5.1.2 弧度制 课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第五章 三角函数 5.1.2 弧度制 1.任意角：已知一条射线的起始位置OA， 正角： 负角： 一条射线绕其端点顺时针旋转形成的角. 如：α=﹣540º，α=﹣120º. 一条射线绕其端点逆时针旋转形成的角. 如：α=60º，α=425º. 零角： 一条射线没作任何旋转. (零角的始边与终边重合) 任意角 [注]①在不引起混淆的情况下，“角”或“∠”可以简写成“ ”; ②角的表示：A，B，C，…或α，β，θ，… ; ③角的“±”表示旋转方向：“﹢逆﹣顺” (与﹣互为相反角) ; ④角的加法：规定，把角α的终边旋转角β，此时终边对应的角是α+β. ⑤角的减法：α－β=α+(﹣β ) 温故知新 2.象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴非负半轴重合，则角的终边在第几象限，就说该角是第几象限角. 轴线角：角的终边在坐标轴上. 温故知新 度量长度：米、英尺、码等单位制 度量重量：千克、磅等单位制 度量角：角度、…… 角的度量是否也能用不同的单位制？ 能否用十进制的实数来度量角？ 度/分/秒的换算：六十进制 1度=60分 1分=60秒 角度制 角度(°) 实数 换算 弧度制 引入：多样的单位制 半径r r=1 r=2 r=3 r=4 圆弧长l 结论:同一圆心角α所对的圆弧长l与半径r之比为同一常数. 探究：角度与弧长的关系 结论:同一圆心角α所对的圆弧长l与半径r之比为同一常数. α的角度数 确定的常数l/r 称为“α的弧度数” 1.规定:长度等于半径的圆弧长所对的圆心角叫做1弧度的角, 记作1 rad表示，读作1弧度. 若弧 AB 的长等于l=2r , 则∠AOB= 2 rad. 探究：角度与弧长的关系 1.规定:长度等于半径的圆弧长所对的圆心角叫做1弧度的角, 记作1 rad表示，读作1弧度. (3)使用弧度制表示角时，“弧度”或“rad”可略去不写，如:α=1,β=2π 正角的弧度数是正数 负角的弧度数是负数 零角的弧度数是0 α的正负由α终边旋转方向决定 这种以弧度为单位来度量角的单位制叫做弧度制. 新知一：弧度制 新知一：弧度制 角度制 定义 用度作为单位来度量角的单位制 1度的角 周角的________为1度的角，记作1° 弧度制 定义 用弧度作为单位来度量角的单位制 1弧度的角 长度等于_________的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角．弧度单位用符号rad表示，读作弧度 半径长 角的概念推广后,无论用角度制还是弧度制,都能在角的集合与实数集R之间建立一种一一对应关系: 每一个角都有唯一的一个实数(如这个角的弧度数)与之对应，反之，每一个实数也都有唯一的一个角(如弧度数等于这个实数的角)与之对应. 新知二：弧度制和角度制的互化 若弧是一个整圆，它的圆心角是周角， 其弧度数是2π，而在角度制里它是360°. 角度           弧度             新知二：弧度制和角度制的互化 考点一：弧度制与角度制的互化 注：角度和弧度不能混用 考点一：弧度制与角度制的互化 (1)第一象限角： (2)第二象限角： (3)第三象限角： (4)第四象限角： 考点一：弧度制与角度制的互化 二 三 二 考点一：弧度制与角度制的互化 新知三：扇形的弧长公式和面积公式 [例2]已知一个扇形的周长为20cm， (1)若扇形面积为9cm2，则该扇形的圆心角的弧度数是多少？ (2)当圆心角α的弧度数是多少时，该扇形面积最大？ 考点二：扇形计算公式的应用 √ 课后练习 [练习2]如图，用弧度制表示下列终边落在阴影部分的角的集合(不包括边界)． 课后练习 [练习3](1)已知扇形OAB的圆心角α为120°,半径为6cm,求扇形弧长及所含弓形的面积. 解： O A B H AB边上的高 课后练习 [练习3](2)已知扇形周长为20cm,当扇形的圆心角为多大时,它有最大面积？最大面积是多少？ 课后练习 [练习4]已知相互啮(niè)合的两个齿轮,大轮有48齿,小轮有20齿. (1)当大轮转动一周时,求小轮转动的角度; (2)如果大轮的转速为180 r/min(转/分),小轮的半径为10.5 cm,那么小轮周上一点每1 s转过的弧长是多少? (2)大轮的转速为3 r/s(转/秒) 课后练习 军事上还常用“密位制” 密位的写法是在百位上的数与十位上的数之间画一条短线“－”. 如： 7密位：0－07（读作零，零七） 312密位：3－12 3000密位：30－00 007是风靡全球的一系列谍战电影。 007不仅是影片的名称，更是主人公特工詹姆斯·邦德的代号. 在故事里，邦德是英国情报机构军情六处的间谍，代号007，被授予可以除去任何妨碍行动的人的权力. 了解：角的单位制 未完待续…… [练习1]集合中的角的终边所在的区域(阴影部分，含边界)是(　　) A 　 　　B　　 　 C　　　　D C　解析：当k＝2m(m∈Z)时，2mπ＋≤α≤2mπ＋，m∈Z；当k＝2m＋1(m∈Z)时，2mπ＋≤α≤2mπ＋，m∈Z.故选C． $