第3章《图形的相似》达标测试卷 2026-2027学年北师大版九年级上册数学

**基本信息** 聚焦《图形的相似》单元核心，通过8选择（24分）、5填空（15分）、12解答（61分）的梯度设计，融合成比例线段、相似判定与性质、位似等知识，以测量旗杆（16题）、古塔高度（19题）等真实情境，考查数学眼光观察、思维推理及语言表达能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|成比例线段、平行线分线段成比例、相似三角形判定|基础概念辨析，如第3题多角度判定相似| |填空题|5/15|相似性质、比例式计算、黄金分割（12题）|结合文化情境，如二胡琴弦黄金分割点| |解答题|12/61|相似证明（14题）、实际测量（16/19题）、综合应用（20题正方形相似与全等）|分层设计，从基础证明到跨知识综合，如20题探索线段关系并求证中点|

第3章《图形的相似》达标测试卷 一、选择题：本大题共8小题，共24分。 1.线段a,b,c,d是成比例线段，a=4,b=2,c=2,则d的长为() A.1 B.2 C.3 D.4 2.如图，直线l1/12/1l3,直线a,b与l1,L2,13分别交于点A,B,C和点D,E,P,若AB:BC=1:2, DE=2,则EF的长为() AD A B A.2 B.3 C.4 D.5 3.如图，下列条件不能判定△ADB一△ABC的是() B A.∠ABD=∠ACB B.∠ADB=∠ABC C.AB=AD·AC D.AD_AB AB BC 第1页，共1页 4.如图，一同学在湖边看到一棵树，他测出自己与树的距离为20m,树的顶端在水中的倒影距自己5m远， 该同学的身高为1.7m,则树高为() 20 A.3.4m B.5.1m C.6.8m D.8.5m 5,若两个相似三角形的相似比为1：4，则这两个三角形面积的比是(） A.1:2 B.1:4 C.1:8 D.1:16 6已知9-b=≠0，则3a-2b, 345 的值为() B.1 c17 17 7如图，在平面直角坐标系中，已知点A,B的坐标分别为-3,1)，（-1,4)以点0为位似中心，在原点 的另一侧按2：1的相似比将△OAB缩小，则点A的对应点A的坐标是() B本Y B A.（-3,1) B(31 22 C.(3,-1) D.( 第2页，共1页 8.如图，菱形ABCD的边长为3，∠ADC=60°，过点D作DE⊥AB,交BA的延长线于点E,连接CE 分别交BD,AD于点G,F,则FG的长为() G D B27 c.3v7 D. 4√7 5 5 5 5 二、填空题：本大题共5小题，共15分。 9.已知△ABC∽△乙，∠A=30°，∠B=50,则∠F=. 少之则义 10.若x=5 X+y 11.如图，BC/1DE,AD=3,AE=4,AB=9,则CE=一 D 12.二胡是中国古老的民族拉弦乐器之一音乐家发现，二胡的千斤线绑在琴弦的黄金分割点处时，奏出来 的音调最和谐、最悦耳如图，一把二胡的琴弦AC长为80C,千斤线绑在点B处，则B点下方的琴弦BC 第3页，共1页 长为cm. 13.如图，在△ABC中，AB=8,AC=6,点P是AC的中点，过P点的直线交AB于点O,若以A,P, Q为顶点的三角形和以A,B,C为顶点的三角形相似，则AQ的长为一 y B 三、解答题：本大题共12小题，共61分。 14如图，点D,E,F分别在△ABC的三条边上，且DE/1BC,EF/1AB. 求证：△ADE一△EFC. D E 第4页，共1页 15.如图，已知△ABC,请用尺规作图法在BC上找一点P,使得△PAC一△ABC(保留作图痕迹，不写 作法). C B 16.小聪和他的同学利用影长测量旗杆高度如图)，当1m长的直立竹竿的影长为1.5m时，测量旗杆落在地 上的影长为21m,落在墙上的影长为2m,求旗杆的高度. 17.如图，在矩形ABCD中，M为BC上一点，EM⊥AM交AD的延长线于点E. D B (1)求证：△ABM一△EMA; (2)若AB=4,BM=3,求ME的长 第5页，共1页 18.如图，已知O是坐标原点，M,N的坐标分别为(4,2)，(6，-2). (1)在y轴的左侧以O为位似中心作△OMN的位似△OPQ,所作新图形与原图形的相似比为1：2； (2)分别写出M,N的对应点P,Q的坐标； (3)求△OPQ的面积. 19.某校社会实践小组为了测量古塔的高度，在地面上C处垂直于地面竖立了高度为2的标杆CD,这时 地面上的点E,标杆的顶端点D,古塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得EC=1.2m,将标杆向后平移 到点G处，这时地面上的点F,标杆的顶端点H,古塔的塔尖点B正好在同一直线上（点F,点G,点E, 点C与古塔底处的点A在同一直线上)，这时测得FG=1.8m,CG=20m.请你根据以上数据，估算古塔 的高度AB.(结果保留一位小数) B H D FG EC 第6页，共1页 20.如图，在正方形ABCD中，AB,BC的中点分别为点E,F,连接DE,AF交于点G,连接CG,CH平 分∠DCG交DE于点H. D (1)探索AF与DE的关系； (2)求证：点H为DG的中点； GF (3求CF的值 第7页，共1页 答案和解析 1.【答案】A 2.【答案】C 3.【答案】D 4.【答案】B 5.【答案】D 6.【答案】A 7.【答案】D 8.【答案】B 【解析】，四边形ABCD为菱形， ∴.AB=CD=AD=3,∠ABC=ADC=60°，AB/CD, :.∠EAD=∠ADC=60,∠ABD=号∠ABC=30. .DE⊥AB,.∠DEB=∠EDC=90°，∴.∠ADE=30°. 在位△MDE中，：A5=号AD=多DE=5AE=3 在△CDE中，CE=VDE+CD=3y3?+32=3 2 2 .BE //CD,∴.△BEG∽△DCG 9 EG 3 器既景 c-号29-晋 .AE/CD,.∴.△AEF一△DCF,.EFAE_2_1 CF DC 3 2 C的∴Er=x375 EF_1 32-21 ·FG=EG-EF=97-V7-2V5 1025 故选B 9.【答案】100 第8页，共1页 10【答豹月 11.【答案】8 12.【答案】40(V5-1) B【答案】4政号 【解析】：点P是AC的中点，AP=AC=3. 当△A0P-△aC时，器光9- 86 ,解得AQ=4; 当△AQP-△1CB,是沿即智-￥%A0号 14.【答案】证明：.DE/BC,EF/1AB, ∴.∠AED=∠C’∠A=∠FEC ∴.△ADE一△EFC. 15.【答案】解：如图，点P即为所求 16.【答案】解：如图，CD=2m,BD=21m. …CD-1 ·DE.5,DE=1.5CD=3m. 提品A021出2-16 1.5 第9页，共1页 答：旗杆的高度为16m. C E 17.【答案】【小题1】 证明：，四边形ABCD为矩形， .∠B=90°，AD1/BC, ∴.∠EAM=∠AMB, .EM⊥AM’∴.∠AME=90°. ∴.∠B=∠AME'∴.△ABM一△EMA. 【小题2】 解：AB=4,BM=3, .AM=VA B2+BM2=42+32=5. .'△ABM一△EMA' “怨删 即4=3 ME 5 ME=20 18.【答案】【小题1】 第10页，共1页 解：如图，延长MO,NO至P,O,使OP:OM=1:2,OQ:ON=1:2,连接PQ得到△OPQ,则 △OPQ即为所求， 【小题2】 .位似中心在原点，△OPQ与△OMN的相似比为1：2，且△OPQ在y轴左侧， 格MN的坠标分别乘得到卫，口的坐标 ∴.P(-2,-1),Q(-3,1 【小题3】 500-3x2}*2×1-3*2×1号×3x1-6-1-13-号 2 19.【答案】解：根据题意得AB⊥AF,CD⊥AF,HG⊥AF,GH=CD ∴.HG/IAB'CD//AB ∴.△CDE△ABE'△FGH一△FAB' CD-CE HG_FG AB AE AB FA 惡照 .EC=1.2m'FG=1.8m’CG=20m' 1.2 1.8 ·1.2+AC1.8+20+AC 解得AC=40m, 第11页，共1页 =12十40解得AB≈68.7m 答：古塔的高度AB约为68.7米 20.【答案】【小题1】 解：在正方形ABCD中， .·AD=AB=BC,∠DAE=∠ABF=90°，点E,F分别为边AB,BC的中点， AE=3AB,BF=号BC,AE=BF .△DAE△ABF(SAS)'.AF=DE'∠ADE=∠BAF. .∠DAG+∠BAF=90’∴.∠DAG+∠ADE=90' ∴.∠AGD=90°’∴.AF⊥DE1 .AF=DE且AF⊥DB. 【小题2】 证明：方法一：如图1，延长AF交DC延长线于点M. 0 --------M B 图1 ,点F为BC的中点，∴.CF=FB. 又，四边形ABCD是正方形，.∴.DM/IAB,AB=CD, ∴.∠M=∠FAB, 第12页，共1页 ∠FAB=∠M, 在△ABF与△MCF中， ∠BFA=∠CFM, FB=FC, ∴.△ABF≌△MCF(AAS'.AB=CM'∴.CD=CM. 又：∠DGM=90,.CG=号DM,CG=CD. :CH平分∠DCG':.点H为DG的中点. 方法二：如图2，连接DF. 图2 ,四边形ABCD是正方形， ∴.DC=AB'∠DCF=∠ABF=90'DC/IAB. 点F为CB的中点，.CF=FB'△DCF≌△ABF(SAS” .∠DFC=∠AFB. 由1)已证△DAE≌△ABF,∴.∠AFB=∠DEA. 又.'DC//AB,∴.∠CDE=∠DEA,∴.∠CDE=∠CFD. 又.由(1)已证AF⊥DE,∴.∠DGF=90°， ∠DGF+∠DCF=90°+90°=180，D'G,B,C四点共圆， 第13页，共1页 ∴.∠DGC=∠CFD'∴.∠DGC=∠CDE'∴.DC=CG. :CH平分∠DCG.点H为DG的中点. 【小题3】 解：设正方形ABCD的边长为2a, 则由(1)和2)可得：AD=AB=2a,AE=BF=CF=a. .四边形ABCD是正方形，.∠B=90°， ∴.AF=VAB+BF2=V5a 在△DGA与△DAE中，.'∠DGA=∠DAE=90°，∠ADG=∠EDA, ∴△DGA-△DAE,.DC-AC=AD.mDG-AG=2a …DA-AEDE即2a=a5a ..DG=4V5a'AG=2V5a' 5 .GP-AF-AG-5o-295a5 器3 第14页，共1页