第十二章 分式和分式方程全章高频重点题型突破（十八大高频+七大重难题型，专项训练）数学新教材冀教版八年级上册

**基本信息** 聚焦分式与分式方程全章高频重点，以分级题型构建从概念理解到综合应用的递进式训练体系，强化运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础拿分|18类高频题型|覆盖分式判断、性质应用、运算及分式方程求解等基础核心考点|从分式概念生成到性质推导，再到方程解法，形成"概念-性质-运算-应用"完整逻辑链| |核心提升|7类重难题型|涉及分式值的范围、含参问题、新定义及实际应用综合，突出中考命题趋势|在基础题型上深化，融合分类讨论与模型思想，培养数学思维与应用意识|

第十二章 分式和分式方程全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1 分式的判断 题型2 分式有无意义的条件 题型3 分式的求值 题型4 分式变形 题型5 利用分式的基本性质判断分式值的变化 题型6 将分式的分子分母各项系数化为整数 题型7 约分与通分 题型8 最简分式与最简公分母 题型9 分式的四则混合运算 题型10 已知分式恒等式，确定分子或分母 题型11 分式的实际应用 题型12 分式的化简求值 题型13 分式方程 题型14 解分式方程 题型15 根据分式方程解的情况求值 题型16 分式方程增根问题 题型17 分式的无解问题 题型18 分式方程的实际应用 核心提升：重难题型归纳 题型1 求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 题型2 求使分式值为整数时未知数的整数值 题型3 分式的新定义问题 题型4 分式的化简求值压轴 题型5 分式方程与不等式组、方程组结合问题 题型6 分式方程的含参问题 题型7 分式方程的实际应用综合 综合攻坚·知能拔高 ◆题型1 分式的判断 1．（25-26八年级上·河北石家庄·期末）在，，，，中，是分式的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据分式的定义判断即可，分式是形如（B中含字母）的式子． 【详解】解：在，，，，中，是分式的为：，，， 所以共有3个， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了分式，熟练掌握分式的定义是解题的关键． 2．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段检测）在代数式，，，，，，中，是分式的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】A 【分析】本题考查了分式的定义，分母中含有字母的代数式称为分式． 根据分式的定义逐一检查每个代数式，看分母是否含有字母． 【详解】：分母为常数2，无字母，不是分式； ：分母有字母a，是分式； ：分母为常数π，无字母，不是分式； ：分母为常数4，无字母，不是分式； ：分母有字母x，是分式； ：分母均为常数，无字母，不是分式； ：分母有字母y，是分式； 分式的有3个． 故选A． 3．（25-26八年级上·山东泰安·期中）代数式，，，，，中，属于分式的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了分式的定义，根据分式的定义，分母中含有字母的代数式是分式，逐一检查每个代数式即可． 【详解】解：代数式，，，，，中，属于分式的有，，，共个， 故选：B． ◆题型2 分式有无意义的条件 4．（25-26八年级下·河南南阳·阶段检测）当分式有意义时，的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得． 5．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）对于分式下列说法不正确的是（   ） A．时，分式值为 B．时，分式无意义 C．时，分式值为负数 D．时，分式的值为正数 【答案】C 【分析】本题主要考查分式的值为、为正数、为负数、无意义的条件，解题的关键是熟知分式在分母为时无意义．根据分式的性质，分别代入的值计算分式的值或判断分式是否有意义即可． 【详解】解：∵ 当 时，，∴ A正确，故不符合题意； ∵ 当 时，分母 ，分式无意义，∴ B正确，故不符合题意； ∵ 当 时，，值为正数，∴ C不正确，故符合题意； ∵ 当 时，，值为正数，∴ D正确，故不符合题意． 故选：C． 6．（25-26八年级上·全国·课后作业）当x取什么数时，分式有意义？当x取什么数时，该分式无意义？ 【答案】且，或 【分析】本题考查分式有无意义的条件，根据分式的分母不为0时，分式有意义，分式的分母为0时，分式无意义，进行求解即可． 【详解】解：当有意义时：， ∴且； 当无意义时：， ∴或． ◆题型3 分式的求值 7．（24-25八年级下·江西九江·阶段检测）已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了分式的基本性质以及分式的求值，解题关键是熟练运用分式的运算法则对等式进行变形，整体代入求值． 将变形为，然后代入求解即可． 【详解】∵ ∴ ∴ ∴ ． 8．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段检测）（1）已知，求分式的值； （2）已知，求分式的值 【答案】（1）；（2）7 【分析】本题主要考查了分式的求值，完全平方公式的变形求值： （1）根据可推出，据此代值计算即可； （2）根据完全平方公式得到，则． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∴． 9．（25-26八年级上·山东泰安·期中）已知实数满足，则分式为__________． 【答案】 【分析】本题考查分式的求值，由已知条件，将所求分式的分子和分母同时除以，变形后代入已知条件计算．结合分式的基本性质进行恒等变形是解题的关键． 【详解】解：∵实数满足， ∴， ∴， 即分式为 故答案为 ． ◆题型4 分式变形 10．（25-26八年级上·河北·单元复习）下列分式的变形：①；②；③；④，其中不正确的是______________（填序号）． 【答案】①③/③① 【分析】此题考查分式的性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变，据此依次判断即可，正确理解分式的性质是解题的关键． 【详解】解：①当时，成立，故不正确，符合题意； ②，故正确，不符合题意； ③，故不正确，符合题意； ④，故正确，不符合题意； 故答案为：①③． 11．（25-26八年级上·河北唐山·阶段检测）已知，均为非0常数，要使等式成立，则括号内应填入_____． 【答案】/ 【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 根据分式的基本性质即可求解． 【详解】解：∵，均为非0常数， ∴， 故答案为：． 12．（25-26八年级上·河北邢台·期末）已知为大于的实数，要使等式成立，则内应填入(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的性质，根据题意两边同乘，得，即可求解． 【详解】解：∵，且保证， ∴两边同乘，得， ∴. 故选：C． ◆题型5 利用分式的基本性质判断分式值的变化 13．（25-26八年级上·河北唐山·期中）如果把分式中的和都扩大倍，那么原分式的值（    ） A．不变 B．缩小3倍 C．扩大3倍 D．缩小6倍 【答案】A 【分析】按照题意将、扩大3倍后代入新分式，化简后与原分式对比即可得到结果． 【详解】解：把分式中的和都扩大倍，得， ． ∴原分式的值不变． 14．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）若把分式中m和n的值都扩大2倍，那么分式的值（    ） A．缩小为原来的 B．扩大为原来的2倍 C．扩大为原来的4倍 D．不变 【答案】B 【分析】解：m和n都扩大为原来的2倍后，代入分式计算并化简，比较新分式与原分式的值即可解答． 【详解】解：∵m和n都扩大为原来的2倍， ∴ 新分式为， ∵原分式为， ∴分式的值扩大为原来的2倍， 故选B． 15．（24-25八年级下·福建福州·期中）若分式的值为6，当、都变为原来的2倍，所得分式的值是______． 【答案】3 【分析】本题考查了分式基本性质．将原分式中的x和y分别用和代替计算，即可得出答案． 【详解】解：由题意，， 当、都变为原来的2倍时，， 故答案为：3． ◆题型6 将分式的分子分母各项系数化为整数 16．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）不改变分式的值，将分式中各项系数均化为整数，结果为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的性质，掌握其性质是解题的关键． 根据分式的分子、分母同时扩大或缩小相同的倍数，分式的值不变，由此即可求解． 【详解】解：， 故选：B ． 17．（2022·河北保定·一模）不改变分式的值，将分式中的分子、分母的系数化为整数，其结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用分式的基本性质，分子分母同时扩大相同的倍数即可求解． 【详解】解： ， 故选：A. 【点睛】本题考查了分式的基本性质，分式的分子分母同时乘以或除以同一个不为零的数或整式，分式的值不变． 18．（24-25七年级下·全国·课后作业）不改变分式的值，将下列分式的分子与分母的第一项的系数化为正数，且各项系数不是整数的要化为整数． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的基本性质“分式的分子和分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变”，熟练掌握分式的基本性质是解题关键． （1）将分式的分子分母同乘以即可得； （2）将分式的分子分母同乘以即可得． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． ◆题型7 约分与通分 19．（25-26八年级下·全国·课后作业）约分： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：. 20．（25-26八年级下·全国·课后作业）将下列各分式通分： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) ， (2) ， (3) ， (4) ， 【详解】（1）解： ； （2）不变 ； （3） ； （4）； 21．（25-26八年级下·全国·单元复习）通分： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【详解】（1）解：∵两个分式的分母分别为，，即各分母系数的最小公倍数为，各字母最高次数均为， ∴最简公分母为， 根据分式的基本性质变形得： ， ； （2）解：第二个分母因式分解， 两个分母分别为， ， ∴最简公分母为 ． 根据分式的基本性质变形得： ， ． （3）解：∵两个分式的分母分别为，， ∴最简公分母为， 根据分式的基本性质变形得： ， ． （4）解：第二个分母因式分解得，两个分母分别为，， ∴最简公分母为， 根据分式的基本性质变形得： ， ． ◆题型8 最简分式与最简公分母 22．（25-26八年级下·辽宁辽阳·期末）下列分式中是最简分式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、，有公因式，不是最简分式． B、，有公因式，不是最简分式． C、的分子分母有公因数，不是最简分式． D、分子无法因式分解，与分母无公因式，是最简分式． 23．（25-26八年级下·河南南阳·阶段检测）下列说法正确的是（    ） A．当时，分式无意义 B．分式与的最简公分母是 C．当分式值为0时， D．无论为何值，的值总为正数 【答案】D 【分析】本题考查分式的相关基础概念，包括分式有无意义的条件、最简公分母的确定、分式值为0的条件以及分式值的正负判断，解题关键是掌握分式的基本性质． 【详解】解：A，∵分式无意义的条件是分母，当时，分母，分式有意义， ∴A错误； B，∵最简公分母取系数最小公倍数与各字母因式最高次幂的乘积， ∴分式与的最简公分母是，不是， ∴B错误； C，∵分式值为需满足分子为且分母不为，由得，又即， ∴，不是， ∴C错误； D，∵对任意都有， ∴，分子， ∴恒成立， ∴D正确． 24．（25-26八年级上·湖南株洲·期中）分式、、的最简公分母是______． 【答案】 【分析】本题考查了最简公分母的确定，根据确定最简公分母的方法：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母，求解即可． 【详解】解：分母分解因式：，，；系数最小公倍数为12，字母a最高次幂为，字母b最高次幂为b，因式最高次幂为， 故最简公分母为． 故答案为：． ◆题型9 分式的四则混合运算 25．（25-26八年级下·山东青岛·阶段检测）化简： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： （2） （3） （4） 26．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）化简：． 【答案】 【详解】解： ． 27．（25-26八年级下·四川泸州·期末）化简：． 【答案】 【分析】利用分式的四则运算法则、完全平方公式进行化简． 【详解】解： ◆题型10 已知分式恒等式，确定分子或分母 28．（25-26七年级下·安徽六安·期末）若常数，满足，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将等式右侧通分，根据左右两侧分子恒等得到与的值，利用平方差公式进行因式分解后，进行计算即可. 【详解】解： 又， ∴， ∴. 29．（25-26七年级下·浙江宁波·期末）若恒成立，则(    ) A．0 B．4 C．8 D．12 【答案】C 【分析】先对等式右侧通分，根据等式恒成立时分母相同，对应分子为相等多项式，利用对应系数相等列方程组求解和，即可得到的值 【详解】解：右边 ∵等式恒成立，且左右两侧分母相同 ∴分子恒相等，即 整理右侧得 多项式相等则对应系数相等，可得方程组 解得： ∴． 30．（25-26八年级下·四川成都·期末）若，其中，为常数，则的值为________． 【答案】 【分析】先对等式右侧通分整理，根据分式相等时分母相同则分子对应系数相等，列出关于,的方程组，求解得到,后，计算即可. 【详解】解：对等式右边通分整理，得， 由题意得， ∴，解得， ∴. ◆题型11 分式的实际应用 31．（2024·河北保定·三模）图1中阴影部分的面积为（边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形）．图2中阴影部分的面积为（边长为a的大正方形中有一个长为a、宽为b的小长方形），，设，则k的取值范围为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了列代数式、因式分解的应用等知识点，根据题意得到是解答本题的关键．根据题意可得，，从而得到，再根据，可得，从而得到的取值范围即取值范围． 【详解】解：由题意得，，， ， ， ， ， ， ， 即， 故答案为：． 32．（2024·河北邯郸·模拟预测）如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为（）的正方形去掉一个边长为的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为的正方形（其中为大于的整数），两块试验田的小麦都收获了．    （1）丰收________号（填“1”或者“2”）小麦的单位面积产量高； （2）某农户试种“丰收1号”、“丰收2号”两种小麦种子，其中“丰收1号”小麦面积为（为整数），“丰收2号”小麦种植面积比“丰收1号”少，若两种小麦种植后产量相同（小麦试种的单产量与实验田一致），当时，符合条件的的值为________（直接写出结果）． 【答案】 2 或或 【分析】本题考查了分式的混合运算的应用； （1）根据题意，可以分别写出两块试验田的单位面积，然后比较大小即可． （2）根据“两种小麦种植后产量相同”得出关于的一元一次方程，解方程得，根据题意，即可求解． 【详解】解：（1）由图可得， “丰收1号”单位面积的产量为： “丰收2号”单位面积的产量为： ∵ ∴ ∴， 即“丰收2号”小麦单位面积产量高， 故答案为：． （2）依题意， 解得： ∵，为正整数， ∴或或． 33．（25-26八年级上·广东广州·期中）小军爸爸和小慧爸爸每天的白天、夜间都要到同一加油站各加一次油．白天和夜间的油价不同，有时白天高，有时夜间高，但不管价格如何变化，他们两人采用固定的加油方式：小军爸爸不论是白天还是夜间每次总是加60升油，小慧爸爸则不论是白天还是夜间每次总是花300元钱加油．假设某天白天油的价格为每升a元，夜间油的价格为每升b元． (1)用含a、b的代数式表示（请填化简后的结果）： 小军爸爸一天加2次油共花费 元，小慧爸爸一天加2次油共花费 元；小军爸爸这天加油的平均单价为 元/升，小慧爸爸这天加油的平均单价为 元/升． (2)判断谁的加油方式更合算，并通过数学运算说明理由． 【答案】(1) ，，， (2) 小慧的爸爸的加油方式比较合算． 【分析】本题考查分式的实际应用，熟练掌握并利用题意列出代数式以及利用作差法进行分析比较是解题的关键； （1）由题意根据条件用代数式分别表示出小军的爸爸和小慧的爸爸在这天加油的平均单价即可； （2）根据题意利用作差法进行分析比较即可． 【详解】（1）解：小军爸爸白天加油花费元，夜间加油花费， ∴小军爸爸一天加2次油共花费元， 小慧爸爸一天加2次油共花费元， 小军的爸爸在这天加油的平均单价是：（元/升）， 小慧的爸爸在这天加油的平均单价是：（元/升）． 故答案为：，，，． （2）解：， 而，，，所以 从而，即． 因此，小慧的爸爸的加油方式比较合算． ◆题型12 分式的化简求值 34．（2026·河北邢台·二模）设，其中“”遮盖了一个关于的最简分式． (1)若“”部分是，请化简，并求当时的值； (2)若化简后，求被“”遮盖的分式． 【答案】(1)；； (2)被遮盖的分式为 【分析】（1）先因式分解，对括号内通分合并，再将除法转化为乘倒数，约分后得，最后把代入代数式完成求值； （2）设遮盖部分为，依据“被除数商除数”变形得，分解并约分右侧式子，移项通分后因式分解分子，约去公因式得到最简分式． 【详解】（1）解：由题意得， ， 当时，； （2）解：设被遮盖的分式为， ∵化简后， ∴ 解得． 35．（2026·河北邯郸·二模）对于分式，小李和小王分别使用如下方法化简： 小李： 小王： (1)请你选择其中一种方法，补全化简过程； (2)从中选一个整数，求出分式的值． 【答案】(1) 见解析 (2) 当时，分式的值为 【详解】（1）解：小李的方法： ； 小王的方法： ； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴原式. 36．（25-26八年级上·河北沧州·期末）以下是小茗同学化简分式的运算过程： 解：原式=---------------------------------① =-------------------------------------------② =-----------------------------------------------------③ (1)上面的计算过程从第 步开始出现错误； (2)请你写出完整的解答过程，并从1，2，3中选一个合适的数代入求值． 【答案】(1)② (2)解答过程见解析，值为10 【分析】（1）根据第②步分子相减时，去括号没有改变符号可得答案. （2）先计算括号内分式的减法运算，再计算除法运算，最后根据分式有意义的条件选取合适的的值，再代入计算即可. 【详解】（1）解：上面的计算过程从第②步开始出现错误. （2）解： ， 当或时，分式无意义，取， 则原式. ◆题型13 分式方程 37．（25-26八年级上·全国·课后作业）有下列方程：①；②；③；④．其中是分式方程的是（    ） A．③④ B．①② C．①③ D．②④ 【答案】B 【分析】本题考查的是分式方程的定义，熟知分母中含有未知数的方程叫做分式方程是解答此题的关键． 根据分式方程的定义对各方程进行逐一分析即可． 【详解】解：①是分式方程，符合题意；②是分式方程，符合题意；③是整式方程，不符合题意；④是整式方程，不符合题意． 其中是分式方程的是①②， 故选：B． 38．（24-25九年级上·福建莆田·阶段检测）下列式子中，是分式方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了分式方程得定义，分母中含有未知数的有理方程是分式方程，据此进行判断即可． 【详解】解：A．是一元二次方程，故选项不符合题意； B．不是方程，故选项不符合题意； C．是分式方程，故选项符合题意； D．是一元一次方程，故选项不符合题意． 故选：C． 39．（24-25八年级上·河北邯郸·阶段检测）为美化校园、某校安排甲、乙两人种植花苗，已知甲种植40棵花苗所用时间是乙种植15棵花苗所用时间的2倍，，求甲、乙两人每小时各种植多少棵花苗，设甲每小时种植棵花苗，则可得方程，根据此情景，题中用“…”表示的缺失的条件应为______． 【答案】两人每小时共种植7颗花苗 【分析】本题考查了分式方程的应用，正确分析所列方程是解题的关键；根据方程知，乙每小时种植颗花苗，则两人每小时种植花苗的和为7，因此可补上缺失的条件． 【详解】解：方程知，乙每小时种植颗花苗，则两人每小时种植花苗数的和为， 故应补上条件：两人每小时共种植7颗花苗； 故答案为：两人每小时共种植7颗花苗． ◆题型14 解分式方程 40．（25-26八年级上·河北石家庄·期末）解分式方程： 【答案】 【详解】解：， ， ， ； 检验：当时，， ∴原分式方程的解是． 41．（2026·河北邯郸·模拟预测）以下是某同学解方程的过程． 解：方程两边同乘以，得    ① 去括号，得：    ② 解得：        ③ 检验：当时，    ④ 所以，原分式方程的解为    ⑤ (1)该同学的解法从第_____步开始出现错误；（填序号） (2)写出原分式方程正确的解答过程． 【答案】(1) ① (2) 解：两边同乘，得 去括号，得 解得 检验：时， ∴原分式方程的解为 【分析】（1）根据解分式方程的步骤判断即可； （2）根据解分式方程的步骤：去分母，解整式方程，检验依次计算 【详解】（1）解：该同学的解法从第①步开始出现错误；错误原因是在方程两边同乘以时，等号右边的整式漏乘了， ∴该同学的解法从第①步开始出现错误； （2）略 42．（2026·河北廊坊·一模）在解分式方程时，小高的解法如下： ………………第一步 ………………第二步 …………………第三步 ………………………………第四步 检验：当时，……第五步 ∴原分式方程的解为………第六步 小高的解法中哪一步是去分母？去分母的依据是什么？判断小高的解答过程是否正确．若不正确，请写出你的解答过程． 【答案】第二步；等式两边同时乘以同一个数或整式，等式仍然成立；小高的解答过程不正确，正确解答过程见解析 【分析】根据题意可知第二步去分母，依据是等式的性质2；在第三步去括号时，数字1前面的符号没有变号，按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程，并检验即可． 【详解】解：由题意得，第二步是去分母，去分母的依据是等式两边同时乘以同一个数或整式，等式仍然成立， 小高的解答过程不正确，正确解答如下： ， 检验，当时，， ∴原分式方程的解为． ◆题型15 根据分式方程解的情况求值 43．（2025八年级上·河北沧州·专题练习）若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是________． 【答案】且 【分析】本题考查解分式方程和一元一次不等式，关键是根据题意讨论出最后结果．解分式方程，解得的解含有字母，根据题意列不等式，解不等式确定字母的取值范围． 【详解】解：去分母可得：， 去括号可得：， 解得：， ∵关于x的分式方程的解为正数， ∴， 解得：， ∵，即， ∴， 解得， ∴的取值范围为：且， 故答案为：且． 44．（25-26八年级上·广东广州·阶段检测）如果关于的分式方程的解为非负数，那么实数的取值范围为___________ 【答案】且 【分析】本题主要考查了根据分式方程的解的情况求参数． 先解分式方程得到 ，再根据解为非负数以及方程的分母不为零的条件列不等式求解． 【详解】解： ， 去分母得 ， 解得 ， ∵ 方程的解为非负数， ∴ ，即 ，解得 ， 又∵ 分母 ，即 ， ∴ ，解得 ， 故 且． 故答案为且． 45．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知，． (1)化简分式A． (2)若关于x的分式方程的解为，求m的值． (3)当x取什么整数时，分式A的值为整数？ 【答案】(1) (2)7 (3)当x取或2或0时，分式A的值为整数 【分析】本题考查分式的运算，根据分式方程的解求参数，分式的值为整数时字母的值，熟练掌握相关知识点，正确的计算是解题的关键： （1）根据分式的除法法则进行计算即可； （2）将代入方程进行求解即可； （3）利用分离常数法，进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）∵， ∴． 方程的两边同时乘以，得， 解得． ∵分式方程的解为， ∴，解得． ∴的值为7． （3）解：∵，且分式A的值为整数， ∴或． ∴． 由题意，得且， ∴且． ∴当x取或2或0时，分式A的值为整数． ◆题型16 分式方程增根问题 46．（25-26八年级上·河北唐山·阶段检测）若关于x的方程有增根，试求k的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了分式的增根问题，增根问题可按如下步骤进行：①根据最简公分母确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值，掌握知识点是解题关键． 增根是分式方程化为整式方程后使分母为零的根，即．将方程化为整式方程后，代入求解k即可． 【详解】解：方程两边乘以最简公分母，得： ， 整理得：， ∵方程有增根， ∴代入得：， 解得， 故选A． 47．（25-26八年级上·河北张家口·阶段检测）已知是关于的方程，若方程有增根，则m的值为________． 【答案】2 【分析】本题考查的是分式方程的增根，在分式方程变形的过程中，产生的不适合原方程的根叫做分式方程的增根． 分式方程有增根，即分母为零时的x值，代入去分母后的整式方程求解m即可． 【详解】解：∵ ∴，即 去分母，两边同乘，得 方程有增根，即分母为零，令，得增根 将代入整式方程，得， 解得 故答案为：2． 48．（24-25八年级下·江苏盐城·阶段检测）已知关于x的分式方程． (1)若分式方程有增根，则 ； (2)若分式方程的解为非负数，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)且 【分析】此题主要考查了解分式方程，增根问题，及不等式的解法；掌握解分式方程要进行检验及分式方程有解且解为非负数的条件是解题关键． （1）先化简，得，化简，将代入，即可求解； （2）先解分式方程，然后依据分式方程有解且解为非负数，建立不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵原分式方程有增根， ∴，解得， 把代入， 得， 解得， 故答案为：； （2）解：由（1）得， 由分式方程有解且解为非负数，且， 即：且 ∴且． ◆题型17 分式的无解问题 49．（25-26八年级上·河北邯郸·期末）若关于x的方程无解，则m的值______． 【答案】，， 【分析】本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解的定义是解题的关键． 分式方程无解的情况有两种：整式方程无解或整式方程的解为增根．先化为整式方程，再分别讨论系数为0时整式方程无解，以及解为增根1或2的情况． 【详解】解：方程两边同乘最简公分母，得 整理得 移项得 当且时，整式方程无解 解得； 当整式方程的解为增根时，原方程无解， 增根为或 若，代入整式方程得 解得； 若，代入整式方程得 解得； 综上，的值为，，． 50．（25-26八年级下·河南开封·期末）关于x的分式方程无解，则的值为______． 【答案】4 【分析】本题主要考查了分式方程无解的情况，解题的关键是弄清分式方程无解的条件． 先把分式方程化为，再根据分式方程无解得到有增根，然后代入求解即可． 【详解】解： 去分母得，， 整理得，， ∵关于x的分式方程无解， ∴， ∴有增根， ∴代入，得， 解得，． 故答案为：4． 51．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）已知关于的分式方程． (1)若方程的增根为，求的值． (2)若方程无解，求的值． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】本题主要考查分式方程的增根及无解，关键是将分式方程化为整式方程，结合增根的定义（使分母为的根）分析，易错点是混淆“增根导致无解”与“整式方程本身无解”的情况． （1）先将分式方程化为整式方程，把增根代入整式方程求； （2）分“整式方程无解”和“整式方程的解是增根”两种情况求． 【详解】（1）解： 方程两边同时乘以得： 整理得： 将增根代入整式方程： 解得 （2）分式方程无解分两种情况： 情况 1：整式方程无解 当时，整式方程无实数解，故分式方程无解，此时； 情况 2：整式方程的解是增根 增根为（使分母为的根），由（1）知此时； 所以的值为或． ◆题型18 分式方程的实际应用 52．（25-26八年级下·河北保定·期末）“这么近，那么美，周末到河北．”河北省某地旅游景点为方便游客游览，现提供免费的观光车，观光车分为两种类型，分别为电瓶车和小火车，每辆小火车的座位比电瓶车多20个．某旅游团有120人，此旅游团成员全部乘坐观光车游览，若每一辆观光车都坐满乘客，且该旅游团全部乘坐电瓶车所需的数量是全部乘坐小火车所需数量的2倍．设乘坐的电瓶车每辆车的座位数为x个． (1)若旅游团成员全部乘坐电瓶车，则需 辆电瓶车；若旅游团成员全部乘坐小火车，则需 辆小火车．（都用含x的式子表示） (2)求x的值． 【答案】(1)； (2)x的值为20 【分析】（1）先明确电瓶车座位数为，因为每辆小火车座位比电瓶车多20个，所以小火车每辆座位数为，根据总人数除以单辆车座位数等于车辆数，即可分别表示出乘坐两种车的数量． （2）因为题目给出乘坐电瓶车的数量是小火车数量的2倍，所以可以根据第一问得到的两个车辆数表达式，建立分式方程．求解所得的分式方程，最后对解进行检验，判断是否符合实际意义． 【详解】（1）解：；． （2）解：由题意，得， 两边都乘以，得， 解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴x的值为20． 53．（25-26八年级上·河北沧州·期末）商场购进A、B两种儿童玩具，每个A玩具进价比每个B玩具进价多2.5元，用200元购进A玩具的数量是用75元购进B玩具数量的2倍． (1)求A、B两种玩具进价分别为多少元？ (2)若A玩具每个售价为13元，B玩具每个售价为9.5元，商场购进B玩具的数量比购进A玩具的数量的2倍还多4个，两种玩具全部售出后，商场要使总的利润超过120元，则最少购进A玩具多少个？ 【答案】(1)A种玩具进价为10元，B种玩具的进价为7.5元 (2)17个 【分析】（1）设B玩具进价为元，则A玩具进价为元，结合用200元购进A玩具的数量是用75元购进B玩具数量的2倍，再建立方程求解即可； （2）设购进A玩具个，则购进B玩具数量为个，结合总的利润超过120元，再建立不等式求解即可. 【详解】（1）解：设B玩具进价为元，则A玩具进价为元， 由题意得： 解得： 经检验是原方程的解 ∴A种玩具进价为10元，B种玩具的进价为7.5元． （2）解：设购进A玩具个，则购进B玩具数量为个，由题意得： 解得 的最小值是17 所以最少购进A玩具17个． 54．（2026·河北石家庄·一模）【问题背景】2026央视马年春晚播出后．晚会中的机器人备受大家喜爱．为满足儿童对机器人的需求，某玩具店决定购进，两种机器人玩具． 素材一：已知一个种机器人玩具比一个种机器人玩具价格贵10元． 素材二：玩具店用2500元购进A种机器人玩具的数量是用1500元购进B种机器人玩具数量的2倍． 【问题解决】 (1)若设购买一个种机器人玩具价格为元，直接写出用1500元购进种机器人玩具数量（用含的代数式表示），并求购进，两种机器人玩具的单价； (2)因销售良好，该玩具店决定再次购进A，B两种机器人玩具共60个进行销售，且总金额不超过3200元，求至少购进A种机器人玩具的数量． 【答案】(1)用1500元购进种机器人玩具数量为个，购进A，B两种机器人玩具的单价分别是50元/个，60元/个 (2)至少购进A种机器人玩具40个 【分析】（1）根据题意可知用1500元购进种机器人玩具数量为个，列出分式方程并求出x的值，再检验是否符合题意，即可求解； （2）设购进种机器人玩具个，则购进种机器人玩具个，由题意列出一元一次不等式，求出a的取值范围，即可解答． 【详解】（1）解：由题意，可知用1500元购进种机器人玩具数量为个，列方程，得 ， 解得， 经检验是原方程的解， ， 答：购进A，B两种机器人玩具的单价分别是50元/个，60元/个． （2）解：设购进种机器人玩具个，则购进种机器人玩具个，由题意，得， 解得， 答：至少购进A种机器人玩具40个． ◆题型1 求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 55．（25-26八年级下·江西九江·阶段检测）已知分式． (1)若分式的值为0，则的值为_____． (2)若分式的值为正数，求的取值范围． 【答案】(1)2 (2)且 【分析】（1）根据分式为0，得出分母不为0，分子为0进行列式计算，即可作答． （2）根据分式的值为正数，得出，，再解得且，即可作答． 【详解】（1）解：∵分式的值为0， ∴， ∴，， 即若分式的值为0，则的值为2； （2）解：∵由题得分式有意义， ， ， 分式的值为正数， ， ， 且． 56．（25-26八年级上·河北邯郸·阶段检测）已知分式（a，b为常数）满足表格中的信息． x的取值 1 分式的值 无意义 0 1 (1) ， ； (2)求出c的值； (3)当分式的值为正时，直接写出x的取值范围． 【答案】(1) ， (2) (3) 或 【分析】（1）根据分式无意义的条件即可得到值，再根据，根据方程求解即可； （2）先把（1）中算出来，的值代入式子，再根据分式的值为1，求出的值，即可得出答案； （3）根据分式不等式解方程即可求解． 本题考查了分式的值、分式有意义和无意义的条件，根据分式的值求出字母的值及分式有意义是解题关键． 【详解】（1）解：时，分式无意义， ， 当时，得 ， 故答案为：，． （2）解： 将（1）中求的,代入分式得 由题可得：当时候，, 解得, 经检验，当时，原方程有解， 则， 故答案为：． （3）解：, ∴或 解得：或． 故答案为：或． 57．（2023八年级下·甘肃平凉·竞赛）若分式的值是负数，则的取值范围是（     ） A． B．或 C．或 D．且 【答案】C 【分析】本题主要考查分式的值及一元一次不等式组的解法，熟练掌握分式的值及一元一次不等式组的解法是解题的关键；由题意易得或，然后进行求解即可． 【详解】解：由分式的值是负数，可分： 当时，解得：； 当时，解得：； 综上所述，满足条件x的取值范围为：或 故选C． ◆题型2 求使分式值为整数时未知数的整数值 58．（25-26八年级下·四川遂宁·期中）若分式的值为整数，满足条件的整数x的个数为 _______ ． 【答案】3 【分析】先化简，再根据分式的值为整数得出分母或求解即可． 【详解】解：， ∵分式的值为整数，x为整数， ∴或， 当时，； 当时，； 当时，，此时，使分式无意义，故舍去； 当时，； 综上，满足条件的整数x的个数共3个． 59．（25-26八年级下·河南郑州·期中）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式” 例如：，则就是“和谐分式” (1)判断是否为“和谐分式”，并说明理由； (2)已知“和谐分式”的值为整数，且x为整数，求出所有符合条件的x的值． 【答案】(1)是“和谐分式”，理由见解析 (2)所有符合条件的的值为 【分析】（1）根据题意进行变形即可； （2）根据题意可得和，进而得出答案． 【详解】（1）解： ， 所以，能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式， 因此，是“和谐分式”； （2）解： ， 因为“和谐分式”的值为整数，且x为整数，所以必是整数，即是3的整数因数， ∵3的整数因数是和， ∴和， ∴． 60．（25-26八年级下·河南周口·阶段检测）一般情况下，一个分式通过适当变形，可以转化成一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式，例如： ①； ②． (1)仿照上述方法，试将分式化成一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式； (2)若分式的值为整数，请求出整数的值． 【答案】(1) (2)0或1或3或4 【分析】（1）把原式先变形为，再利用平方差公式分解因式得到，据此可得答案； （2）把式子变形为，进一步可变形为，根据题意可得是整数，则或，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ∵分式的值为整数，且x为整数， ∴是整数，且是整数， ∴是整数， ∴或， 解得或或或． ◆题型3 分式的新定义问题 61．（25-26八年级下·辽宁锦州·期末）阅读下面材料，回答问题． 素材1 定义：如果两个分式P与Q的和为常数k，则称P与Q互为“和定分式”，常数k称为“和定值”．例如：分式，，，则P与Q互为“和定分式”，“和定值”． 素材2 分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式，例如：分式，是真分式． 素材3 如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，是假分式． 问题解决： (1)已知分式，，判断A与B是否互为“和定分式”？若不是，请说明理由；若是，请求出k的值． (2)已知分式，，若C与D互为“和定分式”，且分式D为真分式，求代数式M（用含x的式子表示）． (3)已知分式，（a，b为常数），若E与F互为“和定分式”，则______，______． 【答案】(1)解：A与B是和定分式，且，理由如下： ∵，， ∴， ∴A与B是和定分式，且； (2) (3)2， 【分析】（1）求出的结果即可得到结论； （2）设（k为常数），则可推出，根据分式D为真分式，得到M的次数小于等于1，据此求出k的值即可得到答案； （3）设（k为常数），则可推出，进而得到，解之即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵，，且C与D互为“和定分式”， ∴可设（k为常数） ∴， ∴ ∴， ∵分式D为真分式， ∴M的次数小于等于1， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵，（a，b为常数），E与F互为“和定分式”， ∴可设（k为常数）， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴． 62．（25-26七年级下·浙江衢州·期末）如果两个代数式和的和为常数，我们称这两个代数式互为“和合式”，这个常数为“和合值”．如，，因为，所以与互为和合式，和合值为4． (1)已知：，，判断与是否互为和合式．若是，求出和合值；若不是，请说明理由． (2)若与互为和合式，且和合值为2，求的值． (3)已知：，，若与互为和合式，和合值为，若，求的值． 【答案】(1)解：与互为和合式，和合值为3，理由如下： ； (2) (3) 【分析】（1）根据题意，利用异分母分式的加减法求解即可； （2）根据题意得到，求得，据此求解即可； （3）根据题意推出，据此求解即可． 【详解】（1）解：略 （2）解：与互为和合式，且和合值为2， ， ，即， ， ； （3）解：与互为和合式，和合值为， ， ， ， ， ， ， ，即， ． 63．（25-26八年级下·河南南阳·期末）定义：若分式和分式满足（为正整数），则称是的“差分式”，例如：，我们称是的“1差分式”． 解答下列问题： (1)分式是的“__________差分式”； (2)分式是分式的“3差分式”； ①__________（用含的代数式表示）； ②若和的值均为正整数，求的值． 【答案】(1) (2)① ② 【分析】（1）计算出的结果即可得到答案； （2）①根据题意可得，据此去分母求解即可；②由（2）①可得，根据和的值均为正整数求出x的值即可求出A的值． 【详解】（1）解：， ∴分式是的“4差分式”； （2）解：①∵分式是分式的“3差分式”， ∴， ∴， ∴， ∴； ②由（2）①得， ∵和的值均为正整数， ∴是正整数， ∴或或或， ∴或（舍去）或（舍去）或（舍去）， ∴． ◆题型4 分式的化简求值压轴 64．（25-26七年级下·浙江温州·阶段检测）已知 求 的值． 【答案】 【分析】先将平方，即，再利用已知条件代入求出；利用得，从而得到，与所求值中的式子建立联系，同理一一替换所求式子，最后通分，代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴； 由得， ∴， 同理可得，， ∴原式 ． 65．（25-26八年级下·重庆·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解： ， 当时，原式． 66．（25-26八年级下·重庆奉节·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】化简结果为，值为 【分析】先分别化简整式部分和分式部分，先计算括号内的异分母分式减法，再将除法转化为乘法计算分式部分，合并后得到化简结果，再根据零指数幂和负整数指数幂的运算法则求出的值，代入化简后的式子计算即可． 【详解】解： ； ∵， ∴原式． ◆题型5 分式方程与不等式组、方程组结合问题 67．（2022·云南玉溪·二模）若数使关于的不等式组有且仅有三个整数解，且使关于的分式方程有整数解，则满足条件的所有的值之和是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先解不等式组，根据不等式组仅有三个整数解确定a的取值范围，再解分式方程，根据分式方程有整数解且分母不为零，找出符合条件的a，最后计算所有符合条件a的和即可. 【详解】解： 解①得， 解②得， ∴不等式组的解集为； ∵不等式组有且仅有三个整数解，三个整数解为， ∴， 解得， ， 去分母得， 整理得， ∵分式方程分母不为0， ∴，即 ，得， 又∵方程的解为整数，且，， ∴符合条件的整数为或； 所有满足条件的的值之和为. 68．（25-26八年级下·重庆江北·阶段检测）若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解是负整数，则所有满足条件的整数的值之和是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先解一元一次不等式组，根据已知解集得到的取值范围，再解分式方程，根据分式方程的解为负整数且分母不为零，找出所有符合条件的整数，最后求和得到结果． 【详解】解：解不等式组， 解不等式， 两边同时乘，得， 移项、合并同类项，得， 解不等式， 移项，得， 系数化为1，得， ∵不等式组的解集为 ， 根据同大取大原则，得， 解得， 解分式方程 ， 由分母不为零，得， 方程两边同乘，得， 去括号、移项、合并同类项，得， 系数化为1，得 ， ∵分式方程的解为负整数， ∴，是整数，且， 可得，是的倍数，且， 又∵且是整数， 可得符合条件的为：，，， ∴所有满足条件的整数的值之和为． 69．（25-26八年级下·重庆渝中·期末）若关于的不等式组的解集为，且关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数的值之积为___________． 【答案】35 【分析】先解一元一次不等式组，根据已知解集得到a的取值范围，再解分式方程，根据解为非负整数且分式有意义，找出所有满足条件的整数a，计算它们的乘积即可． 【详解】解：解不等式， 两边同乘5得：， 移项整理得：， 已知不等式组的解集为， 根据同大取大可得 ， 解得， 解分式方程， 方程两边同乘得：， 整理得：， 解得， ∵分式方程的解为非负整数，且分式有意义， ∴，， 即，， 解得，， 又∵是整数，，且是整数， ∴满足条件的整数为，，， 则所有满足条件的的值之积为． ◆题型6 分式方程的含参问题 70．（25-26八年级下·宁夏银川·期末）已知关于x的分式方程的解为负数，则k的取值范围为_____． 【答案】 且 【分析】先将分式方程化为整式方程，得到x关于k的表达式，再根据解为负数，结合分式方程有意义的条件（分母不为0）求解k的取值范围即可． 【详解】解：给分式方程两边同乘， 化为整式方程得 ， 展开整理得 ，解得， ∵分式方程的解为负数， ∴，得， 又∵分式方程中分母不为0，即， ∴，得， ∴k的取值范围为且． 71．（25-26七年级下·安徽池州·期末）现有以下四个说法：①分式是最简分式；②若分式的值为0，则的值为；③若关于的方程有增根，则的值为3；④若关于的方程无解，则的值为2．其中正确的个数有（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】将分式的分子分母因式分解，得到分子分母有公因式，可判断①；根据分式值为需满足分子为且分母不为，可判断②；将分式方程去分母整理，根据增根使原分式方程的最简公分母等于0，可判断③；分式方程无解分两种情况：情况1：整式方程无解；情况2：整式方程有解，但解为增根，可判断④． 【详解】解：①∵，分子分母有公因式，可约分， ∴不是最简分式，①错误； ②分式的值为需满足分子为且分母不为， ，且， 解得：，②正确； ③对方程， 两边同乘去分母得：， 整理得， ∵方程有增根， 增根满足，即， 把代入整式方程得：， 解得，③正确. ④将整理得， 分式方程无解分两种情况： 情况1：整式方程无解，此时，即，此时，方程无解； 情况2：整式方程有解，但解为增根，由③可知，，方程也无解， ∴的值为或，④错误， 综上，正确的说法共个． 72．（25-26八年级下·福建泉州·阶段检测）我们把形如（不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”． 例如为十字分式方程，可化为，∴，． 再如为十字分式方程，可化为，∴，． 应用上面的结论解答下列问题： (1)若为十字分式方程，则______，______． (2)若十字分式方程的两个解分别为，，求的值 ． (3)若关于的十字分式方程的两个解分别为，，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（）根据十字分式方程的定义解答即可求解； （）根据十字分式方程的定义得，，再利用完全平方公式的变形运算解答即可求解； （）根据十字分式方程的定义得，进而由可得，，再代入计算即可求解； 【详解】（1）解：∵ 为十字分式方程，可化为， ∴，； （2）解：∵十字分式方程的两个解分别为，， ∴，， ∴； （3）解：方程是十字分式方程，可化为， ∵时， ∴， ∵关于的十字分式方程的两个解分别为，， ∴，， ∴，， ∴． ◆题型7 分式方程的实际应用综合 73．（25-26八年级上·河北邯郸·阶段检测）下面是嘉淇学习“分式方程的应用”时的课堂笔记，请认真阅读并解决相应的问题．题目：某商店准备购进甲、乙两种商品；甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价少元，用元购进甲种商品和用元购进乙种商品的数量相同，求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元？ 方法 分析问题 列出方程 解法一 设甲种商品每件进价元 等量关系：甲商品数量=乙商品数量 解法二 设…… 等量关系：乙商品进价-甲商品进价= (1)解法二所列方程中的表示 （填序号）； ①甲种商品每件进价元；②乙种商品每件进价元；③购进甲种商品和乙种商品各件． (2)请根据解法一列出方程，并求出甲、乙两种商品每件的进价； (3)若该商店准备购进甲、乙两种商品共件，且两种商品的总进价不超过元，设购进甲种商品件，则该商店最少购进甲种商品多少件？ (4)该商店准备再花费元全部用于购进甲、乙两种商品（两种商品都买），则最多可购进甲种商品 件． 【答案】(1)③ (2)甲种商品每件进价为30元，乙种商品每件进价为50元； (3)商店最少购进甲种商品件； (4) 【分析】本题考查的是分式方程的应用，分式方程的解法，一元一次不等式的应用，二元一次方程的应用．理解题意，确定相等关系与不等关系是解本题的关键． （1）根据等量关系中代数式的含义可得答案； （2）设甲种商品每件进价为元，根据用元购进甲种商品和用元购进乙种商品的数量相同，列出分式方程，解方程即可； （3）设甲商品购进件，则乙种商品购进件，利用两种商品的总进价不超过元，列出不等式，求解的范围，可得答案； （4）设购进甲种商品件，购进乙种商品件．根据该商店准备再花费元全部用于购进甲、乙两种商品（两种商品都买），列出关于，的等式，根据等式关系可得答案． 【详解】（1）解：根据表格中解法二的等量关系：乙商品进价-甲商品进价=及可知表示的是购进甲种商品和乙种商品相同的数量．故选：③； （2）解：设甲种商品每件进价元． 根据题意，得， 解得，经检验，是原方程的根，且符合题意． ∴． ∴甲种商品每件进价为30元，乙种商品每件进价为50元； （3）解：∵设购进甲种商品件， ∴购进乙种商品件． 根据题意，得， 解得． ∵为正整数， ∴商店最少购进甲种商品件； （4）解：设购进甲种商品件，购进乙种商品件． 根据题意，得， 整理，得． ∵，均为正整数， ∴当越小时，越大． ∴当时，． ∴最多可购进甲种商品件． 故答案为：． 74．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）“互联网+”助力乡村全面振兴．石家庄市某网络销售商在“双十一”举行促销活动，在11月11日销售甲、乙、丙三种农产品时，记录了如下统计信息： 信息1：乙商品销售单价比甲商品多5元/千克，丙商品销售单价是甲商品的3倍； 信息2：用270元购买丙商品的质量是用60元购买乙商品质量的3倍； (1)若设甲商品销售单价为元/千克，请依据上述信息填表； 销售单价（元/千克） 质量（千克） 销售总价（元） 乙 60元 丙 270元 (2)求11月11日当天甲、乙、丙商品销售单价分别为多少元/千克？ (3)“双十一”促销活动结束后，该销售商将三种商品的销售单价在（2）的基础上每千克提高了元（为整数且）．嘉嘉花200元购买甲商品，再花200元购买丙商品，琪琪花400元购买乙商品，设嘉嘉购买商品的质量之和为，设琪琪购买商品的质量为，直接写出的最大值． 【答案】(1)乙：销售单价元/千克，质量千克；丙：销售单价元/千克，质量千克 (2)甲商品销售单价为5元/千克，乙商品销售单价为10元/千克，丙商品销售单价为15元/千克 (3) 【分析】本题考查了分式方程的应用以及代数式的最值问题，解题的关键是根据题意找到等量关系并列出方程，同时正确分析代数式的最值情况． （1）根据单价、质量、总价的关系填写表格； （2）根据信息2列出分式方程求解三种商品的单价； （3）先分别表示出和，再分析的最大值． 【详解】（1）解：已知甲商品销售单价为元／千克，由信息1可知乙商品销售单价为元/千克，根据“质量总价单价”，乙商品质量为千克；丙商品销售单价是元／千克，丙商品质量为千克； （2）解：根据信息2“用270元购买丙商品的质量是用60元购买乙商品质量的3倍”，可列方程：， 解得： 经检验，是原方程的解． 所以乙商品单价为元/千克，丙商品单价为元/千克； （3）解：提价后，甲商品单价为元/千克，丙商品单价为元/千克，乙商品单价为元/千克． 则， 令，则随增大而增大，的范围是．，当最大时，最大， 当时，，． 75．（24-25七年级下·浙江金华·阶段检测）根据素材，完成任务． 如何设计雪花模型材料采购方案？ 素材一 学校组织同学参与甲、乙两款雪花模型的制作．每款雪花模型都需要用到长、短两种管子材料．某同学用6根长管子、48根短管子制作了1个甲雪花模型与1个乙雪花模型．已知制作一个甲、乙款雪花模型需要的长、短管子数分别为1：7与1：9． 素材二 某商店的店内广告牌如右所示．5月，学校花费320元向该商店购得的长管子数量比花200元购得的短管子数量少80根． 1．短管子售价：m元/根，长管子售价：2m元/根 2．6月起，购买3根长管子赠送1根短管子． 3．本店库存数量有限，长管子仅剩267根，短管子仅剩2130根，先到先得! 素材三 6月，学校有活动经费1280元，欲向该商店采购长、短管子各若干根全部用来制作甲、乙雪花模型（材料无剩余），且采购经费恰好用完． 问题解决 任务一 分析雪花模型结构 求制作一个甲、乙款雪花模型分别需要长、短管子多少根？ 任务二 确定采购费用 试求m的值． 任务三 拟定采购方案 求出所有满足条件的采购方案． 【答案】任务一：制作一个甲款雪花模型需要长管子3根，则短管子21根，制作一个乙款雪花模型需要长管子3根，则短管子27根；任务二：；任务三：方案①购买258根长管子，2130根短管子；方案②购买267根长管子，2115根短管子 【分析】本题主要考查了二元一次方程组、分式方程和不等式组的应用，解题的关键是根据等量关系和不等关系列出方程或不等式． 任务一：设制作一个甲款雪花模型需要长管子根，则短管子根，制作一个乙款雪花模型需要长管子根，则短管子根，根据用6根长管子、48根短管子制作了1个甲雪花模型与1个乙雪花模型，列出方程组，解方程组即可； 任务二：根据题意列出关于m的方程，解方程即可； 任务三：设学校中采购了根长管子，根短管子，根据总费用1280元列出方程，得出，根据商店中长管子仅剩267根，短管子仅剩2130根，列出不等式组，求出，根据a必须能被3整除，得出，261，264，267，四种情况分别检验，从而得出购买方案． 【详解】解：任务一：设制作一个甲款雪花模型需要长管子根，则短管子根，制作一个乙款雪花模型需要长管子根，则短管子根， 由题意得： 解得：， 则，， 答：制作一个甲款雪花模型需要长管子3根，则短管子21根，制作一个乙款雪花模型需要长管子3根，则短管子27根； 任务二：5月，学校花费320元向该商店购得的长管子数量比花200元购得的短管子数量少80根， ， 解得：， 经检验是原方程的根； 任务三：设学校中采购了根长管子，根短管子， 由题意得：， 解得：， 根据商店中长管子仅剩267根，短管子仅剩2130根可得： 解得：， 必须能被3整除， ，261，264，267， 设可制作甲模型X个，乙模型Y个， 当时，， 此时， 解得：，； 费用为：（元）， 符合题意； 当时，， 此时， 解得：，； 由于甲、乙模型只能取整数，则有材料剩余，不符合题意，舍去； 当时，， 此时， 解得：，； 由于甲、乙模型只能取整数，则有材料剩余，不符合题意，舍去； 当时，， 此时， 解得：，； 费用为：（元）， 符合题意； 综上所述，有以下两种采购方案： 方案①：采购长管258根，短管2130根； 方案②：采购长管267根，短管2115根． 1．（25-26八年级下·河北保定·期末）若则下列分式化简正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：选项A，D：分式分子分母进行同加或同平方运算，不符合分式基本性质，均错误； 选项B：由有意义得，即且，分子分母同除以得，正确； 选项C：，错误． 2．（2022·河北衡水·模拟预测）已知均为正数，且，分式，分式，则的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，且均为正数， ，， ， ， ， ， ． 3．（2026·河北石家庄·二模）嘉嘉和爸爸均报名参加了半程马拉松比赛．已知在一次训练中，嘉嘉和爸爸从同一起点同时出发，到达距离的目的地时，嘉嘉比爸爸少用了，嘉嘉的平均速度是爸爸的倍，设爸爸训练时的平均速度为，则可列方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式方程的实际应用，解题思路是先根据速度关系表示嘉嘉的速度，统一时间单位后，利用公式“时间=路程÷速度”得到两人走完全程的时间，再根据时间差列方程． 【详解】解：∵爸爸的平均速度为，嘉嘉的平均速度是爸爸的倍， ∴嘉嘉的平均速度为． ∴爸爸走完全程的时间为，嘉嘉走完全程的时间为． 统一单位：， ∵嘉嘉比爸爸少用了，即嘉嘉的用时加上少用的时间等于爸爸的用时， ∴可列方程． 4．（2026·河北唐山·二模）若且，则的结果为（     ） A．1 B．3 C．6 D． 【答案】D 【分析】先根据同分母分式加减法则计算原式，再利用平方差公式因式分解约分，最后代入已知条件计算结果即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 5．（25-26八年级上·河北唐山·期中）若关于的分式方程无解，则的值是（    ） A．3或7 B．3或10 C．7 D．3 【答案】A 【分析】分式方程无解分为两种情况，一是去分母后得到的整式方程本身无解，二是整式方程的解是原分式方程的增根，分别计算两种情况的值即可； 【详解】解：给原方程两边同乘去分母，得， 整理得：， 分两种情况讨论： ①若整式方程无解，则， ∵ 时， 等式不成立，整式方程无解， ∴时，原分式方程无解； ②若整式方程有解，但解为原分式方程的增根， 原分式方程的分母为，∴增根为， 把代入 ，得，解得， 综上，的值为或． 6．若分式，则x的值为______． 【答案】－1 【分析】根据分式值为零的条件，需同时满足分子等于零，分母不等于零，先求解分子得到的可能取值，再排除使分母为零的取值，即可得到最终结果． 【详解】解：由题意可得 解，得，即， 由，得， ． 7．（2026·河北廊坊·一模）爱好摄影的小冀正在学习调节老式胶片相机的光圈，在镜头焦距一定的条件下，光圈孔径直径D（单位：）与光圈系数F的关系式为，小冀分别使用了甲、乙两种不同的光圈设置进行拍摄，已知乙设置下的光圈系数是甲设置下的2倍，且甲设置下的光圈孔径直径比乙设置下的大，则甲设置下的光圈系数为_______． 【答案】 【分析】设甲设置下的光圈系数为，则乙设置下的光圈系数为，根据关系式变形得到，再根据等量关系，列分式方程求解检验即可． 【详解】解：设甲设置下的光圈系数为，则乙设置下的光圈系数为， 根据题意列方程得，， 解得，， 经检验：是原分式方程的解，且符合题意， 则甲设置下的光圈系数为． 8．（25-26八年级上·河北衡水·期末）阅读理解与应用阅读下面的材料，并解答下列问题： 已知： （1）根据你发现的规律写出第n（n为正整数）个式子是_______； （2）计算： ______ 【答案】 【分析】本题考查了数字类规律探究，有理数的混合运算，裂项相消是解答本题的关键． （1）观察所给等式，发现各部分的变化规律即可写出第n个式子； （2）利用（1）的规律将每个项拆分为差的形式，通过相互抵消简化求和． 【详解】解：（1）由已知等式 ，，，…， 可得第n个式子为， 故答案为：； （2） ． 故答案为：． 9．（25-26八年级上·河北邯郸·阶段检测）某数学兴趣小组探究了分式的一种特殊变形：分式的分母不变，分子中构造含分母的结构，从而将原分式分离出一个常数和一个分子为常数的分式结构的变形．例如：．这种变形方法叫做“分离常数法”． (1)将分式分离常数，则，那么______； (2)利用分离常数法，当分式的值为正整数时，满足条件的整数的值为_______． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的加减以及分式的基本性质，掌握分式加减法的计算方法以及分式的性质是正确解答的关键． （1）将分子变形为，通过比较常数项求即可； （2）对分式进行分离常数，得到，令其值为正整数，结合分母不为零且分式值为整数的条件，求整数 ． 【详解】（1）解：由， 得， ， ∴． 故答案为 ：； （2）解：对分式进行分离常数：分子， ∴ ． 设分式的值为正整数，则，即． 由于为正整数，， ∴ ，即． ∵为整数， ∴ 为整数． 又∵为整数且， ∴只能为． 当时，，分式值为，为正整数． 因此满足条件的整数的值为． 故答案为 ：． 10．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）下列一组方程：①，②，③，…小明通过观察，发现了其中蕴含的规律，并顺利地求出了前三个方程的解，第①个方程的解为，；第②个方程的解为，；第③个方程的解为__________，若n为正整数，且关于x的方程的一个解是，则n的值等于_____． 【答案】 或 【分析】此题主要考查了分式方程的解，利用已知得出分式方程的解，找到规律是解题关键．根据已知分式方程的变化规律求出该方程的解，再利用已知解题方法得出方程的解． 【详解】解： 方程两边同时乘以得 解得 故分式方程的解为， 由①得得， 由②得得， 由③得得， 可得第个方程为， 解得 将变形， 或 方程的解为 当时， 当时， 的值为10或9． 故答案为：，10或9． 11．（25-26八年级下·河北保定·期末）下面的分式化简题呈现了嘉嘉的正确解答过程，但部分算式被遮挡． 解： (1)求被遮挡部分的代数式（化为最简）； (2)嘉嘉认为“该分式的值不可能为6”， ①请你帮她说明理由； ②淇淇认为嘉嘉的说法不全面，你认为该分式的值还不可能为__________． 【答案】(1) (2)①理由：当该分式的值为6时，则， 解得， 当时，，原分式分母为零，分式无意义， 该分式的值不可能为6； ②该分式的值也不可能为8 【分析】（1）由除法和减法的意义列式进行计算即可； （2）①②结合分式的意义进行判断即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：①略 ② 即该分式的值也不可能为8． 12．（25-26八年级下·河北保定·期末）先阅读下面的材料，然后回答问题： 方程的解为，； 方程的解为，； 方程的解为，；… (1)观察上述方程的解，猜想关于的方程的解是__________； (2)根据上面的规律，猜想关于的方程的解是__________； (3)由（2）可知，在解方程：时，可以变形转化为的形式求值，按要求写出你的变形求解过程． (4)利用（2）的结论直接写出方程的解：． 【答案】(1)，； (2)，； (3)， ，， 即， 或， 解得，， 经检验，，是原分式方程的解； (4)，． 【详解】（1）解：观察材料规律，方程​的解为，，因此当时，解为； （2）根据上述规律，直接推广可得该方程的解为； （3）详见参考答案； （4）令，， ， ， ，， 或， 解得或 当时，，，当时，，， ，是原分式方程的解； ，． 【点睛】本题运用了换元思想和归纳推理，在解题的过程中必须通过拆分、换元构造出的形式是解题的关键，注意分式方程要检验． 13．（25-26八年级下·河北保定·期中）在八年级下册第二章中我们学习了求解一元一次不等式组，其实一些非一次不等式都可以通过代数等价变形转化为一元一次不等式组来进行解决．例如：可以通过因式分解转化为，因为乘积为正，所以两个因式需同号，再通过分类讨论： ①解得；②解得． 综上所述，不等式的解集为或． 根据上述材料解决下列问题： (1)解不等式：； (2)解不等式：． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）将原不等式因式分解为，结果为正，则两个因式同号，分为和两类讨论，分别求出结果即可； （2）不等式两边同乘以，得，且，结果为非正，则两个因式异号或，分为和两类讨论，分别求解即可． 【详解】（1）解：， 因式分解，得， ①当时，解得； ②当时，解得； 综上所述，不等式的解集为或； （2）解：， 两边同乘以，得，且， ①当时，解得； ②当时，该不等式组无解； 综上所述，不等式的解集为． 14．（25-26八年级上·河北衡水·期末）我省是小麦种植大省，某地为保证农户冬小麦种植工作平稳完成，当地政府组织农户对720亩小麦田统一播种，原计划租用一台中型播种机完成播种任务，但是因天气原因需提前3天完成，政府最终租用一台大型播种机播种，这台大型播种机的播种效率为中型播种机播种效率的1.5倍，且刚好按时完成． (1)大型播种机一天可播种多少亩小麦田？ (2)当地政府计划对本区域内另一处2400亩小麦田也进行统一播种，若使用同款大型播种机，计划在6天内完成播种．问政府至少需要租用多少台大型播种机同时播种才能按时完成这2400亩小麦田的播种任务？ 【答案】(1)大型播种机一天可播种120亩小麦田 (2)政府至少需要租4台大型播种机同时播种才能按时完成这2400亩小麦田的播种任务 【分析】本题考查了列分式方程和不等式解决实际问题，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）设中型播种机一天播种亩小麦田，则大型播种机一天播种亩小麦田，根据题意列分式方程，并求解检验即可； （2）设政府需要租台大型播种机同时播种才能按时完成这2400亩小麦田的播种任务，根据题意列不等式，求解即可． 【详解】（1）（1）解：设中型播种机一天播种亩小麦田，则大型播种机一天播种亩小麦田． 依题意得， 解得， 经检验，是原方程的解， ． 答：大型播种机一天可播种120亩小麦田． （2）解：设政府需要租台大型播种机同时播种才能按时完成这2400亩小麦田的播种任务． 依题意得 解得． 为整数， 的最小值为4． 答：政府至少需要租4台大型播种机同时播种才能按时完成这2400亩小麦田的播种任务． 15．（2025八年级上·河北沧州·专题练习）我们学习了轴对称、轴对称图形，如角、等腰三角形、正方形、圆等图形，在代数中如，任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，这样的式子我们称为对称式．含有两个字母的对称式的基本对称式是和，像等对称式都可以用和表示，例如：．请根据上述材料解决下列问题： (1)式子①，②，③中，属于对称式的是________（填序号）． (2)已知． ①________，________（用含的代数式表示）； ②若，求对称式值； ③若，求对称式的最小值． 【答案】(1)③ (2)①，；②；③4 【分析】本题考查代数式，完全平方公式，对称式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用公式解决问题． （1）根据对称式的定义判断即可； （2）①利用多项式的乘法公式展开，可得结论；②利用完全平方公式求解即可；③利用非负数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵ 不一定成立，不一定成立，成立，③属于对称式． 故答案为：③． （2）解：①   故答案为：，； ②整理得到，解得． ． ． ③ ， ∵ ∴ 原式 ， ， ， ∴当时，原式取的最小值，最小值为4， 的最小值为4． 16．（25-26八年级上·贵州铜仁·阶段检测）阅读材料：对于非零实数，若关于的分式的值为零，则解得又因为所以关于的方程的解为 (1)方程的解为： (2)若关于的方程的解为求的值； (3)若关于的方程的解为，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意可得或； （2）由题意可得，再由完全平方公式可得； （3）方程的解为，则原方程变形为，方程的解为或(看成整体)，则有，整理得，再代入将所求代数式即可． 【详解】（1）解：关于的方程的解为， 方程的解为， 故答案为：； （2）解：关于的方程的解为 ， ， 故答案为：19； （3）解：方程变形为， 方程的解为， 则或， ， 整理得， 故答案为3． 【点睛】本题考查了分式方程的解，熟练掌握题干知识，求分式方程的解，完全平方公式变形求值，整体代入法求代数式求值，是解题的关键． 17．（25-26七年级上·上海·期末）阅读：如果两个分式A与B的和为常数k，且k为正整数，则称A与B互为“关联分式”，常数k称为“关联值”．如分式，，，则A与B互为“关联分式”，“关联值”． (1)若分式，，判断A与B是否互为“关联分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“关联值”； (2)已知分式，，C与D互为“关联分式”，且“关联值”． ①_______（用含x的式子表示）； ②若x为正整数，且分式D的值为正整数，则x的值等于_______； 【答案】(1)是， (2)①，② 【分析】本题考查的是新定义运算的理解，分式的加减运算，理解新定义是解本题的关键． （1）先计算，再求出结果即可； （2）①先求解，结合新定义可得，从而可得答案；②由，且分式D的值为正整数．x为正整数，可得或，从而可得答案． 【详解】解：（1）A与B是互为“关联分式”，理由如下： ∵， ∴ ． ∴A与B是互为“关联分式”， “关联值”； （2）①∵，， ∴， ∵C与D互为“关联分式”，且“关联值”， ∴， ∴； ②∵，且分式D的值为正整数，x为正整数， ∴或， ∴（舍去）． 18．（25-26八年级上·湖南永州·阶段检测）我们定义：如果两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“雅中式”，这个常数称为关于的“雅中值”．如分式，，，则是的“雅中式”，关于的“雅中值”为． (1)已知分式，，判断是否为的“雅中式”，若不是，请说明理由；若是，请证明并求出关于的“雅中值”； (2)已知分式，，是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是，为整数，且“雅中式”的值也为整数，求所代表的代数式及所有符合条件的的值之和； (3)已知分式，（，，为整数），是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是，求的值． 【答案】(1)C是D的“雅中式”，C关于D的“雅中值”为1 (2)，5 (3)11或3 【分析】本题考查的是新定义情境下的分式的运算，分式的化简，分式的值，解分式方程，因式分解的应用，方程的整数解问题，代数式的值，掌握以上知识是解题的关键． （1）先化简，再计算，再根据“雅中值”的定义可得答案； （2）由定义可得：，整理可得：的表达式，再化简 根据为整数，且“雅中式”的值也为整数，得到：是2的因数，而可得答案； （3）由定义可得：，整理可得：，从而可得：，再消去，结合因式分解可得，结合、、为整数，分类讨论后可得答案． 【详解】（1）解：C是D的“雅中式”，理由如下： ，， ， 是的“雅中式”，关于的“雅中值”为1； （2）解：关于的“雅中值”是， ， ， ； ， 为整数，且“雅中式”的值也为整数， 是2的因数， 可能是：，， 的值为：，0，2，3， ， 的值为：0，2，3， ； （3）解：是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是1， ， 整理得：， 由上式恒成立： ， 消去可得：，即， ， 、、为整数， 为整数， 当时， ， 此时：， ； 当时， ， 此时：， ， 综上：的值为11或3． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十二章 分式和分式方程全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1 分式的判断 题型2 分式有无意义的条件 题型3 分式的求值 题型4 分式变形 题型5 利用分式的基本性质判断分式值的变化 题型6 将分式的分子分母各项系数化为整数 题型7 约分与通分 题型8 最简分式与最简公分母 题型9 分式的四则混合运算 题型10 已知分式恒等式，确定分子或分母 题型11 分式的实际应用 题型12 分式的化简求值 题型13 分式方程 题型14 解分式方程 题型15 根据分式方程解的情况求值 题型16 分式方程增根问题 题型17 分式的无解问题 题型18 分式方程的实际应用 核心提升：重难题型归纳 题型1 求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 题型2 求使分式值为整数时未知数的整数值 题型3 分式的新定义问题 题型4 分式的化简求值压轴 题型5 分式方程与不等式组、方程组结合问题 题型6 分式方程的含参问题 题型7 分式方程的实际应用综合 综合攻坚·知能拔高 ◆题型1 分式的判断 1．（25-26八年级上·河北石家庄·期末）在，，，，中，是分式的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段检测）在代数式，，，，，，中，是分式的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 3．（25-26八年级上·山东泰安·期中）代数式，，，，，中，属于分式的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 ◆题型2 分式有无意义的条件 4．（25-26八年级下·河南南阳·阶段检测）当分式有意义时，的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）对于分式下列说法不正确的是（   ） A．时，分式值为 B．时，分式无意义 C．时，分式值为负数 D．时，分式的值为正数 6．（25-26八年级上·全国·课后作业）当x取什么数时，分式有意义？当x取什么数时，该分式无意义？ ◆题型3 分式的求值 7．（24-25八年级下·江西九江·阶段检测）已知，求的值． 8．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段检测）（1）已知，求分式的值； （2）已知，求分式的值 9．（25-26八年级上·山东泰安·期中）已知实数满足，则分式为__________． ◆题型4 分式变形 10．（25-26八年级上·河北·单元复习）下列分式的变形：①；②；③；④，其中不正确的是______________（填序号）． 11．（25-26八年级上·河北唐山·阶段检测）已知，均为非0常数，要使等式成立，则括号内应填入_____． 12．（25-26八年级上·河北邢台·期末）已知为大于的实数，要使等式成立，则内应填入(   ) A． B． C． D． ◆题型5 利用分式的基本性质判断分式值的变化 13．（25-26八年级上·河北唐山·期中）如果把分式中的和都扩大倍，那么原分式的值（    ） A．不变 B．缩小3倍 C．扩大3倍 D．缩小6倍 14．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）若把分式中m和n的值都扩大2倍，那么分式的值（    ） A．缩小为原来的 B．扩大为原来的2倍 C．扩大为原来的4倍 D．不变 15．（24-25八年级下·福建福州·期中）若分式的值为6，当、都变为原来的2倍，所得分式的值是______． ◆题型6 将分式的分子分母各项系数化为整数 16．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）不改变分式的值，将分式中各项系数均化为整数，结果为（   ）． A． B． C． D． 17．（2022·河北保定·一模）不改变分式的值，将分式中的分子、分母的系数化为整数，其结果为（    ） A． B． C． D． 18．（24-25七年级下·全国·课后作业）不改变分式的值，将下列分式的分子与分母的第一项的系数化为正数，且各项系数不是整数的要化为整数． (1)； (2)． ◆题型7 约分与通分 19．（25-26八年级下·全国·课后作业）约分： (1)； (2)； (3)． 20．（25-26八年级下·全国·课后作业）将下列各分式通分： (1)； (2)； (3)； (4)． 21．（25-26八年级下·全国·单元复习）通分： (1)； (2)； (3)； (4)． ◆题型8 最简分式与最简公分母 22．（25-26八年级下·辽宁辽阳·期末）下列分式中是最简分式的是（     ） A． B． C． D． 23．（25-26八年级下·河南南阳·阶段检测）下列说法正确的是（    ） A．当时，分式无意义 B．分式与的最简公分母是 C．当分式值为0时， D．无论为何值，的值总为正数 24．（25-26八年级上·湖南株洲·期中）分式、、的最简公分母是______． ◆题型9 分式的四则混合运算 25．（25-26八年级下·山东青岛·阶段检测）化简： (1) (2) (3) (4) 26．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）化简：． 27．（25-26八年级下·四川泸州·期末）化简：． ◆题型10 已知分式恒等式，确定分子或分母 28．（25-26七年级下·安徽六安·期末）若常数，满足，则（     ） A． B． C． D． 29．（25-26七年级下·浙江宁波·期末）若恒成立，则(    ) A．0 B．4 C．8 D．12 30．（25-26八年级下·四川成都·期末）若，其中，为常数，则的值为________． ◆题型11 分式的实际应用 31．（2024·河北保定·三模）图1中阴影部分的面积为（边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形）．图2中阴影部分的面积为（边长为a的大正方形中有一个长为a、宽为b的小长方形），，设，则k的取值范围为___________． 32．（2024·河北邯郸·模拟预测）如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为（）的正方形去掉一个边长为的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为的正方形（其中为大于的整数），两块试验田的小麦都收获了．    （1）丰收________号（填“1”或者“2”）小麦的单位面积产量高； （2）某农户试种“丰收1号”、“丰收2号”两种小麦种子，其中“丰收1号”小麦面积为（为整数），“丰收2号”小麦种植面积比“丰收1号”少，若两种小麦种植后产量相同（小麦试种的单产量与实验田一致），当时，符合条件的的值为________（直接写出结果）． 33．（25-26八年级上·广东广州·期中）小军爸爸和小慧爸爸每天的白天、夜间都要到同一加油站各加一次油．白天和夜间的油价不同，有时白天高，有时夜间高，但不管价格如何变化，他们两人采用固定的加油方式：小军爸爸不论是白天还是夜间每次总是加60升油，小慧爸爸则不论是白天还是夜间每次总是花300元钱加油．假设某天白天油的价格为每升a元，夜间油的价格为每升b元． (1)用含a、b的代数式表示（请填化简后的结果）： 小军爸爸一天加2次油共花费 元，小慧爸爸一天加2次油共花费 元；小军爸爸这天加油的平均单价为 元/升，小慧爸爸这天加油的平均单价为 元/升． (2)判断谁的加油方式更合算，并通过数学运算说明理由． ◆题型12 分式的化简求值 34．（2026·河北邢台·二模）设，其中“”遮盖了一个关于的最简分式． (1)若“”部分是，请化简，并求当时的值； (2)若化简后，求被“”遮盖的分式． 35．（2026·河北邯郸·二模）对于分式，小李和小王分别使用如下方法化简： 小李： 小王： (1)请你选择其中一种方法，补全化简过程； (2)从中选一个整数，求出分式的值． 36．（25-26八年级上·河北沧州·期末）以下是小茗同学化简分式的运算过程： 解：原式=---------------------------------① =-------------------------------------------② =-----------------------------------------------------③ (1)上面的计算过程从第 步开始出现错误； (2)请你写出完整的解答过程，并从1，2，3中选一个合适的数代入求值． ◆题型13 分式方程 37．（25-26八年级上·全国·课后作业）有下列方程：①；②；③；④．其中是分式方程的是（    ） A．③④ B．①② C．①③ D．②④ 38．（24-25九年级上·福建莆田·阶段检测）下列式子中，是分式方程的是（    ） A． B． C． D． 39．（24-25八年级上·河北邯郸·阶段检测）为美化校园、某校安排甲、乙两人种植花苗，已知甲种植40棵花苗所用时间是乙种植15棵花苗所用时间的2倍，，求甲、乙两人每小时各种植多少棵花苗，设甲每小时种植棵花苗，则可得方程，根据此情景，题中用“…”表示的缺失的条件应为______． ◆题型14 解分式方程 40．（25-26八年级上·河北石家庄·期末）解分式方程： 41．（2026·河北邯郸·模拟预测）以下是某同学解方程的过程． 解：方程两边同乘以，得    ① 去括号，得：    ② 解得：        ③ 检验：当时，    ④ 所以，原分式方程的解为    ⑤ (1)该同学的解法从第_____步开始出现错误；（填序号） (2)写出原分式方程正确的解答过程． 42．（2026·河北廊坊·一模）在解分式方程时，小高的解法如下： ………………第一步 ………………第二步 …………………第三步 ………………………………第四步 检验：当时，……第五步 ∴原分式方程的解为………第六步 小高的解法中哪一步是去分母？去分母的依据是什么？判断小高的解答过程是否正确．若不正确，请写出你的解答过程． ◆题型15 根据分式方程解的情况求值 43．（2025八年级上·河北沧州·专题练习）若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是________． 44．（25-26八年级上·广东广州·阶段检测）如果关于的分式方程的解为非负数，那么实数的取值范围为___________ 45．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知，． (1)化简分式A． (2)若关于x的分式方程的解为，求m的值． (3)当x取什么整数时，分式A的值为整数？ ◆题型16 分式方程增根问题 46．（25-26八年级上·河北唐山·阶段检测）若关于x的方程有增根，试求k的值是（   ） A． B． C． D． 47．（25-26八年级上·河北张家口·阶段检测）已知是关于的方程，若方程有增根，则m的值为________． 48．（24-25八年级下·江苏盐城·阶段检测）已知关于x的分式方程． (1)若分式方程有增根，则 ； (2)若分式方程的解为非负数，求m的取值范围． ◆题型17 分式的无解问题 49．（25-26八年级上·河北邯郸·期末）若关于x的方程无解，则m的值______． 50．（25-26八年级下·河南开封·期末）关于x的分式方程无解，则的值为______． 51．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）已知关于的分式方程． (1)若方程的增根为，求的值． (2)若方程无解，求的值． ◆题型18 分式方程的实际应用 52．（25-26八年级下·河北保定·期末）“这么近，那么美，周末到河北．”河北省某地旅游景点为方便游客游览，现提供免费的观光车，观光车分为两种类型，分别为电瓶车和小火车，每辆小火车的座位比电瓶车多20个．某旅游团有120人，此旅游团成员全部乘坐观光车游览，若每一辆观光车都坐满乘客，且该旅游团全部乘坐电瓶车所需的数量是全部乘坐小火车所需数量的2倍．设乘坐的电瓶车每辆车的座位数为x个． (1)若旅游团成员全部乘坐电瓶车，则需 辆电瓶车；若旅游团成员全部乘坐小火车，则需 辆小火车．（都用含x的式子表示） (2)求x的值． 53．（25-26八年级上·河北沧州·期末）商场购进A、B两种儿童玩具，每个A玩具进价比每个B玩具进价多2.5元，用200元购进A玩具的数量是用75元购进B玩具数量的2倍． (1)求A、B两种玩具进价分别为多少元？ (2)若A玩具每个售价为13元，B玩具每个售价为9.5元，商场购进B玩具的数量比购进A玩具的数量的2倍还多4个，两种玩具全部售出后，商场要使总的利润超过120元，则最少购进A玩具多少个？ 54．（2026·河北石家庄·一模）【问题背景】2026央视马年春晚播出后．晚会中的机器人备受大家喜爱．为满足儿童对机器人的需求，某玩具店决定购进，两种机器人玩具． 素材一：已知一个种机器人玩具比一个种机器人玩具价格贵10元． 素材二：玩具店用2500元购进A种机器人玩具的数量是用1500元购进B种机器人玩具数量的2倍． 【问题解决】 (1)若设购买一个种机器人玩具价格为元，直接写出用1500元购进种机器人玩具数量（用含的代数式表示），并求购进，两种机器人玩具的单价； (2)因销售良好，该玩具店决定再次购进A，B两种机器人玩具共60个进行销售，且总金额不超过3200元，求至少购进A种机器人玩具的数量． ◆题型1 求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 55．（25-26八年级下·江西九江·阶段检测）已知分式． (1)若分式的值为0，则的值为_____． (2)若分式的值为正数，求的取值范围． 56．（25-26八年级上·河北邯郸·阶段检测）已知分式（a，b为常数）满足表格中的信息． x的取值 1 分式的值 无意义 0 1 (1) ， ； (2)求出c的值； (3)当分式的值为正时，直接写出x的取值范围． 57．（2023八年级下·甘肃平凉·竞赛）若分式的值是负数，则的取值范围是（     ） A． B．或 C．或 D．且 ◆题型2 求使分式值为整数时未知数的整数值 58．（25-26八年级下·四川遂宁·期中）若分式的值为整数，满足条件的整数x的个数为 _______ ． 59．（25-26八年级下·河南郑州·期中）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式” 例如：，则就是“和谐分式” (1)判断是否为“和谐分式”，并说明理由； (2)已知“和谐分式”的值为整数，且x为整数，求出所有符合条件的x的值． 60．（25-26八年级下·河南周口·阶段检测）一般情况下，一个分式通过适当变形，可以转化成一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式，例如： ①； ②． (1)仿照上述方法，试将分式化成一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式； (2)若分式的值为整数，请求出整数的值． ◆题型3 分式的新定义问题 61．（25-26八年级下·辽宁锦州·期末）阅读下面材料，回答问题． 素材1 定义：如果两个分式P与Q的和为常数k，则称P与Q互为“和定分式”，常数k称为“和定值”．例如：分式，，，则P与Q互为“和定分式”，“和定值”． 素材2 分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式，例如：分式，是真分式． 素材3 如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，是假分式． 问题解决： (1)已知分式，，判断A与B是否互为“和定分式”？若不是，请说明理由；若是，请求出k的值． (2)已知分式，，若C与D互为“和定分式”，且分式D为真分式，求代数式M（用含x的式子表示）． (3)已知分式，（a，b为常数），若E与F互为“和定分式”，则______，______． 62．（25-26七年级下·浙江衢州·期末）如果两个代数式和的和为常数，我们称这两个代数式互为“和合式”，这个常数为“和合值”．如，，因为，所以与互为和合式，和合值为4． (1)已知：，，判断与是否互为和合式．若是，求出和合值；若不是，请说明理由． (2)若与互为和合式，且和合值为2，求的值． (3)已知：，，若与互为和合式，和合值为，若，求的值． 63．（25-26八年级下·河南南阳·期末）定义：若分式和分式满足（为正整数），则称是的“差分式”，例如：，我们称是的“1差分式”． 解答下列问题： (1)分式是的“__________差分式”； (2)分式是分式的“3差分式”； ①__________（用含的代数式表示）； ②若和的值均为正整数，求的值． ◆题型4 分式的化简求值压轴 64．（25-26七年级下·浙江温州·阶段检测）已知 求 的值． 65．（25-26八年级下·重庆·期末）先化简，再求值：，其中． 66．（25-26八年级下·重庆奉节·期末）先化简，再求值：，其中． ◆题型5 分式方程与不等式组、方程组结合问题 67．（2022·云南玉溪·二模）若数使关于的不等式组有且仅有三个整数解，且使关于的分式方程有整数解，则满足条件的所有的值之和是（     ） A． B． C． D． 68．（25-26八年级下·重庆江北·阶段检测）若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解是负整数，则所有满足条件的整数的值之和是（     ） A． B． C． D． 69．（25-26八年级下·重庆渝中·期末）若关于的不等式组的解集为，且关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数的值之积为___________． ◆题型6 分式方程的含参问题 70．（25-26八年级下·宁夏银川·期末）已知关于x的分式方程的解为负数，则k的取值范围为_____． 71．（25-26七年级下·安徽池州·期末）现有以下四个说法：①分式是最简分式；②若分式的值为0，则的值为；③若关于的方程有增根，则的值为3；④若关于的方程无解，则的值为2．其中正确的个数有（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 72．（25-26八年级下·福建泉州·阶段检测）我们把形如（不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”． 例如为十字分式方程，可化为，∴，． 再如为十字分式方程，可化为，∴，． 应用上面的结论解答下列问题： (1)若为十字分式方程，则______，______． (2)若十字分式方程的两个解分别为，，求的值 ． (3)若关于的十字分式方程的两个解分别为，，求的值． ◆题型7 分式方程的实际应用综合 73．（25-26八年级上·河北邯郸·阶段检测）下面是嘉淇学习“分式方程的应用”时的课堂笔记，请认真阅读并解决相应的问题．题目：某商店准备购进甲、乙两种商品；甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价少元，用元购进甲种商品和用元购进乙种商品的数量相同，求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元？ 方法 分析问题 列出方程 解法一 设甲种商品每件进价元 等量关系：甲商品数量=乙商品数量 解法二 设…… 等量关系：乙商品进价-甲商品进价= (1)解法二所列方程中的表示 （填序号）； ①甲种商品每件进价元；②乙种商品每件进价元；③购进甲种商品和乙种商品各件． (2)请根据解法一列出方程，并求出甲、乙两种商品每件的进价； (3)若该商店准备购进甲、乙两种商品共件，且两种商品的总进价不超过元，设购进甲种商品件，则该商店最少购进甲种商品多少件？ (4)该商店准备再花费元全部用于购进甲、乙两种商品（两种商品都买），则最多可购进甲种商品 件． 74．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）“互联网+”助力乡村全面振兴．石家庄市某网络销售商在“双十一”举行促销活动，在11月11日销售甲、乙、丙三种农产品时，记录了如下统计信息： 信息1：乙商品销售单价比甲商品多5元/千克，丙商品销售单价是甲商品的3倍； 信息2：用270元购买丙商品的质量是用60元购买乙商品质量的3倍； (1)若设甲商品销售单价为元/千克，请依据上述信息填表； 销售单价（元/千克） 质量（千克） 销售总价（元） 乙 60元 丙 270元 (2)求11月11日当天甲、乙、丙商品销售单价分别为多少元/千克？ (3)“双十一”促销活动结束后，该销售商将三种商品的销售单价在（2）的基础上每千克提高了元（为整数且）．嘉嘉花200元购买甲商品，再花200元购买丙商品，琪琪花400元购买乙商品，设嘉嘉购买商品的质量之和为，设琪琪购买商品的质量为，直接写出的最大值． 75．（24-25七年级下·浙江金华·阶段检测）根据素材，完成任务． 如何设计雪花模型材料采购方案？ 素材一 学校组织同学参与甲、乙两款雪花模型的制作．每款雪花模型都需要用到长、短两种管子材料．某同学用6根长管子、48根短管子制作了1个甲雪花模型与1个乙雪花模型．已知制作一个甲、乙款雪花模型需要的长、短管子数分别为1：7与1：9． 素材二 某商店的店内广告牌如右所示．5月，学校花费320元向该商店购得的长管子数量比花200元购得的短管子数量少80根． 1．短管子售价：m元/根，长管子售价：2m元/根 2．6月起，购买3根长管子赠送1根短管子． 3．本店库存数量有限，长管子仅剩267根，短管子仅剩2130根，先到先得! 素材三 6月，学校有活动经费1280元，欲向该商店采购长、短管子各若干根全部用来制作甲、乙雪花模型（材料无剩余），且采购经费恰好用完． 问题解决 任务一 分析雪花模型结构 求制作一个甲、乙款雪花模型分别需要长、短管子多少根？ 任务二 确定采购费用 试求m的值． 任务三 拟定采购方案 求出所有满足条件的采购方案． 1．（25-26八年级下·河北保定·期末）若则下列分式化简正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（2022·河北衡水·模拟预测）已知均为正数，且，分式，分式，则的大小关系是（     ） A． B． C． D． 3．（2026·河北石家庄·二模）嘉嘉和爸爸均报名参加了半程马拉松比赛．已知在一次训练中，嘉嘉和爸爸从同一起点同时出发，到达距离的目的地时，嘉嘉比爸爸少用了，嘉嘉的平均速度是爸爸的倍，设爸爸训练时的平均速度为，则可列方程为（  ） A． B． C． D． 4．（2026·河北唐山·二模）若且，则的结果为（     ） A．1 B．3 C．6 D． 5．（25-26八年级上·河北唐山·期中）若关于的分式方程无解，则的值是（    ） A．3或7 B．3或10 C．7 D．3 6．若分式，则x的值为______． 7．（2026·河北廊坊·一模）爱好摄影的小冀正在学习调节老式胶片相机的光圈，在镜头焦距一定的条件下，光圈孔径直径D（单位：）与光圈系数F的关系式为，小冀分别使用了甲、乙两种不同的光圈设置进行拍摄，已知乙设置下的光圈系数是甲设置下的2倍，且甲设置下的光圈孔径直径比乙设置下的大，则甲设置下的光圈系数为_______． 8．（25-26八年级上·河北衡水·期末）阅读理解与应用阅读下面的材料，并解答下列问题： 已知： （1）根据你发现的规律写出第n（n为正整数）个式子是_______； （2）计算： ______ 9．（25-26八年级上·河北邯郸·阶段检测）某数学兴趣小组探究了分式的一种特殊变形：分式的分母不变，分子中构造含分母的结构，从而将原分式分离出一个常数和一个分子为常数的分式结构的变形．例如：．这种变形方法叫做“分离常数法”． (1)将分式分离常数，则，那么______； (2)利用分离常数法，当分式的值为正整数时，满足条件的整数的值为_______． 10．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）下列一组方程：①，②，③，…小明通过观察，发现了其中蕴含的规律，并顺利地求出了前三个方程的解，第①个方程的解为，；第②个方程的解为，；第③个方程的解为__________，若n为正整数，且关于x的方程的一个解是，则n的值等于_____． 11．（25-26八年级下·河北保定·期末）下面的分式化简题呈现了嘉嘉的正确解答过程，但部分算式被遮挡． 解： (1)求被遮挡部分的代数式（化为最简）； (2)嘉嘉认为“该分式的值不可能为6”， ①请你帮她说明理由； ②淇淇认为嘉嘉的说法不全面，你认为该分式的值还不可能为__________． 12．（25-26八年级下·河北保定·期末）先阅读下面的材料，然后回答问题： 方程的解为，； 方程的解为，； 方程的解为，；… (1)观察上述方程的解，猜想关于的方程的解是__________； (2)根据上面的规律，猜想关于的方程的解是__________； (3)由（2）可知，在解方程：时，可以变形转化为的形式求值，按要求写出你的变形求解过程． (4)利用（2）的结论直接写出方程的解：． 13．（25-26八年级下·河北保定·期中）在八年级下册第二章中我们学习了求解一元一次不等式组，其实一些非一次不等式都可以通过代数等价变形转化为一元一次不等式组来进行解决．例如：可以通过因式分解转化为，因为乘积为正，所以两个因式需同号，再通过分类讨论： ①解得；②解得． 综上所述，不等式的解集为或． 根据上述材料解决下列问题： (1)解不等式：； (2)解不等式：． 14．（25-26八年级上·河北衡水·期末）我省是小麦种植大省，某地为保证农户冬小麦种植工作平稳完成，当地政府组织农户对720亩小麦田统一播种，原计划租用一台中型播种机完成播种任务，但是因天气原因需提前3天完成，政府最终租用一台大型播种机播种，这台大型播种机的播种效率为中型播种机播种效率的1.5倍，且刚好按时完成． (1)大型播种机一天可播种多少亩小麦田？ (2)当地政府计划对本区域内另一处2400亩小麦田也进行统一播种，若使用同款大型播种机，计划在6天内完成播种．问政府至少需要租用多少台大型播种机同时播种才能按时完成这2400亩小麦田的播种任务？ 15．（2025八年级上·河北沧州·专题练习）我们学习了轴对称、轴对称图形，如角、等腰三角形、正方形、圆等图形，在代数中如，任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，这样的式子我们称为对称式．含有两个字母的对称式的基本对称式是和，像等对称式都可以用和表示，例如：．请根据上述材料解决下列问题： (1)式子①，②，③中，属于对称式的是________（填序号）． (2)已知． ①________，________（用含的代数式表示）； ②若，求对称式值； ③若，求对称式的最小值． 16．（25-26八年级上·贵州铜仁·阶段检测）阅读材料：对于非零实数，若关于的分式的值为零，则解得又因为所以关于的方程的解为 (1)方程的解为： (2)若关于的方程的解为求的值； (3)若关于的方程的解为，求的值． 17．（25-26七年级上·上海·期末）阅读：如果两个分式A与B的和为常数k，且k为正整数，则称A与B互为“关联分式”，常数k称为“关联值”．如分式，，，则A与B互为“关联分式”，“关联值”． (1)若分式，，判断A与B是否互为“关联分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“关联值”； (2)已知分式，，C与D互为“关联分式”，且“关联值”． ①_______（用含x的式子表示）； ②若x为正整数，且分式D的值为正整数，则x的值等于_______； 18．（25-26八年级上·湖南永州·阶段检测）我们定义：如果两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“雅中式”，这个常数称为关于的“雅中值”．如分式，，，则是的“雅中式”，关于的“雅中值”为． (1)已知分式，，判断是否为的“雅中式”，若不是，请说明理由；若是，请证明并求出关于的“雅中值”； (2)已知分式，，是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是，为整数，且“雅中式”的值也为整数，求所代表的代数式及所有符合条件的的值之和； (3)已知分式，（，，为整数），是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是，求的值． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $