3 + 32. 2 a b b2 a2 (2)中首项有负号，一般先利用添括号法则，将其变形为 -(x2 - 4xy+ 4y2)，然后再利用公式分解因式. 解： (1) 16x2 + 24x + 9 = ( 4x + 3 )2. = ( 4x )2 + 2·4x·3 + ( 3 )2 (2) -x2 + 4xy - 4y2 = -( x2 - 4xy + 4y2 ) = -( x - 2y )2. 【探究2】两数和（差）的平方公式因式分解 探究与应用 【应用】 例4 分解因式： (1)3ax2+6axy+3ay2 ；(2)(a+b)2-12(a+b)+36. 解：(1)原式=3a(x2+2xy+y2) =3a(x+y)2. 分析：(1)中有公因式3a，应先提出公因式，再进一步分解； (2)中，将a+b看成一个整体，设a+b=m，则原式化为完全平方式m2-12m+36. (2)原式=(a+b)2-2·(a+b) ·6+62 =(a+b-6)2. 【探究2】两数和（差）的平方公式因式分解 探究与应用 因式分解的一般步骤: 一提：先考虑用提公因式法(公因式可以是单项式或多项式)； 二套：然后考虑用公式法(平方差公式或两数和（差）的平方公式)，能连续用公式分解的要继续分解； 三查：检查每个因式是否被分解彻底． 【归纳总结】 例5 利用两数和(或差)平方公式简便计算： (1) 1002 - 2×100×99 + 99²； (2) 342 + 34×32 + 162. 解：(1) 原式 = (100 - 99)² (2) 原式 = (34 + 16)2 本题利用两数和(或差)平方公式分解因式，可以简化计算. = 1. = 2500. 课堂小结 课堂小结与检测 公式法因式分解 公式 平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b) 步骤 一提：公因式； 二套：公式； 三查：多项式的因式分解有没有分解 到不能再分解为止. 两数和（差）的平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2 1．[知识初练]因为(x＋9)(x－9)＝x2－81，所以x2－81可以因式分解为____________． 1星题 夯实四基 (x＋9)(x－9) 达标检测 课堂小结与检测 2.下列各个多项式中，不能运用平方差公式分解因式的是(　　) A．8x2－2 B．－x2－y2 C．a2b2－4 D．－x3＋x B 3.下列各式中能用两数和(差)的平方公式进行因式分解的是(　　) A．x2＋x＋1 B. x2＋2x－1 C．x2－1 D. x2－8x＋16 D 4．分解因式：4a2－1＝(　　) A．(2a－1)(2a＋1) B．(a－2)(a＋2) C．(a－4)(a＋1) D．(4a－1)(a＋1) A 达标检测 课堂小结与检测 5.分解因式：(1)9a2－4b2；(2)x2y－4y； (3)－2x3y＋4x2y－2xy； (4)(a＋1)2－1； (5)x4－1. 解： (1)原式＝(3a)2－(2b)2＝(3a＋2b)(3a－2b)； (2)原式＝y(x2－4)＝y(x＋2)(x－2)； (3)原式＝－2xy(x2－2x＋1)＝－2xy(x－1)2； (4)原式＝(a＋1＋1)(a＋1－1)＝a(a＋2)； (5)原式＝(x2＋1)(x2－1)＝(x2＋1)(x＋1)(x－1). 6. 【新考法】课堂上老师在黑板上布置了如图所示的题目，小聪马上发现了其中有一道题目错了，你知道是哪道题目吗？(　　) A ．第(1)道题 B．第(2)道题 C．第(3)道题 D．第(4)道题 C 用平方差公式分解因式： (1)a2－b2；(2)81x2－4y2z2； (3)－x2－y2；(4)36m2n2－9p2. 公式法因式分解 公式 平方差公式：a2-b2 = (a + b)(a - b) 步骤 一提：公因式； 二套：公式； 三查：多项式的因式分解有没有分解到不能再分解为止. 两数和(或差)平方公式： a2±2ab＋b2 = (a±b)2 $