第十六讲 平面向量基本定理及坐标表示导学案-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习学案系统梳理了平面向量基本定理及坐标表示专题，将向量概念、线性运算、共线定理、定比分点等核心考点按逻辑关系构建知识网络，通过问题链和任务单设计，引导学生自主梳理概念内涵与运算规则，形成向量知识的系统性认知框架。 亮点在于诊断性自测与分层题型演练设计，如开篇设置知识点对应自测题，必考题型按基础运算、综合应用、实际情境分层编排，培养学生的数学思维与数学语言表达能力。每个题型配有解题方法指导和反思总结表，帮助学生自主诊断薄弱环节，教师可通过学情数据实现精准辅导，有效提升复习效率。

高三一轮复习 第十六讲 平面向量基本定理及坐标表示高考题分类解析 【学习目标】1.了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义、几何表示和基本要素； 2.通过实例分析，掌握平面向量的加、减、数乘运算及运算规则，理解其几何意义，理解两个平面向量共线的含义. 【学习重点】向量的相关概念、运算及共线定理． 【学习难点】共线定理的灵活运用. 必掌握知识点： 1．向量的有关概念 （1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度（或模）． （2）向量的模：向量的大小，也就是向量的长度，记作．　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （3）特殊向量： ①零向量：长度为0的向量，其方向是任意的． ②单位向量：长度等于1个单位的向量． ③平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：与任一向量平行． ④相等向量：长度相等且方向相同的向量． ⑤相反向量：长度相等且方向相反的向量． 2．向量的线性运算和向量共线定理 （1）向量的线性运算 运算 定义 法则（或几何意义） 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形法则平行四边形法则 ①交换律 ②结合律 减法 求与的相反向量的和的运算叫做与的差 三角形法则 数乘 求实数与向量的积的运算 （1） （2）当时，与的方向相同；当时，与的方向相同； 当时， 【注意】 （1）向量表达式中的零向量写成，而不能写成0． （2）两个向量共线要区别与两条直线共线，两个向量共线满足的条件是：两个向量所在直线平行或重合，而在直线中，两条直线重合与平行是两种不同的关系． （3）要注意三角形法则和平行四边形法则适用的条件，运用平行四边形法则时两个向量的起点必须重合，和向量与差向量分别是平行四边形的两条对角线所对应的向量；运用三角形法则时两个向量必须首尾相接，否则就要把向量进行平移，使之符合条件． （4）向量加法和减法几何运算应该更广泛、灵活如：，，． 3、共线向量基本定理 如果，则；反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使．（口诀：数乘即得平行，平行必有数乘）． 4、线段定比分点的向量表达式 如图所示，在中，若点是边上的点，且（），则向量．在向量线性表示（运算）有关的问题中，若能熟练利用此结论，往往能有“化腐朽为神奇”之功效，建议熟练掌握． D A C B 5、三点共线定理 平面内三点A，B，C共线的充要条件是：存在实数，使，其中，为平面内一点．此定理在向量问题中经常用到，应熟练掌握． A、B、C三点共线存在唯一的实数，使得； 存在唯一的实数，使得； 存在唯一的实数，使得； 存在，使得． 6、中线向量定理 如图所示，在中，若点D是边BC的中点，则中线向量，反之亦正确． D A C B 必考题型全归纳： 题型一 平面向量基本定理，基底系数求参数： 1.（2026·全国一卷·高考真题）已知平面向量，不共线，且，则（     ） A．， B．， C．， D．， 题型二 由直线 、 圆的轨迹，求向量取值范围： 2.（2026·天津·高考真题）已知，，记．当时，__________，当时，的取值范围为__________． 3.（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知向量，若，则（    ） A． B． C．5 D．6 题型三 速度向量实际应用题： 4.（2025·全国一卷·高考真题）帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2所示（线段长度代表速度大小，单位：m/s），则该时刻的真风为（   ） 级数 名称 风速大小（单位：m/s) 2 轻风 1.6~3.3 3 微风 3.4~5.4 4 和风 5.5~7.9 5 劲风 8.0~10.7 A．轻风 B．微风 C．和风 D．劲风 题型四 正方形动点，数量积最小值求解： 5.（2024·天津·高考真题）已知正方形的边长为1，若，其中为实数，则______；设是线段上的动点，为线段的中点，则的最小值为______． 题型五 三角形基底 + 余弦定理 + 基本不等式求最值 6.（2023·天津·高考真题）在中，，，记，用表示_________；若，则的最大值为_________． 题型六 基础向量坐标减法运算： 7.（2023·上海·高考真题）已知向量，则_______________． 题型七 线段分点，基底表示向量 8.（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）在中，点D在边AB上，．记，则（    ） A． B． C． D． 题型八 多基底结合夹角、模长综合计算参数： 9.（2017·江苏·高考真题）如图，在同一个平面内，向量的模分别为与的夹角为，且与的夹角为，若，则_________．    巩固提升： 1.（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）在中，点D在边AB上，．记，则（    ） A． B． C． D． 2.（2022·天津·高考真题）在中，点D为AC的中点，点E满足.记，用表示 ___________，若，则的最大值为____________ 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三一轮复习 第十六讲 平面向量基本定理及坐标表示高考题分类解析 【学习目标】1.了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义、几何表示和基本要素； 2.通过实例分析，掌握平面向量的加、减、数乘运算及运算规则，理解其几何意义，理解两个平面向量共线的含义. 【学习重点】向量的相关概念、运算及共线定理． 【学习难点】共线定理的灵活运用. 必掌握知识点： 1．向量的有关概念 （1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度（或模）． （2）向量的模：向量的大小，也就是向量的长度，记作．　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （3）特殊向量： ①零向量：长度为0的向量，其方向是任意的． ②单位向量：长度等于1个单位的向量． ③平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：与任一向量平行． ④相等向量：长度相等且方向相同的向量． ⑤相反向量：长度相等且方向相反的向量． 2．向量的线性运算和向量共线定理 （1）向量的线性运算 运算 定义 法则（或几何意义） 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形法则平行四边形法则 ①交换律 ②结合律 减法 求与的相反向量的和的运算叫做与的差 三角形法则 数乘 求实数与向量的积的运算 （1） （2）当时，与的方向相同；当时，与的方向相同； 当时， 【注意】 （1）向量表达式中的零向量写成，而不能写成0． （2）两个向量共线要区别与两条直线共线，两个向量共线满足的条件是：两个向量所在直线平行或重合，而在直线中，两条直线重合与平行是两种不同的关系． （3）要注意三角形法则和平行四边形法则适用的条件，运用平行四边形法则时两个向量的起点必须重合，和向量与差向量分别是平行四边形的两条对角线所对应的向量；运用三角形法则时两个向量必须首尾相接，否则就要把向量进行平移，使之符合条件． （4）向量加法和减法几何运算应该更广泛、灵活如：，，． 3、共线向量基本定理 如果，则；反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使．（口诀：数乘即得平行，平行必有数乘）． 4、线段定比分点的向量表达式 如图所示，在中，若点是边上的点，且（），则向量．在向量线性表示（运算）有关的问题中，若能熟练利用此结论，往往能有“化腐朽为神奇”之功效，建议熟练掌握． D A C B 5、三点共线定理 平面内三点A，B，C共线的充要条件是：存在实数，使，其中，为平面内一点．此定理在向量问题中经常用到，应熟练掌握． A、B、C三点共线存在唯一的实数，使得； 存在唯一的实数，使得； 存在唯一的实数，使得； 存在，使得． 6、中线向量定理 如图所示，在中，若点D是边BC的中点，则中线向量，反之亦正确． D A C B 必考题型全归纳： 题型一 平面向量基本定理，基底系数求参数： 1.（2026·全国一卷·高考真题）已知平面向量，不共线，且，则（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】由平面向量基本定理可得. 【详解】由题意可知平面向量不共线，且， 则. 题型二 由直线 、 圆的轨迹，求向量取值范围： 2.（2026·天津·高考真题）已知，，记．当时，__________，当时，的取值范围为__________． 【答案】 【分析】第一空：利用和得出和的值，即可得出结论； 第二空：解法一：将代入得，展开，令，，，代入并整理，得出，即可求出的取值范围. 解法二：设，，，根据可设，进而可得，即可得取值范围. 解法三：不妨设，，， ，，可知点在直线上，且点在以为圆心，半径为1的圆上，结合图形分析求解即可. 【详解】由题意， ，，， 第一空： 当时，， ∴， ∴. 第二空： 解法一：将代入得， 两边平方，得：， 展开：， 代入，，记， ， 令，，， 则原式变为：， 配方得：， 由于 ，，因此 ， 即 ，解得， ， 因此，的取值范围为：. 解法二：因为，， 不妨设，，，则，， 若，设， 则. 解法三：因为，， 不妨设，，，即点在直线上， 且，， 因为， 若，可知点在直线上，（或直接由三点共线的结论可得出）， 若，即，可知点在以为圆心，半径为1的圆上， 则圆在直线和之间，可得，即， 所以的取值范围为. 3.（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知向量，若，则（    ） A． B． C．5 D．6 【答案】C 【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得 【详解】解：,,即,解得, 故选：C 题型三 速度向量实际应用题： 4.（2025·全国一卷·高考真题）帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2所示（线段长度代表速度大小，单位：m/s），则该时刻的真风为（   ） 级数 名称 风速大小（单位：m/s) 2 轻风 1.6~3.3 3 微风 3.4~5.4 4 和风 5.5~7.9 5 劲风 8.0~10.7 A．轻风 B．微风 C．和风 D．劲风 【答案】A 【分析】结合题目条件和图写出视风风速对应的向量和船行风速对应的向量，求出真风风速对应的向量，得出真风风速的大小，即可由图得出结论. 【详解】由题意及图得，视风风速对应的向量为：， 视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和， 船速方向和船行风速的向量方向相反， 设真风风速对应的向量为，船行风速对应的向量为， ∴，船行风速：， ∴， ，∴由表得，真风风速为轻风，故选：A. 题型四 正方形动点，数量积最小值求解： 5.（2024·天津·高考真题）已知正方形的边长为1，若，其中为实数，则______；设是线段上的动点，为线段的中点，则的最小值为______． 【答案】 【分析】解法一：以为基底向量，根据向量的线性运算求，即可得，设，求，结合数量积的运算律求的最小值；解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求，即可得，设，求，结合数量积的坐标运算求的最小值. 【详解】解法一：因为，即，则， 可得，所以； 由题意可知：， 因为为线段上的动点，设， 则， 又因为为中点，则， 可得 ， 又因为，可知：当时，取到最小值； 解法二：以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示， 则， 可得， 因为，则，所以； 因为点在线段上，设， 且为中点，则， 可得， 则， 且，所以当时，取到最小值为； 故答案为：；. 题型五 三角形基底 + 余弦定理 + 基本不等式求最值 6.（2023·天津·高考真题）在中，，，记，用表示_________；若，则的最大值为_________． 【答案】 【分析】空1：根据向量的线性运算，结合为的中点进行求解；空2：用表示出，结合上一空答案，于是可由表示，然后根据数量积的运算和基本不等式求解. 【详解】空1：因为为的中点，则，可得， 两式相加，可得到， 即，则； 空2：因为，则，可得， 得到， 即，即. 于是. 记， 则， 在中，根据余弦定理：， 于是， 由和基本不等式，， 故，当且仅当取得等号， 则时，有最大值. 故答案为：；.    题型六 基础向量坐标减法运算： 7.（2023·上海·高考真题）已知向量，则_______________． 【答案】 【分析】由平面向量的减法的坐标运算即可求解. 【详解】因为，所以， 故答案为： 题型七 线段分点，基底表示向量 8.（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）在中，点D在边AB上，．记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出． 【详解】因为点D在边AB上，，所以，即， 所以． 故选：B． 题型八 多基底结合夹角、模长综合计算参数： 9.（2017·江苏·高考真题）如图，在同一个平面内，向量的模分别为与的夹角为，且与的夹角为，若，则_________．    【答案】 【详解】以为轴，建立直角坐标系，则，由的模为与与的夹角为，且知， ，可得，，由可得，，故答案为. 【 方法点睛】本题主要考查向量的坐标运算及两角和的余弦公式、同角三角函数之间的关系，属于难题．向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答，这种方法在求范围与最值问题时用起来更方便． 巩固提升： 1.（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）在中，点D在边AB上，．记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出． 【详解】因为点D在边AB上，，所以，即， 所以． 故选：B． 2.（2022·天津·高考真题）在中，点D为AC的中点，点E满足.记，用表示 ___________，若，则的最大值为____________ 【答案】 【分析】法一：根据向量的减法以及向量的数乘即可表示出，以为基底，表示出，由可得，再根据向量夹角公式以及基本不等式即可求出． 法二：以点为原点建立平面直角坐标系，设，由可得点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆，方程为，即可根据几何性质可知，当且仅当与相切时，最大，即求出． 【详解】方法一： ，， ，当且仅当时取等号，而，所以． 故答案为：；． 方法二：如图所示，建立坐标系： ，， ，所以点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，当且仅当与相切时，最大，此时． 故答案为：；． 学科网（北京）股份有限公司 $