精品解析：安徽省宿州市第二中学2024-2025学年高二下学期7月期末考试数学试题

2024-2025学年度高二年级第二学期期末考试数学学科 命题人：侯淑雅 审核人：单兆昂 （考试时间：120分钟） 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请将答案正确填写在答题卡上，回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出集合中的不等式的解集，然后根据交集的概念进行运算即可. 【详解】由题意可得：，所以得：， 所以得：，故C项正确. 故选：C. 2. 已知命题，，命题，，则（ ） A. 和都是真命题 B. 和都是真命题 C. 和都是真命题 D. 和都是真命题 【答案】A 【解析】 【分析】利用判断命题的真假，举出实例，得到为真命题. 【详解】 由，得是真命题，是假命题； 命题，时，，， 故满足，为真命题. 故选：A. 3. 已知事件，相互独立，，若，，则（ ） A. 0.18 B. 0.12 C. 0.42 D. 0.28 【答案】A 【解析】 【分析】根据相互独立事件的乘法概率公式及条件概率公式求解即可. 【详解】易知可得， ， 又事件，相互独立， 故选：A 4. 对四组数据进行统计，获得如图散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据散点图和相关系数的概念和性质辨析即可. 【详解】由散点图可知，相关系数所在散点图呈负相关，所在散点图呈正相关， 所以都为正数，都为负数. 所在散点图近似一条直线上，线性相关性比较强，相关系数的绝对值越接近1， 而所在散点图比较分散，线性相关性比较弱，相关系数的绝对值越远离1. 综上可得：. 故选：A. 5. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据导数的定义，基本初等函数的导数公式可得，再根据同角三角函数的平方关系求值即可. 【详解】记，则， 由， 可得， 即，因， 故. 故选：B. 6. 现将《红楼梦》、《水浒传》、《三国演义》、《西游记》、《史记》5本不同的书籍分发给甲乙丙3人，每人至少分得1本，已知《西游记》分发给了甲，则不同的分发方式种数是（ ） A. 150 B. 100 C. 25 D. 50 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，分2步进行分析：①将5本不同的书籍分为3组，每组至少1本，②将《西游记》所在的组分发给了甲，剩下2组任意分配，由分步计数原理计算可得答案. 【详解】根据题意，分2步进行分析： ①将5本不同的书籍分为3组，每组至少1本， 若分为1、1、3的三组，有种分组方法， 若分为1，2，2的三组，有种分组方法， 共有种分组方法， ②将《西游记》所在的组分发给了甲，剩下2组任意分配，有2种情况， 则有种分发方式. 故选：D. 7. 已知函数的定义域为，为奇函数，且，，则（ ） A. B. 1 C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知结合赋值法推出函数为偶函数，进而采用变量代换的方法，推出函数的对称中心，进而推出其周期，再结合赋值法求得，，，，结合函数的周期性，即可求得答案. 【详解】由题意知函数的定义域为，且，， 令，则，即，故为偶函数； 又由为奇函数，可得，令，则，得， 又由可得的图象关于点成中心对称，则； 又由可得，又结合为偶函数， 则，故，即4为的周期， 故，则， 故 故选：B. 8. 已知函数对定义域内任意，都有，则正实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，由题设可得的单调性，从而得到，利用同构可得，参变分离后可求参数的取值范围. 【详解】 因为，所以 令函数，则在上单调递减， 所以在上恒成立，所以， 即.令函数，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增. 当时，，当时，， 且由题干可知，，即， 若，则恒成立， 当时，恒成立等价于当时，， 故时，恒成立，故. 令函数，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的最大值，所以； 综上所述，正实数的取值范围为.故A正确. 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设离散型随机变量的分布列为 1 2 3 4 5 0.1 0.4 0.2 0.1 若离散型随机变量满足，则下列结果正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】先计算的值，然后用公式求、的值，再利用期望、方差的性质计算，即可. 【详解】由题意有，得， 所以， ， ， . 故选：BC. 10. 已知的展开式中，仅第6项的二项式系数最大，则下列说法正确的是（ ） A. B. 展开式中常数项为180 C. 展开式中各项系数之和为 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，根据已知条件求出展开式的项数，可解得正整数的值；对于B，写出展开式通项，赋值后即可求常数项的值；对于C，赋值法令，即可得展开式中各项系数之和；对于D，利用组合数公式得出，再利用二项式定理化简可得结果. 【详解】对于A ，因展开式中仅第6项的二项式系数最大，故二项展开式共有项，则，故A正确； 对于B，的展开式通项为， 令，解得，故展开式中的常数项为，故B正确； 对于C，在展开式中，令，可得各项系数之和为，故C错误； 对于D，因，即， 故，即D正确. 故选：ABD. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 对任意的实数，，函数恒有两个极值点 B. 设，为的极值点，则 C. 当时，若在上有最大值，则 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，利用导函数有两个变号零点即可判断；对于B，利用A项结论写出韦达定理，化简所求式求其值域即可判断；对于C，在时，讨论函数的单调性和变化趋势，由推得进行判断；对于D，化简计算得到，即可求出的值 【详解】因函数的定义域为，求导得. 对于A，由，知函数恒有两个变号零点，故函数恒有两个极值点，故A正确； 对于B，由A分析，，， 则，当且仅当时取等号，故B错误； 对于C，当时，， 当或时，，当时，， 故在和上单调递增，在上单调递减， 则，1分别是的极大值点和极小值点，因在上有最大值， 且，故有，故C错误； 对于D， ，则有，解得，故D正确. 故选：AD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若随机变量，且，则_____. 【答案】0.4 【解析】 【分析】利用正态密度曲线的对称性可求得结果. 【详解】由可得，即， 因为随机变量，且， 故. 故答案为：. 13. 已知，，直线与曲线相切，则的最小值是______. 【答案】4 【解析】 【分析】根据题意，由导数的几何意义代入计算可得，然后结合基本不等式即可得到结果. 【详解】因为，则，令，可得，然后将代入，可得，即，所以 ，当且仅当时，取等号. 所以的最小值是. 故答案为： 14. 已知函数，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】证明函数为偶函数，利用导数判断函数在上的单调性，结合函数性质将条件转化为恒成立，结合二次函数性质列不等式求的范围. 【详解】函数的定义域为，定义域关于原点对称， 且， 所以为偶函数， 又当时，，， 所以， 所以在上单调递增， 所以不等式对任意恒成立， 转化为，即， 所以且在上恒成立， ①若在上恒成立，则，解得； ②若在上恒成立，则，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知全集，集合，，. （1）求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解一元二次不等式得，再由补集与交集的概念求解， （2）转化为集合间的关系，分类讨论求解． 【小问1详解】 ∵或， ∴， ∴. 【小问2详解】 ∵， ∴， ①当时，满足，即，解得. ②当时，因为，所以 ，即， 综上，实数的取值范围为. 16. （1）解关于的不等式：. （2）关于的不等式在上有解，求实数的取值范围. 【答案】（1）答案见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）依题意可得，再分、、三种情况讨论，分别求出不等式的解集； （2）参变分离可得在上有解，则，结合对勾函数的性质计算可得. 【详解】（1）因为，即， 当时，解得或，所以不等式的解集为； 当时，，所以不等式的解集为； 当时，解得或，所以不等式的解集为， 综上可得当时等式的解集为； 当时不等式的解集为，当时不等式的解集为. （2）因为关于的不等式在上有解， 所以在上有解，所以，， 又在上单调递减，在上单调递增， 且当时，当时， 所以当时， 所以. 17. 甲、乙两人进行一场网球比赛，比赛采用三局两胜制，每局都没有平局，且甲第一局获胜的概率为.从第二局开始，若上一局甲获胜，则下一局甲获胜的概率为，若上一局甲未获胜，则下一局甲获胜的概率为. （1）当时，求甲第二局获胜的概率. （2）设甲第一局未获胜且第二局获胜的概率为. ①求； ②记这场比赛需要进行的局数为，求的分布列与期望. 【答案】（1） （2）①；②的分布列为 2 3 ，期望为.【解析】 【分析】（1）根据全概率公式即可求解, （2）①②根据全概率公式即可求解概率，进而根据期望公式求解. 【小问1详解】 设“甲第局获胜”，其中，依题意得， 当时，由全概率公式得. ， 所以甲第二局获胜的概率为. 【小问2详解】 ①甲第一局未获胜且第二局获胜的概率为， 依题意得，解得. ②的可能取值为2，3. ， 所以的分布列为 2 3 . 18. 某市一个社区微信群“步行者”有成员100人，其中男性70人，女性30人，现统计他们平均每天步行的时间，得到频率分布直方图，如图所示： 若规定平均每天步行时间不少于2小时的成员为“步行健将”，低于2小时的成员为“非步行健将”.已知“步行健将”中女性占. （1）填写下面列联表，并通过计算判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“是否为‘步行健将’与性别有关”； 步行健将 非步行健将 总计 男性 女性 总计 （2）现从“步行健将”中随机选派2人参加全市业余步行比赛，求2人中男性的人数的分布列及数学期望. 参考公式：，其中. 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【详解】分析：（1）根据直方图完成列联表，利用公式求得 ，与邻界值比较，即可得到结论；（2）的可能取值为，利用组合知识根据古典概型概率公式求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用期望公式可得的数学期望. 详解：（1）据频率分布直方图，“步行健将”的人数为， 其中女性有7人，填写表格如下： 故 故在犯错误的概率不超过0.05的前提下不能认为“是否为‘步行健将’与性别有关”. （2）依题意知的可能取值为0,1,2，所以 分布列为 故. 点睛：本题主要考查频率分布直方图的应用、独立性检验的应用以及离散型随机变量的分布列与期望，属于中档题.独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据制成列联表；（2）根据公式计算的值；(3) 查表比较与临界值的大小关系，作统计判断.（注意：在实际问题中，独立性检验的结论也仅仅是一种数学关系，得到的结论也可能犯错误.） 19. 已知函数 （1）若为实数，试讨论方程的根个数； （2）证明：； （3）若点在的图象上运动，求点到直线距离的最小值. 【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）对求导，作出的图象，利用数形结合思想可解； （2）注意，，构造函数，利用单调性即可判断与的大小，结合的单调性即可判断； （3）根据条件，过点的切线与平行时距离的最小，利用导数几何意义求出切点即可. 【小问1详解】 因为，则， 当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 故时， 取得极小值， 且当时，，当时，，的图象如图： 因方程的根个数即函数图象与直线的交点个数.由图知， 当时，与有两个交点，此时方程有2个实根； 当和时，与只有一个交点， 此时方程有1个实根； 当时，与没有交点， 此时方程没有实根. 【小问2详解】 由，， 故可构造函数，则， 当时，，当时，. 故上上为增函数，在上为减函数 由，可得， 由在上为增函数，可得， 故得. 【小问3详解】 设点，易知当曲线在处的切线与平行时， 点到直线的距离最小， 又，则有. 令，则， 易知，当时，，当时，， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增 且时，，又，所以，则， 故到直线的距离即点到直线距离的最小值，为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度高二年级第二学期期末考试数学学科 命题人：侯淑雅 审核人：单兆昂 （考试时间：120分钟） 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请将答案正确填写在答题卡上，回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题，，命题，，则（ ） A. 和都是真命题 B. 和都是真命题 C. 和都是真命题 D. 和都是真命题 3. 已知事件，相互独立，，若，，则（ ） A. 0.18 B. 0.12 C. 0.42 D. 0.28 4. 对四组数据进行统计，获得如图散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 6. 现将《红楼梦》、《水浒传》、《三国演义》、《西游记》、《史记》5本不同的书籍分发给甲乙丙3人，每人至少分得1本，已知《西游记》分发给了甲，则不同的分发方式种数是（ ） A. 150 B. 100 C. 25 D. 50 7. 已知函数的定义域为，为奇函数，且，，则（ ） A. B. 1 C. 0 D. 8. 已知函数对定义域内任意，都有，则正实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设离散型随机变量的分布列为 1 2 3 4 5 0.1 0.4 0.2 0.1 若离散型随机变量满足，则下列结果正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 已知的展开式中，仅第6项的二项式系数最大，则下列说法正确的是（ ） A. B. 展开式中常数项为180 C. 展开式中各项系数之和为 D. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 对任意的实数，，函数恒有两个极值点 B. 设，为的极值点，则 C. 当时，若在上有最大值，则 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若随机变量，且，则_____. 13. 已知，，直线与曲线相切，则的最小值是______. 14. 已知函数，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知全集，集合，，. （1）求； （2）若，求实数的取值范围. 16. （1）解关于的不等式：. （2）关于的不等式在上有解，求实数的取值范围. 17. 甲、乙两人进行一场网球比赛，比赛采用三局两胜制，每局都没有平局，且甲第一局获胜的概率为.从第二局开始，若上一局甲获胜，则下一局甲获胜的概率为，若上一局甲未获胜，则下一局甲获胜的概率为. （1）当时，求甲第二局获胜的概率. （2）设甲第一局未获胜且第二局获胜的概率为. ①求； ②记这场比赛需要进行的局数为，求的分布列与期望. 18. 某市一个社区微信群“步行者”有成员100人，其中男性70人，女性30人，现统计他们平均每天步行的时间，得到频率分布直方图，如图所示： 若规定平均每天步行时间不少于2小时的成员为“步行健将”，低于2小时的成员为“非步行健将”.已知“步行健将”中女性占. （1）填写下面列联表，并通过计算判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“是否为‘步行健将’与性别有关”； 步行健将 非步行健将 总计 男性 女性 总计 （2）现从“步行健将”中随机选派2人参加全市业余步行比赛，求2人中男性的人数的分布列及数学期望. 参考公式：，其中. 19. 已知函数 （1）若为实数，试讨论方程的根个数； （2）证明：； （3）若点在的图象上运动，求点到直线距离的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $