5.2.2同角三角函数的基本关系课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦“同角三角函数的基本关系”，通过课前填写30°、45°、60°等特殊角的三角函数值表格引导学生观察猜想，再结合单位圆中三角函数定义推导平方关系与商数关系，构建从具体到抽象的学习支架，衔接三角函数定义与公式应用。 其亮点是以逻辑推理为核心素养，设计“观察-猜想-证明-应用”探究链，典例涵盖给值求值、齐次式化简等类型，类题通法总结“弦化切”“1的代换”等方法，定向训练分层巩固。助力学生提升数学思维，教师可直接用于课堂教学，提高效率。

5.2.2　同角三角函数的基本关系 素养目标 思维导图 理解同角三角函数的基本关系:sin 2α+ cos 2α=1和tan α=(逻辑推理). 课前自主学习 问题:写出下列各角的三角函数值,观察它们的值,猜想它们之间的联系. 三角函数 sin α cos α tan α sin2α+cos2α 30°         45°           60°           提示:下列角的三角函数值为 由表可看出:sin230°+cos230°=1,=tan 30°, sin245°+cos245°=1,=tan 45°,sin260°+cos260°=1,=tan 60°. 三角函数 sin α cos α tan α sin2α+cos2α 30° 1 45° 1 1 1 60° 1 继续探究:设角α的终边与单位圆交于点P(x,y),根据三角函数的定义知y=sin α,x=cos α,=tan α. (1)能否根据x,y的关系得到sin α,cos α,tan α的关系? 提示:sin2α+cos2α=1,tan α=. (2)公式sin2α+cos2α=1与tan α=对任意角都成立吗? 提示:sin2α+cos2α=1对任意角α均成立,当α≠kπ+,k∈Z时,tan α=成立. 【核心概念】 同角三角函数的基本关系 1.平方关系:sin2α+cos2α=___. 商数关系:=______(α≠kπ+,k∈Z).  2.语言叙述:同一个角α的正弦、余弦的________等于1,____等于角α的正切. 1 tan α 平方和 商 课堂合作探究 探究点一　应用同角三角函数关系求值 【典例1】(1)(2025·衡水高一检测)已知sin α=,且α是第二象限角,则tan α=(　　) A.- B.- C.- D.- (2)已知角A是△ABC的一个内角,若sin A+cos A=,则tan A=(　　) A. B. C.- D.- (3)若sin θ=,cos θ=,则m的值为　　　　　.  【思维导引】(1)根据各象限三角函数的符号和同角三角函数的基本关系进行求值. (2)利用同角三角函数的基本关系及题意,可得sin Acos A=-,可知A为钝角,列方程组解得sin A及cos A,由tan A=代入计算可得. (3)利用同角三角函数间的基本关系列出方程,求出方程的解即可得到m的值. 【解析】(1)选A.因为α是第二象限角,所以cos α<0. 又sin α=,sin2α+cos2α=1,所以cos α=-.所以tan α==-. (2)选D.因为sin2A+cos2A=1,(sin A+cos A)2=, 所以sin Acos A=-,可知A为钝角,解方程组, 解得,所以tan A==-. (3)因为sin θ=,cos θ=,又sin2θ+cos2θ=1,即()2+()2=1, 整理得m2-6m+9+16-16m+4m2=m2+10m+25,即m2-8m=0,解得m=0或m=8, 经检验是分式方程的解,则m的值是0或8. 答案:0或8 【类题通法】利用同角三角函数的基本关系解决给值求值问题的方法 (1)选择合适公式:已知角α的某一种三角函数值,求角α的其余三角函数值,要注意公式的合理选择,一般是先选用平方关系,再用商数关系. (2)注意角α的范围:若角α所在的象限已经确定,求另两种三角函数值时,只有一组结果;若角α所在的象限不确定,应分类讨论,一般有两组结果. 提醒:=tan α并不是对任意角α∈R都成立,这时α≠kπ+,k∈Z. 【定向训练】 已知sin α+3cos α=0,求sin α,cos α的值. 【解析】因为sin α+3cos α=0,所以sin α=-3cos α. 又sin2α+cos2α=1,所以(-3cos α)2+cos2α=1,即10cos2α=1,所以cos α=±. 又由sin α=-3cos α,可知sin α与cos α异号, 所以角α的终边在第二或第四象限. 当角α的终边在第二象限时,cos α=-,sin α=; 当角α的终边在第四象限时,cos α=,sin α=-. 探究点二　齐次式求值问题 【典例2】(一题多问) 已知sin α=2cos α,回答下列问题: (1)求sin α,cos α的值; (2)求的值; (3)求(sin α-cos α)2的值; (4)求的值; (5)求cos 2α-2sin αcos α-1的值. 【问题解读】(1)根据条件结合同角三角函数的平方关系求解; (2)由题可得tan α=2,然后根据同角关系结合条件转化为齐次式; (3)利用同角三角函数的基本关系,构造齐次式求解即可; (4)先化简转化为齐次式,再计算; (5)利用平方关系和商数关系化弦为切即可得出答案. 【解析】(1)根据题意可得,, 解得或; (2)因为sin α=2cos α,所以tan α=2,所以===-; (3)(sin α-cos α)2===; (4)=·=·==-; (5)cos 2α-2sin αcos α-1=-1=-1=-1=-. 【类题通法】关于sin α,cos α的齐次式的求值方法 (1)弦化切:关于sin α,cos α的齐次式,可以通过分子、分母同除以cos α或cos2α转化为关于tan α的式子后再求值. (2)1的代换:假如代数式中不含分母,可以视分母为1,灵活地进行“1”的代换,由1=sin2α+cos2α代换后,再同除以cos2α,构造出关于tan α的代数式. 探究点三　sin α±cos α与sin αcos α关系的应用 【典例3】已知x是第三象限角,且cos x-sin x=. (1)求cos x+sin x的值; (2)求2sin2x-sin xcos x+cos2x的值. 【解析】(1)因为(cos x-sin x)2=1-2sin xcos x=,所以2sin xcos x=, 所以(cos x+sin x)2=1+2sin xcos x=,根据x是第三象限角,可知cos x+sin x<0, 所以cos x+sin x=-; (2)由(1)求得cos x+sin x=-,故,所以, 所以2sin2x-sin xcos x+cos2x=2×(-)2-(-)×(-)+(-)2=, 所以2sin2x-sin xcos x+cos2x的值为. 【类题通法】 知一求二:对于sin θ+cos θ,sin θcos θ,sin θ-cos θ这三个式子,利用(sin θ±cos θ)2 =1±2sin θcos θ,可以知一求二. 【定向训练】 (多选题)设α∈(0,π),已知sin α,cos α是方程3x2-x-m=0的两根,则下列等式正确的 是(　　) A.m=- B.sin α-cos α= C.tan α= D.cos2α-sin2α=- 【解析】选BD.sin α,cos α是方程3x2-x-m=0的两根,则有, 由(sin α+cos α)2=sin2α+2sin α·cos α+cos2α,得=1-,解得m=,A选项错误; α∈(0,π),则sin α>0,由sin α·cos α=-=-<0,得cos α<0,(sin α-cos α)2 =sin2α-2sin α·cos α+cos2α=1+=,因为sin α-cos α>0,所以sin α-cos α=, B选项正确;由得,tan α==-,C选项错误; cos2α-sin2α=(cos α+sin α)(cos α-sin α)=×(-)=-,D选项正确. 探究点四　三角函数式的化简与证明 【典例4】(1)若sin α·tan α<0,化简:. (2)求证:=. 【思维导引】(1)对于含有根号的式子,常把根号下的式子化成完全平方式,然后去根号,达到化简的目的. (2)解答本例题可以从左边推到右边,也可以作差比较.关键是利用好“1”的代换和乘法公式等变形技巧. 【解析】(1)因为sin α·tan α<0,所以cos α<0. 原式=+= ===-. (2)左边=== ====右边,所以原等式成立. 【类题通法】 1.化简三角函数式的一般要求 (1)函数种类最少; (2)项数最少; (3)函数次数最低; (4)能求值的求出值; (5)尽量使分母不含三角函数; (6)尽量使分母不含根式. 2.证明三角恒等式常用的方法 (1)由繁到简,从结构复杂的一边入手,经过适当的变形、配凑,向结构简单的一边化简,或从等式两边同时入手,使它们等于同一个数(式). (2)比较法,证明待证等式的左、右两边之差为0. (3)从待证的恒等式出发,利用三角恒等变形公式,找出一个显然成立的恒等式或已有的结论. 【定向训练】 (一题多解) 求证:=. 【证明】方法一:左边=====右边. 所以等式成立. 方法二:右边=====左边. 所以等式成立. 课堂练习 1.已知α是第二象限角,sin α=,则cos α=(　　) A.- B.- C. D. 【解析】选A.利用同角三角函数基本关系式中的平方关系计算.因为α为第二象限角,所以cos α=-=-. √ 2.化简:()(1-cos α)=(　　) A.sin α B.cos α C.1+sin α D.1+cos α 【解析】选A.()(1-cos α)=()(1-cos α)==sin α. √ 3.化简:=　　　　　.  【解析】原式= ==|cos 40°-sin 40°|=cos 40°-sin 40°. 答案:cos 40°-sin 40° 4.若sin θ·cos θ=,θ∈(,),则cos θ-sin θ=　　　　.  【解析】(cos θ-sin θ)2=1-2sin θcos θ=,故|cos θ-sin θ|=, 因为θ∈(,),故cos θ-sin θ<0,故cos θ-sin θ=-. 答案:- 5.已知α是三角形的内角,且tan α=-,则sin α+cos α的值为　　　　.  【解析】由tan α=-,得sin α=-cos α,将其代入sin2α+cos2α=1,得cos2α=1, 所以cos2α=,易知cos α<0,所以cos α=-,sin α=,故sin α+cos α=-. 答案:- 谢 谢 $