2.5.2 圆与圆的位置关系同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 本同步练习通过“基础+能力提升”分层设计，以圆与圆位置关系判定、公共弦问题为基础，逐步过渡到切线应用、最值探究等综合问题，实现从单一知识点到复杂情境的思维进阶，培养几何直观与逻辑推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础练习|圆与圆位置关系判定、公共弦方程及长度计算|包含教材改编题与名校月考真题，通过选择、填空、解答题（如第10题）夯实概念理解，体现数学语言表达| |能力提升练|切线应用、轨迹方程、最值问题|设置多选题（如第4、5题）和实际情境题（如“晚旁”徽标），融合几何直观与运算能力，发展数学思维的严谨性|

2.5.2　圆与圆的位置关系 基础练习 题型一　圆与圆的位置关系 1.(2026湖南师范大学附属中学月考)圆C1:x2+y2-2x-4y+4=0与圆C2:(x-1)2+(y+2)2=9的位置关系为(　　) A.内切　　B.相交　　 C.外切　　D.外离 2.(2026河南TOP二十名校调研)已知圆C1:(x+2)2+y2=4与圆C2:(x-2)2+(y+3)2=m-4外切,则m=(　　) A.5　　B.7　　 C.11　　D.13 3.(2026北京第八十中学期中)已知圆C1:x2+y2=a(a>0)与圆C2:x2+y2-6x+4y+9=0关于直线l对称,则a=　　　　,直线l的方程为　　　　.  4.(2026山东泰安第一中学月考)已知圆C:x2+(y+2)2=a2(a>0)与圆心在原点O处的单位圆恰有两条公切线,则正数a的取值范围为　　　　.  5.(2026山东菏泽鄄城第一中学月考)写出与圆C:(x-4)2+(y+3)2=16和圆O:x2+y2=1都相切的所有直线的方程:　　　　　　　　　　.  6.(2026河南三门峡联考)已知一组圆C1,C2,…,Ck(k∈N*)均与三个定圆x2+y2=4,x2+y2=64,(x-5)2+y2=3相切,则圆C1,C2,…,Ck的面积和为　　　　.  题型二　两圆的公共弦问题 7.(教材习题改编)(2026河南南阳期中)已知圆C1:(x+1)2+y2=1与圆C2:x2+(y-2)2=4,则(　　) A.C1与C2相交,相交弦所在直线的方程为x+2y-2=0 B.C1与C2相交,相交弦所在直线的方程为x+2y=0 C.C1与C2外切,内公切线的方程为x+2y-2=0 D.C1与C2外切,内公切线的方程为x+2y=0 8.(2026黑龙江大庆实验中学月考)已知圆C1:x2+y2=4和圆C2:(x-2)2+(y-2)2=4,若点P(a,b)(a>0,b>0)在两圆的公共弦所在直线上,则+的最小值为(　　) A.2　　B.　　C.5　　D. 9.(2026山东潍坊期中)“晚旁”徽标是借助两个圆设计而成的,其状如月(如图中阴影部分所示).已知圆C1:x2+y2-2ax+4y+1=0,C2:x2+y2-3ax+(4+)y+4+2=0,其中0<a<3.A,B为圆C1与圆C2的两个交点,若弦AB将圆C1分为长度之比为1∶2的两段弧,则组成“晚旁”的两段弧的长度之比为　　　　.(请写出较短的弧与较长的弧的长度之比)  10.(2026重庆第八中学校月考)已知圆O:x2+y2=1,圆M:(x-2)2+(y-1)2=9. (1)求圆O与圆M的公共弦所在直线的方程及公共弦的长; (2)求圆O与圆M的公切线的交点P的坐标,并求公切线方程. 能力提升练 题型　圆与圆的位置关系的应用 1.(2026江西九江第一中学月考)过点P(3,2)作圆C:(x-1)2+(y-1)2=3的两条切线,切点分别为A和B,则切点弦AB所在直线的方程为(　　) A.2x+y-6=0　　B.x+2y-7=0 C.x-y+1=0　　D.3x+y-9=0 2.(2026山东烟台第一中学月考)已知点A(-1,0),B(1,0),若圆(x-a+1)2+(y-a-2)2=1上存在点M满足·=3,则实数a的值不可以为(　　) A.-2　　B.-1　　C.0　　D.3 3.(2026吉林四平第一高级中学月考)已知M是圆C1:x2+y2-2x+10y+17=0上的一点,N是圆C2:x2+y2-6x+8=0上的一点,P为直线l:x-y+2=0上的一点,则下列说法不正确的是(　　) A.|MN|的最大值为+4 B.|PM|-|PN|的最大值为+4 C.|PM|+|PN|的最小值为-4 D.·的最小值为 4.(多选题)(2026重庆清华中学校月考)已知点M在圆Q:x2+(y+2)2=4上,点P是直线l:4x-3y+6=0上一点,过点P作圆Q的两条切线,切点分别为A,B,设直线l分别交x,y轴于点C,D,则(　　) A.|PA|的最小值为　　 B.直线AB必过定点 C.满足MC⊥MD的点M有一个　　 D.|MD|+2|MC|的最小值为 5.(多选题)(2026江苏南京七校联考)已知圆M:x2+(y-3)2=4,点P为x轴上一个动点,过点P作圆M的两条切线,切点分别为A,B,直线AB与MP交于点C,则下列结论正确的有(　　) A.四边形PAMB周长的最小值为4+2 B.若P(,0),则△PAB的面积为4 C.|AB|的最小值为 D.若Q,则|CQ|的最大值为 6.(2026江苏南京外国语学校月考)已知圆C1:(x+3)2+y2=a2(a>7)和C2:(x-3)2+y2=1,动圆M与圆C1,圆C2均相切,|MC1|+|MC2|=3|C1C2|,则a的值为　　　　.  7.(2026福建漳州联考)已知P为圆C1:(x-5)2+y2=4位于第一象限的一点,过点P作圆C2:x2+y2-2ax+a2-a+2=0(2<a<5)的两条切线PM,PN,切点分别为M,N,直线PM,PN分别交x轴于点A(1,0),B(4,0),则=　　　　,|MN|=　　　　.  8.(2026江西萍乡上栗中学月考)平面直角坐标系Oxy中,过点P(0,1)且互相垂直的两条直线分别与圆O:x2+y2=4交于两点A,B,圆M:(x-2)2+(y-1)2=1交于两点C,D. (1)若直线AB的斜率为,求弦CD的长; (2)若CD的中点为E,求△ABE面积的取值范围; (3)已知圆O交y轴于G,H两点(G在H上方),当直线AB的斜率存在时,证明:直线AH,BG的交点在一条定直线上. 答案 2.5.2　圆与圆的位置关系 基础练习 1.C　圆C1:x2+y2-2x-4y+4=0即(x-1)2+(y-2)2=1,圆心为C1(1,2),半径r=1; 圆C2:(x-1)2+(y+2)2=9的圆心为C2(1,-2),半径R=3. 因为|C1C2|==4=R+r,所以两圆外切. 2.D　圆C1:(x+2)2+y2=4的圆心为C1(-2,0),半径r1=2, 圆C2:(x-2)2+(y+3)2=m-4的圆心为C2(2,-3),半径r2=, 因为两圆外切,所以|C1C2|=r1+r2,即5=2+,解得m=13. 3.答案　4;6x-4y-13=0 解析　由题意知两圆半径相等. 圆C2:x2+y2-6x+4y+9=0即(x-3)2+(y+2)2=4, 其圆心为C2(3,-2),半径r2=2; 圆C1:x2+y2=a的圆心为C1(0,0),半径r1=, 则=2,所以a=4. C1C2的中点坐标为,=-,由对称性可知kl·=-1,解得kl=, 所以直线l的方程为y+1=,即6x-4y-13=0. 4.答案　(1,3) 解析　圆C:x2+(y+2)2=a2(a>0)的圆心为C(0,-2),半径r1=a. 单位圆的圆心为O(0,0),半径r2=1. 两圆的圆心距为|OC|==2. 因为两圆恰有两条公切线,所以两圆相交,所以|a-1|<2<a+1,则 得所以a∈(1,3). 5.答案　y=1,24x+7y+25=0和4x-3y-5=0 解析　圆O:x2+y2=1的圆心为O(0,0),半径为1; 圆C:(x-4)2+(y+3)2=16的圆心为C(4,-3),半径为4, 因为两圆的圆心距为|OC|=5=1+4,所以两圆外切, 则两圆有三条公切线,分别记为l1,l2,l3,如图, 可得切线l1的方程为y=1; 因为l3⊥OC,且kOC=-,所以=,设l3:y=x+b,即4x-3y+3b=0, 则O(0,0)到l3的距离为=1,解得b=(舍去)或b=-, 所以l3:4x-3y-5=0. 易知l1和l2关于直线OC:y=-x对称,联立得可知点在l2上, 在l1上取点(0,1),设其关于直线OC的对称点为(x0,y0), 则 解得则==-, 所以直线l2:y-1=-,即24x+7y+25=0. 综上,所求切线方程为y=1或24x+7y+25=0或4x-3y-5=0. 6.答案　136π 解析　设圆D1:x2+y2=4,D2:x2+y2=64,D3:(x-5)2+y2=3, 由于圆D1和D3均在圆D2的内部,所以这组圆一定与圆D2:x2+y2=64内切, 不妨取圆C1为研究对象,设其圆心为(m,n),半径为r,所以=8-r, 若圆C1与圆D1,D3均内切, 则 则8-r=r-2,即r=5, 由于圆D1,D3,D2均关于x轴对称,所以根据对称性可知这样的圆C1有两个; 同理,若圆C1与圆D1,D3均外切,可得r=3,且这样的圆C1有两个; 若圆C1与圆D1内切,与圆D3外切,可得r=5,且这样的圆C1有两个; 若圆C1与圆D3内切,与圆D1外切,可得r=3,且这样的圆C1有两个. 综上所述,共有8个圆满足题意,它们的面积和为136π. 7.B　圆C1:(x+1)2+y2=1的圆心为C1(-1,0),半径r1=1, 圆C2:x2+(y-2)2=4的圆心为C2(0,2),半径r2=2, 易得|C1C2|==, 因为r2-r1<|C1C2|<r2+r1,所以C1与C2相交, 将两个圆的方程作差,得x2+(y-2)2-(x+1)2-y2=4-1,整理得x+2y=0, 即相交弦所在直线的方程为x+2y=0. 8.B　由题意可得圆C1的圆心为C1(0,0),半径r1=2,圆C2的圆心为C2(2,2),半径r2=2, 则|C1C2|==2,r1+r2=2+2=4,r1-r2=2-2=0, 则r1-r2<|C1C2|<r1+r2,故两圆相交, 则其公共弦所在直线的方程为x2+y2-4-[(x-2)2+(y-2)2-4]=0, 即x+y-2=0,则P(a,b)(a>0,b>0)在直线x+y-2=0上,即有a+b=2, 则+=·(a+b)=1+4++≥5+2=, 当且仅当=,即a=,b=时等号成立,故+的最小值为. 9.答案　3∶8 解析　易知圆C1:(x-a)2+(y+2)2=a2+3的圆心为C1(a,-2),半径r1=; 圆C2:+=的圆心为C2,半径r2=. 两圆方程相减即得公共弦AB所在直线的方程,为ax-y-3-2=0, 由弦AB将圆C1分为长度之比为1∶2的两段弧可知∠AC1B=120°, 因此圆心C1(a,-2)到直线ax-y-3-2=0的距离为r1, 即=,解得a2=1或a2=9,又0<a<3,故a=1, 此时C2,易知C2在弦AB所在直线上,所以弦AB为圆C2的直径. 易知r1=2,r2=, 所以弦AB截圆C2所得的组成“晚旁”的弧的长为πr2=π,截圆C1所得的组成“晚旁”的弧的长为πr1=π, 则组成“晚旁”的两段弧长之比为πr2∶πr1=3∶8. 10.解析　(1)圆O的圆心为O(0,0),半径为1,圆M的圆心为M(2,1),半径为3, 将两圆方程相减,可得公共弦所在直线的方程为4x+2y+3=0. 点O到直线4x+2y+3=0的距离为=,所以公共弦的长为2×=. (2)由(1)知两圆相交,故共有两条公切线.易知点O(0,0)到直线x=-1的距离为1,点M(2,1)到直线x=-1的距离为3, 则圆O与圆M的一条公切线的方程为x=-1. 直线OM:y=x与直线x=-1的交点为,该点在另一条公切线上,则可设另一条公切线的方程为y+=k(x+1),即kx-y+k-=0, 则点M(2,1)到该公切线的距离d==3,解得k=-, 此时满足点O(0,0)到该直线的距离为1, 所以另一条公切线的方程为-x-y--=0,即3x+4y+5=0. 综上,两圆的公切线方程为x=-1和3x+4y+5=0. 能力提升练 1.A　如图所示,连接CA,CB,CP, 由直线PA,PB为圆C的两条切线知,CA⊥PA,CB⊥PB,则点P,A,C,B共圆,且CP为直径,记该圆为圆D. 因为P(3,2),C(1,1),所以圆D的圆心为PC的中点,半径为|PC|=×=, 所以圆D的方程为(x-2)2+=,即x2+y2-4x-3y+5=0. 又直线AB为这两个圆的公共弦所在直线, 所以方程(x-1)2+(y-1)2=3与x2+y2-4x-3y+5=0相减, 可得直线AB的方程为2x+y-6=0. 2.D　设M(x,y),则=(-1-x,-y),=(1-x,-y), 所以·=(-1-x)×(1-x)+y2=3,整理得x2+y2=4, 由题意知,圆x2+y2=4与圆(x-a+1)2+(y-a-2)2=1有公共点(关键点), 所以2-1=1≤≤2+1=3,平方后化简得解得-2≤a≤1, 结合选项可知实数a的值可以为-2,-1,0,不可以为3. 3.D　圆C1:x2+y2-2x+10y+17=0,即(x-1)2+(y+5)2=9,则圆心为C1(1,-5),半径为3;圆C2:x2+y2-6x+8=0即(x-3)2+y2=1,则圆心为C2(3,0),半径为1, 则两圆圆心距为|C1C2|==>4=1+3,即两圆相离. 对于A,由题意可得两圆上的点之间的距离的最大值为|C1C2|+1+3=+4,故A中说法正确; 对于B,如图,易知当P,M,N三点共线(N在PM上),且|MN|取得最大值时,|PM|-|PN|取得最大值,为|MN|, 由A知|MN|的最大值为+4,故B中说法正确; 对于C,因为点(3,-2)关于直线y=x对称的点为(-2,3), 所以点C2(3,0)关于直线l:y=x+2对称的点为(-2,5),(点拨:同时向上平移2个单位长度) 如图,作圆C2关于直线l对称的圆C'2,设点N关于直线l的对称点为N', 由图可知,当C'2,N',M,C1四点按此顺序共线时,|PM|+|PN|取得最小值,为|C1C'2|-1-3=-4=-4,故C中说法正确; 对于D,由题可设P(x,x+2), 则·=(1-x,-7-x)·(3-x,-x-2)=(1-x)(3-x)+(-7-x)(-x-2)=2x2+5x+17=2+, 所以当x=-时,·取得最小值,为,故D中说法错误. 4.ABD　圆Q:x2+(y+2)2=4的圆心为Q(0,-2),半径r=2, 则Q到直线l:4x-3y+6=0的距离d==, 则|PA|min===,故A正确; 设P,则PQ的中点为,,=+, 则以PQ为直径的圆的方程为+=+, 将该圆的方程与圆Q的方程相减,得ax+y=-4-, 即a+4+4y=0, 由解得因此直线AB过定点,故B正确; 对于直线l:4x-3y+6=0,令x=0,得y=2,令y=0,得x=-,即D(0,2),C, 则CD的中点为,|CD|==,记E, 则以CD为直径的圆E的方程为+(y-1)2=, 又|EQ|==,且2-<<2+,所以圆E与圆Q相交,所以满足MC⊥MD的点M有两个,故C错误; 由C知D(0,2),设S(0,-1),M(x,y),则由M在圆Q上可得x2+(y+2)2=4, 则x2+(y-2)2=4x2+4(y+1)2, 即=2, 又|MD|=,|MS|=,所以|MD|=|MS|, 所以|MD|+2|MC|=2=2(|MS|+|MC|)≥2|SC| =2×=, 当且仅当M为线段CS与圆Q的交点时取等号,故D正确. 5.ACD　圆M:x2+(y-3)2=4的圆心为M(0,3),半径r=2. 对于A,设P(m,0),则|PM|==, 因为直线PA,PB是圆M的切线, 所以MA⊥PA,MB⊥PB,且|MA|=|MB|=2,|PA|=|PB|. 在Rt△PAM中,根据勾股定理可得|PA|===, 那么四边形PAMB的周长为2|PA|+2|MA|=2+4, 所以当m=0时,四边形PAMB的周长取得最小值,为4+2,A正确. 对于B,由P(,0),M(0,3),得|PM|==4, 可得|PB|=|PA|===2, 则S△PAM=|PA|·|MA|=×2×2=2, 又S△PAM=|PM|·|AC|=2|AC|, 所以|AC|=, 则|PC|===3, 则△PAB的面积S△PAB=2×|AC|·|PC|=2×××3=3,B错误. 对于C,同A设P(m,0),则由A中分析知|PM|=,|PB|=|PA|=, 又△PAM的面积S△PAM=|PA|·|MA|=|PM|·|AC|, 所以|AC|==, 则|AB|=2|AC|=, 令t=m2+9,则t≥9,|AB|==4, 因为t≥9,所以当t=9时,|AB|取得最小值,为4×=,C正确. 对于D,当点P与原点重合时,|MP|=3,则|PA|==, 结合等面积法知|AC|==,则|PC|===, 所以C,又Q,所以|CQ|==. 当点P与原点不重合时, 因为MA⊥PA,MB⊥PB,所以A,B在以PM为直径的圆上. 设P(a,0),a≠0,则PM的中点坐标为,|PM|=, 则以PM为直径的圆的方程为+=(a2+9), 将此圆的方程与圆M的方程x2+(y-3)2=4相减, 可得直线AB的方程为ax-3y+5=0, 易得直线MP的方程为y=-x+3, 联立 消去a得x2+y2-y+5=0,即x2+=, 所以点C的轨迹是以为圆心,为半径的圆,记O1,R=, 所以|CQ|的最大值为|O1Q|+R=+=,D正确. 6.答案　17或19 解析　圆C1:(x+3)2+y2=a2(a>7)的圆心为C1(-3,0),半径R1=a, 圆C2:(x-3)2+y2=1的圆心为C2(3,0),半径R2=1, 由a>7,得R1-R2=a-1>6=|C1C2|,所以圆C2内含于圆C1. 设圆M的半径为r,r>0, 若动圆M内切于圆C1,外切于圆C2(r<a),则|C1M|=R1-r=a-r,|C2M|=R2+r=1+r,则|C1M|+|C2M|=a+1, 又|C1C2|=6,所以由|MC1|+|MC2|=3|C1C2|,得a+1=18,因此a=17; 若动圆M内切于圆C1,圆C2内切于动圆M,则|C1M|=R1-r=a-r,|C2M|=r-R2=r-1,则|C1M|+|C2M|=a-1, 又|C1C2|=6,所以由|MC1|+|MC2|=3|C1C2|,得a-1=18,因此a=19. 所以a的值为17或19. 7.答案　2; 解析　将圆C2的方程化成标准方程,为(x-a)2+y2=a-2,其圆心为C2(a,0). 设P(x0,y0),x0>0,y0>0,则+=4, 所以===2. 由题意知PC2平分∠APB,所以==2,即|AC2|=2|BC2|,又2<a<5,故a-1=2|4-a|,所以a=3,则C2:(x-3)2+y2=1, 所以点N与点B(4,0)重合, (点B在圆C2上,又在切线PN上,因此点B是切点,与点N重合) 此时|C2M|=1,|AC2|=2|BC2|=2|MC2|,则∠MAC2=30°,可得M,所以|MN|==. 8.解析　(1)圆M:(x-2)2+(y-1)2=1的圆心为M(2,1),半径r1=1. 圆O:x2+y2=4的圆心为O(0,0),半径r2=2. 若直线AB的斜率为,则直线CD的斜率为-, 则直线CD的方程为y=-x+1,即x+y-=0, 所以圆心M(2,1)到直线CD的距离d==, 则|CD|=2=2×=. 故弦CD的长为. (2)①当直线AB的斜率不存在时,如图1,此时△ABE的面积S=×4×2=4; ②当直线AB的斜率为0时,如图2,此时直线AB的方程为y=1,经过圆心M(2,1),则过点P(0,1)且垂直于AB的直线不与圆M相交,故此时△ABE不存在; ③当直线AB的斜率存在且不为0时,设直线AB:y=kx+1,即kx-y+1=0. 则直线CD:y=-x+1,即-x-y+1=0. 由题知,圆心M(2,1)到直线CD的距离d1=<1,得k2>3,解得k∈(-∞,-)∪(,+∞). 圆心O到直线AB的距离d2=, 因为+=,即+=4,所以|AB|=2. 连接ME,由E为CD的中点知ME⊥CD,又AB⊥CD,所以ME∥AB, 所以E点到直线AB的距离即为M(2,1)到直线AB的距离,记为d3,则d3==, 所以△ABE的面积S=|AB|·d=2, 令t=k2+1,则t>4, 所以S=2= 2=2, 因为t>4,所以0<<,所以S∈. 综上所述,△ABE面积的取值范围是. (3)证明:由题意可设直线AB:y=mx+1,A(x1,y1),B(x2,y2), 联立消y,得(1+m2)x2+2mx-3=0,由根与系数的关系得x1+x2=-,x1x2=-, 则x1+x2=mx1x2, 即mx1x2=(*). 又圆O与y轴交于G,H两点(G在H上方),所以G(0,2),H(0,-2), 则直线AH:y+2=x,直线BG:y-2=x, 联立两直线方程,消x,得===, 将(*)式代入,得===3,解得y=4. 故直线AH,BG的交点在定直线y=4上. 7 学科网（北京）股份有限公司 $