2.1认识一元二次方程知识梳理与题型突破（九大题型）2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程概念、一般形式等核心考点，通过基础题型与综合训练分层设计，构建从单一识别到综合应用的巩固路径，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|单一考点（概念识别、参数求解、一般形式、方程解应用）|5题/题型，聚焦概念辨析与基础运算，如识别整式方程条件、确定二次项系数| |综合层|多考点整合（概念+参数+解的综合应用）|8题综合训练，强化知识迁移，如结合方程解求代数式值、跨考点参数取值判断|

2.1认识一元二次方程知识梳理与题型突破2026-2027学年 北师大版九年级上册（四大题型） 知识梳理： 考点 1 一元二次方程的概念 ： 等号两边都是整式，只含有一个未知数，并 且未知数的最高次数是 2 的方程，叫做一元二次方程。 注意：一元二次方程成立必须同时满足三个条件： （1）是整式方程，即等号两边都是整式。方程中如果有分母，且未知数在分母上，那么这个方程就是分式方程，不是一元二次方程；方程中如果有根号，且未知数在根号内，那么这个方程也不是一元二次方程（是无理方程） （2）只含有一个未知数； （3）未知数项的最高次数是2。 考点2 一元二次方程的一般形式： 一元二次方程经过整理都可化成一般形式：ax²+bx+c=0（a≠0），其中ax²叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数项。 注意：（1）ax²+bx+c=0中的a≠0．因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程 （2）在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，在指明一元二次方程各项系数时不要漏掉前面的性质符号。 考点3 一元二次方程的解： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二 次方程的解，解决此类问题，通常是将方程的根或解反代回去再进行求解. 考点4 一元二次方程的重要结论： （1） 若a+b+c=0,则一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）必有一根为x=1;若x=1是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的一个根，则a+b+c=0。 （2） 若a-b+c=0,则一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）必有一根为x=-1;若x=11是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的一个根，则a-b+c=0。 题型突破： 题型一：识别一元二次方程 1．在下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A．x2+3x＝ B．2（x﹣1）+x＝2 C．x2＝2+3x D．x2﹣x3+4＝0 2．下列方程中，一定是一元二次方程的是（　　） A．x2+y＝1 B． C．x2﹣2＝0 D．x2+x＝x2+1 3．下列是关于x的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 4.下列关于x的方程中，肯定是一元二次方程的是（　　） A．mx2+2x+1＝0 B．（m+1）x2+2x+1＝0 C．（m2+1）x2+2x+1＝0 D．（m2﹣1）x2+2x+1＝0 5．下列方程中，一元二次方程有（　　） ①3x2+x＝20；②2x2﹣3xy+4＝0；③；④x2＝1；⑤ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型二：由一元二次方程的概念求参数的值与取值范围 1．已知关于x的方程（m+4）x2+2x﹣3m＝0是一元二次方程，则m的取值范围是（　　） A．m＜﹣4 B．m≠0 C．m≠﹣4 D．m＞﹣4 2．若关于x的方程（m+2）x|m|＋2x-3＝0是一元二次方程，则m＝　 　. 3．若方程是关于的一元二次方程，则　 　. 4． 是关于 的一元二次方程，则 的值是　 　. 5.关于x的方程（a﹣1）x2﹣3x+3＝0是一元二次方程，则a的取值范围是 　 　． 题型三：一元二次方程的一般形式 1．一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．2，1，5 B．2，1，－5 C．2，0，－5 D．2，0，5 2．一元二次方程3x2﹣6x﹣1＝0的一次项系数、常数项分别是（　　） A．3，1 B．3，﹣1 C．﹣6，1 D．﹣6，﹣1 3．将一元二次方程 化为一般形式后，其中二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A． B． C． D． 4．一元二次方程 的一次项系数是　 　. 5．将方程x2﹣2＝7x化成x2+bx+c＝0的形式、则一次项是 　 　，b+＝　 　． 题型四：由一元二次方程的解求值 1．关于x的一元二次方程 的一个根是3，则m的值是（　　） A．3 B． C．9 D． 2．已知x=2是一元二次方程x2＋x＋m=0的一个解，则m的值是 （　　） A．-6 B．6 C．0 D．0或6 3．已知一元二次方程x2＋k﹣3＝0有一个根为1，则k的值为（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4 4．若 是关于 的方程 的一个根，则 的值为(　　) A．-2 B．1 C．12 D．-12 5．若方程x2﹣x﹣1＝0的一个根是m，则代数式m2﹣m+5＝　 　． 综合训练： 1.下列方程是关于x的一元二次方程的是（   ） A．x2 B．（a2+1）x2-1=0 C．ax2-x+2=0 D．x2+x=x2-1 2.下列方程中，一元二次方程有（　　） ①3x2+x＝20；②2x2﹣3xy+4＝0；③；④x2＝1；⑤ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3.已知关于x的方程(a﹣3)x|a﹣1|+x﹣1＝0是一元二次方程，则a的值是(    ) A．﹣1 B．2 C．﹣1或3 D．3 4.一元二次方程x2﹣2x﹣4＝0的二次项系数、一次项系数和常数项分别为（　　） A．1，﹣2，﹣4 B．1，2，4 C．1，2，﹣4 D．1，﹣2，4 5.若x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2＋bx﹣1＝0的一个根，则2025﹣2a＋2b的值为（    ） A．2023 B．2024 C．2026 D．2027 6.已知方程的一个根是1，则m的值为________． 7.已知是一元二次方程的一个根，则该方程的另一个根是______． 8.已知x＝﹣1是一元二次方程ax2+bx﹣10＝0的一个解，且a≠﹣b，则的值为　　 ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1认识一元二次方程知识梳理与题型突破2026-2027学年 北师大版九年级上册（四大题型） 知识梳理： 考点 1 一元二次方程的概念 ： 等号两边都是整式，只含有一个未知数，并 且未知数的最高次数是 2 的方程，叫做一元二次方程。 注意：一元二次方程成立必须同时满足三个条件： （1）是整式方程，即等号两边都是整式。方程中如果有分母，且未知数在分母上，那么这个方程就是分式方程，不是一元二次方程；方程中如果有根号，且未知数在根号内，那么这个方程也不是一元二次方程（是无理方程） （2）只含有一个未知数； （3）未知数项的最高次数是2。 考点2 一元二次方程的一般形式： 一元二次方程经过整理都可化成一般形式：ax²+bx+c=0（a≠0），其中ax²叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数项。 注意：（1）ax²+bx+c=0中的a≠0．因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程 （2）在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，在指明一元二次方程各项系数时不要漏掉前面的性质符号。 考点3 一元二次方程的解： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二 次方程的解，解决此类问题，通常是将方程的根或解反代回去再进行求解. 考点4 一元二次方程的重要结论： （1） 若a+b+c=0,则一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）必有一根为x=1;若x=1是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的一个根，则a+b+c=0。 （2） 若a-b+c=0,则一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）必有一根为x=-1;若x=11是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的一个根，则a-b+c=0。 题型突破： 题型一：识别一元二次方程 1．在下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A．x2+3x＝ B．2（x﹣1）+x＝2 C．x2＝2+3x D．x2﹣x3+4＝0 【答案】C 2．下列方程中，一定是一元二次方程的是（　　） A．x2+y＝1 B． C．x2﹣2＝0 D．x2+x＝x2+1 【答案】C． 3．下列是关于x的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 4.下列关于x的方程中，肯定是一元二次方程的是（　　） A．mx2+2x+1＝0 B．（m+1）x2+2x+1＝0 C．（m2+1）x2+2x+1＝0 D．（m2﹣1）x2+2x+1＝0 【答案】C 5．下列方程中，一元二次方程有（　　） ①3x2+x＝20；②2x2﹣3xy+4＝0；③；④x2＝1；⑤ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 题型二：由一元二次方程的概念求参数的值与取值范围 1．已知关于x的方程（m+4）x2+2x﹣3m＝0是一元二次方程，则m的取值范围是（　　） A．m＜﹣4 B．m≠0 C．m≠﹣4 D．m＞﹣4 【答案】C 2．若关于x的方程（m+2）x|m|＋2x-3＝0是一元二次方程，则m＝　 　. 【答案】2 3．若方程是关于的一元二次方程，则　 　. 【答案】 4． 是关于 的一元二次方程，则 的值是　 　. 【答案】-2 5.关于x的方程（a﹣1）x2﹣3x+3＝0是一元二次方程，则a的取值范围是 　 　． 【答案】a≠1． 题型三：一元二次方程的一般形式 1．一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．2，1，5 B．2，1，－5 C．2，0，－5 D．2，0，5 【答案】B 2．一元二次方程3x2﹣6x﹣1＝0的一次项系数、常数项分别是（　　） A．3，1 B．3，﹣1 C．﹣6，1 D．﹣6，﹣1 【答案】D 3．将一元二次方程 化为一般形式后，其中二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 4．一元二次方程 的一次项系数是　 　. 【答案】－5 5．将方程x2﹣2＝7x化成x2+bx+c＝0的形式、则一次项是 　 　，b+＝　 　． 【答案】-7x；-9 题型四：由一元二次方程的解求值 1．关于x的一元二次方程 的一个根是3，则m的值是（　　） A．3 B． C．9 D． 【答案】C 2．已知x=2是一元二次方程x2＋x＋m=0的一个解，则m的值是 （　　） A．-6 B．6 C．0 D．0或6 【答案】A 3．已知一元二次方程x2＋k﹣3＝0有一个根为1，则k的值为（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4 【答案】B 4．若 是关于 的方程 的一个根，则 的值为(　　) A．-2 B．1 C．12 D．-12 【答案】D 5．若方程x2﹣x﹣1＝0的一个根是m，则代数式m2﹣m+5＝　 　． 【答案】6 综合训练： 1.下列方程是关于x的一元二次方程的是（   ） A．x2 B．（a2+1）x2-1=0 C．ax2-x+2=0 D．x2+x=x2-1 【答案】B 2.下列方程中，一元二次方程有（　　） ①3x2+x＝20；②2x2﹣3xy+4＝0；③；④x2＝1；⑤ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 3.已知关于x的方程(a﹣3)x|a﹣1|+x﹣1＝0是一元二次方程，则a的值是(    ) A．﹣1 B．2 C．﹣1或3 D．3 【答案】A 4.一元二次方程x2﹣2x﹣4＝0的二次项系数、一次项系数和常数项分别为（　　） A．1，﹣2，﹣4 B．1，2，4 C．1，2，﹣4 D．1，﹣2，4 【答案】A 5.若x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2＋bx﹣1＝0的一个根，则2025﹣2a＋2b的值为（    ） A．2023 B．2024 C．2026 D．2027 【答案】A 6.已知方程的一个根是1，则m的值为________． 【答案】2 7.已知是一元二次方程的一个根，则该方程的另一个根是______． 【答案】 8.已知x＝﹣1是一元二次方程ax2+bx﹣10＝0的一个解，且a≠﹣b，则的值为　　 ． 【答案】5． 学科网（北京）股份有限公司 $