第4讲基本不等式专项训练-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 聚焦基本不等式的系统性应用，通过分层题型构建"概念理解-方法迁移-实际建模"的逻辑链，渗透数学抽象与运算推理素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |直接应用|3题（1,2,7）|配凑法、二次函数辅助|从基本不等式定义到简单变形| |条件最值|5题（3,4,5,6,16）|"1"的代换、变量代换|和定积最大/积定和最小的转化| |实际应用|2题（9,14）|建模转化|实际问题抽象为不等式模型| |综合判断|6题（8,10,11,12,13,15）|函数性质结合、多法验证|基本不等式与函数、三角等知识融合|

第4讲　基本不等式 (时间:45分钟) 1.若x>0,则x+的最小值为 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A.2 B.3 C.2 D.4 2.设0<a<b,则下列不等式正确的是 (　 ) A.a<b<< B.a<<<b C.a<<b< D.<a<<b 3.已知m,n∈R,且有2m+2n=2m+n,则m+n+1+2m+n的最小值是 (　 ) A.6 B.7 C.8 D.9 4.[2025·湖北黄冈调研] 若m>0,n>0,且3m+2n-1=0,则+的最小值为 (　 ) A.20 B.12 C.16 D.25 5.[2024·辽宁沈阳二中五模] 当x>1时,不等式x+≥a恒成立,则实数a的取值范围是 (　 ) A.(-∞,2] B.[2,+∞) C.[3,+∞) D.(-∞,3] 6.已知正实数x,y满足x2+4y2-2xy=1,则xy的最大值为　　　　.  7.已知0<x<,则x(1-3x)的最大值是　　　　.  8.已知x>1,y<0,且3y(1-x)=x+8,则x-3y的最小值是 (　 ) A.8 B.6 C. D. 9.[2024·广东韶关二模] 在工程中,估算平整一块矩形场地的工程量W(单位:平方米)的计算公式是W=(长+4)×(宽+4)(长、宽的单位均为米),在不测量长和宽的情况下,若只知道这块矩形场地的面积是10 000平方米,每平方米收费1元,则估算平整完这块矩形场地所需的最少费用(单位:元)是 (　 ) A.10 000 B.10 480 C.10 816 D.10 818 10.(多选题)[2024·湖南长沙长郡中学月考] 下列函数中最小值为2的是 (　 ) A.y=x2+2x+3 B.y=|sin x|+ C.y=2x+21-x D.y=ln x+ 11.(多选题)[2022·新高考全国Ⅱ卷] 若实数x,y满足x2+y2-xy=1,则 (　 ) A.x+y<1 B.x+y≥-2 C.x2+y2≥1 D.x2+y2≤2 12.[2024·重庆南开中学质检] 对于正数a,b,有(2ab+1)(a+b)=6ab,则a+b的取值范围是　　　　.  13.[2024·河南濮阳三模] 设a>0,b>0,记M为,b,a+三个数中最大的数,则M的最小值为　　　　.  14.某校生物兴趣小组为开展课题研究,分得一块面积为32 m2的矩形空地,并计划在该空地上设置三块全等的矩形试验区(如图所示).要求试验区与矩形空地边界之间各空0.5 m,各试验区之间也空0.5 m,则每块试验区的面积的最大值为　　　　m2.  15.(多选题)[2025·江苏泰州模拟] 已知x,y均为正实数,则下列说法正确的是 (　 ) A.的最大值为 B.若x+y=4,则x2+y2的最大值为8 C.若+y=1,则x+的最小值为3+2 D.若x2+y2=x-y,则的最小值为 16.[2024·湖北黄石三模] 已知a,b均为正实数,若a+4b=4,则的最小值为　　　,此时a的值为　　　　.  参考答案 第4讲　基本不等式 1.D　[解析] ∵x>0,∴x+≥2=4,当且仅当x=,即x=2时取等号,∴x+的最小值为4.故选D. 2.B　[解析] 取a=1,b=4,计算可得=2,=,所以a<<<b,故选B. 3.B　[解析] 因为2m+2n=2m+n≥2=2,当且仅当m=n=1时取等号,所以2m+n≥4,即m+n≥2,则m+n+1+2m+n≥2+1+22=7.故选B. 4.D　[解析] 因为3m+2n-1=0,所以3m+2n=1,所以+=×1=(3m+2n)=9+++4≥13+2=13+12=25,当且仅当=,即m=n=时取等号,所以+的最小值为25.故选D. 5.D　[解析] 当x>1时,x-1>0,故x+=(x-1)++1≥2+1=3,当且仅当x-1=,即x=2时等号成立.因为不等式x+≥a恒成立,所以a≤,故a≤3,故选D. 6.　[解析] 因为正实数x,y满足x2+4y2-2xy=1,所以1+2xy=x2+4y2≥4xy,当且仅当x=2y,即y=,x=1时取等号,所以xy≤,即xy的最大值为. 7.　[解析] 因为0<x<,所以1-3x>0,所以x(1-3x)=·3x(1-3x)≤×=×=,当且仅当x=时,等号成立,故x(1-3x)的最大值是. 8.A　[解析] 因为3y(1-x)=x+8,所以3y=,所以x-3y=x-=x+===(x-1)++2,因为x>1,所以x-1>0,所以x-3y=(x-1)++2≥2+2=8,当且仅当x-1=,即x=4时取等号,所以x-3y的最小值是8.故选A. 9.C　[解析] 设矩形场地的长为x米,则宽为米,W=(x+4)=4x++10 016≥2+10 016=10 816,当且仅当4x=,即x=100时,等号成立,所以估算平整完这块矩形场地所需的最少费用为1×10 816=10 816(元).故选C. 10.AB　[解析] 对于A,y=x2+2x+3=(x+1)2+2≥2,当且仅当x=-1时取等号,故A正确;对于B,在y=|sin x|+中,|sin x|>0,所以y=|sin x|+≥2=2,当且仅当|sin x|2=1时,等号成立,故B正确;对于C,2x>0,21-x>0,故y=2x+21-x=2x+≥2=2,当且仅当(2x)2=2,即x=时等号成立,故C错误;对于D,x>0,ln x∈R,只有当ln x>0时,才有y=ln x+≥2=2,当且仅当(ln x)2=1,即x=e时等号成立,故D错误.故选AB. 11.BD　[解析] 方法一:由x2+y2-xy=1,得(x+y)2-1=3xy≤3,当且仅当x=y=±1时取等号,所以(x+y)2≤4,即-2≤x+y≤2,故A错误,B正确;因为-≤xy≤,所以-≤x2+y2-1≤,所以≤x2+y2≤2,故C错误,D正确.故选BD. 方法二:由x2+y2-xy=1得+=1,令 得故x+y=sin θ+cos θ=2sin∈[-2,2],故A错误,B正确;x2+y2=+=sin 2θ-cos 2θ+=sin+∈,故C错误,D正确.故选BD. 12.[1,2]　[解析] 由题可知a+b==3-,因为a,b都是正数,所以ab≤=(当且仅当a=b时取等号),所以a+b=3-≤3-(当且仅当a=b时取等号),化简可得(a+b)2-3(a+b)+2≤0,解得1≤a+b≤2. 13.2　[解析] ①当≥b时,M=max=max,而a++≥4a+≥2=4,可得,a+中至少有一个不小于2,则M的最小值为2;②当<b时,M=max=max,而b+a+>b+≥2=4(当且仅当b=2时取等号),可得b,a+中至少有一个大于2,则M大于2.综上,M的最小值为2. 14.6　[解析] 设矩形空地的长为x m,则宽为 m,依题意可得,试验区的总面积S=(x-0.5×4)=34-x-≤34-2=18,当且仅当x=,即x=8时等号成立,所以每块试验区的面积的最大值为=6(m2). 15.AC　[解析] 对于A,因为x2+y2≥2xy,当且仅当x=y时取等号,所以≤=,故A正确;对于B,因为≤,当且仅当x=y时取等号,而x+y=4,所以2≤,解得x2+y2≥8,则x2+y2的最小值为8,故B错误;对于C,因为+y=1,所以x+==2+xy++1=xy++3,由基本不等式得xy++3≥2+3=2+3,当且仅当xy=,即x=2+,y=-1时取等号,故C正确;对于D,因为x2+y2=x-y,所以=1,则===== ,因为x2+y2=x-y>0,所以y<x,令t=∈(0,1),f(t)=,g(t)=1+t-2t2,由二次函数的性质得,当t=时,g(t)=1+t-2t2取得最大值,最大值为g=1+-2×=,又当t∈(0,1)时,g(t)>0,所以f(t)的最小值为=,即的最小值为,故D错误.故选AC. 16.2　2　[解析] 由题得4=a+4b≥2=4,当且仅当a=4b=2时取等号,因此0<ab≤1.==2,令x=ab∈(0,1],易知函数y=在(0,1]上单调递减,当x=1时,ymin=,所以当ab=1,即a=2,b=时,取得最小值2. 1 学科网（北京）股份有限公司 $