25.2.1 第2课时 用配方法解一元二次方程&专题特训 配方法的常见运用（PDF部分书稿）-【精英新课堂·三点分层作业】2026-2027学年九年级上册数学（人教版·新教材）

参考答案 第二十五章一元二次方程 25.1一元二次方程的概念 1.A2.x2+6x-2=016-23.a≠3【变式题】-24.B5.36.07.A 8.C9.A10.22 11.解：(1)设其中一条直角边的长为xcm,则另一条直角边的长为(14一x)cm.根据题 意，得号x(14-x)=24.化成一般形式为2-14红十48=0.(2)设这个群里有x名好 友.根据题意，得x(x一1)=132.化成一般形式为x2一x-132=0. 25.2降次一解一元二次方程 25.2.1配方法 第1课时用直接开平方法解一元二次方程 1.x1=1,x2=一12.D【变式题】C 3.解：(1)整理，得x2=8.根据平方根的意义，得x=士2√2，即1=2√2，x2=一2√2. (2)整理，得r=号根据平方根的意义，得x=土号，即4=号=一号.(3)整理， 得x2=100.根据平方根的意义，得x=士10，即x1=10,x2=一10. 4.D5.D 6.解：(1)整理，得x2=1.根据平方根的意义，得x=士1，即x1=1,x2=一1.(2)根据平 方根的意义，得2x十1=士5，即2x+1=5,或2x十1=-5，解得x1=2,x2=-3.(3)整 理，得(x十1)2=4.根据平方根的意义，得x+1=士2，即x十1=2，或x+1=一2，解得 x1=1,x2=-3. 7.C8.89.一3305【变式题】x1=2,x2=-2 10.解：(1)整理，得(x一3)2=7.根据平方根的意义，得x一3=士√7，即x一3=√7，或x -3=-√7，解得x=3十√7，x2=3-√7.(2)根据平方根的意义，得2x十3=3x十2，或 2x十3=-3x-2,解得x1=1,x2=-1. 11.解：把x=2代入方程(x十1)2=k2+3,得(2十1)2=k2+3,k2=6,解得k=士√6. .原方程是(x十1)2=9，解得x1=一4，x2=2..方程的另一个根是x=一4. 12.解：(1)52-2-8(2)原方程变为[(x-1)-4][(x-1)+4]=6,∴.(x-1)2 一4=6..(x一1)2=22.根据平方根的意义，得x一1=士√22，解得x1=1十√22，x2 =1-√22. 第2课时用配方法解一元二次方程 1.A2.(111(2)3号3.A4.B 5.解：(1)移项，得x2-2x=2.配方，得x2-2x十12=2+12，即(x一1)2=3.由此可得x -1=±5，解得=1+，=1-.(2)配方，得x+7z+(经)'=-是+ (仔)》广，即(+子)”=9.由此可得x计子=士3，解得=一分a=一号 6.C 7.解：(1)移项、二次项系数化为1，得x2-4x=6.配方，得x2-4x十22=6十22，即(x 2)2=10.由此可得x-2=±√0，解得1=2十√0，x2=2-√0.(2)移项、二次项 系数化为1，得2-2x=号，配方，得x2-2x+1=号+1，即（红-1）=了，由此可得 x-1=士四，解得=1+，=1-.(3)移项、二次项系数化为1，得2 号x=多配方，得2-号x+(号)°=是+（号），即(x-号)°-8由此可得x 号=土台，解得五=1=一是 8.D9.A10.x1=206,x2=-204 11.解：(1)移项，得x2十2√2x=-1.配方，得(x十√2)2=1.由此可得x十√2=士1，解得 x1=-√2+1，x2=-√2-1.(2)整理，得3x2+2x=-1.二次项系数化为1，得x2十 号=一子配方，得（十3）广=一合”-号<0原方程无实数根 12.解：1)=54=号(22(3)二次项系数化为1，得-9x=-1.配方， 得(x一)}'-尝开平方，得x一号=士号=5=言经检酸南=5 5 号都是原方程的解。(1)中猜想结论正确. 专题特训配方法的常见运用 1.C 2.解：(1)11(2)3-x2+2x=-x2+2x+3=-(x-1)2+4.,(x-1)2≥0，.-(x -1)2≤0..-(x-1)2+4≤4..3-x2十2x的最大值为4. 3.解：5x2-6x十4-(x2-2x+2)=4x2-4x+2=(2x-1)2+1.(2x-1)2≥0，∴.(2x -1)2+1>0..5x2-6.x+4>x2-2x+2. 4.解：(1)x2-4x+y2+2y+5=0,∴.(x-2)2+(y+1)2=0..x-2=0,y+1=0,解 得x=2,y=-1.(2)a2+b2=12a+8b-52,∴.(a-6)2+(b-4)2=0.a-6=0,b- 4=0,解得a=6,b=4..△ABC是等腰三角形，∴.c=4或6. 5.解：原式=x2-4xy十4y2-y2=(x-2y)2-y2=(x-2y+y)(x-2y-y)=(x- y)(x-3y). 25.2.2公式法 第1课时一元二次方程的根的判别式 1.C2.A3.m>8 4.解：(1)a=1,b=-3V2,c=4,.△=b-4ac=(-3W2)2-4×1X4=2>0.∴.方程 有两个不相等的实数根.(2)方程化为x2+5x十10=0.：a=1,b=5,c=10,∴△=b 4ac=52-4X1×10=-15<0..方程没有实数根.(3)方程化为x2+6x十9=0.a= 1,b=6,c=9,∴.△=b2一4ac=62一4×1×9=0.，∴.方程有两个相等的实数根. 5.C【变式题】D6.有两个不相等的实数根 7.(1)证明：由题意，得△=(2a+1)2-4×2(a-1)=4a2+4a+1-8a+8=(2a-1)2+ 8.,(2a-1)2≥0，∴.△=(2a一1)2十8>0..此方程一定有两个不相等的实数根. (2)解：由题意，得△=(2a-1)2十8=9，.(2a-1)2=1,解得a1=0,a2=1.,该方程为 一元二次方程，.a-1≠0，即a≠1.a=0. 第2课时用公式法解一元二次方程 1.B2.B3.D 4-8-2-32(一2》25不相等二别洁医？名 2X2 5.解：(1)·a=2,b=7,c=0,.△=b2-4ac=72-4×2×0=49>0.∴.方程有两个不相 等的实数根六一止匹-装-7，即A-0,=一子.（②=3， 2a 2×2 b=-5,c=1,.△=62-4ac=(-5)-4×3×1=13>0.∴.方程有两个不相等的实数 根.工=b吐4@c=二（一》生压-5±压，即=5+，，= 2a 2×3 6 2 5-压.(3)方程化为9x2+7x+2=0.”a=9,b=7,c=2,△=-4ac=72-4X9 6 ×2=-23<0.∴.原方程无实数根.(4)a=1,b=一2√2，c=2,.△=b2-4ac= （一2②-4X1X2=0六方程有两个相等的实数根，小通==一名--区 6.c7.c8.12 9.解：(1)方程化为2x2+2x-1=0.a=2,b=2,c=-1,∴.△=b2-4ac=22-4×2× （一1)=12>0.∴方程有两个不相等的实数根.x=二b士Y-4ac=一2±区 2a 2×2 -2±23，即=-1+3，x4=-125.(2)方程化为2x-x-3=0.:a=2,6= 4 2 2 -1,c=-3,∴.△=6-4ac=(-1)2-4×2×(-3)=25>0.∴.方程有两个不相等的实 数根-生公@c-二《一议装压1与，即-是=-1 2a 2X2 10第：(1)：∠ACB=90,BC=号，AC=6,AB=VBC+AC=√+8= Y@亚.：BD=号，∴AD=AB-BD=Y中-2.(2)方程可化为x十aE-公 2 2 =0,小4=a2-4×1X(-8)=a2+4h>0.x=二a±a+4 2 ,即x= -a+√a+46 ,4=二a一@+4近：AD的长是方程的正根.遗憾之处：图解法不 2 2 能表示方程的负根， 25.2.3因式分解法 1.D【变式题】C2.A 3.解：(1)左边因式分解，得x(x十4)=0..x=0,或x十4=0.∴.x1=0,x2=-4.(2)移 项，得x(x-7)+8(x-7)=0.左边因式分解，得(x-7)(x十8)=0..x-7=0,或x十8 =0..x1=7,x2=-8.(3)左边因式分解，得(x-1+2)(x-1-2)=0,即(x十1)(x- 3)=0.∴.x+1=0,或x-3=0..x1=-1,x2=3. 4.A 5.解：(1)移项，得2x2=8.二次项系数化为1，得x2=4.x1=2,2=-2.(2)配方，得 y2-2y+12=80+12,即(y-1)2=81.y-1=±9.y1=10,y=-8.(3)a=1,b =-5,c=2,△=b2-4ac=(一5)2-4×1×2=17>0.∴.方程有两个不相等的实数 根.“r=生你4@c-二（一，生应=5±)厘，即=5+y,= 2×1 2 2 5二应.(4)移项，得(x十5)一2(x十5)=0.左边因式分解，得(x+5)(z十5-2)=0. ∴.x十5=0，或x+3=0..x1=-5,x2=-3. 6.B7.18.12 9.解：1)-（2)a=子=1(3)①整理，得(x+1D(x-1D-4(x-1D=0.左边因 式分解，得(x-1)(x十1一4)=0..x-1=0,或x-3=0,解得x1=1,x2=3.②整理， 得3(x-5)2+(x+5)(x-5)=0.左边因式分解，得(x-5)(3x一15十x十5)=0.∴.x一 5=0,或4x-10=0,解得=5，=号 10.解：(1)①②(2)解方程x2-2x=0,得x1=0,x2=2.当相同的根是x=0时，m一1 =0,解得m=1;当相同的根是x=2时，4十2+m-1=0,解得m=-5.综上所述，m的 值是1或-5.(3)，关于x的一元二次方程ax2+bx十c=0(a≠0)同时满足a一b+c= 0和9a十3b十c=0,∴该方程的两个根是x1=-1,x2=3.:方程(x-n)(x十3)=0的 3第2课时 用配 ④分点训练 ①夯实基础 知识点①二次三项式的配方 1.下列多项式是完全平方式的是 A.a2-6a+9 B.1+9a2 C.9b2+6b-1 D.a2+ab+62 2.(教材P9练习T1变式)填空： (1)x2-2x+ =(x- )2； (2)a2+ a+-(a+ )2 知识点2用配方法解二次项系数为1的一元 二次方程 3.若用配方法解方程x2十4x=3,则方程两边 应都加上 ( ) A.4 B.3 C.2 D.1 4.用配方法解一元二次方程x2十8x一9=0 时，原方程应变形为 () A.(x-4)2=25 B.(x+4)2=25 C.(x-4)2=9 D.(x+4)2=9 5.用配方法解下列方程： (1)x2-2x-2=0; (2)x2+7.x=- 13 数学九年级上册人教版 方法解一元二次方程 知识点3用配方法解二次项系数不为1的一 元二次方程 6.新趋势过程纠错)用配方法解方程2x2一x一 6-0的步骤如下：①2x-x=6;②r-2x=3; ③r-2x+}3+@(x-》=3+号 则开始出现错误的步骤是 () A.① B.② C.③ D.④ 7.用配方法解下列方程： )22-2x-3=0: (2)3x2-3=6x+1; (3)5x2-2x-3=0. B综合运用 。提升能力 8.用配方法解一元二次方程x2一2x一23=0，将 它转化为(x十a)2=b的形式，则a的值为 ( ) A.-24B.24 C.-1 D.1 9.小贤和小淇用配方法解方程2x2+4x十1=0 的做法如下，则 ( 小淇： 小贤： 2x2+4x=-1. 2x2+4x=-1. x2+2x=- 1 4x2十8.x=一2. 4x2+8x+4=2. x2+2x+1= 1 +1. (2x十2)2=2. a+0= A.他们的做法都正确 B.仅小贤的做法正确 C.仅小淇的做法正确 D.他们的做法都不正确 10.若一元二次方程x2一42025=0的两根为 土205，则一元二次方程x2-2x-42024= 0的两根为 11.用配方法解下列方程： (1)x2-√2x+1=-3√2x; (2)3(x-1)(x+2)=x-7. C创新拓展 ⊙发展素养 12.观察下列方程及其解的特征： ①x+1=2的解为x1=2=1; ②x+号的解为=2，= ③x+1=10 立=3的解为石=3，x3=3; 。 解答下列问题： （1猫想：方程x+}的解为 (2)猜想：关于x的方程x十1= 的解为m1=a,x2=上(a≠0)； (3)下面是以解方程x+}-为例，验证() 中猜想结论的正确性，补全验证过程. 解：原方程可化为5x2-26x=-5. (请用配方法写出解此方程的详细过程) 第二十五章一元二次方程 5 专题特训 配方法的常见运用 类型1判断形如ax2十bx十c(a≠0)的二次 类型3利用配方法构造非负数求值 三项式的正负或求最值 4.阅读下列材料： 1.对于任意实数x,多项式2x2-10x+15的 已知m2+2m+n2-6n+10=0,求m,n的值. 值是 ( 解：把等式左边的式子变形， A.负数 B.非正数 得(m2+2m+1)+(n2-6n+9)=0. C.正数 D.无法确定正负 ∴.(m+1)2+(n-3)2=0. 2.阅读下面的解答过程： .m+1=0,n-3=0, 求y+4y十5的最小值. 解得m=-1,n=3. 解：y2+4y十5=(y+2)2+1. 利用以上方法，解答下列问题： ,(y+2)2≥0， (1)已知x2一4x+y+2y+5=0,求x,y的值； .(y+2)2+1≥1. (2)已知a,b,c是等腰三角形ABC的三边长， .y2十4y+5的最小值为1. 满足a2+b2=12a+8b-52,求c的值， 仿照上面的解答过程，解答下列问题： (1)当m的值为 时，式子m2-2m十 2有最小值，最小值为； (2)求3一x2+2x的最大值. 方法总结：求二次多项式ax2十bx十c的最值或判断 其正负时，先把它配方成a(x一h)2十的形式：①当 类型4运用配方法对一些多项式因式分解 a<0,x=h时，a(x-h)2十k有最大值，最大值为； 5.运用配方法也可将多项式进行因式分解： 当a>0,x=h时，a(x-h)2+k有最小值，最小值为 例如，x2+4x-5=x2+4x十22-22-5=(x1 k.②当a<0,k<0时，a(x一h)2十k的值恒为负；当 2)2-9=(x+2+3)(x+2-3)=(x+5)(x-1). a>0,k>0时，a(x-h)2十k的值恒为正. 仿照上述过程，将多项式x2一4xy+3y2进 类型2比较两代数式的大小 行因式分解. 3.用作差法比较代数式5x2一6x+4与x2 2x十2的大小. 6 数学九年级上册人教版