精品解析：安徽省十校（A10）联盟2025-2026学年高二下学期7月期末质量检测数学试题（北师大版）B

2024级高二7月初期末质量检测 数学（北师大版）B 满分150分，时间120分钟．请在答题卡上作答． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】考查集合的运算以及方程和不等式的求解，分别求出A,B两个集合，再根据并集的定义求解. 【详解】由题意得，，，则. 故选C. 2. 下列命题中为真命题的是（ ） A. ，使得 B. ，使得 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称量词与存在量词命题真假的判断方法依次判断即可. 【详解】选项A：因为，，所以选项A错误； 选项B：当时，，所以选项B错误； 选项C：，所以选项C正确； 选项D：因为有的无理数的平方仍是无理数，如：，所以选项D错误. 故选：C. 3. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数、对数的性质和运算法则，利用换底公式化简，再利用指数函数的单调性确定的取值范围，进而比较的大小． 【详解】，， ， ， ，故B正确． 故选：B． 4. 设数列为常数列，定义，则“是常数列”是“是常数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件，利用充分条件与必要条件的判断方法，即可求解. 【详解】若是常数列，不妨设（为常数），则为常数， 即“是常数列”可推出“是常数列”， 取，，显然有，且是常数列，但不是常数列， 所以“是常数列”推不出“是常数列”，即“是常数列”是“是常数列”的充分不必要条件， 故选：A. 5. 牛顿冷却定律是牛顿在1701年用实验确定的：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，环境温度为，则分钟后物体的温度（单位：）满足：．已知环境温度为，一块面包从温度为的烤箱里拿出，经过分钟温度降至，要想温度降至，那么大约再经过（ ） A. 10分钟 B. 20分钟 C. 30分钟 D. 40分钟 【答案】B 【解析】 【分析】先将，代入题设得出的值，设再经过分钟温度可由降为，将数据代入题设关系式求解即可. 【详解】由题意，当时， 有，解得：，即， 设再经过分钟后，温度可由，降至， 则，即，解得：. 6. 已知函数是上的增函数，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分段函数的性质，结合函数在上单调递增，分段讨论求出的取值范围． 【详解】函数是上的增函数， 当时，函数单调递减，单调递增，，解得， 当时，单调递增，当且仅当时成立，，解得； 当时，需满足，由上述分析知，故不等式转化为，解得． 综上可得，，故C正确． 故选：C． 7. 已知等差数列的公差为，其前项和为，，，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. 中最大 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用等差数列性质结合给定条件可得，再逐项分析判断作答. 【详解】等差数列的公差为d，其前n项和为， 由，得，由，得， 则有，即，B正确；，A正确； 因，且，，则是递减等差数列，其前6项均为正，从第7项起为负数，因此，中最大，C正确； ，，，即，D不正确. 8. 若函数的图象在处的切线也是曲线的切线，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出函数的图象在处的切线方程，设直线与曲线相切于点，由此用表示出，则，令，对求导得出的单调性，即可求出的最大值. 【详解】，则， 所以函数的图象在处的切线的斜率为， 所以函数的图象在处的切线方程为：， 即， 设直线与曲线相切于点，， 所以，所以，则，则， 所以， 令，所以， 令，解得：， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以当时取得最大值，则. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题中，正确的有（ ） A. 函数与函数表示同一函数 B. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 C. 若函数，则 D. 函数的零点所在区间为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据相等函数的定义即可判断A；根据抽象函数的定义域即可判断B；利用换元法即可判断C；根据零点的存在性定理即可判断D. 【详解】对于A，由，解得， 所以函数的定义域为， 由，解得或， 所以函数的定义域为， 所以函数与函数不是同一函数，故A错误； 对于B，令，解得， 所以函数的定义域为，故B正确； 对于C，令，则， 则， 所以，故C正确； 对于D，因为函数在上都是增函数， 所以函数在上是增函数， 又， 所以函数的零点所在区间为，故D正确. 故选：BCD. 10. 设正实数，满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为6 D. 的最大值为9 【答案】AC 【解析】 【分析】先消元限定定义域，然后利用二次函数性质、常数代换法、取特值求解即可. 【详解】由及正实数，得，且. 对选项A：，这是关于的二次函数，开口向下， 对称轴为，且，故的最大值为. 该项正确. 对选项B：，对称轴为， 代入得最小值为，不等于. 该项错误. 对选项C：， 当且仅当时等号成立，故最小值为. 该项正确. 对选项D：令，则，所以最大值不是9. 该项错误. 11. 在无穷数列中，记，若，仍是中的项，则称为“和封闭数列”.下列说法正确的有（ ） A. 若，则为“和封闭数列” B. 若，则不为“和封闭数列” C. 若为“和封闭数列”，则也为“和封闭数列” D. 若为无穷等差数列，则一定可以分解成两个“和封闭数列”的和的形式 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，先计算的前项和，验证对任意正整数，都存在正整数​使得，结合“和封闭数列”定义判断；对B，验证的前项和不是数列中的项；对C，取，验证的前项和不是中的项；对D：设无穷等差数列通项为，通过推导验证是否一定能拆分为两个“和封闭数列”的和，判断正误. 【详解】对于A：若 ，则前项和 ​， 因为一奇一偶，一定是正整数，记，则，即是数列中的项， 因此是“和封闭数列”，A正确； 对于B：若 ，则，不是的幂，即不在数列中，因此不为“和封闭数列”，B正确； 对于C：取（已证是和封闭数列），其，即为， 的前项和，不存在正整数使得，即不是中的项， 因此不是和封闭数列，C错误； 对于D：任意无穷等差数列可写为 （）， 令 ，，显然 ​， 对，前项和 ，取， 由于一定是偶数，因此是正整数，且​，故是和封闭数列； 对，前项和 ​​，是正整数，故是和封闭数列； 因此任意无穷等差数列都可以拆成两个和封闭数列的和，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数．若，，则的值为__________，曲线在点处的切线方程为__________． 【答案】 ①. 1 ②. 【解析】 【分析】利用可求的值，从而得到，再求即可求切线方程. 【详解】，所以，解得. 所以，则，所以. 又，所以在点处的切线方程为，即. 13. 若点在曲线上，记数列的前项和为，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据等比数列的定义判断数列为等比数列，利用等比数列的前项和化简求解即可. 【详解】由点在曲线上，则，所以， 故数列是首项为，公比为的等比数列， 所以. 14. 对于任意实数，当时，都有，则的最大值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用二次不等式恒成立，再放缩求解即可得最大值. 【详解】由题意得，在上恒成立， 则，所以，即， 又，所以， 当且仅当时取等号，故的最大值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，{或}. （1）若，求的取值范围； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 因为，{或}，， 所以，解得，即的取值范围为． 【小问2详解】 当时，满足，此时，解得． 当时，或， 解得或， 综上，或，即的取值范围为． 16. 已知函数． （1）若的定义域为，求实数的范围； （2）若，的最小值为，求实数的值； （3）若，，解不等式． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数的定义域为，得到对恒成立，结合二次函数图象得到，解不等式即可得到答案； （2）令，结合对数函数的单调性，将的最小值为转化为的最小值为，即可求出； （3）利用对数函数的单调性，将不等式转化为一元二次不等式，求解即可. 【小问1详解】 对于函数，要使其定义域为，则对恒成立， 令，函数的图象开口向上，若对恒成立， 则，解得， 则实数的范围为. 【小问2详解】 当时，， 令， 因为在上单调递增，的最小值为3， 则的最小值为， 则，解得， 所以实数的值为. 【小问3详解】 当，时，， 不等式可化为，即 因为函数在上单调递减， 则，解得或， 所以不等式的解集为. 17. 已知数列是以为首项，4为公比的等比数列，且． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先计算，再利用累加法可求. （2）利用，计算，从而得到，再利用错位相减法可求和. 【小问1详解】 由题意得，， 当时，由累加法，得 ， 当时，，满足上式， 综上所述，． 【小问2详解】 由（1）得，，则， ， ， 所以 ， 所以． 18. 已知为奇函数，且定义域为，. （1）求的值，判断的单调性，并用定义法证明； （2）若，求的取值范围； （3）若存在两个不相等的实数，，使，且.求实数的取值范围. 【答案】（1）证明如下： 因为为奇函数，定义域为， 所以，得，经验证满足题设， 在定义域上为增函数，证明如下： 任取，，且，， ， 所以，在定义域上为增函数； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）由奇函数性质求参数，进而判断函数的单调性，应用单调性定义证明即可； （2）由（1）所得单调性列不等式求参数范围； （3）由题设可得，且令，则能成立，结合二次函数的性质列不等式求参数范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得，解得； 【小问3详解】 ， ， ，即， ， ，， 令，，， ， ，则存在一个实数，使成立， 只需或，解得或， 综上：. 19. 已知函数的定义域为，且是偶函数，是奇函数. （1）求的解析式； （2）已知函数. （i）求证：函数有且只有一个零点； （ii）记函数的零点为，求证：. 【答案】（1） （2）（i）由题意知， 的定义域为， 当时，，此时在上单调递增， 又在上单调递增，所以在上单调递增， 又，， 所以在上有唯一零点； 当时，，，所以， 所以在上没有零点； 当时，，所以，所以， 所以在上没有零点． 综上，有且只有一个零点． （ii）由题意知，，且， 所以， 所以． 令，因为，所以， 又，则， 所以， 因为，所以，即． 【解析】 【分析】（1）利用奇偶函数定义列出关于与的两个等式，联立消去解出； （2）（i）拆分定义域三段分别分析符号，结合单调性与零点存在定理判定仅一段存在唯一零点，其余区间恒正无零点，从而得证；（ii）利用零点条件对目标式代换变形，换元确定取值范围，将原式化为关于的二次函数，结合范围推证. 【小问1详解】 因为是偶函数，所以， 所以， 因为是奇函数，所以， 所以， 所以，即． 【小问2详解】 （ⅰ）略；（ⅱ）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024级高二7月初期末质量检测 数学（北师大版）B 满分150分，时间120分钟．请在答题卡上作答． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列命题中为真命题的是（ ） A. ，使得 B. ，使得 C. D. 3. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 4. 设数列为常数列，定义，则“是常数列”是“是常数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 牛顿冷却定律是牛顿在1701年用实验确定的：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，环境温度为，则分钟后物体的温度（单位：）满足：．已知环境温度为，一块面包从温度为的烤箱里拿出，经过分钟温度降至，要想温度降至，那么大约再经过（ ） A. 10分钟 B. 20分钟 C. 30分钟 D. 40分钟 6. 已知函数是上的增函数，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知等差数列的公差为，其前项和为，，，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. 中最大 D. 8. 若函数的图象在处的切线也是曲线的切线，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题中，正确的有（ ） A. 函数与函数表示同一函数 B. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 C. 若函数，则 D. 函数的零点所在区间为 10. 设正实数，满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为6 D. 的最大值为9 11. 在无穷数列中，记，若，仍是中的项，则称为“和封闭数列”.下列说法正确的有（ ） A. 若，则为“和封闭数列” B. 若，则不为“和封闭数列” C. 若为“和封闭数列”，则也为“和封闭数列” D. 若为无穷等差数列，则一定可以分解成两个“和封闭数列”的和的形式 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数．若，，则的值为__________，曲线在点处的切线方程为__________． 13. 若点在曲线上，记数列的前项和为，则__________． 14. 对于任意实数，当时，都有，则的最大值为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，{或}. （1）若，求的取值范围； （2）若，求的取值范围. 16. 已知函数． （1）若的定义域为，求实数的范围； （2）若，的最小值为，求实数的值； （3）若，，解不等式． 17. 已知数列是以为首项，4为公比的等比数列，且． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 18. 已知为奇函数，且定义域为，. （1）求的值，判断的单调性，并用定义法证明； （2）若，求的取值范围； （3）若存在两个不相等的实数，，使，且.求实数的取值范围. 19. 已知函数的定义域为，且是偶函数，是奇函数. （1）求的解析式； （2）已知函数. （i）求证：函数有且只有一个零点； （ii）记函数的零点为，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $