2.4 一元二次方程根的应用 教学课件 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的应用，通过“温故知新”回顾列方程解应用题步骤，衔接新知探究中的几何、利润等实际问题，构建从旧知到建模应用的学习支架。 其亮点在于以数学建模思想为主线，结合梯子滑动、冰箱利润等实例，引导学生用数学眼光抽象等量关系，通过审设列解验答培养数学思维，思维导图梳理知识体系。分层作业兼顾基础与提升，助力学生发展应用意识，为教师提供结构化教学资源。

第二章 一元二次方程 4. 一元二次方程的应用 第4课时 一元二次方程的应用 主讲人:XX老师 授课班级:XX级X班 北师大新版数学九年级上册 1.7.2013 大家好,今天我们继续学习第二章《一元二次方程》。这节课我们将学习如何运用一元二次方程来解决实际问题。让我们一起进入今天的学习。 ‹#› 课程目录 01. 本节思路 02. 教学目标 03. 温故知新 04. 新知探究 05. 例题精析 06. 课堂小结 07. 课后巩固 1.7.2013 这是我们本节课的课程目录,我们将按照这个顺序,逐步深入地学习如何应用一元二次方程。 ‹#› 01 本节思路 从实际问题出发,建立方程模型,解决应用问题。 1.7.2013 首先,我们来明确本节课的学习思路。我们将从实际问题出发,通过建立一元二次方程模型来解决这些问题。 ‹#› 本节思路 本节课聚焦一元二次方程的实际应用,通过建立模型、求解验证,掌握解决实际问题的完整路径。 思考:如何将实际问题中的等量关系转化为数学方程? 学习思路 01. 聚焦研究对象 本节课核心研究如何运用一元二次方程解决实际问题,包括几何问题、利润问题等。关键在于将实际问题中的数量关系转化为数学方程。 02. 遵循科学路径 从实际问题情境中抽象出数学模型,建立一元二次方程,求解方程,并检验解的合理性,最终解决实际问题。 03. 明确课堂目标 掌握运用一元二次方程解决实际问题的一般步骤,能根据具体问题建立方程模型,提高分析问题和解决问题的能力。 1.7.2013 我们的学习思路主要有三点:聚焦研究对象,遵循科学路径,明确课堂目标。我们将通过解决实际问题,来学习如何建立方程模型。 ‹#› 02 教学目标 明确学习目标，把握学习方向。 1.7.2013 接下来，我们明确一下本节课的教学目标，这将帮助我们更好地把握学习方向。 ‹#› 教学目标 目标1:模型建立 能根据实际问题中的数量关系,正确建立一元二次方程模型,体会数学建模思想。 （核心基础） 目标2:解题应用 能运用一元二次方程解决几何图形、利润计算等实际问题,掌握解题步骤,提高应用能力。 （重点） 目标3:综合素养 经历从实际问题到数学模型再到实际问题的解决过程,培养分析问题、解决问题的能力和应用意识。 （能力提升） 学习建议:解决实际问题的关键是找到等量关系;解出方程后,一定要检验解是否符合实际意义。 1.7.2013 本节课我们有三个核心目标:建立模型,应用解题,提升素养。其中,建立模型是核心基础,应用解题是重点。 ‹#› 03 温故知新 回顾旧知识，衔接新知识。 1.7.2013 在学习新知识之前，我们先来回顾一下相关的旧知识，以便更好地衔接。 ‹#› 温故知新 知识回顾:列方程解应用题的一般步骤 审 审题 审清题意,明确已知量和未知量,找出等量关系。 设 设未知数 设未知数,通常用x表示。 列 列方程 根据等量关系列出方程。 解 解方程 解方程,求出未知数的值。 验 检验 检验解是否符合实际意义。 答 写出答案 规范写出最终的答案。 核心提示: 解决实际问题的关键在于准确找出等量关系,这是建立方程的基础。 1.7.2013 我们先来回顾一下列方程解应用题的一般步骤。这些步骤对于我们今天学习用一元二次方程解决实际问题同样适用。 ‹#› 04 新知探究 从实际问题出发，建立方程模型。 1.7.2013 接下来，我们将通过几个实际问题，来学习如何建立一元二次方程模型。 ‹#› 思想、步骤及常见问题 新知探究 01 核心思想 数学建模思想 将实际问题转化为数学问题来解决。 02 解题步骤 审、设、列、解、验、答 特别要注意检验解是否符合实际意义。 03 几何问题 关键是利用几何图形的性质(如勾股定理、全等三角形等)找出等量关系,建立方程。 04 利润问题 关键是明确“总利润 = 单件商品利润 × 销售量"的关系,根据价格变化对销量的影响来建立方程。 1.7.2013 我们来总结一下用一元二次方程解决实际问题的方法。无论是几何问题还是利润问题,关键都是找到等量关系,建立方程。 ‹#› 新知探究 (1) 在这个问题中,梯子顶端下滑1m,梯子底端滑动的距离大于1m,那么梯子顶端下滑几米时,梯子底端滑动的距离相等呢? (2) 如果梯子的长度是13m,梯子顶端到地面的垂直距离为12m,那么梯子顶端下滑的距离与梯子底端滑动的距离可能相等吗? 思考 这个问题中包含了怎样的等量关系?我们可以设哪个量为未知数? 几何问题 还记得本章开始时的梯子滑动问题吗? 1.7.2013 我们先来回顾一下本章开始时的梯子滑动问题。这个问题中包含了勾股定理的等量关系,我们可以通过设未知数来建立方程。 ‹#› 新知探究 几何问题 如图,某海军基地位于A处,在其正南方向200nmile处有一重要目标B,在B的正东方向200nmile处有一重要目标C。 小岛D位于AC的中点,岛上有一补给码头;小岛F位于BC的中点。一艘军舰从A出发,经B到C匀速巡航,一艘补给船同时从D出发,沿南偏西方向匀速直线航行,欲将一批物品送达军舰。 已知军舰的速度是补给船的2倍,军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处,那么相遇时补给船航行了多少海里? 思考 这个问题中包含了哪些几何关系 ? 我们可以设哪个量为未知数? 1.7.2013 我们来看第一个例题,这是一个几何应用问题。大家可以先分析一下题目中的几何关系,思考如何设未知数。 ‹#› 分析与建模 01 几何分析 连接DF,因为D是AC中点,F是BC中点,所以DF是△ABC的中位线。 nmile 又故。 02 等量关系 军舰行驶的路程 =补给船行驶的路程。 设相遇时补给船航行了nmile,则: nmile,军舰行驶了 nmile。 03 建立方程 在Rt△DEF中, nmile 由勾股定理: 思路总结:先利用中位线定理确定边长,再根据速度关系设未知数,最后在直角三角形中列方程。 新知探究 1.7.2013 我们来分析一下例1。首先利用中位线定理得出DF的长度和位置关系,然后根据军舰和补给船的速度关系找到等量关系,最后在直角三角形DEF中利用勾股定理建立方程。 ‹#› 规范解答 新知探究 解：连接DF, ∵AD=CD，BF=CF， ∴DF是△ABC的中位线。 ∴DF∥AB, 且DF= AB. ∵AB⊥BC, AB= BC=200nmile, ∴DF⊥BC, DF=100nmile, BF=100nmile。 设相遇时补给船航行了nmile，那么 DE=nmile, AB + BE=nmile 1.7.2013 我们来详细解答例1。首先整理方程,然后用求根公式求解。注意解出后要检验是否符合实际意义,舍去不合理解。 ‹#› 规范解答 新知探究 nmile。 在Rt△DEF中，根据勾股定理可得方程 , 整理，得 解这个方程，得 (不合题意，舍去)。 所以，相遇时补给船大约航行了118.4nmile。 1.7.2013 我们来详细解答例1。首先整理方程,然后用求根公式求解。注意解出后要检验是否符合实际意义,舍去不合理解。 ‹#› 新知探究 新华商场销售某种冰箱,每台进货价为2500元。调查发现,当销售价为2900元时,平均每天能售出8台;而当销售价每降低50元时,平均每天就能多售出4台。 商场要想使这种冰箱平均每天的销售利润达到5000元,每台冰箱的定价应为多少元? 思考 这个问题中的利润、售价、销量之间 有怎样的关系? 我们可以设哪个量为未知数? 利润问题 1.7.2013 我们来看第二个例题,这是一个利润应用问题。大家可以先分析一下利润、售价和销量之间的关系,思考如何设未知数。 ‹#› 新知探究: 01 利润关系 总利润 = 每台利润 × 销售量 02 变量设定 设每台冰箱降价 元。 03 建立方程 每台利润:元 销售量:(台 根据总利润为5000元,列方程: 分析与建模 1.7.2013 我们来分析一下例2。首先明确总利润等于每台利润乘以销售量。然后设降价为x元,分别表示出每台利润和销售量,最后根据总利润建立方程。 ‹#› 新知探究 解：设每台冰箱的销售价降低元，根据题意，得 。 解这个方程，得 2900-150=2750。 所以，每台冰箱的定价应为2750元。 规范解答 1.7.2013 我们来详细解答例2。首先整理方程,然后发现这是一个完全平方式,解得x=150。最后计算出定价。 ‹#› 新知探究 我国古代数学著作《增删算法统宗》记载了“圆中方形”问题：今有圆田一段，中间有个方池．丈量田地待耕犁，恰好三分在记，池面至周有数，每边三步无疑．其大意为有一块圆形的田，中间有一块正方形水池，测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好72平方步，从水池边到圆周，每边相距3步远．如图，设正方形的边长是x步，则可列方程为（      ）。 随堂练习1 B 1.7.2013 我们来详细解答例2。首先整理方程,然后发现这是一个完全平方式,解得x=150。最后计算出定价。 ‹#› 新知探究 如图是2025年4月的月历表，在此月历表上用一个正方形任意圈出2×2个位置上相邻的数（如2，3，9，10）．若圈出的4个数中最大数与最小数的积为128，设这4个数中最小数为x，则可列方程为 ． 随堂练习2 1.7.2013 我们来详细解答例2。首先整理方程,然后发现这是一个完全平方式,解得x=150。最后计算出定价。 ‹#› 05 例题精析 学以致用,加深理解。 1.7.2013 接下来,我们通过几个例题来加深对用一元二次方程解决实际问题的理解和应用。 ‹#› 例题精析 例1.某葡萄种植基地2024年种植某品种葡萄100亩，到2026年的种植面积达到196亩 （1）求该基地这两年种植面积的平均增长率； （2）市场查发现，该品种葡萄的售价为20元千克时，每天售出200千克，售价每降价1元，每天可多售出50千克，为了推广直传，基地决定降价促销，同时减存，已知该基平的均成本价为12元/千克，若使每天获利1750元，则售价应降低多少元？ 例题呈现 1.7.2013 我们来详细解答例2。首先整理方程,然后发现这是一个完全平方式,解得x=150。最后计算出定价。 ‹#› 例题精析 解：（1）设该基地这两年种植面积的平均增长率为，根据题意得 解得（不合题意，舍去） 答：该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率为40% 规范解答 1.7.2013 我们来详细解答例2。首先整理方程,然后发现这是一个完全平方式,解得x=150。最后计算出定价。 ‹#› 例题精析 （2）设售价应降低元，则每天可售出千克 根据题意，得 整理得， 解得 要减少库存 不合题意，舍去， 所以 答：售价应降低3元． 规范解答 1.7.2013 我们来详细解答例2。首先整理方程,然后发现这是一个完全平方式,解得x=150。最后计算出定价。 ‹#› 例题精析 例2.甲、乙两工程队合作完成某修路工程，该工程总长为4800米，原计划32小时完成．甲工程队每小时修路里程比乙工程队的2倍多30米，刚好按时完成任务． （1）求甲工程队每小时修的路面长度； （2）通过勘察，地下发现大型溶洞，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米，在实际施工中，乙工程队修路效率保持不变的情况下，时间比原计划增加了()小时；甲工程队的修路速度比原计划每小时下降了3m米，而修路时间比原计划增加小时，求的值．？ 例题呈现 1.7.2013 我们来详细解答例2。首先整理方程,然后发现这是一个完全平方式,解得x=150。最后计算出定价。 ‹#› 例题精析 解：（1）设乙两工程队每小时铺设路面米，则甲工程队每小时铺设路面米， 根据题意得，， 解得：， 则， ∴甲工程队每小时铺设的路面长度为110米； 规范解答 1.7.2013 我们来详细解答例2。首先整理方程,然后发现这是一个完全平方式,解得x=150。最后计算出定价。 ‹#› 例题精析 （2）根据题意得， ， 整理得，， 解得：（舍去）， ∴的值为18. 规范解答 1.7.2013 我们来详细解答例2。首先整理方程,然后发现这是一个完全平方式,解得x=150。最后计算出定价。 ‹#› 06 课堂小结 回忆总结, 加深记忆。 1.7.2013 接下来,我们通过两个更复杂的例题,来加深对如何应用一元二次方程解决实际问题的理解。 ‹#› 课堂小结 知识思维导图 这张思维导图概括了一元二次方程 应用的完整知识体系,帮助大家 系统掌握建模与解题方法。 01 核心步骤 审题 → 设元 → 列方程 → 解方程 → 检验 → 作答 02 常见模型 几何问题 行程问题 03 关键技巧 准确找出等量关系是建模的关键。 解出方程后,务必检验解是否符合实际意义。 单位要统一。 利润问题 1.7.2013 我们来看第二个例题,这是一个利润应用问题。大家可以先分析一下利润、售价和销量之间的关系,思考如何设未知数。 ‹#› 07 课后巩固 应用知识，解决问题。 1.7.2013 接下来,我们通过两个更复杂的例题,来加深对如何应用一元二次方程解决实际问题的理解。 ‹#› 课后巩固 分层作业设计——基础必做(全员完成) 01 数字问题 两个连续奇数的积是323,求这两个数。 02 面积问题 用一根长40cm的铁丝围成一个矩形,使它的面积为96cm²,求这个矩形的长和宽。 03 利润问题 某商店购进一批单价为20元的日用品,以单价30元销售,半个月可售出400件。单价每提高1元,销量减少20件。如何提高售价,才能在半个月内获得最大利润? 提示:完成作业时请紧扣配方法的解题步骤,规范书写配方与求解过程;完成后对照课堂讲解的方法自行检查。 1.7.2013 我们来看第二个例题,这是一个利润应用问题。大家可以先分析一下利润、售价和销量之间的关系,思考如何设未知数。 ‹#› 课后巩固 分层作业设计——提升选做（学有余力完成） 01.几何综合 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm。点P从点A出发，沿AC向点C以1cm/s的速度移动；点Q从点C出发，沿CB向点B以2cm/s的速度移动。如果P、Q分别从A、C同时出发，经过多长时间，△PCQ的面积等于8cm²？ 02.方案设计 某旅行社推出一条成本为每人500元的旅游线路，原计划每人收费800元，每天能接待100人。根据市场调查，收费每降低10元，每天能多接待10人。如何定价才能使旅行社每天的利润达到20000元？ 1.7.2013 我们来看第二个例题,这是一个利润应用问题。大家可以先分析一下利润、售价和销量之间的关系,思考如何设未知数。 ‹#› 感谢聆听 THANKS 1.7.2013 今天的课就到这里,感谢大家的认真聆听。请记得完成课后作业,并预习下一章的内容。下课! ‹#› $