1.2.2《菱形的判定》分层作业 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 本同步练以菱形判定为核心，通过基础、进阶、中考三层设计，实现从概念识别到综合应用的梯度巩固，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础过关题|菱形3个判定定理及推论|选择/填空题直接考查判定方法识别，简单证明题强化"平行四边形+邻边相等/对角线垂直"思路，夯实基础| |进阶思维题|菱形与矩形、三角形中位线等综合|含折叠、动态几何情境题，如"纸条交叉重叠形成菱形"，发展空间观念与推理能力| |中考链接题|中考真题改编的综合应用|涉及动态几何（平移、旋转）及多结论判断，如"等边三角形与菱形结合"，提升模型意识与应用能力|

北师大版九年级上册 第1章 特殊平行四边形 1.2菱形的性质与判定 第2课时 菱形的判定 本节知识点总结 1. 定义判定：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 2. 判定定理1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 3. 判定定理2：四条边相等的四边形是菱形。 4. 判定思路： 方法一：先证四边形是平行四边形，再证一组邻边相等（或对角线垂直） 方法二：直接证明四边形的四条边都相等 5. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形（常用推论）。 6. 菱形的判定常与全等三角形、垂直平分线、角平分线等知识综合应用。 分层作业 📅 一、基础过关题 题型01 菱形判定方法的识别与判断 1．（2024秋·江苏南京·单元测）下列条件中，能判定一个四边形是菱形的是（　　） A．对角线互相平分的四边形 B．对角线互相垂直且平分的四边形 C．对角线相等的四边形 D．对角线相等且互相平分的四边形 【答案】B 【分析】对角线互相垂直平分的四边形是菱形。A是平行四边形，C无法判定，D是矩形。 【详解】解： A. 对角线互相平分只能判定是平行四边形，不一定是菱形； B. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形，正确； C. 对角线相等无法判定特殊四边形； D. 对角线相等且互相平分的四边形是矩形。 故选：B。 2．（2024-2025九年级上·浙江杭州·期中）下列说法正确的是（　　） A．两组对边分别平行的四边形是菱形 B．有一组邻边相等的四边形是菱形 C．四条边都相等的四边形是菱形 D．对角线互相垂直的四边形是菱形 【答案】C 【分析】考查菱形的三种判定方法，注意前提条件。 【详解】解： A. 错误，是平行四边形； B. 错误，必须是平行四边形+邻边相等才是菱形； C. 正确，四条边相等的四边形是菱形； D. 错误，必须是平行四边形+对角线垂直才是菱形。 故选：C。 3．（2024秋·山东济南·月考）平行四边形ABCD中，添加下列条件能判定它是菱形的是（　　） A．AB = CD B．AC = BD C．AC⊥BD D. ∠A = ∠C 【答案】C 【分析】已知是平行四边形，只需添加邻边相等或对角线垂直即可判定菱形。 【详解】解：已知四边形ABCD是平行四边形， A. AB = CD是平行四边形本身就有的性质，不能判定菱形； B. AC = BD可判定是矩形； C. AC⊥BD，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，正确； D. ∠A = ∠C是平行四边形本身就有的性质。 故选：C。 题型02 利用定义判定菱形（平行四边形+邻边相等） 4.（25-26·广东月考）如图，下列四个条件中，能判定平行四边形为菱形的是（       ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 根据菱形的判定定理和矩形的判定定理分别对各个选项进行推理判断即可． 【解答】 解：、平行四边形中，不能判定四边形为菱形，故选项不符合题意； 、四边形是平行四边形， ，， ， ， 平行四边形是矩形，不能判定四边形为菱形； 、四边形是平行四边形， ，不能判定四边形为菱形； 、四边形是平行四边形， 平行四边形是菱形；故选项符合题意； 故选：． 5.（24-25·江西期中）如图，在中，，分别是的中点，连接．如果只添加一个条件即可证明四边形是菱形，那么这个条件可以是（       ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 利用菱形定义可判定。 【解答】 解：四边形是平行四边形，，，，分别是的中点，，， 四边形是平行四边形. 、当时，四边形是矩形，故本选项不符合题意； 、当时，无法得到四边形是菱形，故本选项不符合题意； 、当时，无法得到四边形是菱形，故本选项不符合题意； 、当时，，此时四边形是菱形，故本选项符合题意. 故选： 6.（25-26·陕西月考）如图所示，平行四边形的对角线、相交于点，试添加一个条件：   （答案不唯一） ，使得平行四边形为菱形． 【答案】 （答案不唯一） 【解析】 利用菱形定义可判定。 【解答】 由四边形是平行四边形，添加，根据邻边相等的平行四边形是菱形的判定，可使得平行四边形为菱形； 添加，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形的判定，可使得平行四边形为菱形． 故答案为：（答案不唯一） 题型03 利用对角线垂直判定菱形 7．（2024秋·河北石家庄·期末）平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC⊥BD，则四边形ABCD是（　　） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．无法确定 【答案】B 【分析】对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，且AC⊥BD， ∴根据判定定理，对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 故选：B。 8．（2024-2025九年级上·陕西西安·单元测）四边形ABCD中，对角线AC、BD互相垂直平分，则这个四边形是（　　） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】C 【分析】对角线互相平分是平行四边形，再加垂直就是菱形。 【详解】解：∵对角线互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形， 又∵对角线互相垂直， ∴平行四边形ABCD是菱形。 故选：C。 9．（2024秋·辽宁沈阳·期中）如图，平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与AD、BC分别交于E、F。求证：四边形AFCE是菱形。 【答案】见详解 【分析】先证是平行四边形，再利用垂直平分线证对角线垂直。 【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，∴∠EAO = ∠FCO， 又∵∠AOE = ∠COF，OA = OC， ∴△AOE ≌ △COF（ASA），∴OE = OF， ∴四边形AFCE是平行四边形（对角线互相平分）。 又∵EF⊥AC， ∴平行四边形AFCE是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）。 题型04 利用四边相等判定菱形 10．（2024秋·重庆渝中·月考）四边形ABCD中，AB = BC = CD = DA，则这个四边形一定是（　　） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】C 【分析】四条边都相等的四边形是菱形。 【详解】解：根据菱形的判定定理，四条边都相等的四边形是菱形。 故选：C。 11．（2024-2025九年级上·天津南开·期末）下列条件能判定四边形是菱形的是（　　） A．对角线相等 B．对角线互相垂直 C．四边都相等 D．四角都相等 【答案】C 【分析】四边都相等直接判定菱形，不需要平行四边形前提。 【详解】解： A. 对角线相等无法判定； B. 只有垂直没有平分，无法判定； C. 四条边都相等的四边形是菱形，正确； D. 四角都相等是矩形。 故选：C。 12．（2024秋·四川成都·单元测）如图，在△ABC中，AB = AC，D、E、F分别是BC、AB、AC的中点。求证：四边形AEDF是菱形。 【答案】见详解 【分析】利用中位线定理证明四边都相等。 【详解】证明：∵D、E分别是BC、AB的中点， ∴DE是△ABC的中位线，∴DE = ½AC，DE∥AC， 同理：DF = ½AB，DF∥AB， ∵AB = AC，∴DE = DF = AE = AF， ∴四边形AEDF的四条边都相等， ∴四边形AEDF是菱形（四条边相等的四边形是菱形）。 题型05 菱形判定的简单证明题 13．（2024-2025九年级上·安徽合肥·期中）如图，在平行四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC。求证：四边形ABCD是菱形。 【答案】见详解 【分析】利用角平分线和平行线得到等角，从而邻边相等。 【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，∴∠ADB = ∠CBD， ∵BD平分∠ABC，∴∠ABD = ∠CBD， ∴∠ABD = ∠ADB，∴AB = AD， ∴平行四边形ABCD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）。 14．（24-25·四川期末）如图，在中，与交于点，点为中点，若，则（       ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 根据等角对等边和中点的概念得到，然后求出，证明出是菱形，然后利用菱形的性质求解即可． 【解答】 点为中点 是菱形， 故此题答案为． 15.（24-25·广东期中）已知：如图，在平行四边形中，对角线的垂直平分线与、、分别交于点、、．求证：四边形是菱形． 【答案】 证明：因为四边形是平行四边形，垂直平分 所以 所以 所以 所以 又 所以四边形是平行四边形， 又 所以四边形是菱形． 【解析】 由四边形是平行四边形，即可得，易证得，可得，即可证得四边形是平行四 边形，又由，即可证得四边形是菱形． 【解答】 证明：因为四边形是平行四边形，垂直平分 所以 所以 所以 所以 又 所以四边形是平行四边形， 又 所以四边形是菱形． 题型06 菱形性质与判定综合计算 16．（2024秋·北京海淀·单元测）在中，是边上的一点，连接．将沿翻折，使点落在点处，当时，求证：四边形是菱形． 【答案】 证明见解析． 【解析】 试题分析：只要证明，即可解决问题． 试题解析：形． 【解答】 证明：， ∴ 是由翻折得到， ∴ ∴ ∴ M， ∴四边形是菱 17.（2026·四川模拟）如图，过的对角线的中点作两条互相垂直的直线，分别交，，，于，，，四点，连接，，，． （1）试判断四边形的形状并说明理由； （2）若，求证：． 【答案】 四边形EFGH是菱形 见解答 【解析】 （1）四边形ABCD是平行四边形，得 AB CD，证明 （ASA），所以 OE=OG，同理可得OH=OF，可证四边形EFGH是平行四边形，再根据HF EG，即可证明四边形EFGH是菱形； （2）在CG上取点M，使CF=MF，则有 ，由四边形ABCD是平行四边形，则有AD ，所以 ，又 ，则 然后通过四边形EFGH是菱形，证明HE ，HG=GF，所以 ，可得 ，证明 （AAS），所以DG=MF，从而可证DG=CF. 【解答】 （1）四边形EFGH是菱形，理由如下： 四边形ABCD是平行四边形， 在 和 中， 同理可得 四边形EFGH是平行四边形， 又 四边形EFGH是菱形； （2）证明：在CG上取点M，使 四边形ABCD是平行四边形， 又 四边形EFGH是菱形， 在 和 中， 18.（25-26·山东期末）如图，在中，为对角线上的中点，连接，且，垂足为．延长至，使，连接，，且交于点． （1）求证：是菱形； （2）若，求的面积． 【答案】 见解析 【解析】 （1）BE垂直平分AC，根据线段垂直平分线得到 ，即可证明其为菱形； （2）先由等腰三角形可设 ，求出 ，由 角直角三角形得到 ，可得 为等边三角形，再由等腰三角形的性质证明CG ，则 ，由勾股定理得 ，最后由 即可求解. 【解答】 （1）证明： 为对角线 AC上的中点，且 BE 垂直平分 AC， 四边形ABCD是平行四边形， ABCD是菱形； （2）解：如图： , 设 解得： 又 为等边三角形， 四边形ABCD是菱形， 二、进阶思维题 （一）选择题 1.（25-26·四川月考）下列说法中，错误的是（       ） A.平行四边形的对角线互相平分 B.对角线互相平分的四边形是平行四边形 C.菱形的对角线互相垂直 D.对角线互相垂直的四边形是菱形 【答案】 D 【解析】 此题暂无解析 【解答】 平行四边形的对角线互相平分，说法正确；．对角线互相平分的四边形是平行四边形，说法正确； ．菱形的对角线互相垂直，说法正确； ．对角线互相垂直的四边形是菱形，说法错误. 故此题答案为 2.（25-26·全国同步）如图，四边形是菱形，，，于，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 根据菱形的对角线互相垂直平分求出、，再利用勾股定理列式求出，然后根据菱形的面积等对角线乘积的一半和底乘以高列出方程求解即可． 【解答】 解：，， ，， 由勾股定理的，， ， ， 即， 解得， 故选：． 3.（25-26·全国同步）如图，在矩形中，以为圆心，长为半径画圆弧，交于点，以为圆心长为半径画圆弧与的延长线交于点，连接分别与、交于点、，连接，下列结论中下列结论中错误的是（       ） A.四边形为菱形 B. C. D. 【答案】 B 【解析】 证明，可判断，由可判断，由矩形与菱形的性质可判断，假设成立，推出与题干矛盾可判断，从而可得答案． 【解答】 解：矩形，，即， 由作图可得：， 四边形为菱形，故不符合题意； ， ，故不符合题意； 矩形， ，， 四边形为菱形， ， ， 故不符合题意； 当， 四边形为菱形， ， ，， ， ， ，与题干条件矛盾，故符合题意； 故此题答案为 4.（24-25·全国同步）如图，在四边形中，、分别是、的中点，、分别是、的中点，，，，则的大小是（       ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 本题考查了菱形的判定和性质，三角形中位线定理，三角形外角的性质，根据题意得出四边形是菱形是解题关键．由三角形中位线定理，推出四边形是菱形，得到，根据平行线的性质和三角形外角的性质，得出，即可求出的大小． 【解答】 解：如图，令与的交点为， 、分别是、的中点，、分别是、的中点， 、、、分别是、、、的中位线， ，，，，，， ， ， 四边形是菱形， ， ，， ， ，， ， ， ， 故选： 5.（2026·海南模拟）如图，在中，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点F，分别以点 F，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点G，作射线交于点E，连接．若，，则的长为（     ） A.5 B. C.15 D. 【答案】 B 【解析】 连接EF，设AE交BF于点H，由作图可得， ，AE平分 ，根据菱形的判定证明四边形ABEF是菱形，则 ， ，在Rt 中利用勾股定理求出AH的长，即可得出答案. 【解答】 解：如图，连接EF，设AE交BF于点H. 由作图可得， ，AE平分 由作图可得， ， 平分 四边形ABCD是平行四边形， 又 四边形ABEF是平行四边形， 又 四边形ABEF是菱形. ， ， 在Rt 中，根据勾股定理，得 6.如图，平行四边形的对角线，相交于点．点为的中点，连接并延长交于点，，．下列结论：①；②；③四边形是菱形；④．其中正确结论的个数是（       ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 通过判定为等边三角形求得，利用等腰三角形的性质求得，从而判断①；利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形判断③，然后结合菱形的性质和含直角三角形的性质判断②；根据三角形中线的性质判断④． 【解答】 解：点为的中点，， 又， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 即，故①正确； 在平行四边形中，，，， ， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形， 又，点为的中点， ， 平行四边形是菱形，故③正确； ， 在中，， ，故②正确； 在平行四边形中，， 又点为的中点， ，故④正确； 综上所述：正确的结论有个， 故选：．   （二）填空题 7.四边形中，，顺次连接它的各边中点所得的四边形是  菱形    ． 【答案】 菱形 【解析】 根据三角形中位线定理和菱形的判定定理，即可得到答案． 【解答】 解：，分别是，的中点，，， 同理，，，， ，， 四边形是平行四边形， ， ， 平行四边形为菱形． 故答案是：菱形． 8.（25-26·全国同步）如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形，若测得，之间的距离为，点，之间的距离为，则四边形的面积为________________． 【答案】 /24平方厘米 【解析】 本题考查菱形的判定与性质、勾股定理、平行四边形的判定，先根据已知条件判定四边形是菱形，再根据菱形的性质和勾股定理求得，，，进而利用菱形的面积等于其对角线乘积的一半求解即可． 【解答】 解：连接、，设交点为，由题意，，， ∵ ，， ∴ 四边形是平行四边形， 设两张等宽的纸条的宽为， 则， ∴ ， ∴ 四边形是菱形， ∴ ，，， ∴ ，则， ∴ ， 故答案为：． 9.（24-25·河南期末）如图，为等边三角形的中心，分别以为圆心，的长为半径作弧，两弧交于外一点，连接，，若，则四边形的面积为___________． 【答案】 【解析】 本题考查了菱形的判定与性质,等边三角形的性质,正多边形的中心等知识，根据正多边形的中心的定义，可得出,证明四边形是菱形,得出,证明，得出,根据含的直角三角形的性质以及勾股定理可求出，即可求解。 【解答】 解:为等边三角形的中心， , 由作图知:, , 四边形是菱形, , , 连接, , ,, , , , 四边形的面积为, 故答案为: 10.（25-26·广东期中）如图，菱形ABCD和菱形EFGH的面积分别为和，CD落在EF上，，若的面积为，则的面积是___8.5_____． 【答案】 8.5 【解析】 连接FH，菱形ABCD和菱形EFGH中， ，可得DB//FH，可得 和 同底等高，再根据 ，计算即可得出答案. 【解答】 解：连接FH，在菱形ABCD和菱形EFGH中， 和 同底等高， 菱形ABCD的面积为 ， 故答案为：8.5. 11.（2025·山东期末）如图，是边长为1的等边三角形，取边中点，作，，得到四边形，它的周长记作；取中点，作．，得到四边形，它的周长记作，…，照此规律作下去，则________． 【答案】 【解析】 本题考查等边三角形的性质，三角形的中位线的性质，菱形的性质和判定，找出周长的规律是解题的关键；根据三角形的中位线求解，找规律可得，据此规律可求解. 【解答】 解：是边长为1的等边三角形， , 是边中点，， 是的中位线， ， ， 四边形是菱形， ， 同理：以此方法得到的四边形都为菱形，且边长为前一个菱形边长的， 即，，......，， ． 故答案为：． （三）解答题 12.（25-26·内蒙古期末） 如图，在中，，、分别是边，的中点，连接并延长到点，使，连接、、、． （1） 求证：四边形是菱形； （2） （2）若，，求的长． 【答案】 详见解答； 【解析】 （1）根据平行线的判定定理得到四边形是平行四边形，根据直角三角形的性质得到，于是得到四边形是菱形； （2）连接，根据菱形的性质得到，，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】 （1）证明：是边的中点，， ， 四边形是平行四边形， 在中，，是边的中点， ， 四边形是菱形； （2）解：连接，四边形是菱形，，， ，， ， ， ， ． 13.（25-26·宁夏期末）如图，已知中，是的中点，过点作交于点，过点作交于点，连接、． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，，求的长． 【答案】 见解答 【解析】 （1）由题意可得，则，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可得四边形是平行四边形；又垂直平分，根据垂直平分线的性质可得，根据“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”可得结论； （2）过点作于点，根据题意可得，，根据含度角的直角三角形的性质，则，． 【解答】 证明：在中，点是的中点， ， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形， 又，点是的中点，即垂直平分， ， 平行四边形是菱形． 如图，过点作于点， 由知四边形是菱形，又，， ，，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ．   14.（2025·西藏期末）如图，在四边形中，，过点D作的角平分线交于点E，连接交于点O，，且． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，的周长为36，求长． 【答案】 证明见解析 12 【解析】 （1）先证明四边形AECD是平行四边形，再根据等角对等边的性质，得到 ，即可证明四边形AECD是菱形； （2）根据菱形的性质，得出 ，由勾股定理可得 ，从而得到DE=12，再证明四边形BCDE是平行四边形，得到 CB=DE，即可求出CB长. 【解答】 （1）证明： 四边形 AECD是平行四边形， 四边形AECD是菱形； （2）解： 四边形AECD是菱形，AD=10, 的周长为36， 在Rt 中， 四边形BCDE是平行四边形， 15.（24-25·黑龙江期末）在中，，，垂足分别为点，，且． （1）如图，求证：是菱形； （2）如图，连接，交于点，交于点，连接、，若，在不添加任何字母及辅助线的情况下，请直接写出图中面积是面积倍的所有三角形． 【答案】 见解答； 、、、 【解析】 （1）证明得出，即可得出结论； （2）连接交于，则，证出，得出，，证明是等边三角形，，得出，，同理：，得出，由菱形的性质和角平分线的性质得出点到与边上的高相等，得出；证明得出，得出，得出，；证出是等边三角形，得出，，，得出的面积＝的面积；的面积＝的面积，得出的面积＝的面积． 【解答】 （1）解：证明：四边形是平行四边形，， ，， ， 在和中，， ， ， 是菱形； （2）解：图中面积是面积倍的所有三角形为、、、；理由如下：连接交于，如图所示： 则， ，， ， ， ， ， 是菱形， ， 是等边三角形，， ， ， 同理：， ， ， 是菱形， 是的平分线， 点到与边上的高相等， ， 在和中，， ， 的面积＝的面积，， ， ， ，； ， 是等边三角形， ，，， 的面积＝的面积， 的面积＝的面积， 的面积＝的面积； 图中面积是面积倍的三角形为：、、、． 三、中考链接题 1.（24-25·江苏中考）如图，在菱形中，，点，分别在，上，且，过点作交于点，过点作交于点，与交于点．当四边形与四边形的周长之差为时，的值为（        ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 根据菱形的性质得出，，推出平行四边形、、，得出和，根据菱形的判定得出四边形与四边形是菱形，再解答即可． 【解答】 解：∵ 四边形是菱形， ∴ ，，， ∵ ，， ∴ 四边形与四边形是平行四边形， ∴ ，，，， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ，即， ∴ 四边形与四边形是菱形， ∵ 四边形与四边形的周长之差为， ∴ ， 解得：. 故选 2.（24-25·湖南中考）如图，平行四边形的对角线，相交于点，点为的中点，连接并延长交于点，，．下列结论：①；②；③四边形是菱形；④；其中正确结论的个数是（       ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 通过判定为等边三角形求得，利用等腰三角形的性质求得，从而判断①；利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形判断③，然后结合菱形的性质和含直角三角形的性质判断②；根据三角形中线的性质判断④． 【解答】 解：点为的中点， ， 又， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 即，故①正确； 在平行四边形中，，，， ， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形， 又，点为的中点， ， 平行四边形是菱形，故③正确； ， 在中，， ，故②正确； 在平行四边形中，， 又点为的中点， ，故④正确； 正确的结论由个， 故选：． 3.（24-25·辽宁中考）如图，将沿着方向平移得到，只需添加一个条件即可证明四边形是菱形，这个条件可以是   （答案不唯一）     ．（写出一个即可） 【答案】 （答案不唯一） 【解析】 由题目提供的条件可以得到四边形是平行四边形，再添加一个条件使其成为菱形即可． 【解答】 解：添加，将沿着方向平移得到， ，， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形， 故答案为：（答案不唯一） 4.（25-26·四川中考）如图，以的三边为边在上方分别作等边、、．且点在内部．给出以下结论：①四边形是平行四边形；②当时，四边形是矩形；③当时，四边形是菱形；④当，且时，四边形是正方形．其中正确结论有  ①②③④ （填上所有正确结论的序号）． 【答案】 ①②③④ 【解析】 ①利用证明，得出；同理由，得；根据两边分别相等的四边形是平行四边形得出四边形是平行四边形，即可判断结论①正确； ②当时，求出，根据有一个角是的平行四边形是矩形即可判断结论②正确； ③先证明，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可判断结论③正确； ④根据正方形的判定：既是菱形，又是矩形的四边形是正方形即可判断结论④正确． 【解答】 解：①、是等边三角形， ，，； ； ； ； 同理由，得； 由，即可得出四边形是平行四边形，故结论①正确； ②当时，， 由①知四边形是平行四边形， 平行四边形是矩形，故结论②正确； ③由①知，，四边形是平行四边形， 当时，， 平行四边形是菱形，故结论③正确； ④综合②③的结论知：当，且时，四边形既是菱形，又是矩形， 四边形是正方形，故结论④正确． 故答案为：①②③④． 5.（24-25·辽宁中考）已知是等边三角形，点，关于直线对称，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）在线段上任取一点（端点除外），连接．将线段绕点逆时针旋转，使点落在延长线上的点处．请探究：当点在线段上的位置发生变化时，的大小是否发生变化？说明理由． （3）在满足（2）的条件下，探究线段与之间的数量关系，并加以证明． 【答案】 见解答 【解析】 （1）根据菱形的判定定理和轴对称图形的性质解答即可； （2）连接，过点分别作交于点，于点，根据全等三角形的判定定理，等腰三角形的性质，轴对称图形的性质解答即可； （3）根据等腰三角形的性质解答即可． 【解答】 （1）证明：连接， 等边中，， 点、关于直线对称， ，， ， 四边形是菱形； （2）解：当点在线段上的位置发生变化时，的大小不发生变化，始终等于，理由如下： 将线段绕点逆时针旋转，使点落在延长线上的点处， ， 等边中，， ， 连接，过点分别作交于点，于点，如图 则，， ， 是等边三角形， ， 而， ， 点，关于直线对称，点在线段上， ，， ， ，， ； 解法二：连接， 通过证明，利用旋转和全等三角形的性质分析求解； （3）解：在满足（2）的条件下，线段与之间的数量关系是，证明如下： ，， ， 即， ，， ， ，， ， ， 即， ．   6.（24-25·黑龙江中考）已知四边形是平行四边形，点在对角线上，点在边上，连接，，． （1）如图①，求证； （2）如图②，若，过点作交于点，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图②中四个角（除外），使写出的每个角都与相等． 【答案】 见解答 ，理由见解答 【解析】 （1）由平行四边形的性质得，，进而有，从而利用即可证明结论成立； （2）先证四边形是菱形， 得，又证，得，由得得，根据等角的补角相等即可证明． 【解答】 （1）证明：四边形是平行四边形，，，， ， ，， ； （2）解：，理由如下：四边形是平行四边形， 四边形是菱形，，， ，，， ， ， ， ， ， 由得， ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 北师大版九年级上册 第1章 特殊平行四边形 1.2菱形的性质与判定 第2课时 菱形的判定 本节知识点总结 1. 定义判定：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 2. 判定定理1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 3. 判定定理2：四条边相等的四边形是菱形。 4. 判定思路： 方法一：先证四边形是平行四边形，再证一组邻边相等（或对角线垂直） 方法二：直接证明四边形的四条边都相等 5. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形（常用推论）。 6. 菱形的判定常与全等三角形、垂直平分线、角平分线等知识综合应用。 分层作业 📅 一、基础过关题 题型01 菱形判定方法的识别与判断 1．（2024秋·江苏南京·单元测）下列条件中，能判定一个四边形是菱形的是（　　） A．对角线互相平分的四边形 B．对角线互相垂直且平分的四边形 C．对角线相等的四边形 D．对角线相等且互相平分的四边形 2．（2024-2025九年级上·浙江杭州·期中）下列说法正确的是（　　） A．两组对边分别平行的四边形是菱形 B．有一组邻边相等的四边形是菱形 C．四条边都相等的四边形是菱形 D．对角线互相垂直的四边形是菱形 3．（2024秋·山东济南·月考）平行四边形ABCD中，添加下列条件能判定它是菱形的是（　　） A．AB = CD B．AC = BD C．AC⊥BD D. ∠A = ∠C 题型02 利用定义判定菱形（平行四边形+邻边相等） 4.（25-26·广东月考）如图，下列四个条件中，能判定平行四边形为菱形的是（       ） A. B. C. D. 5.（24-25·江西期中）如图，在中，，分别是的中点，连接．如果只添加一个条件即可证明四边形是菱形，那么这个条件可以是（       ） A. B. C. D. 6.（25-26·陕西月考）如图所示，平行四边形的对角线、相交于点，试添加一个条件：   ，使得平行四边形为菱形． 题型03 利用对角线垂直判定菱形 7．（2024秋·河北石家庄·期末）平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC⊥BD，则四边形ABCD是（　　） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．无法确定 8．（2024-2025九年级上·陕西西安·单元测）四边形ABCD中，对角线AC、BD互相垂直平分，则这个四边形是（　　） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 9．（2024秋·辽宁沈阳·期中）如图，平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与AD、BC分别交于E、F。求证：四边形AFCE是菱形。 题型04 利用四边相等判定菱形 10．（2024秋·重庆渝中·月考）四边形ABCD中，AB = BC = CD = DA，则这个四边形一定是（　　） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 11．（2024-2025九年级上·天津南开·期末）下列条件能判定四边形是菱形的是（　　） A．对角线相等 B．对角线互相垂直 C．四边都相等 D．四角都相等 12．（2024秋·四川成都·单元测）如图，在△ABC中，AB = AC，D、E、F分别是BC、AB、AC的中点。求证：四边形AEDF是菱形。 题型05 菱形判定的简单证明题 13．（2024-2025九年级上·安徽合肥·期中）如图，在平行四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC。求证：四边形ABCD是菱形。 14．（24-25·四川期末）如图，在中，与交于点，点为中点，若，则（       ） A. B. C. D. 15.（24-25·广东期中）已知：如图，在平行四边形中，对角线的垂直平分线与、、分别交于点、、．求证：四边形是菱形． 题型06 菱形性质与判定综合计算 16．（2024秋·北京海淀·单元测）在中，是边上的一点，连接．将沿翻折，使点落在点处，当时，求证：四边形是菱形． 17.（2026·四川模拟）如图，过的对角线的中点作两条互相垂直的直线，分别交，，，于，，，四点，连接，，，． （1）试判断四边形的形状并说明理由； （2）若，求证：． 18.（25-26·山东期末）如图，在中，为对角线上的中点，连接，且，垂足为．延长至，使，连接，，且交于点． （1）求证：是菱形； （2）若，求的面积． 二、进阶思维题 （一）选择题 1.（25-26·四川月考）下列说法中，错误的是（       ） A.平行四边形的对角线互相平分 B.对角线互相平分的四边形是平行四边形 C.菱形的对角线互相垂直 D.对角线互相垂直的四边形是菱形 2.（25-26·全国同步）如图，四边形是菱形，，，于，则等于（ ） A. B. C. D. 3.（25-26·全国同步）如图，在矩形中，以为圆心，长为半径画圆弧，交于点，以为圆心长为半径画圆弧与的延长线交于点，连接分别与、交于点、，连接，下列结论中下列结论中错误的是（       ） A.四边形为菱形 B. C. D. 4.（24-25·全国同步）如图，在四边形中，、分别是、的中点，、分别是、的中点，，，，则的大小是（       ） A. B. C. D. 5.（2026·海南模拟）如图，在中，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点F，分别以点 F，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点G，作射线交于点E，连接．若，，则的长为（     ） A.5 B. C.15 D. 6.如图，平行四边形的对角线，相交于点．点为的中点，连接并延长交于点，，．下列结论：①；②；③四边形是菱形；④．其中正确结论的个数是（       ） A. B. C. D.   （二）填空题 7.四边形中，，顺次连接它的各边中点所得的四边形是      ． 8.（25-26·全国同步）如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形，若测得，之间的距离为，点，之间的距离为，则四边形的面积为________________． 9.（24-25·河南期末）如图，为等边三角形的中心，分别以为圆心，的长为半径作弧，两弧交于外一点，连接，，若，则四边形的面积为___________． 10.（25-26·广东期中）如图，菱形ABCD和菱形EFGH的面积分别为和，CD落在EF上，，若的面积为，则的面积是________． 11.（2025·山东期末）如图，是边长为1的等边三角形，取边中点，作，，得到四边形，它的周长记作；取中点，作．，得到四边形，它的周长记作，…，照此规律作下去，则________． （三）解答题 12.（25-26·内蒙古期末） 如图，在中，，、分别是边，的中点，连接并延长到点，使，连接、、、． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 13.（25-26·宁夏期末）如图，已知中，是的中点，过点作交于点，过点作交于点，连接、． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，，求的长．  14.（2025·西藏期末）如图，在四边形中，，过点D作的角平分线交于点E，连接交于点O，，且． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，的周长为36，求长． 15.（24-25·黑龙江期末）在中，，，垂足分别为点，，且． （1）如图，求证：是菱形； （2）如图，连接，交于点，交于点，连接、，若，在不添加任何字母及辅助线的情况下，请直接写出图中面积是面积倍的所有三角形． 三、中考链接题 1.（24-25·江苏中考）如图，在菱形中，，点，分别在，上，且，过点作交于点，过点作交于点，与交于点．当四边形与四边形的周长之差为时，的值为（        ） A. B. C. D. 2.（24-25·湖南中考）如图，平行四边形的对角线，相交于点，点为的中点，连接并延长交于点，，．下列结论：①；②；③四边形是菱形；④；其中正确结论的个数是（       ） A. B. C. D. 3.（24-25·辽宁中考）如图，将沿着方向平移得到，只需添加一个条件即可证明四边形是菱形，这个条件可以是        ．（写出一个即可） 4.（25-26·四川中考）如图，以的三边为边在上方分别作等边、、．且点在内部．给出以下结论：①四边形是平行四边形；②当时，四边形是矩形；③当时，四边形是菱形；④当，且时，四边形是正方形．其中正确结论有  （填上所有正确结论的序号）． 5.（24-25·辽宁中考）已知是等边三角形，点，关于直线对称，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）在线段上任取一点（端点除外），连接．将线段绕点逆时针旋转，使点落在延长线上的点处．请探究：当点在线段上的位置发生变化时，的大小是否发生变化？说明理由． （3）在满足（2）的条件下，探究线段与之间的数量关系，并加以证明．  6.（24-25·黑龙江中考）已知四边形是平行四边形，点在对角线上，点在边上，连接，，． （1）如图①，求证； （2）如图②，若，过点作交于点，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图②中四个角（除外），使写出的每个角都与相等． 学科网（北京）股份有限公司 $