11.5.1因式分解 课件 2026-2027学年华东师大版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦“因式分解”核心内容，涵盖概念理解、与整式乘法的互逆关系、公因式确定及提公因式法。课堂导入通过回忆整式乘法实例，再引导学生逆向填空，搭建新旧知识联系的学习支架。 其亮点在于以探究活动培养抽象能力，如观察多项式结构发现公因式；通过判断辨析题发展推理意识，明确因式分解与整式乘法的区别；例题示范规范数学语言表达。采用问题驱动和分层练习，助力学生深化理解，也为教师提供清晰教学路径。

11.5.1 因式分解 第十一章 整式的乘除 相似三角形 学习目标 1.理解因式分解的概念. 2.认识因式分解与整式乘法的相互关系. 3.掌握公因式的概念，会利用提公因式法分解因式. 【探究1】因式分解的定义 【回忆】 探究与应用 运用前面所学的知识填空： (1)m(a+b+c)= ； (2)(x+1)(x+2)= . ma+mb+mc x2+3x+2 【试一试】 (1)ma+mb+mc= ( ) ( )； (2)x2+3x+2= ( ) ( ). 观察上面两个等式，填空： m a+b+c x+1 x+2 别着急 (authorId_208376095) - 通过做题，让学生对比总结，让学生来发现共同点，找出特点。 探究新知 归 纳 把一个多项式化为几个整式的积的形式,叫做多项式的因式分解. 如：ma+mb+mc= m•( a+b+c) 想一想：整式乘法与因式分解有什么关系？ 因式分解 整式乘法 因式分解等式的特征：左边是多项式，右边是几个整式的乘积. ma+mb+mc m(a+b+c) 整式乘法与因式分解是两种互逆的变形 【探究1】因式分解的定义 【针对训练】 探究与应用 在下列等式中，从左到右的变形是因式分解的有 ，不是的，请说明理由. ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ③ ⑥ am+bm+c=m(a+b)+c 24x2y=3x ·8xy x2-1=(x+1)(x-1) (2x+1)2=4x2+4x+1 x2+x=x2(1+ ) 2x+4y+6z=2(x+2y+3z) 最后不是整式的积的形式 因式分解的对象是多项式 是整式乘法 每个因式必须是整式 探究新知 判断下列各式哪些是整式乘法?哪些是因式分解? (1)2x(x-3y) = 2x2-6xy (2)x2+4x+4 = (x+2)2 (3) m2-4 = (m+2)(m-2) (4)2πR+ 2πr = 2π(R+r) 整式乘法 因式分解 因式分解 因式分解 探究发现：下列各多项式的结构有什么共同特点？ ax-ay ma+mb+mc 2πR+2πr a m 2π 多项式ma+mb+mc中的每一项都含有一个相同的因式m，我们称之为公因式． 探究新知 【探究1】因式分解的定义 【方法指导】 探究与应用 (1)因式分解的对象是多项式，结果是整式的积的形式. (2)因式分解是恒等变形，形式改变但值不改变 . (3)因式分解必须分解到每个多项式的因式不能再分解为止 . 8a3b2－12ab3c 的公因式是什么？ 最大公约数 相同字母 公因式 4 a、b a、b2 一看系数　 观察方向 二看字母 三看指数 最低指数 所以公因式是4ab2 . 探究新知 多项式中的公因式是如何确定的？ 思 考 探究新知 归 纳 一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法. 提公因式法 【探究1】因式分解的定义 【应用】 探究与应用 例1 下列各式从左到右的变形属于因式分解的是(　　) A．a2＋1＝a　　 　　　 B．(x＋1)(x－1)＝x2－1 C．a2＋a－5＝(a－2)(a＋3)＋1 D．x2y＋xy2＝xy(x＋y) D 分析：A中 不是整式； B中属于整式乘法； C的结果不是乘积的形式（最后要是乘法运算） 【探究2】公因式的概念 探究与应用 观察下面这个等式中左右两边的m ma + mb + mc =( m )( a+b+c ); m是等式左边多项式的每一项共有的因式，是等式右边积的一个因式. 上面这个等式中由左到右边的变形叫什么呢？你能总结出来变形的方法吗？ 因式分解，把公因式提出来 巩固练习 1.xa＋xb＋xc＝x　(a＋b＋c)　.  2.因式分解:4x2－2x＝　2x(2x－1)　.  (a＋b＋c)　 2x(2x－1)　 3.有下列等式：①x－3xy＝x（1－3y）； ②（x＋3）（x－1）＝x2＋2x－3.从左到右的变形， 表述正确的是（　C　） A.都是因式分解 B.都是乘法运算 C.①是因式分解，②是乘法运算 D.①是乘法运算，②是因式分解 C 4.把多项式m2（a－2）＋m（2－a）进行分解因式得（　C　） A.（a－2）（m2＋m） B.（a－2）（m2－m） C.m（a－2）（m－1） D.m（a－2）（m＋1） 5.把下列各式分解因式： （1）4m－2m2＝ 　2m（2－m）　⁠；  （2）3a2－9ab＝ 　3a（a－3b）　⁠；  （3）xy－2y2＝ 　y（x－2y）　⁠.  6.计算： （1）1.992＋1.99×0.01＝ 　3.98　⁠；  （2）（－2）404＋（－2）405＝ 　－22 024　⁠.  C 2m（2－m）　 3a（a－3b）　 y（x－2y）　 3.98　 －2404　 巩固练习 【探究2】公因式的概念 探究与应用 相同因式p pa+pb+pc 公因式的定义： 多项式中各项都含有的相同的因式，叫做公因式. 正确找出多项式各项公因式的关键是： 1.定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公因数. 2.定字母： 字母取多项式各项中都含有的相同的字母. 3.定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂. 【探究2】公因式的概念 探究与应用 例2 指出下列多项式各项的公因式： (1)3a2y－3ya＋6y； 解：(1)3，6的最大公因数是3；有相同字母y，并且y的最低次数是1，所以公因式是3y. (2)a(x－y)3＋b(x－y)2＋(x－y)3； (3)－27a2b3＋36a3b2＋9a2b. (2)观察发现三项都含有x－y，且x－y的最低次数是2，所以公因式是(x－y)2. (3)提取“－”变为－(27a2b3－36a3b2－9a2b)．各项系数的最大公因数是9；各项都有a，b，且a的最低次数是2，b的最低次数是1，所以这个多项式各项的公因式是－9a2b. 7.把下列各式分解因式： （1）4a3b2－10ab3c； 解：原式＝2ab2（2a2－5bc）. （2）－3ma3＋6ma2－12ma； 解：原式＝－3ma（a2－2a＋4）. （3）6p（p＋q）－4q（p＋q）； 解：原式＝2（p＋q）（3p－2q）. （4）2a（x－y）－3b（y－x）； 解：原式＝2a（x－y）＋3b（x－y） ＝（x－y）（2a＋3b）. 巩固练习 巩固练习 8.（1）将多项式x（x＋y）（x－y）－x（x＋y）2进行分解因式，并求出当x＋y＝1，xy＝－时，此多项式的值； 解：原式＝x（x＋y）[（x－y）－（x＋y）]＝－2xy（x＋y）. 当x＋y＝1，xy＝－时， 原式＝－2×（－）×1＝1. 【探究3】提公因式法 【应用】 探究与应用 例3 把下列多项式分解因式: (1)-5a2 +25a； (2)3a2 -9ab； 解： (1) -5a2+25a=-5a(a - 5). (2)3a2 -9ab=3a(a-3b). (3)5x(x－2y)3－20y(2y－x)3. (3)5x(x－2y)3－20y(2y－x)3 ＝5x(x－2y)3＋20y(x－2y)3 ＝5(x－2y)3(x＋4y)． 整体思想 别着急 (authorId_208376095) - 通过实例的教学,使学生明白什么是公因式和用提公因式法分解因式. 【探究3】提公因式法 探究与应用 【方法指导】 提公因式法分解因式，要注意分解彻底；当某项恰好是公因式时，提取公因式后要用“1”把守；出现形如(b－a)3，(b－a)2等形式的问题，可化成－(a－b)3，(a－b)2的形式，即指数是奇数时要改变符号，指数是偶数时不改变符号，简言之：奇变偶不变． 感谢大家聆听 $