解三角形：利用三角函数值域、基本不等式求解三角形中的最值问题专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦解三角形最值问题，构建三角函数值域与基本不等式双路径训练体系，逻辑清晰且题型典型。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |利用三角函数值域|3例+3变式|涉及角平分线、费马点等情境，求周长、线段长度取值范围|以正弦定理、余弦定理为基础，结合三角函数有界性推导范围，培养推理能力与几何直观| |利用基本不等式|3例+3变式|含面积、线段长度最大值问题，涉及中点、三等分点等|基于三角形面积公式及边长关系，通过基本不等式求最值，发展运算能力与模型观念|

解三角形：利用三角函数值域、基本不等式求解三角形中的最值问题专项训练 解三角形：利用三角函数值域、基本不等式求解三角形中的最值问题专项训练 考点目录 利用三角函数值域求解三角形中的最值问题 利用基本不等式求解三角形中的最值问题 考点一 利用三角函数值域求解三角形中的最值问题 例1．（25-26高三上·广东深圳·阶段检测）在中，角的对边分别为，向量，且，点为上一点． (1)求角的大小； (2)若是的角平分线，，的周长为19，求的长度； (3)若为上靠近点的一个三等分点，，求实数的取值范围． 例2．（25-26高三上·山西长治·月考）在中，角所对边分别为，且满足. (1)求角A的大小； (2)若D是线段的中点，且，，求； (3)若为锐角三角形，，求的取值范围. 例3．（25-26高三上·福建福州·月考）“平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点”被称为费马点，是由法国数学家费马在十七世纪提出的，意大利数学家托里拆利给出了确定费马点的方法：当的三个内角均小于时，满足的点O为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.请用上述知识解决下面的问题：在中，角所对的边分别为，且. (1)求； (2)已知，点为的费马点. ①若，记，求； ②若为锐角三角形，求的取值范围. 变式1．（25-26高三上·江苏南京·阶段检测）锐角中，角的对边分别是，且． (1)求角的大小； (2)若的周长为6，求的取值范围． 变式2．（25-26高三上·河北邢台·阶段检测）已知锐角的内角的对边分别为，，． (1)求； (2)若角的平分线交于点，求的取值范围． 变式3．（25-26高三上·辽宁丹东·月考）在中，内角所对的边分别是， (1)若，求角； (2)若为边上一点，且满足，， ①求的值； ②求的取值范围． 考点二 利用基本不等式求解三角形中的最值问题 例1．（2026·安徽阜阳·模拟预测）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a=1且． (1)求A； (2)设角A的平分线交边BC于点D，求AD长度最大值． 例2．（25-26高一下·河北唐山·期末）在中，角，，对应的边分别为，，，，． (1)若，求； (2)当为何值时，的面积最大？并求出的最大值． 例3．（2026·陕西西安·模拟预测）在中，角、、的对边为、、，已知，，. (1)求边上的高； (2)若为锐角三角形，直线与的边、分别相交于D，E，（不与顶点重合），把分成面积相等的两部分，求的最小值. 变式1．（2026·湖南怀化·三模）在中，已知． (1)求C． (2)如图，若A，B在以C为圆心的单位圆上，D为此单位圆上的动点，线段交线段于点M（点M异于点C，B）． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）设（），记，求的最小值． 变式2．（2026·上海·三模）在中，角、、所对的边分别为、、． (1)若、、成等比数列，求证：； (2)若、、成等差数列，且，求的周长的最大值． 变式3．（25-26高三上·福建龙岩·期中）已知函数（满足恒成立，且相邻两对称轴之间的距离不小于，设为曲线的对称中心. (1)求； (2)若，求的取值范围； (3)记的角，，对应的边分别为，，，若，，求边上的高长的最大值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $解三角形：利用三角函数值域、基本不等式求解三角形中的最值问题专项训练 解三角形：利用三角函数值域、基本不等式求解三角形中的最值问题专项训练 考点目录 利用三角函数值域求解三角形中的最值问题 利用基本不等式求解三角形中的最值问题 考点一 利用三角函数值域求解三角形中的最值问题 例1．（25-26高三上·广东深圳·阶段检测）在中，角的对边分别为，向量，且，点为上一点． (1)求角的大小； (2)若是的角平分线，，的周长为19，求的长度； (3)若为上靠近点的一个三等分点，，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由向量垂直运算可得边角关系，然后由正弦定理边角互化可得答案； （2）由三角形面积相等及余弦定理可得答案； （3）解法一：设其中一角，然后利用正弦定理可得边角关系，将转化成用所设角表示，利用范围即可求出答案； 解法二：设其中一角，然后利用向量共线可得边的关系，再用边角互化将转化成用所设角表示，利用范围即可求出答案； 【详解】（1）且， ，即， 所以在中，由正弦定理有， ， 又因为在中，， ，又， 又，； （2） 由（1）知，， 则，又，， ， 为角的角平分线， ， 即，； （3） 解法一：由（1）知，，则， 设，则； 设，则. 在中，即， 在中， 即， 则. 又，，又， ， 由和差化积公式可得， 则，， ； 解法二：已知为上靠近点的一个三等分点， 则， 又，由（1）知，，，则， 则， . ． ， ， . 例2．（25-26高三上·山西长治·月考）在中，角所对边分别为，且满足. (1)求角A的大小； (2)若D是线段的中点，且，，求； (3)若为锐角三角形，，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理边化角即可求出角； （2）把中线长转化为中线向量，再利用向量运算结合余弦定理即可求出面积； （3）利用正弦定理边化角，结合三角恒等变形，利用锐角三角形确定角的范围，问题即可求解. 【详解】（1）由正弦定理得:， 因为，所以. （2）由余弦定理，，，代入可得:， 因为为线段的中点，所以， 则，即， 由上面两式相减可得:，解得:， 所以； （3）由正弦定理得:，所以，， 即 ， 因为为锐角三角形，所以，解得:， 则，所以，即， 因为，所以，即的取值范围为. 例3．（25-26高三上·福建福州·月考）“平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点”被称为费马点，是由法国数学家费马在十七世纪提出的，意大利数学家托里拆利给出了确定费马点的方法：当的三个内角均小于时，满足的点O为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.请用上述知识解决下面的问题：在中，角所对的边分别为，且. (1)求； (2)已知，点为的费马点. ①若，记，求； ②若为锐角三角形，求的取值范围. 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）借助正弦定理将边化为角后，利用两角和的正弦公式及辅助角公式计算即可得； （2）①利用正弦定理可计算出，再分别在、中，使用正弦定理并作商即可得；②结合费马点定义可得，再利用等面积法计算可得，再利用正弦定理可用表示，结合锐角三角形性质可求出的取值范围，即可得解. 【详解】（1）根据正弦定理，有， 即， 又因为， 所以， 即， 即， 因为三角形中，则有， 即，所以， 又，所以，则； （2）因为，所以和均小于， 又为费马点，则有， （ⅰ）在中，由正弦定理得， 即，得， 在中，由正弦定理得， 在中，， 由正弦定理得， ①②两式相除得，化简得， 所以； （ⅱ） ， 由， 得， 整理得， 因为， 所以 ， 因为是锐角三角形，所以，即， 所以，所以， 则，所以， 所以的取值范围是. 变式1．（25-26高三上·江苏南京·阶段检测）锐角中，角的对边分别是，且． (1)求角的大小； (2)若的周长为6，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）正弦定理角化边，再余弦定理求解即可； （2）正弦定理结合三角函数求范围即可. 【详解】（1）由正弦定理可得，， 即， 由余弦定理可得， 由于，则. （2）由正弦定理得， ， 所以周长， 由于为锐角三角形，所以，, 所以，所以， ， . 变式2．（25-26高三上·河北邢台·阶段检测）已知锐角的内角的对边分别为，，． (1)求； (2)若角的平分线交于点，求的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）利用正弦定理边化角可求得，由此可得； （2）利用面积可求得，利用正弦定理边化角，结合的范围可求得的范围，进而构造不等式求得的取值范围. 【详解】（1），， 由正弦定理得：， ， ，，，. （2） ； 由正弦定理得：； ，，， ，即， ，解得：，即的取值范围为. 变式3．（25-26高三上·辽宁丹东·月考）在中，内角所对的边分别是， (1)若，求角； (2)若为边上一点，且满足，， ①求的值； ②求的取值范围． 【答案】(1) (2)① ；②. 【分析】（1）利用余弦定理求解. （2）①由已知可得AD是的平分线，利用三角形面积公式列式计算；②利用正弦定理，结合三角恒等变换及正弦函数性质求出范围. 【详解】（1）在中，， 由余弦定理得，而， 所以． （2）①由，得AD是的平分线， 由（1）知，，得，在中，， 即，则， 所以. ②在中，由正弦定理得，则， 在中，由正弦定理得， 则，由，得， 因此， 由，得，则， 所以的取值范围为. 考点二 利用基本不等式求解三角形中的最值问题 例1．（2026·安徽阜阳·模拟预测）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a=1且． (1)求A； (2)设角A的平分线交边BC于点D，求AD长度最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角形内角和为，结合诱导公式与正弦定理边角互化求解； （2）利用三角形面积公式和三角形面积的几何关系，结合余弦定理把长度的关系式表示出来并化简成基本不等式的形式，利用基本不等式求最值 【详解】（1）由题意，∵， ∴， 整理得：， ∵，∴，∴，又，∴， 由正弦定理得：，∴， ∵，∴，即， ∵，∴. （2）由题意及（1）得， 由几何知识得，， ∵， ， ∴，解得：， 由余弦定理得：， 即，解得：， ∴，解得：， ∵， ∴（当且仅当时取等号） ∴， ∴的最大值是． 例2．（25-26高一下·河北唐山·期末）在中，角，，对应的边分别为，，，，． (1)若，求； (2)当为何值时，的面积最大？并求出的最大值． 【答案】(1) (2)当为时，取得最大值． 【分析】（1）根据正弦定理及三角形内角和求解即可. （2）根据余弦定理及三角形面积公式，结合基本不等式求解即可. 【详解】（1）由正弦定理，得， 因为，所以． 故． （2）由（1）可得， 由余弦定理得，即． 又，则， 所以，当且仅当时，等号成立． 则． 因此，当为时，取得最大值． 例3．（2026·陕西西安·模拟预测）在中，角、、的对边为、、，已知，，. (1)求边上的高； (2)若为锐角三角形，直线与的边、分别相交于D，E，（不与顶点重合），把分成面积相等的两部分，求的最小值. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据半角公式计算得到，在中，通过余弦定理即可求解； （2）根据三角形面积公式得到边长关系，根据基本不等式即可求解. 【详解】（1）因为，因此，， 由余弦定理，，则， 解得或， 当时，边上的高， 当时，边上的高. （2）当时，为锐角三角形， ，， 设，，则，则 在中根据余弦定理，， 由基本不等式，当且仅当时，取得最小值， 则. 变式1．（2026·湖南怀化·三模）在中，已知． (1)求C． (2)如图，若A，B在以C为圆心的单位圆上，D为此单位圆上的动点，线段交线段于点M（点M异于点C，B）． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）设（），记，求的最小值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）（ⅱ） 【分析】（1） 应用已知化简得出，再结合正弦定理边角转化应用余弦定理得出结合角的范围求角； （2）（ⅰ）应用平面向量的数量积运算律结合两角和差公式及正弦值域求解；（ⅱ）设，应用数乘运算及模长化简，最后结合基本不等式得出最小值. 【详解】（1）记内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 因为， 所以， 即， 由正弦定理得，      所以， 又，所以． （2）（ⅰ）设，则，， ，       所以，，       又，所以，则的取值范围为．    （ⅱ）设（），则， 因为（）， 所以， 所以， 因为，所以，即， 化简得，，        所以，， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为． 变式2．（2026·上海·三模）在中，角、、所对的边分别为、、． (1)若、、成等比数列，求证：； (2)若、、成等差数列，且，求的周长的最大值． 【答案】(1)证明： 因为成等比数列，所以. 根据余弦定理： 由基本不等式，当且仅当时取等号， 代入得：，原不等式得证. (2)6 【分析】（1）由等比数列性质可得，进而结合余弦定理写出的表达式，再利用基本不等式证明； （2）由等差数列性质求出角的值，再结合，利用余弦定理得到的关系式，结合基本不等式求的最大值，进而得到周长最大值. 【详解】（1）略 （2）因为成等差数列，所以， 结合三角形内角和，得. 已知，由余弦定理：， 整理可得：，由基本不等式， 代入得：， 因此，当且仅当时取等号. 故周长， 所以周长的最大值为. 变式3．（25-26高三上·福建龙岩·期中）已知函数（满足恒成立，且相邻两对称轴之间的距离不小于，设为曲线的对称中心. (1)求； (2)若，求的取值范围； (3)记的角，，对应的边分别为，，，若，，求边上的高长的最大值. 【答案】(1)，； (2)； (3) 【分析】（1）结合函数的最值情况及周期情况可得函数解析式，进而可得； （2）利用整体代入法，结合三角函数图像性质可得值域； （3）由余弦定理可得，结合基本不等式可得的最值，再根据三角形面积化简可得解. 【详解】（1）因为满足恒成立， 所以， 所以，，可得，， 又，即，，所以，故， 由，，可得，即，； （2）由，可得， 所以当，即时，取得最大值， 又，，所以的取值范围是； （3）由， 化简得， 又，所以，当且仅当时，等号成立， 所以， 因为，所以， 令，，即， 所以， 又函数在上单调递减， 所以当，即时，取得最大值， 故长的最大值为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $