第4章 幂函数、指数函数与对数函数（高效培优单元测试·强化卷）数学沪教版2020必修第一册

第4章 幂函数、指数函数与对数函数（高效培优单元测试·强化卷） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．若函数是指数函数，则 ． 【答案】4 【分析】由指数函数定义可得答案. 【详解】因为指数函数，则， 由，可得或， 综上，. 故答案为：4 2．已知函数在上单调递增，其图像不过坐标原点，则 ． 【答案】－2 【分析】根据幂函数的图象特点和单调性等性质进行求解即可. 【详解】因为幂函数图像不过坐标原点，则， 当的定义域为，不合题意； 当在区间上单调递减，不合题意； 当，因为在区间上单调递减， 所以在区间上单调递增，符合题意； 综上所述：． 故答案为：－2． 3．已知函数（且）的图象一定过点，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】根据指数函数的图象过定点求解. 【详解】当，即时，恒成立， 所以函数恒过点． 故答案为： 4．函数的定义域为 . 【答案】 【分析】计算即可. 【详解】由题可知：或. 故答案为： 5．写出一个同时具有下列性质①②的函数 ． ①；②在上是增函数． 【答案】（答案不唯一，形如都可以） 【分析】取验证①②即可. 【详解】对于函数，该函数的定义域为，且该函数在上为增函数，满足②； 对任意的、，，满足①. 故答案为：（答案不唯一，形如都可以）. 6．已知实数，满足，则 ． 【答案】/0.5 【分析】根据偶次幂及绝对值的非负性求得，的值，然后代入中计算即可． 【详解】，，， ，， ，， 则， 故答案为： 7．函数的图象不经过第一象限，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】借助函数图像即可求解； 【详解】画出的图像（红线），同时向下平移一个单位得到（黑线） 结合图象可知：， 故答案为： 8．函数的值域为： . 【答案】 【分析】根据指数函数和对数函数的值域求解. 【详解】因为， 所以， 所以函数的值域为. 故答案为： 9．若函数的图象经过第一、二、三象限，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】由题意，根据对数函数的图象可知，利用对数函数的单调性解不等式即可. 【详解】由对数函数的性质，得，解得， 则函数的定义域为，又函数的图象经过第一、二、三象限， 所以，即，化简得， 则，解得. 故答案为： 10．已知函数的值域为，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由对数函数的图象与性质知函数的值域满足，令即可求解. 【详解】因为的值域为， 所以函数的值域满足， 所以，解得. 故答案为：. 11．函数在上的值域为 . 【答案】 【分析】利用换元法，结合二次函数、指数函数的知识来求得正确答案. 【详解】设，由于，所以， 所以， 根据二次函数的性质可知，当时，取得最小值为，对应； 当时，取得最大值为， 所以取得的值域为. 故答案为： 12．设函数，若存在，满足，则实数的最小值为 ． 【答案】/0.8 【分析】先确定最大值与最小值，再将存在性问题转化为最值问题，最后解不等式得的取值范围，即得的最小值. 【详解】函数在上单调递减，函数在单调递增， 则函数在上单调递减， 由存在，满足，得， 即，则， 因此，解得，所以 故答案为： 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13．如图，函数在上的图象对应的编号依次为（    ）    A．②①③ B．②③① C．①③② D．①②③ 【答案】B 【分析】根据幂函数的单调性判断即可. 【详解】根据幂函数的单调性， 当时，在上单调递增， 且时，在上的图象增长速度越来越快， 时，在上的图象匀速增长， 时，在上的图象的图象增长速度越来越慢， 当时，在上单调递减， 因为，所以②为的图象，③为的图象，①为的图象． 故选：B. 14．函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】函数图象是由函数图象向左平移1个单位，作出函数的图象，即可求解. 【详解】作出函数的图象，如下图所示， 将的图象向左平移个单位得到图象. 故选：B 15．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】方法一：利用，根据对数型函数的单调性和定义域要求，列不等式求解即可，方法二：特殊值法． 【详解】方法一：因为，所以不等式化为， 又在上是增函数， 所以，解得， 即不等式的解集为． 方法二：当时，无意义，排除C，D； 当时，无意义，排除B. 故选：A. 16．当时，下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的性质，结合幂函数以及指数函数的单调性，逐项检验，可得答案 【详解】对于A，由，则，， 易知函数在上单调递减，所以，故A错误； 对于B，由，则，易知，故B错误； 对于C，由，则，， 易知函数在上单调递减，所以，故C错误； 对于D，由，则， 易知函数在上单调递减，函数在上单调递增， 所以，故D正确； 故选：D. 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．（1）若函数是对数函数，求实数的取值范围； （2）如果对数式有意义，求实数的取值范围. 【答案】（1）且；（2）或或 【分析】（1）根据对数函数的定义列出关于的不等式组，即可求解； （2）根据对数函数的定义及定义域列出关于的不等式组，即可求解. 【详解】（1）因为是对数函数，所以，解得且， 即实数的取值范围是且. （2）要使对数式有意义，则，解得或或， 故实数的取值范围是或或. 18．已知幂函数，且． (1)求的解析式； (2)若函数，且，a，b均为正数，求的最小值． 【答案】(1) (2)8． 【分析】（1）令前面括号内得1，求出后再验证即可； （2）根据题意求出的表达式后利用基本不等式的乘1法可得. 【详解】（1） 因为幂函数，所以，解得或． 当时，，满足， 当时，，不满足，所以． （2） 由（1）得．由，得． 因为， 所以． 又a，b均为正数，所以， 当且仅当时，等号成立， 所以，即的最小值为8． 19．已知函数． (1)若，求在区间上的最小值； (2)设函数，若对任意的，总存在，使得，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）利用换元，求得，将函数化成二次函数的最小值求解； （2）由题意得，根据函数的单调性和奇偶性得，从而将问题转化成对任意的恒成立，通过换元后，利用函数的单调性求出的最小值即可. 【详解】（1）当时，， 令，因为，所以，且， 故当时，取最小值，所以在区间上的最小值为． （2）若对任意的，总存在，使得， 可得：． 因为偶函数，且在上为增函数，故在为减函数， 因，则，于是对任意的，， 则对任意的恒成立， 从而，，设，则，且， 令，． 因为在区间上为增函数，所以 所以实数m的取值范围是． 20．已知函数（，且）． (1)求的定义域； (2)若，求； (3)求不等式的解集． 【答案】(1) (2)或 (3)答案见解析 【分析】（1）由对数函数定义域构造不等式求解即可； （2）由对数的运算性质求解即可； （3）分和判断函数单调性，进而可求解； 【详解】（1）由题意得 解得，即的定义域为． （2）由， 得或，解得或． （3）当时，，在上为增函数， 又在上为减函数，在上为减函数， 则是增函数， 由，得， 解得，即的解集为． 当时，在上为减函数， 又在上为减函数，所以在上为增函数， 可得是减函数， 由，得， 解得，即的解集为． 综上：当时，解集为， 当时，解集为. 21．已知函数． (1)①求的值； ②求的值； (2)根据（1）结果，猜测的值，证明该等式，并用文字叙述该等式的几何意义； (3)判断函数的单调性（不用证明）．若，求实数的取值范围． 【答案】(1)①； ② (2)，证明过程见解析，几何意义：的图象关于中心对称； (3)函数单调递增，理由见解析， 【分析】（1）代入计算出，故，同理计算出； （2）猜想，利用指数运算法则进行证明，并得到函数的对称性； （3）定义法得到函数单调性，结合，得到，求出答案. 【详解】（1）①，，； ②； （2）猜想，证明过程如下： ； 几何意义：的图象关于中心对称 （3）函数在R上单调递增，理由如下： 任取，， 则 ， 因为在R上单调递增，，所以， 又，故， 即，在R上单调递增， 因为，， 所以， 故，解得， 故实数的取值范围为. 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4章 幂函数、指数函数与对数函数（高效培优单元测试·强化卷） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．若函数是指数函数，则 ． 2．已知函数在上单调递增，其图像不过坐标原点，则 ． 3．已知函数（且）的图象一定过点，则点的坐标是 ． 4．函数的定义域为 . 5．写出一个同时具有下列性质①②的函数 ． ①；②在上是增函数． 6．已知实数，满足，则 ． 7．函数的图象不经过第一象限，则实数的取值范围为 ． 8．函数的值域为： . 9．若函数的图象经过第一、二、三象限，则实数的取值范围为 . 10．已知函数的值域为，则的取值范围是 . 11．函数在上的值域为 . 12．设函数，若存在，满足，则实数的最小值为 ． 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13．如图，函数在上的图象对应的编号依次为（    ）    A．②①③ B．②③① C．①③② D．①②③ 14．函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 15．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 16．当时，下列不等式中正确的是（   ） A．B． C． D． 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．（1）若函数是对数函数，求实数的取值范围； （2）如果对数式有意义，求实数的取值范围. 18．已知幂函数，且． (1)求的解析式； (2)若函数，且，a，b均为正数，求的最小值． 19．已知函数． (1)若，求在区间上的最小值； (2)设函数，若对任意的，总存在，使得，求实数m的取值范围． 20．已知函数（，且）． (1)求的定义域； (2)若，求； (3)求不等式的解集． 21．已知函数． (1)①求的值； ②求的值； (2)根据（1）结果，猜测的值，证明该等式，并用文字叙述该等式的几何意义； (3)判断函数的单调性（不用证明）．若，求实数的取值范围． 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $