25.1 一元二次方程的概念&25.2 降次——解一元二次方程（课外拓展提高）-【学海风暴】2026-2027学年九年级上册数学同步备课（人教版·新教材·江西专版）

第二十五章一元二次方程 扫码获取类 智书 指题本 ® 25.1一元二次方程的概念 （建议用时：30分钟) 1.（2025一2026丰城检测)下列方程中，是关于 6.如图，将一个容积为360cm3的包装盒剪开铺 x的一元二次方程的是 ( 平.依题意，可列一元二次方程为 A.x2+1=2 B.ax2+bx+c=0 C.(x+1)(x-4)=0D.2x2+3xy+5y2=1 7.已知x=2是关于x的方程x2-2a=0的 2.将下列方程化为二次项系数是“1”的一般形 一个解，则一次函数y=ax一1的图象不经 式后，一次项系数和常数项都是正整数的是 过第 象限 ( 8.已知关于x的一元二次方程(a-1)x2一2x 十a2一1=0有一个根为x=0,则a的值为 A.3x2+2x+6=0 B.2(x十4)2=6 C.(x+2)(x-3)=5D.-x2-4=0 9.若xo是方程a.x2十2.x十c=0(a≠0)的一个根， 3.（2025一2026瑞金检测)已知m是一元二次 设M=1-ac,N=(ax+1)2,则M与N的大 方程x2一3.x一1=0的一个根，则一3m2十 小关系为M N(填“>”“<”或“=”). 9m+2026的值为 ( 10.在实数范围内定义一种运算“*”，其运算 A.2025 B.2024 法则为a*b=a2-ab.例如：2*1=22一2 C.2023 D.2012 ×1=2.根据这个法则解决下列问题： 4.古代数学文化我国古代著作《算法统宗》中 (1)计算：3*2= 有一道题，大致意思是现在有正方形田和圆 (2)判断(t+2)(2t+1)=0是否为一元 形田各一块（如图），面积之和为252，只知道 二次方程.如果是，请化成一般形式；如果 正方形田的边长与圆形田的直径相等.设正 不是，请说明理由。 方形田的边长为x,根据题意可列出方程为 (3)判断一3,0,2,3中哪些是方程(x十2) ( ￥1=2的根，写出判断过程. A.(5)}+元x2=252B.x2+元x2=252 C.x+() =252D.2.x2+2πx2=252 -20cm x.em 15 en cm 第4题图 第6题图 5.若(m+1)xm+1-2x-5=0是关于x的一 元二次方程，则m= 上册课外拓展提高 93 @25.2降次—解一元二次方程 25.2.1配方法 冒第1课时直接开平方法（建议用时：30分钟） 1.(2025一2026武汉江汉区检测)下列方程不8.一题多变已知一元二次方程(x一3)2=1. 能用直接开平方法求解的是 (1)若方程的两个根恰好是等腰三角形ABC A.x2-4=0 B.(x-1)2-9=0 的底边长和腰长，则△ABC的周长为 C.x2+3x=0 D.(x-1)2=(2x+1)2 2.已知关于x的一元二次方程a.x2十b=0的 (2)若方程的两个根恰好是Rt△DEF的两 两根分别为x1=3,x2=一3，则关于x的一 边长，则Rt△DEF的面积为 元二次方程a(x一3)2+b=0的两根分别为 9.如右图，将长和宽分别是 a,b的矩形纸片的四个角 A.x1=3,x2=-3B.x1=6,x2=-1 都剪去一个边长为x的正 C.x1=6,x2=0 D.x1=0,x2=-5 方形. 3.若(x2十y2-5)2=64,则x2十y2的值为（ (1)用a,b,x表示纸片剩余部分的面积. A.13 B.13或-3 (2)当a=6,b=4,且剪去部分的面积等于剩 C.-3 D.以上都不对 余部分的面积时，求正方形的边长. 4.对于方程37(x一2)2=42的两根，下列判断 正确的是 ) A.一根小于1，另一根大于3 B.一根小于一2，另一根大于2 C.两根都小于0 D.两根都大于2 5.关于x的一元二次方程(m一2)x2+3x+ 10.对于实数p,q,我们用符号max{p,q}表示 m2一4=0的常数项为0，则m的值为 p,q两数中较大的数，如：max{1,2}=2. (1)max{-3,-√5}= 6.新定义题定义一种运算：对于函数y=x”, 规定y'=nx”-1.例如：若函数y=x5,则有 (2)若max(x-1,2=4,其中x<2 y'=5x4.已知函数y=x3,y′=12，则x的 求x的值. 值是 7.如图所示的是某圆形古代钱 币.若中间是边长为1cm的正 方形，且正方形面积是最大圆 面积的6，则该圆形钱币的直 第7题图 径为 cm 94 九年级数学RJ版 冒第2课时 配方法（建议用时：30分钟） 1.方程x十4x=2的正根为 +4=3 4,(x+2)2=19. 3 A.2-6 B.2+√6 请判断他们的解答过程是否正确，并将你认 C.-2-6 D.-2+6 为正确的解答过程补充完整， 2.若关于x的方程4x2-(m一2)x+1=0的左边 是一个完全平方式，则m的值为 A.-2 B.-2或6 C.一2或-6 D.2或-6 3.已知三角形的三条边为a,b,c,且满足a2一10a +b一16b+89=0,则这个三角形的最长边c 的取值范围是 A.c>8 B.5<c<8 C.8≤c<13 D.5<c<13 4已知M-号a-1N=a 7 a(a为任意实 数)，则M,N的大小关系为 ( 9.数形结合思想数学家阿尔·花拉子米利用 A.M<N B.M=N 正方形巧妙解出了方程x2十4x一32=0的 C.M>N D.不能确定 根.如下图，利用大正方形的面积不变，得x 5.若一元二次方程x2十ax十b=0配方后为 +2×2x+22=32+4,即(x+2)2=36=62, (x-1)2=2,则ab= 所以这个方程的正整数解为x=4. (1)上述求解过程中所用的方法与 变式题把方程x2-12x十33=0化成(x十 法是一致的， m)2=n的形式，则式子m十n的值是 (2)运用上述方法求方程x(x+6)=16的正 整数解，请画出图形并写出过程。 6.如果a,b是实数，且满足√3a+4十b2-12b+ 36=0,那么ab的值是 7.已知方程x2+6.x十n=0可以配方成(x+ m)2=5,则以m,n为两边的长的直角三角 形的第三边的长为 8.补充解题过程下面是甲、乙两名同学用配 方法解方程3.x2十12x一7=0的部分解答 过程： 甲同学：3x2+12x=7,9x2十36x=21,9x2 +36x+36=57,(3x+6)2=57,… 乙同学：82+12=7g2+4r=名2+4 上册课外拓展提高 95 25.2.2公式法 目第1课时一元二次方程根的判别式（建议用时：30分钟） 1.嘉淇准备解一元二次方程4x2十7x十■=0 (2)若方程有两个相等的实数根，写出一组 时，发现常数项被污染.若该方程有实数根 满足条件的a,b的值，并求此时方程的根. 则被污染的数可能是 ( A.3 B.5 C.6 D.8 2.关于x的一元二次方程2x2+bx一1=0的 根的情况是 ( A.实数根的个数由b的值确定 B.有两个不相等的实数根 C.有两个相等的实数根 D.没有实数根 7.推理能力已知关于x的一元二次方程x2 3.关于x的一元二次方程x2十bx十c=0有两 (2k+1x+4(-2)=0, 个相等的实数根，则b2一2(1十2c)=( (1)求证：这个方程总有两个实数根. A.-2B.2 C.-4D.4 (2)若等腰三角形ABC的一边的长a为4， 4.若关于x的一元二次方程x2十2x十m一1= 另两边的长b,c恰好是这个方程的两个实 0有两个相等的实数根，则实数m的值为 数根，求△ABC的周长 变式题两根相等→两根不相等 若关于x的一元二次方程a.x2一x 4=0 (a≠0)有两个不相等的实数根，则点P(a +1,-a-3)在第 象限 5.（2025一2026郑州检测)请写出一个关于x 的一元二次方程，并满足以下两个条件： ①二次项系数为k(k≠0)；②方程必须有两 个不相等的实数根.这个一元二次方程可以 是 6.结论开放题已知关于x的一元二次方程 ax2+bx+1=0. (1)当b=a十2时，利用根的判别式判断方 程的根的情况. 96 九年级数学RJ版 目第2课时用公式法解一元二次方程（建议用时：30分钟） 1.方程x2-2√3x+3=0的根是 7.已知关于x的一元二次方程x2十2x十2m A.x=-√3 B.x1=x2=√3 4=0有两个实数根. C.x=3 D.x1=x2=3 (1)m的取值范围为 2.跨物理学科如图，小球悬浮于液体中(F浮 (2)若m为正整数，且该方程的根都是整数， =G).若F浮=20N,小球质量m=(x2十 则m的值为 x)kg,g=10N/kg,G=mg,则x的值为 8.已知：关于x的一元二次方程x2-(2m+1) ( x+m2+m=0. A.1 B.4 (1)求证：方程有两个不相等的实数根 C.-2或1 D.-5或4 (2)若Rt△ABC的两边长是这个方程的两 个实数根，第三边的长为5，求m的值， 第2题图 第4题图 3.一元二次方程(x十2)(x-3)=3x一8的根 的情况是 A.没有实数根 B.有一个正根，一个负根 C.有两个正根，且都小于3 D.有两个正根，且有一根大于3 4.几何直观如图，在△ABC中，∠ACB=90°， BC=a,AC=b.以点B为圆心，BC长为半径 9.已知关于x的一元二次方程x2十k.x一4k一 画弧，交线段AB于点D;以点A为圆心，AD 16=0. 长为半径画弧，交线段AC于点E.下列选项 (1)试判断这个方程的根的情况. 中，是关于x的方程x2+2ax一b2=0的一个 (2)是否存在实数k,使这个方程的两个根为 根的为 连续偶数？若存在，求出的值及方程的 A.线段BC的长 B.线段AD的长 根；若不存在，请说明理由. C.线段EC的长 D.线段AC的长 5.方程√3x2+4√2x+23=0的根是 6.对于两个不相等的实数a,b,我们规定符号 max{a,b}表示a,b中的较大值，如： max{2,4)=4.按照这个规定，方程max{x, 一x}=x2一2的解为 上册课外拓展提高 97 25.2.3因式分解法（建议用时：30分钟） 1.方程(x一2)2=3(x一2)的解是 )8.用因式分解法解下列方程： A.x1=2,x2=3 B.x1=2,x2=-2 (1)(2x+1)2=3(2x+1). C.x1=2,x2=5 D.x1=2,x2=0 2.若实数k,b是一元二次方程(x十3)(x一1) =0的两个根，且k<b,则一次函数y=kx 十b的图象不经过 A.第一象限 B.第二象限 (2)(2x+1)2=-6.x-3. C.第三象限 D.第四象限 3.已知x=1是一元二次方程(m一2)x2十4x 一m2=0的一个根，则m的值为 ( A.-1或2 B.-1 C.2 D.0 (3)(x-5)(x-3)=24. 4.如图所示的是一个正方体的 x+2 表面展开图，已知正方体相 ★ x2 x+l 对两个面上的数值相同，且 ◆3x-2 不相对两个面上的数值不相 第4题图 同，则“★”面上的数值为 9.新定义题若关于x的方程x2十bx十c=0 A.1 B.1或2 有两个实数根，且其中一个根比另一个根大 C.2 D.3 2,则称这样的方程为“隔根方程”.例如：方 5.原创题我们把形如x2+(p+q)x十pq= 程x2+2x=0的两个根是x1=0,x2=一2， (x十p)(x十g)的因式分解的方法叫作十字 则方程x2十2x=0是“隔根方程”. 相乘法.例如：x2+5x+6=x2+(2十3)x+ (1)方程x2一x一20=0是“隔根方程”吗？ 2X3=(x+2)(x+3). 请说明理由 (1)一元二次方程x2一4x一12=0的解为 (2)若关于x的方程x2+(m一1)x一m=0 是“隔根方程”，求m的值. (2)若 x2-5x-6 |x|-6 =0,则x的值为 6.一题多解法用因式分解法解一元二次方程 x2一px一6=0时，若x一3是该方程左边二 次三项式的一个因式，则饣的值是 7.已知y2-x=0,x2-3y2十x-3=0,则x的 值为 98 九年级数学RJ版 25.2.4一元二次方程的根与系数的关系（建议用时：30分钟） 1.设x1,x2是方程x2十5x一3=0的两个根，10.已知关于x的一元二次方程x2+2ax=3 则x十x的值是 ( -a2. A.19 B.25 C.31 D.30 (1)判断方程根的情况， 2.若关于x的一元二次方程x2十(a2一2a)x (2)设x1,x2是方程的两个根，求 十a一1=0的两个实数根互为相反数，则a (2)的值。 的值为 ( A.2 B.0 C.1 D.2或0 3.定义运算：a*b=a(1一b).若a,b是关于x 的方程x2一x士4m=0(m<0)的两根，则h *b一a￥a的值是 A.-1 B.0 C.1 D.与m的值有关 4.一题多解法关于x的方程a.x2+8.x一c=0的 两根为1和一3，则a,c的值分别为() A.4,-12 B.4,12 C.-4,12 D.-4,-12 11.(2025一2026宜春期中)已知关于x的一元 5.(2025一2026高安检测)设m,n是一元二次 二次方程x2-(k十3)x十2k十2=0. 方程x2+2x一1=0的两个根，则m2+m一 (1)求证：方程总有两个实数根 n- (2)若方程的两个实数根x1,x2满足x1x2 6.已知x1,x2是关于x的方程x2十kx一3=0的 =x1十x2一2，求k的值. 两个根，且满足x1十x2一3x1x2=4,则k的值 为 7.若m,n是一元二次方程x2十3x一1=0的 两个实数根则宁的值为 8.若a,b是方程2x2十2x一3=0的两个实数 根，则2a2十3a+b的值为 9.已知方程x2+4x一2m=0的一个根比另一 个根小4，求这两个根和m的值. 4444件 上册课外拓展提高 99课外拓展提高 第二十五章 一元二次方程 25.1一元二次方程的概念 1.C2.B3.C4.C 5.16.15x(10-x)=360 7.二【解析】把x=2代人方程多r2-2a=0,得号×2 一2a=0,解得a=3,∴.一次函数y=3x一1的图象不 经过第二象限. 8.一1【解析】由题意，得a2一1=0且a一1≠0，∴.a= -1. 9.=【解析】x。是方程ax2十2x十c=0(a≠0)的 个根，.a.x6十2xo十c=0,即a.x号十2x。=-c.N- M=(a.xo+1)2-(1-ac)=a2x8+2a.xo+1-1+ac= a(axi+2)+ac=-ac+ac=0,..M=N. 10.解：(1)3 (2)是. 由题意，得(t十2)2一(t十2)(2t十1)=0： 整理，得t2十1-2=0， ∴.(t+2)(2t十1)=0是一元二次方程，化成一般形 式为t2十t-2=0. (3)由题意，得(x十2)2一(x十2)=2. 整理，得x2十3x=0. 当x=-3时，x2+3x=(-3)+3×(-3)=0;当x =0时，x2+3.x=02+3×0=0:当x=2时，x2+3.x= 22十3×2=10≠0：当x=3时，x2+3x=32+3×3 18≠0.综上所述，一3,0是方程(x+2)￥1=2的根. 25.2降次一解一元二次方程 25.2.1配方法 第1课时直接开平方法 1.C2.C3.A 4.A【解析】.37(x-2)2=42 ·(x-2)=42 42 -2=± 42 42 解得x1=2+√37：=2-√37 42 :1<37 <2,∴.x1>3,x2<1. 5.-26.2或-27.8v元 8.(1)10(2)4或23【解析】(1)，(x-3)2=1,.x 一3=士1，解得x1=4,x2=2.①当底边长和腰长分别 为4和2时，4=2十2，此时不能构成三角形：②当底边 长和腰长分别是2和4时，符合题意，.△ABC的周 长为2十4十4=10.(2)由(1)知，方程的两个根为x1= 126 九年级数学RJ版 4,x2=2.①若2,4是Rt△DEF的两条直角边的长，则 1 SaDE=2X2X4=4:②若2,4分别是Rt△DEF的 一条直角边长和斜边长，则另一条直角边长为 √=2=23.∴S=7X2X23=23.综上， Rt△DEF的面积为4或2√3. 9.解：(1)ab-4x2. (2)由题意，得ab-4x2=4x2. 将a=6,b=4代入上式，得x2=3, 解得x1=√5，x2=一√3（不合题意，舍去 故正方形的边长为√3. 10.解：(1)-J3 (2)(x-1)2-x2=x2-2x+1-x2=-2x+1.x 号，-2x+1>0,(x-1)>,由max( 1)2x2}=4,得(x-1)2=4,解得x1=-1,x2=3(不 合题意，舍去).故x的值为一1. 第2课时配方法 1.D2.B 3.C【解析】：a2-10a+b2-16b+89=0,∴.(a2-10a +25)+(b2-16b+64)=0,.(a-5)2+(b-8)2=0. .(a-5)2≥0，(b-8)2≥0，∴.a-5=0,b-8=0,∴.a =5,b=8.:三角形的三条边为a,b,c,∴.b一a<c<b 十a,.3<c<13.又，这个三角形的最长边为c,∴.8 ≤c<13. 4A【解折：M=号a-1.N=。-号a(a为任意实 数)N-M=a2-a+1=(a-2)广+>0，N 12 >M,即M<N. 5.2变式题-3 6.-8【解析】：√3a+4+b2-12b+36=0, .√3a+4+(b-6)2=0,.3a十4=0，b-6=0,∴.a 三-4，b三6，ab=-年X6=一8， 7.5或√7【解析】方程x2十6.x十n=0配方，得(x十3) =9-n,∴.m=3,9-n=5,.n=4.当3,4为直角边长 时，斜边长为√3十4=5；当4为斜边长时，第三边的 长为√4-3=√7.综上所述，第三边的长为5或√7. 8.解：两位同学的解答过程都正确. 补充甲同学的解答过程：3.x十6=士√57,3.x=士√57 -6, 5x,=同-2，，=--2 3 3 补充乙同学的解答过程：工十2=厅或十2= 3 -=-2=--2 3 3 9.解：(1)配方 (2)整理原方程，得x2十6.x-16=0. 如图，大正方形是由边长为x的正方形 和边长为3的正方形，外加两个长为 x、宽为3的长方形所拼成. 大正方形的面积为x2十2×3x十32= 16+9, 即(x+3)2=25=52, ∴原方程的正整数解为x=2. 25.2.2公式法 第1课时一元二次方程根的判别式 1.A2.B3.A 4.2 变式题四【解析】，关于x的一元二次方程a.x2一x 、1 4=0(a≠0)有两个不相等的实数根， a≠0， a=(-1w-4a(-)>0. 解得a>一1且a≠ 0,.a十1>0，-a-3<0,.点P(a十1，-a-3)在第 四象限 5.kx2+4k.x一k=0(k≠0)（答案不唯一）【解析】：方 程必须有两个不相等的实数根，，△>0.又，二次项 系数为，∴.不妨设b=4k,c=一k,此时△=(4k)2一 4k(一k)=20k2>0,.满足条件的一元二次方程可以 是k.x2+4kx一k=0(k≠0). 6.解：(1)把b=a+2代入方程ax2+bx+1=0,得ax2+ (a+2)x+1=0, ,∴.△=(a+2)2-4a=a2+4>0, ∴.方程有两个不相等的实数根. (2)方程有两个相等的实数根， ∴.△=b2-4a=0. 示例：可令b=2,则a=1,此时方程为x2十2x十1=0， 即(x+1)2=0, 解得x1=x2=一1. 7.解：1)证明：“4=[-(2k+1]-4×4(k-号) 4k2-12k+9=(2k-3)2≥0， 这个方程总有两个实数根。 (2)分两种情况讨论： ①若a=b=4或a=c=4,则4是方程的一个根. 将x=4代入方程，得4华-4(2k+1D+4(k-2)=0, 解得k=2 5 ∴原方程为x2一6x十8=0， 解得x1=2,x2=4, .△ABC的周长为4+4+2=10. ②若b=c,则方程有两个相等的实数根， ∴4=(2-3)=0，解得长：=6：=， .原方程为x2一4x十4=0， 解得x1=x2=2. ,2十2=4，不符合三角形的三边关系， 此情况不成立. 综上所述，△ABC的周长为10. 第2课时用公式法解一元二次方程 1.B2.C 3.D【解析】一元二次方程(x十2)(x-3)=3x-8化 简，得x2-4x十2=0.，a=1,b=-4,c=2,.△= (-4)2-4×1×2=8 “x=二(-4)±8 2 即x1=2十√2，x2=2-√2. 2+√2>3,2-√2>0， ∴.该方程有两个正根，且有一根大于3. 4.B【解析】由勾股定理，得AB=√BC2+AC= √a2+b,∴.AD=√a+b-a.解方程x2+2a.x-b =0,得x=一2a士V4a+4 -=士Va+b-a,∴.线 2 段AD的长是关于x的方程x2十2ax-b=0的一 个根. 5.x1=-6 3x?=-√6 6.2或一2【解析】分为两种情况： ①当x>一x,即x>0时，x2-2=x, 解得x1=2,x2=一1（舍去）； ②当-x>x,即x<0时，x2-2=-x, 解得x1=一2，x2=1(舍去). 综上所述，方程max{x,一x}=x2-2的解为2或-2. 5 7.(1)m≤2 (2)2【解析】(1)根据题意得△=4- .5 4(2m-4)=20-8m≥0，解得m≤2.(2)：m为正整 数，.m=1或2.利用求根公式表示出方程的根为x= 一1士√5-2m.方程的根为整数，∴.5一2m为完全 平方数，则m的值为2. 8.解：(1)证明：，△=[一(2m十1)]2-4(m3+m)=1 >0, 方程有两个不相等的实数根。 (2)关于x的一元二次方程x2-(2m+1)x+m+m =0的解为x= _2m十1士1，即x1=m,x:=m十1 2 设AB=m,AC=m+1. :m<m+1, ..AB≠AC 当m十1是斜边时，m2十52=(m十1)2， 解得m=12; 当5是斜边时，m2+(m十1)2=52， 解得m1=3,m2=-4(舍去). 上册详解详析 27个 综上所述，m的值为12或3. 9.?解：(1)：△=k2-4(-4k-16)=k+16k十64=(k十 8)≥0，.方程有两个实数根 (2)存在 关于x的一元二次方程x2十kx一4k-16=0的解为x =一k±Vk+8严 2 ,即x1=4,x2=一k一4. 当一k-4=6时，k=一10： 当-k-4=2时，k=一6. 故存在满足题意的实数k,k的值为一10或一6. 当k=一10时，方程的根为x1=4,x2=6: 当k=一6时，方程的根为x1=4,x2=2. 25.2.3因式分解法 1.C2.C 3.B【解析】把x=1代入(m-2)x2+4x-m2=0,得m 一2十4-m2=0,即(m-2)(m十1)=0，解得m1=2, m2=-1.(m-2)x2十4x一m2=0是一元二次方 程，∴.m-2≠0，∴.m≠2，∴.m=-1. 4.C【解析】图中面“x2”与面“3x一2”相对，面“★”与面 “x十1”相对.相对两个面上的数值相同，∴.x2=3.x -2.即(x-1)(x-2)=0,解得x1=1,x2=2.又不 相对两个面上的数值不相同，当x=2时，x十2=3x 2=4,.x只能为1，即★=x+1=2. 5.(1)x1=6,x2=-2(2)-1 6.1【解析】由题意设x2一px一6=0因式分解后得(x -3)(x-m)=0,化成一般式为x2-(3十m)x十3m= 0,.3m=-6,.m=-2,.p=3-2=1. ◆一题多解法 ,x一3是该方程左边二次三项式的一个因式， .原方程可转化的两个方程之一为x一3=0， x=3是原方程的一个根.把x=3代入原方 程，得32一3p-6=0,∴.p=1. 7.3【解析】，y2-x=0,.y2=x.将y2=x代入x2 3y2十x-3=0,得x2-3.x十x-3=0,即(x一3)(x十 1)=0,∴.x1=3,x2=-1.y2=x≥0，∴.x=3. 8.解：(1)移项，得(2x十1)2一3(2x十1)=0. 因式分解，得(2x十1一3)(2x+1)=0, 即(2x-2)(2x十1)=0， 1 解得1=1，x=-2 (2)整理，得(2x+1)2十3(2x+1)=0. 因式分解，得(2x十1)(2x十4)=0， 1 解得1=一2x,=一2. (3)整理，得x2一8x一9=0. 因式分解，得(x一9)(x十1)=0， 解得x1=9,x2=一1. 9.解：(1)不是.理由如下： x2-x-20=0,.(x-5)(x+4)=0, 428 九年级数学RJ版 解得x1=5,x2=一4. .5一(-4)=9≠2， ∴.方程x2一x一20=0不是“隔根方程”. (2).x2+(m-1)x-m=0, .(x十m)(x-1)=0, 解得x1=一m,x2=1. 当-m-1=2时，解得m=-3; 当1-(-m)=2时，解得m=1. 综上所述，m的值为-3或1. 25.2.4一元二次方程的根 与系数的关系 1.C2.B 3.B【解析】由根与系数的关系，得a十b=1,∴.1-b= a,1-a=b, ∴.b米b-a￥a=b(1-b)-a(1-a)=ab-ab=0. 4.B【解析】，关于x的方程ax2十8.x-c=0的两根为 1和-31+(-3》=-8,1×(-3》=-a a 4,c=12. 一一题多解法 关于x的方程ax2+8.x一c=0的两根为1和 -3,/a+8-c=0, 解得=4， 9a-24-c=0 c=12 5.36.5 7.3【解析】，m是一元二次方程x2+3x一1=0的根， .m2十3m-1=0,∴.3m-1=-m2.m,n是一元二 次方程x2十3.x一1=0的两个根，.m十n=一3， :.m+mn=m(m+n》=-（m十n）=3. 3m-1 -m2 8.2【解析】，a,b是方程2x2十2x-3=0的两个实数 2 根2a+2a-3=0.a+b=-2=-1.心2a2= -2a+3,∴.2a2+3a+b=-2a+3+3a+b=a+b+3 =-1+3=2. 9.解：设两根为x1和x2,则x1十x2=一4，x1x2=一2m, 且△=16+8m>0. 由题意，得引x2一x1|=4,两边平方，得x-2x1x2十x =16, 即(x1十x2)2-4x1x2=16,.16+8m=16,解得m =0, 此时方程为x2十4x=0,解得x1=0,x2=一4， .这两个根为x1=0,x2=一4，m的值为0. 10.解：(1)原方程化为x2+2a.x十a2-3=0, ∴.△=(2a)2-4(a2-3)=12>0, .方程有两个不相等的实数根. (2)由题意，得x1十x2=-2a,x1x2=a2-3, 原式=-2x十x_+2x十x号-4 4 4 _（x,+x-4x1x--2a)2-4a2-3》=3. 4 4 11.解：(1)证明：，△=[一(k十3)]一4×1×(2k+2) k2+6k+9-8k-8=k2-2k+1=(k一1)2>≥0， 方程总有两个实数根。 (2)·方程x2一(k+3)x十2k十2=0的两个实数根 为x1,x2, ·x1十x2=k十3，x1·x2=2k十2. x1x2=x1十x2-2, ∴.2k+2=k+3-2, 解得k=一1. 25.3实际问题与一元二次方程 第1课时几何图形问题 1.B2.B 3.B【解析】设小路的入口宽度为xm.由题意，得(32一 2x)(20一x)=570.整理，得x2-36x十35=0，解得x =1,x2=35(不合题意，舍去).故小路的入口宽度为 1m. 4.2436【解析】设矩形的长为x步，则矩形的宽为(x 一12)步.由题意，得x(x-12)=864.整理，得x2一 12x-864=0,解得x1=36,x2=-24(不合题意，舍 去)，.x=36,x一12=24，.矩形的宽为24步，长为 36步. /8-3x1 8 5.2m【解析】依题意，可列方程为（°2）x=3·整 理，得9x2-24x+16=0, 4 8一3x=2. 解得x=x,=3,则2 故窗框的高度为2m. 6.解：(1)(39-3x)x(39-3x) (2)根据题意得x(39一3x)=126, x2-13x+42=0, 解得x1=6,x2=7. 当x=6时，39-3x=21,21>20,不符合题意： 当x=7时，39-3x=18,18<20,符合题意. 故BC的长为18m. (3)不能.理由如下： 根据题意，得x(39一3.x)=150, 整理，得x2-13.x十50=0. .△=(-13)2-4×50=-31<0， .方程无实数解， ∴.不能围成总面积为150m的展览区. 第2课时传播与平均变化率问题 1.B2.C 3.60%【解析】设该医疗器械这两年的平均降价率为 x.依题意，得(1-x)2=(1一20%)×(1一80%)，解得 x1=0.6,x2=1.4(不合题意，舍去).故该医疗器械这 两年的平均降价率为60%. 4.6【解析】设1人每次能手把手教会x名同学.由题 意，得1十x+(x十1)x=49,解得x1=6,x2=一8（不 合题意，舍去)，1人每次能手把手教会6名同学. 5.解：(1)由题意，得x(x十1)十x十1=81，解得x1=8, x2=一10（不合题意，舍去）.故每轮平均1人会传染 8人. (2)三轮传染后的人数为81十81×8=729 .729>700, ∴.三轮传染后，患病的人数会超过700. 6.解：(1)设平均每次降价率为x.根据题意，得80(1一 x)2=51.2, 解得x1=0.2=20%,x2=1.8(不合题意，舍去). 故平均每次降价率为20%时，A商品的最终售价为 51.2元. (2)根据题意，得[0.5×80(1+a%)一50]×1000(1+ 2a%)=20000.整理，得a2十25a一3750=0， 解得a1=50,a2=-75(不合题意，舍去)， ,∴.80(1+a%)=80×(1十50%)=120. 故乙网店在购物节这天打折前的网上标价为120元. 第3课时循环与数字问题 1.D 2.C【解析】设该学习小组共有学生x人，则每人需写 (x一1)份拼搏进取的留言.依题意得x(x一1)=30，整 理得x2-x一30=0，解得x1=6,x2=一5（不合题意， 舍去) 3.15 4.84【解析】设这个两位数的个位数字为x,则十位数 字为x+4.依题意，得x2+(x+4)-[10(x+4)+x] =-4.整理，得2x2一3.x一20=0，解得x1=4,x:= 5 一之·又：x为非负整数，x=4,“这个两位数为 10(x+4)十x=10×(4+4)+4=84. 5.解：(1)由题意，得宜春队要跟其他的5个队各踢2场， ,.宜春队第一阶段共参与2×(6一1)=10（场）比赛. (2)由题意，得n(n一1)=20， 整理，得n2-n-20=0, 解得n1=5,n2=一4（舍去）. 故n的值为5. 6.解：(1)根据题意，得2(n一3)=14. 整理，得n2一3n一28=0， 解得n1=7,n2=-4. n≥3， ∴.n=一4不合题意，舍去， ∴.n=7,即这个多边形的边数是7. (2)A同学的说法不正确.理由如下： 当2m(n-3)=10,即m2-3m-20=0时，解得n =3±√89 2 .∴.符合方程n2一3n一20=0的正整数n不存在， .多边形的对角线不可能有10条，即A同学的说法 不正确. 上册详解详析 29