专题01 分式与分式方程84道计算题练习（专项训练）数学新教材冀教版八年级上册

**基本信息** 以84道计算题构建分式运算与方程求解的阶梯训练体系，通过错误分析、方法对比实现算理深化与解题规范性培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础运算|30道|错误过程诊断、步骤规范训练|从单一运算到混合运算，培养运算能力| |方程应用|20道|解的检验流程、增根与无解辨析|从解法到解的分类讨论，发展推理意识| |创新拓展|34道|化简求值技巧、新定义转化方法|知识综合应用，提升模型意识与创新意识|

专题01 分式与分式方程84道计算题 常考题型·精准突破 考点一 分式与分式方程计算题 题型1 分式加法计算 题型2 分式减法计算 题型3 分式乘法计算 题型4 分式除法计算 题型5 分式乘方计算 题型6 分式混合计算（重） 题型7 分式化简求值（重） 题型8 分式方程的解法（重） 题型9 根据分式方程解的情况求值（重） 题型10 分式方程增根问题（重） 题型11 分式方程无解问题（重） 题型12分式与分式方程的新定义计算 （高频） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 分式与分式方程计算题 ◆题型1 分式加法计算 1．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：． （2）解：． 2．计算：________． 【答案】 【分析】根据同分母分式相加，分母不变，分子相加的法则对式子进行合并，再提取分子公因式约分，进而算出最终结果． 【详解】解：． 3．以下是小明计算的解答过程． 解： …第①步 …第②步 …第③步 …第④步 小明的解答过程从第 步开始出现错误，请你写出正确的解答过程． 【答案】②， 解：， ， ， ， ， ， ． 【详解】解：第②步错在通分后错误地去掉了分母（违背分式基本性质）， 正确的解答过程：略． 4．化简： 【答案】 【详解】解： ． 5．化简：__________． 【答案】 【详解】解：． 6．__________． 【答案】/ 【详解】解： ． ◆题型2 分式减法计算 7．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：； （2）解： ． 8．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式． 9．计算： (1)； (2)； 【答案】(1)1 (2)1 【分析】（1）利用同分母分式的加减运算法则计算即可； （2）先化为同分母，再计算即可. 【详解】（1）解： ； （2）解： ； 10．化简分式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 11．小明同学计算的过程如下： 解：原式 第一步   第二步                     第三步                 第四步 ．                     第五步 (1)小明同学化简第一步用到的知识是______．（填“整式乘法”或“因式分解”） (2)化简过程中第______步出现错误，出现错误的原因是______． (3)请你写出正确的答案_______． 【答案】(1)因式分解 (2)三，去括号时，第二项没有变号 (3) 【分析】（1）根据因式分解的定义，判断即可； （2）第三步去括号时，出现错误； （3）通分后进行计算即可． 【详解】（1）解：由题意得，小明同学化简第一步用到的知识是因式分解； （2）解：由题意得，化简过程中第三步出现错误，出现错误的原因是去括号时第二项没有变号； （3）解： ． 12．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】先对异分母分式进行通分，转化为同分母分式后加减计算，最后化简得到最简分式 【详解】（1）解： （2）解： ． ◆题型3 分式乘法计算 13．计算：． 【答案】 【详解】解：． 14．计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的乘法，首先把分式的分子、分母分别分解因式，再约去分子、分母的公因式化为最简分式即可． 【详解】解： ． 15．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了分式乘方以及分式乘法运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运算乘方再运算乘法，即可作答． （2）先运算乘方再运算乘法，即可作答． （3）先运算乘方再运算乘法，即可作答． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 16．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的乘法，熟练掌握分式乘法的运算法则是解题的关键． （1）先根据分式的乘法法则计算，再约分即可； （2）先将分子和分母因式分解，然后按照分式的乘法法则计算，再约分即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 17．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的乘法，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据分式的乘法法则进行计算，即可作答． （2）根据分式的乘法法则进行计算，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了分式乘法运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． 根据分式乘法运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式 ． ◆题型4 分式除法计算 19．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】先对多项式因式分解，将除法转化为乘法，再约去公因式即可得到最简结果． 【详解】（1）解： （2）解： ． 20．计算： 【答案】 【详解】解：原式. 21．化简：． 【答案】 【分析】本题先对原式的分子分母分别因式分解．再将分式除法转化为乘法．约分后即可得到化简结果．用到平方差公式和分式的运算法则． 【详解】解：原式 ． 22．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 23．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ； （5）解：原式 ； （6）解：原式 ． 24．化简：． 【答案】1 【详解】解：原式． ◆题型5 分式乘方计算 25．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)2 (3) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 26．计算： 【答案】 【分析】先计算分式乘方和积的乘方，再把除法变成乘法后计算乘法即可得到答案． 【详解】解： ． 27．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了分式运算，熟练掌握分式的乘除运算是解题的关键； 进行幂运算后先将除法化为乘法然后进行约分化简． 【详解】解：原式 ． 28．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘方、乘除混合运算，掌握先算乘方，再算乘除，除法变乘法后约分计算是解题的关键． 先计算分式的乘方，再将除法转化为乘法，最后通过约分完成计算． 【详解】解：原式 ． 29．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了含乘方的分式乘除法混合计算，先计算乘方，再把除法变成乘法，最后根据分式乘法计算法则求解即可． 【详解】解： ． 30．计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，分式的乘方运算，熟知相关运算法则是解题的关键． （1）（2）根据分式的乘方运算法则求解即可； （3）根据分式的乘除法运算法则求解即可； （4）先把对应分式的分母分解因式，再根据分式的乘除法运算法则求解即可； （5）先计算乘方，再根据分式的乘除法运算法则求解即可； （6）先计算乘方，再把对应分式的分母分解因式，最后根据分式的乘除法运算法则求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． ◆题型6 分式混合计算 31．计算：． 【答案】 【详解】解： ． 32．已知 (1)化简； (2)从，，，中选一个合适的数作为的值，求的值． 【答案】(1) (2)当时， 【详解】（1）解： （2）解：∵分式有意义， ∴，， 即且 从，，，中只能取 将代入得 ∴当时，的值为． 33．分式化简：． 【答案】 【详解】解：原式 ； 34．计算： 【答案】 【详解】解： ． 35．化简：． 【答案】 【详解】解： ． 36．化简：． 【答案】 【分析】利用分式的四则运算法则、完全平方公式进行化简． 【详解】解： ◆题型7 分式化简求值 37．先化简，再求值：，其中． 下面是小宇同学的化简过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：原式第一步 第二步 第三步 第四步 (1)任务一：第________步开始出现错误，这一步错误的原因是________________________________； (2)任务二：请直接写出该式子化简后的正确结果，并代入求值． 【答案】(1)一；添括号时，括号里面的第二项没有变号 (2)，2 【分析】（1）根据添括号法则判断即可； （2）根据分式混合运算法则计算，最后将代入计算即可． 【详解】（1）解：第一步开始出现错误，这一步错误的原因是添括号时，括号里面的第二项没有变号； （2）解： 当时，原式． 38．对于分式，小李和小王分别使用如下方法化简： 小李： 小王： (1)请你选择其中一种方法，补全化简过程； (2)从中选一个整数，求出分式的值． 【答案】(1) 见解析 (2) 当时，分式的值为 【详解】（1）解：小李的方法： ； 小王的方法： ； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴原式. 39．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解： ， 当时，原式． 40．先化简，再求值：，再从0，1，2中选取一个使原式有意义的数代入求值． 【答案】 【详解】解： ， 当，2时，分式无意义，所以， 当时，原式． 41．下面是一道例题及其解答过程的一部分，其中是单项式． 例：计算． 解：原式， …… (1)请写出单项式_______________； (2)将该例题的解答过程补充完整； (3)请在，，中选择一个合适的数，代入化简后的结果求值． 【答案】(1) (2)过程见解析 (3)选， 【分析】本题考查分式的混合运算，分式的基本性质，代数式化简求值，掌握好分式混合运算的法则是关键． （1）将分式通分成，对比可得单项式； （2）根据分式混合运算的法则进行计算即可； （3）在原分式有意义的前提下（即分母不为，除数不为），选择合适的值，代入求值即可． 【详解】（1）解：根据分式的性质可得， 由题意可知， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：原式， ， ， ； （3）解：当或时，原分式无意义，故只能选． 当时，． 42．下面是小红同学进行分式计算的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解： …………第一步 …………第二步 …………第三步 …………第四步 ．…………第五步 任务： (1)上述解题过程中，从第_____步开始出现错误； (2)请写出正确的计算过程，并求当时，该分式的值． 【答案】(1)四； (2) 解： ， 当时，原式． 【分析】本题考查了分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键． （1）根据题中的计算过程解答即可； （2）先根据分式的混合运算法则进行化简，再把代入进行计算即可． 【详解】（1）解：由题意可知，第四步进行化简时分子的符号没改变， 故答案为：四； （2）略 ◆题型8 分式方程的解法 43．下面是嘉嘉同学解分式方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解方程：． 解：······第一步 ············第二步 ··················第三步 ·····················第四步 (1)以上解分式方程的过程中，从第________步开始出现错误； (2)请你写出正确的解答过程． 【答案】(1)二 (2)， 方程两边同乘，得， 去括号，得， 移项并合并同类项，得， 系数化为1，得． 检验：当时，， ∴原分式方程的解为． 【分析】（1）根据解分式方程的步骤及相关法则逐步判断即可； （2）按照分式方程的标准步骤，去分母、化简求解、检验，即可得到正确结果． 【详解】（1）解：在第二步去括号时，应得到，故从第二步开始出现错误． （2）略 44．以下是某同学解方程的过程． 解：方程两边同乘以，得    ① 去括号，得：    ② 解得：        ③ 检验：当时，    ④ 所以，原分式方程的解为    ⑤ (1)该同学的解法从第_____步开始出现错误；（填序号） (2)写出原分式方程正确的解答过程． 【答案】(1) ① (2) 解：两边同乘，得 去括号，得 解得 检验：时， ∴原分式方程的解为 【分析】（1）根据解分式方程的步骤判断即可； （2）根据解分式方程的步骤：去分母，解整式方程，检验依次计算 【详解】（1）解：该同学的解法从第①步开始出现错误；错误原因是在方程两边同乘以时，等号右边的整式漏乘了， ∴该同学的解法从第①步开始出现错误； （2）略 45．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)原方程无解 【分析】本题为分式方程求解问题，解题思路是先分解分母确定最简公分母，去分母将分式方程转化为整式方程求解，最后对所得根进行检验，若根使原方程分母为0则为增根，原方程无解，否则为原方程的根． 【详解】（1）解： 方程两边同乘最简公分母，得 解得 检验：当时，，因此是原方程的解． （2）解：原方程变形为 方程两边同乘最简公分母，得 展开得 移项合并得 解得 检验：当时，，因此是增根，原方程无解． 46．习题课上，数学老师展示了两道习题及其错误的解答过程： 习题：计算 解： 第一步 第二步 第三步 第四步 习题：解方程． 解：方程两边同乘，得 第一步 第二步 第三步 经检验，是原方程的解．第四步 (1)分别写出习题，习题的解答过程中是从第几步开始出现错误的； (2)两道习题写出正确的解答过程． 【答案】(1)习题第一步开始出现错误，习题第二步开始出现错误 (2)解：习题正确解答计算过程如下： ； 习题正确解答过程如下： ， 方程两边同乘，得， 解得， 经检验，是原方程的解. 【分析】（）根据分式加法计算和解分式方程的步骤逐步检查即可判断求解； （）按照分式加法计算和解分式方程的步骤进行计算即可求解； 本题考查了分式的加法运算，解分式方程，正确计算是解题的关键． 【详解】（1）解：习题第一步开始出现错误，习题第二步开始出现错误； （2）略 47．习题课上，数学老师展示了两道习题及其错误的解答过程： 习题1：计算 解：原式…………第一步 …………第二步 ．…………第三步 习题2：解方程 解：．…………第一步 …………第二步 ．…………第三步 检验：当时， 是原方程的增根， 原方程无解．…………第四步 (1)习题1的解答过程从第___步开始出现错误，习题2的解答过程从第___步开始出现错误； (2)从以上两道习题中任选一题，写出正确的解答过程． 【答案】(1)二，一 (2)见详解 【分析】（1）根据完全平方公式判断习题一的第二步；根据分式方程去分母这一步骤判断习题2的第一步； （2）习题1：根据分式的加减法则计算即可；习题2：根据解分式方程的步骤解答即可． 【详解】（1）解：根据完全平方公式判断习题1的第二步开始出现错误， 根据分式方程去分母这一步骤判断习题2的第一步出现错误． （2）解：习题1： 习题2： 检验：当时， 是原方程的解． 48．解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题考查分式方程的求解，核心是通过去分母将分式方程转化为整式方程求解，求解后必须检验，若整式方程的解使原分式方程的分母为0，则该解为增根，该解应舍去． 【详解】（1）解：原方程可化为， 方程两边同时乘（），得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 检验：当时，， 所以是原方程的解； （2）解：原方程可化为， 方程两边同时乘（且），得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 检验：当时，，分母为0，是增根， 所以原方程无解． ◆题型9 根据分式方程解的情况求值 49．已知关于x的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】D 【分析】先解分式方程得到关于的表达式，再根据分式方程的解是非负数，且分母不为零，列出不等式求解的范围即可． 【详解】解：原方程为 ， ∵ ， ∴ 原方程可化为 ， 方程两边同乘 ，得 ， 展开整理得 ， 解得 ， ∵ 方程的解是非负数，且分母不能为零， ∴ ， 解得 且 ． 50．若数a使关于x的分式方程的解为正数，则a的取值范围（　　） A．且 B．且 C． D． 【答案】B 【分析】先去分母求解分式方程，再根据解为正数且分式有意义列出不等式，即可求出a的取值范围． 【详解】∵ 原方程为，将方程变形为， 两边同乘去分母得：， 整理求解得：， ∵ 方程的解为正数，且分式分母不能为0， ∴ ，且， 解第一个不等式得：， 解第二个不等式得：， ∴ 且． 51．若关于的一元一次不等式组有解，且关于的分式方程的解是非负整数，则所有满足条件的整数的值之积为_______． 【答案】 【分析】先根据不等式组有解求出的取值范围，再结合分式方程的解是非负整数且分母不为零，找出符合条件的整数，最后计算乘积． 【详解】解：解不等式，得：， 解不等式，得， 一元一次不等式组有解， ， 分式方程两边同乘去分母，得：， 解得， 由分式方程分母不为得，即， 解得， 分式方程的解是非负整数， ∴， 解得， ∴ 符合条件的整数为0，，2，4 ∴所有满足条件的整数的值之积为． 52．若关于x的方程的解为正数，求m的取值范围． 【答案】且 【分析】本题考查了分式方程的解以及不等式的解法，正确解分式方程是解题关键． 直接解分式方程，再利用解为正数，分式方程有意义，列不等式，解不等式得出m的取值范围，进而得出答案． 【详解】解：去分母，得． 整理，得， 解得． ∵关于x的方程的解为正数， ， 解得． 当时，， 解得， 的取值范围是且． 53．已知，． (1)化简分式A． (2)若关于x的分式方程的解为，求m的值． (3)当x取什么整数时，分式A的值为整数？ 【答案】(1) (2)7 (3)当x取或2或0时，分式A的值为整数 【分析】本题考查分式的运算，根据分式方程的解求参数，分式的值为整数时字母的值，熟练掌握相关知识点，正确的计算是解题的关键： （1）根据分式的除法法则进行计算即可； （2）将代入方程进行求解即可； （3）利用分离常数法，进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）∵， ∴． 方程的两边同时乘以，得， 解得． ∵分式方程的解为， ∴，解得． ∴的值为7． （3）解：∵，且分式A的值为整数， ∴或． ∴． 由题意，得且， ∴且． ∴当x取或2或0时，分式A的值为整数． 54．已知关于的分式方程有增根，则的值是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：化分式方程为整式方程，把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 先解分式方程可得，根据分式方程有增根，让最简公分母为确定增根，即可得关于的方程，解方程可求解值即可． 【详解】解：， 整理得：， 解得：， ∵分式方程有增根， ∴，解得：， ∴把代入中，解得：． 故选：C． ◆题型10 分式方程增根问题 55．若关于x的分式方程有增根，则m的值是（　　） A．或 B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的增根问题，根据解分式方程的方法去分母，把分式方程化为整式方程；接下来把增根的值代入到整式方程中，就可以求出m的值． 【详解】解：， 去分母，得， ∵关于x的分式方程有增根， ∴是分式方程的增根， 当时，， 解得； 当时，， 解得； ∴或， 故选：A． 56．关于x的方程有增根，则增根是___________，___________ 【答案】 【分析】熟练掌握增根的定义是解题关键，增根是分式方程化为整式方程后，使原分式方程分母为的根，先根据定义求出增根，再将增根代入化为整式方程的方程求解的值． 【详解】解：分式方程的最简公分母为， 令分母， 解得，因此增根为， 方程两边同乘最简公分母，化为整式方程得：， 将增根代入整式方程得：， 解得． 57．若关于的方程有增根，则_______． 【答案】1 【分析】本题考查分式方程的增根问题，将分式方程化为整式方程，求出使最简公分母的值为0的未知数的值，代入整式方程，求出的值即可． 【详解】解：， 去分母，得， ∵方程有增根， ∴，解得， 把代入，得，解得； 故答案为：1． 58．若方程有增根，求的值． 【答案】或 【分析】本题考查了分式方程的增根问题，注意解答增根问题按如下步骤进行：①根据最简公分母确定增根的值；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 将分式方程去分母后，将，代入求出k值即可． 【详解】解： 去分母得， 整理得， ∵方程有增根， ∴增根为或 当时，； 当 时 ∴ 的值为或 59．分式方程有增根，求k的值． 【答案】 【分析】本题考查分式方程无解问题，将分式方程化为整式方程，求出使最简公分母为0的未知数的值，代入到整式方程，求出k的值即可． 【详解】解：方程两边同时乘以，得：， 整理得：， ∵分式方程有增根， ∴， ∴或， 当时，整式方程无解，不符合题意； 当时，则：，解得：； 综上：． 60．如果关于的方程无解，则的值为（   ） A．2 B． C． D．7 【答案】B 【分析】本题考查解分式方程，熟知方程无解的情况通常发生在解出的根使分母为零（即增根）时． 先化简方程，利用分母关系，求解关于的表达式，进而求出的值即可． 【详解】解：， ， ， ， ∴ ， 两边乘以（），得， 解得：， ∴ ， 当时，分母为零，原方程无解， 令，则， 解得：． 故当 时，方程无解． 故选：B． ◆题型11 分式方程无解问题 61．若关于的分式方程无解，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程无解的条件，分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于．先去分母得到整式方程，解整式方程得，利用分式方程无解得到，所以，然后解关于的方程即可． 【详解】解：去分母得， 解得， 原分式方程无解， ， 即，解得， 当时，关于的分式方程无解． 故选：D ． 62．若关于x的方程无解，则m的值______． 【答案】，， 【分析】本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解的定义是解题的关键． 分式方程无解的情况有两种：整式方程无解或整式方程的解为增根．先化为整式方程，再分别讨论系数为0时整式方程无解，以及解为增根1或2的情况． 【详解】解：方程两边同乘最简公分母，得 整理得 移项得 当且时，整式方程无解 解得； 当整式方程的解为增根时，原方程无解， 增根为或 若，代入整式方程得 解得； 若，代入整式方程得 解得； 综上，的值为，，． 63．关于的分式方程无解，则的值为_____． 【答案】或1或6 【分析】此题考查了分式方程的解，分式方程无解分两种情况：整式方程本身无解；分式方程产生增根． 分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解确定出的值即可． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 整理得：， 当，即时，方程无解； 当，即时，由分式方程无解，得到或， 把代入得：； 把代入得：， 综上，的值为或1或6． 故答案为：或1或6． 64．已知关于x的分式方程． (1)若该分式方程无解，则m的值是多少？ (2)该分式方程的解大于1，求m的取值范围． 【答案】(1)4 (2)且 【分析】此题主要考查了分式方程的解，以及分式方程的无解问题，弄清题意是解本题的关键． （1）先解分式方程，得出，再根据分式方程无解，得到最简公分母为，即可求出的值，从而得出，求出m的值即可； （2）根据解大于且，得出且，求出的范围即可． 【详解】（1）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， ∵该分式方程无解， ， ， ∴， 解得：． （2）解：根据解析（1）得：， ∵该分式方程的解大于1且， ∴且， 解得：且． 65．若关于x的分式方程无解，求m的值． 【答案】1或 【分析】本题主要考查了分式方程的解，理解分式方程无解产生的原因是解题的关键． 先将分式方程去分母转化为整式方程，再根据整式方程无解和产生增根的两种情况分别进行求解即可． 【详解】解： ∵原分式方程无解， ∴，即， 当时，， 解得； 当时，方程无解， 此时； 综上，m的值为1或． 66．已知关于x的方程无解，求的值． 【答案】或1 【分析】本题主要考查了分式方程无解，先根据去分母，去括号，移项，合并同类项，当的系数为0时，方程无解，求出的值；当的系数不等于0时，求出方程的解，最简公分母等于0时方程无解，求出的值即可． 【详解】解：， 去分母得，， 整理得，， 由于原方程无解，故有以下两种情形： （1）若整式方程无实数根，则且， 此时 ， （2）若整式方程的解是原方程的增根，则， 解得 ， 综上所述，可取或1． ◆题型12 分式与分式方程的新定义计算 67．定义一种新运算“※”为：，则方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了定义新运算、解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．根据定义新运算得到方程，再解分式方程求出的值即可． 【详解】解：由题意得，， 去分母，得：， 解得：， 经检验，是原方程的解． 故选：B． 68．现定义一种新的运算：，例如：，若关于x的方程的解为非负数，则m的取值范围为（   ） A． B．且 C．且 D． 【答案】B 【分析】本题考查了解分式方程与解一元一次不等式，考查了新运算；理解新运算是关键．由新运算得关于x的分式方程，解方程，根据解为非负数得不等式，解不等式即可．但要注意，分式方程无解时m的取值要去掉． 【详解】解：∵， ∴， 解方程得：； 由于方程有解，则，即； 由题意得：， 解得：； 综合起来，m的取值范围为且； 故选：B． 69．对于代数式,，定义运算“※”：，若，则________． 【答案】/ 【分析】本题考查分式的运算，分式的混合运算．先通分合并，然后根据对应系数相等求出A，B的值，然后代入计算解答即可． 【详解】解：∵， ， ∴，解得， ∴． 故答案为：． 70．定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“n阶分式”．例如：，所以分式与互为“3阶分式”． （1）分式与______互为“4阶分式”； （2）若分式与互为“1阶分式”，则______． 【答案】 【分析】本题考查了分式的减法，解分式方程，理解“n阶分式”的定义是解此题的关键． （1）根据“n阶分式”的定义，分式 的“4阶分式”为，通过分式减法计算即可； （2）根据“1阶分式”的定义，分式与的和为1，列出方程求解，注意分母不为零． 【详解】解：（1） 设另一个分式为， 则：， 故分式与互为“4阶分式”； （2）由定义得：， 去分母可得：， 解得：， 当时，，满足题意 ∴． 71．定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“n阶分式”，例如：，则分式与互为“3阶分式”． (1)填空：分式与互为“______阶分式”； (2)已知分式与A互为“4阶分式”，求分式A； (3)已知分式、，且B与互为“2阶分式”．求代数式M（用含x的式子表示）． 【答案】(1)5 (2) (3) 【分析】本题主要考查了分式的加减运算，正确理解“n阶分式”的定义是解题的关键． （1）求出分式与的和，再根据定义可得答案； （2）根据定义可得，则，据此计算求解即可； （3）根据定义可得，即，据此去分母求出M即可． 【详解】（1）解：， ∴分式与互为“5阶分式”； （2）解：∵分式与A互为“4阶分式”， ∴， ∴ ； （3）解：∵、，且B与互为“2阶分式”， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 72．定义：若分式与分式的差等于它们的积．即，则称分式是分式的“友好分式”．如与．因为，．所以是的“友好分式”． (1)填空：分式______分式的“友好分式”．（填“是”或“不是”） (2)已知分式是分式A的“友好分式”． ①求分式A的表达式； ②若整数x使得分式A的值是正整数，求分式A的值． 【答案】(1)是 (2)①；② 1​, 3​ 或 4​ 【分析】分析 ​​（1）计算 和 ​，判断是否相等． ​​（2）​​​①​ 设分式A，由定义 ，解方程求A． ​②​ 令A为正整数，求整数x，再得A的值． 【详解】（1）解：设． ， ， 故​ 是的“友好分式”， 故答案为： ​是； （2）​​​①​分式是分式A的“友好分式”， 设分式． 则 移项，得， ， ， ， 分式A为 ​​． ​②​，要求A为正整数，x为整数且 ． 令（k正整数），则：， ， ， ， x整数，故 k−2 整除2，即： 当时， 当时，， 当时， 当时（舍去，非正整数） A的值为 1​, 3​ 或 4​． 【点睛】本题考查了分式运算（减法、乘法）、分式有意义的条件，解方程、整数解问题．解题的​关键​是理解新定义“友好分式”（差等于积），并转化为方程求解． 综合攻坚·知能拔高 1．若，． (1)化简； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解：由（1）知， ∵， ∴ ∴ ∴． 2．化简： 【答案】 【分析】先对括号内的分式进行通分，将异分母分式转化为同分母分式并计算减法，再将除法转化为乘法，通过约分化简得到结果． 【详解】解： ． 3．已知． (1)化简； (2)当且的值为整数时，确定的整数值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式的化简与整数解问题，熟练掌握分式的混合运算的运算法则是解题的关键，切记不可忘记分式有意义的条件． 【详解】（1）解：原式 （2）解：当时，原式 由题意得：，得的值为0或2， 因为，所以整数的值为2． 4．在数学课上，老师展示两道习题的解答过程： 习题1：计算 原式第一步 第二步 第三步 习题2：解方程 解：方程两边同乘，得 第一步 第二步 经检验，是分式方程的解．．．第三步 (1)解答过程中，习题1从第_____步开始出现错误，习题2从第_____步开始出现错误； (2)任选一个习题写出正确的解答过程． 【答案】(1)二，一 (2) 解：习题1： ； 习题2： 去分母得， 解得 检验：将代入 ∴原方程的解为． 【分析】此题考查了异分母分式加法运算，解分式方程，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）根据同分母分式的加法法则判断习题1的错误；根据去分母法则判断习题2的错误； （2）选择习题1，根据异分母分式加法运算法则化简即可；选择习题2，先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得． 【详解】（1）解：解答过程中，习题1从第二步开始出现错误，习题2从第一步开始出现错误； （2）略 5．先化简，再从中取一个数代入求值． 【答案】，当时，原式． 【分析】本题考查了分式的化简求值．先把括号里通分，再把除法转化为乘法，并把分子分母分解因式约分化简，最后把合适的所给字母的值代入计算． 【详解】解： ， 由题意：、、， 故a取1，当时， 原式． 6．先化简，再求值：，其中x是方程的解． 【答案】， 【分析】本题考查分式的混合运算，解分式方程．先将括号内分式的分子、分母因式分解，再约分，再与括号内的整式通分，变分式除法为乘法，约分化简；再解分式方程，求出解后代入化简后的式子即可求出原式的值． 【详解】解： ． 解， 将原方程左右两边同时乘以，得． 化简，得． 解得． 检验：当时，． 是原方程的解． 原式． 7．计算下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了分式混合运算，熟练掌握分式混合运算法则，是解题的关键． （1）先根据分式加减运算法则，计算括号里面的，再根据分式除法运算法则，进行计算即可； （2）根据分式混合运算法则，进行计算即可； （3）根据分式混合运算法则，进行计算即可； （4）根据平方差公式，结合分式混合运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 8．定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“n阶分式”．例如，分式与为“3阶分式”． (1)当满足条件______时，分式与为“5阶分式”； (2)设正数x，y互为倒数，求证：分式与为“2阶分式”； (3)若分式与为“1阶分式”（其中a，b为正数），求的值． 【答案】(1) (2) 证明：∵正数互为倒数， ， ， ∴分式与互为“2 阶分式”； (3) 【分析】本题主要考查了分式的加减，因式分解，熟练掌握分式的通分约分运算知识是解决此类问题的关键． （1）根据题意，计算与的和即可； （2）根据题意首先利用倒数关系，将进行消元，然后通过分式的加法化简即可得解； （3）根据1阶分式的要求对两者相加进行分式加法化简，通过通分化简即可得解． 【详解】（1）解：∵分式与为“5阶分式”， ∴， ∴， ∴， 即当满足，时，分式与为“5阶分式”； （2）略 （3）解：∵分式与互为“1 阶分式”， ， 去分母，得， 则， ， ， ∴， ∵为正数， ， 解得：． 9．定义：若分式M与分式N的差等于它们的积，即，则称分式N是分式M的“和美分式”． (1)判断分式是否为分式的“和美分式”，并说明理由； (2)小颖在求分式的“和美分式”时，用了以下方法：设的“和美分式”为A， 则， 所以，整理得， 所以，． 请你仿照小颖的方法，求分式的“和美分式”． 【答案】(1) 分式是分式的“和美分式”，理由如下： ∵ ， ∴， ∴分式是分式的“和美分式”； (2) 【分析】本题考查分式的计算，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）求出两个分式的差和积，根据新定义，进行判断即可； （2）仿照题干方法，进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：设的“和美分式”为A， 则， 整理得， ∴ ， ∴的“和美分式”为． 10．阅读资料，解决问题： 定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，如：，这样的分式就是真分式；当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如：，这样的分式就是假分式，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式），如：． (1)分式是__________（填“真分式”或“假分式”）； (2)将假分式分别化为带分式； (3)如果分式的值为整数，求所有符合条件的负整数的值． 【答案】(1)假分式 (2)， (3) 【分析】本题考查分式的化简，分式的求值，熟练掌握新定义是解题的关键： （1）根据新定义进行判断即可； （2）根据题干给定的方法，进行求解即可； （3）先将假分式化为带分式，再根据分式的值为整数，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，分式是假分式； （2）解：； ． （3）解：， 若使原分式的值为整数，则的值为整数， 或， ∴， ∴符合条件的负整数的值为． 11．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，，则和都是“和谐分式”． (1)下列式子中，属于“和谐分式”的是______（填序号）； ①；②；③；④． (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：_____+_______； (3)应用：先化简，并求取什么整数时，该式的值为整数． 【答案】(1)①③④ (2)， (3)化简：， 【分析】（1）根据定义，化简计算再判定即可． （2）根据定义求解即可； （3）根据分式的混合运算，化简，然后利用整数的条件，分式有意义的条件，求解即可． 【详解】（1）解：①，是“和谐分式”； ②是整式，不是分式，不是“和谐分式”； ③，是“和谐分式”； ④，是“和谐分式”． （2）解：． （3）解：原式 ， 当，时，该式的值为整数， 解得或或或， 根据分式有意义的条件，得， 解得， 故． 12．阅读理解: 定义：若分式和分式满足（为正整数），则称是的“差分式”． 例如： 我们称 是 的“差分式”， 解答下列问题： (1)分式 是分式 的“ 差分式”． (2)分式 是分式 的“差分式”． ① （含的代数式表示）； ②若 的值为正整数，为正整数，求的值． (3)已知，分式 是 的“差分式”（其中为正数），求的值． 【答案】(1) (2)①；②，则；，则； (3) 【分析】本题主要考查定义新运算，分式的混合运算，乘法公式的运用， （1）根据材料提示进行计算即可求解； （2）根据“差分式”的计算方法可得，结合分式的混合运算即可求解； （3）根据“差分式”的计算方法可得，根据分式的混合运算，乘法公式的运算可得，结合，由此即可求解． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：①， ∴， 解得，； ②，为正整数， ∴当时，，则； 当时，，则； 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，不符合题意，舍去； ∴的值为或； （3）解：， ，且， ∴， ∵为正数， ∴， ∴的值为． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 分式与分式方程84道计算题 常考题型·精准突破 考点一 分式与分式方程计算题 题型1 分式加法计算 题型2 分式减法计算 题型3 分式乘法计算 题型4 分式除法计算 题型5 分式乘方计算 题型6 分式混合计算（重） 题型7 分式化简求值（重） 题型8 分式方程的解法（重） 题型9 根据分式方程解的情况求值（重） 题型10 分式方程增根问题（重） 题型11 分式方程无解问题（重） 题型12分式与分式方程的新定义计算 （高频） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 分式与分式方程计算题 ◆题型1 分式加法计算 1．计算： (1) (2) 2．计算：________． 3．以下是小明计算的解答过程． 解： …第①步 …第②步 …第③步 …第④步 小明的解答过程从第 步开始出现错误，请你写出正确的解答过程． 4．化简： 5．化简：__________． 6．__________． ◆题型2 分式减法计算 7．计算： (1) (2) 8．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 9．计算： (1)； (2)； 10．化简分式： (1)； (2)． 11．小明同学计算的过程如下： 解：原式 第一步   第二步                     第三步                 第四步 ．                     第五步 (1)小明同学化简第一步用到的知识是______．（填“整式乘法”或“因式分解”） (2)化简过程中第______步出现错误，出现错误的原因是______． (3)请你写出正确的答案_______． 12．计算： (1)； (2)． ◆题型3 分式乘法计算 13．计算：． 14．计算： 15．计算： (1)； (2)； (3)． 16．计算： (1)． (2)． 17．计算： (1)； (2)． 18．计算： ◆题型4 分式除法计算 19．计算： (1)； (2)． 20．计算： 21．化简：． 22．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 23．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 24．化简：． ◆题型5 分式乘方计算 25．计算： (1)； (2)； (3)． 26．计算： 27．计算：． 28．计算：． 29．计算：． 30．计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) ◆题型6 分式混合计算 31．计算：． 32．已知 (1)化简； (2)从，，，中选一个合适的数作为的值，求的值． 33．分式化简：． 34．计算： 35．化简：． 36．化简：． ◆题型7 分式化简求值 37．先化简，再求值：，其中． 下面是小宇同学的化简过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：原式第一步 第二步 第三步 第四步 (1)任务一：第________步开始出现错误，这一步错误的原因是________________________________； (2)任务二：请直接写出该式子化简后的正确结果，并代入求值． 38．对于分式，小李和小王分别使用如下方法化简： 小李： 小王： (1)请你选择其中一种方法，补全化简过程； (2)从中选一个整数，求出分式的值． 39．先化简，再求值：，其中． 40．先化简，再求值：，再从0，1，2中选取一个使原式有意义的数代入求值． 41．下面是一道例题及其解答过程的一部分，其中是单项式． 例：计算． 解：原式， …… (1)请写出单项式_______________； (2)将该例题的解答过程补充完整； (3)请在，，中选择一个合适的数，代入化简后的结果求值． 42．下面是小红同学进行分式计算的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解： …………第一步 …………第二步 …………第三步 …………第四步 ．…………第五步 任务： (1)上述解题过程中，从第_____步开始出现错误； (2)请写出正确的计算过程，并求当时，该分式的值． ◆题型8 分式方程的解法 43．下面是嘉嘉同学解分式方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解方程：． 解：······第一步 ············第二步 ··················第三步 ·····················第四步 (1)以上解分式方程的过程中，从第________步开始出现错误； (2)请你写出正确的解答过程． 44．以下是某同学解方程的过程． 解：方程两边同乘以，得    ① 去括号，得：    ② 解得：        ③ 检验：当时，    ④ 所以，原分式方程的解为    ⑤ (1)该同学的解法从第_____步开始出现错误；（填序号） (2)写出原分式方程正确的解答过程． 45．解方程： (1)； (2)． 46．习题课上，数学老师展示了两道习题及其错误的解答过程： 习题：计算 解： 第一步 第二步 第三步 第四步 习题：解方程． 解：方程两边同乘，得 第一步 第二步 第三步 经检验，是原方程的解．第四步 (1)分别写出习题，习题的解答过程中是从第几步开始出现错误的； (2)两道习题写出正确的解答过程． 47．习题课上，数学老师展示了两道习题及其错误的解答过程： 习题1：计算 解：原式…………第一步 …………第二步 ．…………第三步 习题2：解方程 解：．…………第一步 …………第二步 ．…………第三步 检验：当时， 是原方程的增根， 原方程无解．…………第四步 (1)习题1的解答过程从第___步开始出现错误，习题2的解答过程从第___步开始出现错误； (2)从以上两道习题中任选一题，写出正确的解答过程． 48．解方程： (1) (2) ◆题型9 根据分式方程解的情况求值 49．已知关于x的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 50．若数a使关于x的分式方程的解为正数，则a的取值范围（　　） A．且 B．且 C． D． 51．若关于的一元一次不等式组有解，且关于的分式方程的解是非负整数，则所有满足条件的整数的值之积为_______． 52．若关于x的方程的解为正数，求m的取值范围． 53．已知，． (1)化简分式A． (2)若关于x的分式方程的解为，求m的值． (3)当x取什么整数时，分式A的值为整数？ 54．已知关于的分式方程有增根，则的值是（   ）． A． B． C． D． ◆题型10 分式方程增根问题 55．若关于x的分式方程有增根，则m的值是（　　） A．或 B． C． D．或 56．关于x的方程有增根，则增根是___________，___________ 57．若关于的方程有增根，则_______． 58．若方程有增根，求的值． 59．分式方程有增根，求k的值． 60．如果关于的方程无解，则的值为（   ） A．2 B． C． D．7 ◆题型11 分式方程无解问题 61．若关于的分式方程无解，则的值为（    ） A． B． C． D． 62．若关于x的方程无解，则m的值______． 63．关于的分式方程无解，则的值为_____． 64．已知关于x的分式方程． (1)若该分式方程无解，则m的值是多少？ (2)该分式方程的解大于1，求m的取值范围． 65．若关于x的分式方程无解，求m的值． 66．已知关于x的方程无解，求的值． ◆题型12 分式与分式方程的新定义计算 67．定义一种新运算“※”为：，则方程的解为（    ） A． B． C． D． 68．现定义一种新的运算：，例如：，若关于x的方程的解为非负数，则m的取值范围为（   ） A． B．且 C．且 D． 69．对于代数式,，定义运算“※”：，若，则________． 70．定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“n阶分式”．例如：，所以分式与互为“3阶分式”． （1）分式与______互为“4阶分式”； （2）若分式与互为“1阶分式”，则______． 71．定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“n阶分式”，例如：，则分式与互为“3阶分式”． (1)填空：分式与互为“______阶分式”； (2)已知分式与A互为“4阶分式”，求分式A； (3)已知分式、，且B与互为“2阶分式”．求代数式M（用含x的式子表示）． 72．定义：若分式与分式的差等于它们的积．即，则称分式是分式的“友好分式”．如与．因为，．所以是的“友好分式”． (1)填空：分式______分式的“友好分式”．（填“是”或“不是”） (2)已知分式是分式A的“友好分式”． ①求分式A的表达式； ②若整数x使得分式A的值是正整数，求分式A的值． 综合攻坚·知能拔高 1．若，． (1)化简； (2)若，求的取值范围． 2．化简： 3．已知． (1)化简； (2)当且的值为整数时，确定的整数值． 4．在数学课上，老师展示两道习题的解答过程： 习题1：计算 原式第一步 第二步 第三步 习题2：解方程 解：方程两边同乘，得 第一步 第二步 经检验，是分式方程的解．．．第三步 (1)解答过程中，习题1从第_____步开始出现错误，习题2从第_____步开始出现错误； (2)任选一个习题写出正确的解答过程． 5．先化简，再从中取一个数代入求值． 6．先化简，再求值：，其中x是方程的解． 7．计算下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 8．定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“n阶分式”．例如，分式与为“3阶分式”． (1)当满足条件______时，分式与为“5阶分式”； (2)设正数x，y互为倒数，求证：分式与为“2阶分式”； (3)若分式与为“1阶分式”（其中a，b为正数），求的值． 9．定义：若分式M与分式N的差等于它们的积，即，则称分式N是分式M的“和美分式”． (1)判断分式是否为分式的“和美分式”，并说明理由； (2)小颖在求分式的“和美分式”时，用了以下方法：设的“和美分式”为A， 则， 所以，整理得， 所以，． 请你仿照小颖的方法，求分式的“和美分式”． 10．阅读资料，解决问题： 定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，如：，这样的分式就是真分式；当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如：，这样的分式就是假分式，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式），如：． (1)分式是__________（填“真分式”或“假分式”）； (2)将假分式分别化为带分式； (3)如果分式的值为整数，求所有符合条件的负整数的值． 11．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，，则和都是“和谐分式”． (1)下列式子中，属于“和谐分式”的是______（填序号）； ①；②；③；④． (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：_____+_______； (3)应用：先化简，并求取什么整数时，该式的值为整数． 12．阅读理解: 定义：若分式和分式满足（为正整数），则称是的“差分式”． 例如： 我们称 是 的“差分式”， 解答下列问题： (1)分式 是分式 的“ 差分式”． (2)分式 是分式 的“差分式”． ① （含的代数式表示）； ②若 的值为正整数，为正整数，求的值． (3)已知，分式 是 的“差分式”（其中为正数），求的值． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $