3.1 相似多边形 同步练习 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 这份同步练习以“考点引领+即时巩固”分层，通过3道例题示范与14道梯度题结合，覆盖成比例线段、比例性质及相似多边形，构建从概念理解到综合应用的路径，培养数学抽象与几何直观素养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |例题示范层|三大考点核心概念|选用校考真题（如育英中学开学考），示范解题方法，培养推理意识| |即时巩固基础层|单一知识点直接应用（如成比例线段判断）|选择填空题为主（占比65%），强化运算能力，适配新授课基础目标| |即时巩固提升层|综合应用与情境问题（如矩形折叠）|融入中考题（如南充中考）和实践题，发展空间观念与应用意识|

3.1 相似多边形 考点1 成比例线段 【例1】（25-26 育英中学开学考）下列各组的四条线段是成比例线段的是（　　） A. B. C. ，， D. ，，， 【即时巩固】 1.已知、、、为成比例线段，其中，，，则为（     ） A． B． C． D． 2.（25-26 高新月考）下列各组线段中，属于成比例线段的一组是（ ） A．1，2，3，4 B．2，3，4，6 C．1，3，5，7 D．2，4，6，8 3.下列四组线段中，不能成比例的是（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 4.（25-26 泰安期末）已知线段a、b、c的长度分别为3、6、9，再选取一条线段d，使得这四条线段成比例，这条线段的长度不能是（ ） A. 2 B. 4.5 C. 18 D. 8 考点2 比例的性质 【例2】如果四条线段、、 、构成，，则下列式子中，成立的是（ ） A. B. C. D. 【即时巩固】 1.（25-26 重庆期末）若，则下列各式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 2.若，且，则的值是（ ） A. 4 B. 8 C. 32 D. 2 3.（2025南充中考）已知，则的值是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 4.（2026烟台期末）已知，则的值是____________． 5.（25-26 大庆期中）若，则_______． 考点3 相似多边形及其性质 【例3】（25-26 青岛期末）如图，下列三个矩形相似的是（ ） A. 甲和乙 B. 甲和丙 C. 乙和丙 D. 甲、乙、丙 【即时巩固】 1.下列选项中的两个图形一定相似的是（ ） A.两个等腰三角形 B.两个矩形 C.两个菱形 D.两个正五边形 2.如图，以正方形各边中点为顶点，得到一个新正方形，则新正方形与原正方形的相似比为（　　） A. B. C. D. 3.一个六边形的六边长分别为3，4，5，6，7，8，另一个与其相似的六边形的周长为66，则与其相似的六边形的最短边为________． 4.如图，矩形纸片中，，分别是的中点，将矩形沿所在直线对折，若得到的两个小矩形都和矩形相似，则用等式表示与的数量关系为________． 5．如图，四边形与四边形相似，求出与的长度和的度数. 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1 相似多边形 考点1 成比例线段 【例1】（25-26 育英中学开学考）下列各组的四条线段是成比例线段的是（　　） A. B. C. ，， D. ，，， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查成比例线段的判定，根据成比例线段的定义，若，则称四条线段是成比例线段；由比例的基本性质可知，这等价于，依次验证各选项即可． 【详解】解：∵成比例线段满足 A、，，，不成比例，不符合题意； B、，，，不成比例，不符合题意； C、，，，不成比例，不符合题意； D、，，，成比例，符合题意． 故选：D． 【即时巩固】 1.已知、、、为成比例线段，其中，，，则为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据四条线段成比例的顺序列出比例式，代入已知线段长度计算即可得到结果． 【详解】解：∵、、、为成比例线段，根据定义可得， ∴将，，代入得， 解得． 故选：B． 2.（25-26 高新月考）下列各组线段中，属于成比例线段的一组是（ ） A．1，2，3，4 B．2，3，4，6 C．1，3，5，7 D．2，4，6，8 【答案】B 【分析】本题考察了成比例线段，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解.根据成比例线段的意义，对四组线段逐一计算，再作判断. 【详解】，故A不符合题意；，故B符合题意；，故C不符合题意；，故D不符合题意. 故选B. 3.下列四组线段中，不能成比例的是（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了比例线段，用最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断即可，掌握比例线段的定义是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴能成比例，该选项不合题意； 、∵， ∴能成比例，该选项不合题意； 、∵， ∴能成比例，该选项不合题意； 、∵，， ∴，不能成比例，该选项符合题意； 故选：． 4.（25-26 泰安期末）已知线段a、b、c的长度分别为3、6、9，再选取一条线段d，使得这四条线段成比例，这条线段的长度不能是（ ） A. 2 B. 4.5 C. 18 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】根据比例基本性质，两内项之积等于两外项之积，分三种情况计算出线段d的所有可能值，即可判断出不可能的取值． 【详解】解：情况1：若，则，解得，对应选项C，可能； 情况2：若，则，解得，对应选项B，可能； 情况3：若，则，解得，对应选项A，可能； ∴d的可能取值为2，4.5，18，不可能为8，故D不可能． 考点2 比例的性质 【例2】如果四条线段、、 、构成，，则下列式子中，成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据比例的性质变形，再进行判断． 【详解】解： 、∵，，∴；故本选项错误； 、∵，，∴；故本选项错误； 、∵，，∴；故本选项错误； 、∵，，∴；故本选项正确． 故选． 【即时巩固】 1.（25-26 重庆期末）若，则下列各式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据比例的基本性质，可通过设参数法结合比例性质化简，逐一判断选项即可． 【详解】解：由可设，（）， 对选项A，，仅当时结果为，不是对任意成立，故选项A错误； 对选项B，由交叉相乘得，与不符，故选项B错误； 对选项C，，仅当时结果为，不是对任意成立，故选项C错误； 对选项D，，等式一定成立，故选项D正确，符合题意． 2.若，且，则的值是（ ） A. 4 B. 8 C. 32 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据给出的条件得出，再代入，然后进行整理即可得出答案． 【详解】解：， ， 则， ． 3.（2025南充中考）已知，则的值是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的性质，分式的化简．根据，可得，从而得到，然后代入化简即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D 4.（2026烟台期末）已知，则的值是____________． 【答案】 【详解】∵ ∴ ∴ ∴ 5.（25-26 大庆期中）若，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据比例的性质得到，进而代入计算即可得到结果． 【详解】解：， ∴， ∴． 考点3 相似多边形及其性质 【例3】（25-26 青岛期末）如图，下列三个矩形相似的是（ ） A. 甲和乙 B. 甲和丙 C. 乙和丙 D. 甲、乙、丙 【答案】B 【解析】 【分析】根据相似图形对应边成比例即可解答． 【详解】解：∵， ∴甲和乙不相似； ∵，且甲和丙都是矩形，四个角都相等， ∴甲和丙相似； ∵， ∴乙和丙不相似； 故选：B． 【即时巩固】 1.下列选项中的两个图形一定相似的是（ ） A.两个等腰三角形 B.两个矩形 C.两个菱形 D.两个正五边形 【答案】D 【分析】形状相同的图形称为相似图形.结合图形，对选项一一分析，排除错误答案即可. 【详解】任意两个等腰三角形，形状不一定相同，不一定相似，故A不符合题意；任意两个矩形，对应角相等，但边的比不一定相等，不一定相似，故B不符合题意；任意两个菱形，边的比相等，但对应角不一定相等，不一定相似，故C不符合题意；任意两个正多边形的对应角相等、对应边的比相等，一定相似，故D符合题意. 2.如图，以正方形各边中点为顶点，得到一个新正方形，则新正方形与原正方形的相似比为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似多边形，勾股定理，相似多边形对应边的比叫做相似比．设正方形的边长为，根据勾股定理求出正方形的边长，即可求解． 【详解】解：设正方形的边长为， ∵、、、分别为正方形各边的中点， ∴， ∵， ∴新新正方形与原正方形的相似比， 故选：． 3.一个六边形的六边长分别为3，4，5，6，7，8，另一个与其相似的六边形的周长为66，则与其相似的六边形的最短边为________． 【答案】6 【解析】 【分析】设另一个与它相似的六边形的最短边为，再根据其周长的比等于相似比进行解答即可． 【详解】设另一个与它相似的六边形的最短边为， 由题意，得：， 整理得：， 解得：， 故答案为： 6． 4.如图，矩形纸片中，，分别是的中点，将矩形沿所在直线对折，若得到的两个小矩形都和矩形相似，则用等式表示与的数量关系为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据相似多边形的性质即可求出答案． 【详解】解：由于ABAD,，E,F分别是AB,DC的中点， ∴矩形AEFD≌矩形BEFC， ∵两个小矩形都和矩形ABCD相似， ∴矩形AEFD∽矩形ABCD， ∴， ∴， ∴， 故答案为． 5．如图，四边形与四边形相似，求出与的长度和的度数. 5.解：四边形与四边形相似， ， ，. ， ，即． 学科网（北京）股份有限公司 $