29.3弧长和扇形面积 第2课时（课件）2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦圆锥的构成、母线与高的关系及侧面积、全面积计算，通过图片观察引出圆锥，结合直角三角形旋转形成圆锥，联系勾股定理建立元素关系，再以侧面展开图推导公式，构建连贯知识支架。 其亮点在于以数学眼光观察现实（图片、旋转体），通过数学思维推理公式（扇形与圆锥侧面积联系），用数学语言解决实际问题（毡房、烟囱帽计算）。例题含基础与最短路径问题，发展空间观念与应用意识，助力教师高效教学，提升学生数学素养。

第二十九章 圆 29.3弧长和扇形面积 课时2 九上数学人教 1. 了解圆锥的构成和圆锥母线的概念，了解圆锥的侧面积展开图，体会圆锥侧面展开图与圆锥中各元素间的对应关系，发展空间观念. 2. 会计算圆锥的侧面积和全面积. 学习目标 2 观察下面图片，你能从中看出什么图形吗？ 圆锥. 我们知道，圆锥是由一个底面和一个侧面围成的几何体. 课堂导入 圆锥. 圆锥可看成由一个直角三角形绕它的一条直角边所在的直线旋转一周形成的图形. l 思考：如图，将一个直角三角形，沿着某一条直角边所在的直线旋转一周，会形成怎样的立体图形？ 新知讲解 如图，我们把连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫作圆锥的母线. 圆锥的母线有无数条，它们的长都相等. 连接圆锥顶点与底面圆心的线段叫作圆锥的高. O 新知讲解 O r h l 如果用 r 表示圆锥底面圆的半径，h 表示圆锥的高，l 表示圆锥的母线长，那么 r,h,l 之间的等量关系是：____________． r2 + h2 = l2 这一部分的学习要和勾股定理相联系哦！ 新知讲解 思考：圆锥的侧面展开图是什么图形？ 如图，沿一条母线将圆锥的侧面剪开并展平，得到的圆锥的侧面展开图是一个扇形. 设圆锥的母线长为 l，底面圆的半径为r，那么这个扇形的半径为 l，扇形的弧长为底面圆的周长 2πr. 新知讲解 思考：如何计算圆锥的侧面积？如何计算圆锥的全面积？ 因此圆锥的侧面积为 πrl， 圆锥的全面积=圆锥侧面积+底面圆面积 =πrl+πr2 =πr(r+l)， 圆锥的全面积为 πr(r+l) . S侧= S扇形 = lR =r · l =r · l. 新知讲解 S侧= πrl. S全= πrl+πr2， = πr(r+l). 新知讲解 例1 一个圆锥的母线长是9，底面圆的半径是6，则这个圆锥的全面积是_____. 90π 解析：这个圆锥的全面积 πr(r+l) = π×6×(6+9) = 90π. 追问：在前面的条件下，该圆锥侧面展开图的圆心角是________°. 解析：圆锥的侧面积为 π×6×9 = 54π. 设圆锥侧面展开图的圆心角为n°， 即 54π = ，解得n=240. 240 新知讲解 例2 如图，毡房可以近似地看作由圆锥和圆柱组成. 如果想用毛毡搭建20个底面积为12 m2，高为3.2 m，外围高1.8 m的毡房，至少需要多少平方米毛毡（π取3.142，结果取整数）？ 解：如图是一个毡房的示意图. 根据题意，下部圆柱的底面积为 12，高h2=1.8；上部圆锥的高 =3.2-1.8=1.4. 圆柱的底面圆的半径 1.954， 侧面积为 2π×1.954×1.8 22.10. 圆锥的母线长l ≈ 2.404 新知讲解 例2 如图，毡房可以近似地看作由圆锥和圆柱组成. 如果想用毛毡搭建20个底面积为12m2，高为3.2m，外围高1.8m的毡房，至少需要多少平方米毛毡（π取3.142，结果取整数）？ 侧面展开扇形的弧长为 2π×1.954≈12.28， 圆锥的侧面积为 ×2.404×12.28 ≈ 14.76. 因此，搭建20个这样的毡房至少需要毛毡 20×(22.10+14.76) ≈ 738 (m2). 新知讲解 如图所示，有一个圆锥形的粮堆，其轴截面是边长为6 m的等边三角形，在圆锥的母线 AC 的中点 P 处有一只老鼠正在偷吃粮食，此时小猫正在点 B 处，它要沿圆锥侧面到达点 P 处捕捉老鼠. 求小猫所经过的最短路程. 跟踪训练 解：由题意知，圆锥底面圆的直径 BC=6 m, 故圆锥底面圆的周长为6π m. 设圆锥侧面展开后的扇形的圆心角为n°, 则6π=，解得n=180， 所以圆锥的侧面展开图如图所示，连接BP，AC. 所以展开后∠BAP=90°. 又AP=AC=3 m， 所以在Rt△ABP中，BP== =3 (m)， 所以小猫所经过的最短路程为3 m. 新知讲解 化曲面为平面 在平面上连接始点和终点 利用勾股定理求解 转化 连接 求解 将曲面展开 两点之间线段最短 求曲面上两点间最短距离的一般步骤 新知讲解 1. 圆锥的底面半径是6，母线长18，求它的侧面展开图的圆心角. 解：设侧面展开图的圆心角为n°, 则6×2π=，解得n=120, 所以侧面展开图的圆心角为120°. 随堂练习 2.如图，圆锥形烟囱帽的底面圆的直径是80 cm，母线长是50 cm. 制作100个这样的烟囱帽至少需要多少平方米铁皮（π取3.142，结果保留小数点后一位）？ 解：S侧=×80π×50=2 000π (cm²), 2 000π×100=2×10⁵π (cm²) ≈ 62.8 (m²). 答：制作100个这样的烟囱帽至少需要约62.8 m² 铁皮. 随堂练习 3.如图，圆锥的底面圆心为 ，顶点为 ，母线  长为4，母线  与高  的夹角为 ，那么圆锥侧面展开图的面积为______. 解析：∵ 母线  与高  的夹角为 ，母线  长为4， ∴ 圆锥的底面圆的半径 , ∴ 圆锥侧面展开图的面积 π π×2×4 = 8π. 8π 随堂练习 4. 如图所示，有一个圆锥形的土堆，底面半径 r 为 ，母线长 l 为 6，在其轴截面的点 B 处有一只蚂蚁，想爬向圆锥母线 AC上的点 P 处获得食物，其中 AP=2 dm，则蚂蚁沿着圆锥侧面爬行时的最短路程是多少？（结果保留根号） 解：如图 ，设圆锥侧面展开的扇形的圆心角为 ， 由题意得，. 解得 ， ∴展开后的扇形的圆心角 . ∵ ， ∴  是等边三角形， ∴ ， ∴ , 随堂练习 4. 如图所示，有一个圆锥形的土堆，底面半径 r 为 ，母线长 l 为 6，在其轴截面的点 B 处有一只蚂蚁，想爬向圆锥母线 AC上的点 P 处获得食物，其中 AP=2dm，则蚂蚁沿着圆锥侧面爬行时的最短路程是多少？（结果保留根号） ∴ ， ∴ , ∴ 在  中， ， ∴ 蚂蚁沿着圆锥侧面爬行时的最短路程是 . 随堂练习 $