考前专项复习一 勾股定理-【期末考前示范卷】考前专项复习-2025-2026学年八年级上册数学(北师版·新教材）

米八年级上册 芳前专项复习一 勾股定理 一、选择题 1.勾股数，又名毕达哥拉斯三元数，是指能够成为直角三角形三条边长的三个正整数。下列各组数中是 勾股数的是 A.0.3,0.4,0.5 B.2,3,5 C.32,42,52 D.5,12,13 2.在Rt△ABC中，斜边BC=4,则AB2+BC2+AC2的值为 A.12 B.22 C.32 D.无法计算 3.如图，一艘轮船以16海里/时的速度离开港口0，向北偏东40°方向航行，另一艘轮船同时以12海里/ 时的速度向北偏西某一角度的航向行驶，已知它们离港口一个半小时后相距30海里（即BA=30海 里)，则另一艘轮船航行的方向是北偏西 A.40° B.45° C.50° D.55 北个 你家到我家直线距离10千米，你先 从你家向北走6千米，然后向东走 0 东 一定的距离就到我家了。 图1 图2 第3题图 第4题图 第5题图 4.如图，小杰使用微信告诉小宇从小宇家到小杰家的方式。根据小杰所说的，最后应向东走（ A.5千米 B.6千米 C.7千米 D.8千米 5.如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的。若AC=6, BC=5,将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则 这个风车的外围周长是 A.72 B.52 C.80 D.76 6.△ABC的三边长分别为a,b,c,下列条件中不能判断△ABC是直角三角形的是 () A.∠A=∠B-∠C B.∠A:∠B:∠C=3:4:5 C.a2=(b+c)(b-c) D.a:b:c=5:12:13 7.如图，在长方形纸片ABCD中，AB=6,AD=18,将此长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点 H的位置，折痕为EF,则BE的长度为 A.6 B.10 C.24 D.48 8.将一根24cm长的筷子，置于底面直径为15cm,高为8cm的装满水的无盖圆柱形水杯中，设筷子浸 没在杯子里面的长度为hcm,则h的取值范围是 A.h≤15cm B.h≥8cm C.8cm≤h≤17cm D.7cm≤h≤16cm 一1 9.某地区要在公路AB上建一个蔬菜批发厂E,使得C,D两村庄到E的距离相等，已知AB=18km, AD=9km,BC=15km,AD⊥AB于点A,BC⊥AB于点B,则AE的长是 () A.10 km B.11 km C.12 km D.13 km 9 km 15 km 图1 图2 第9题图 第10题图 10.有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形（如图1），其中， 三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，生出了4个正方形（如图2），如果按 此规律继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”。在“生长”了2026次后形成的图形中所有正方形 的面积和是 ) A.2024 B.2025 C.2026 D.2027 二、填空题 11.如图，一棵大树（树干与地面垂直）在一次强台风中于地面3米的B处折断倒下，倒下后的树顶C处 与树根A的距离为4米，则这棵大树在折断前的高度为 。(大树的粗细忽略不计) W 第11题图 第12题图 第13题图 12.如图，在△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC,DE⊥BC于点E,若AD=8,CD=17,则CE的长 是 _0 13.如图，正方形ABCD是由9个边长为1的小正方形组成，每个小正方形的顶点都叫格点，点E,F都在 格点上，连接AE,AF,则∠EAF= 14.如图是楼梯的一部分，若AD=3,BE=1,AE=3,一只蚂蚁在A处发现C处有一块糖，则这只蚂蚁吃 到糖所走的最短路程为 第14题图 第15题图 第16题图 15.如图，以Rt△ABC的两条直角边和斜边为边长分别作正方形，其中正方形ABFG和正方形ACDE的 面积分别为25,144，则阴影部分的面积为 16.如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC=10,BC=12,AD为△ABC的中线，EF垂直平分AB交AD于点 G,则DG= 2 三、解答题 17.如图，已知AD是△ABC在边BC上的高，AD=12,BC=21,BD=5,求AC的长。 18.如图，已知∠ADC=90°，AD=12,CD=9,AB=25,BC=20。 (1)求∠ACB的度数； (2)求阴影部分的面积。 19.小明在探究勾股数的规律时关注到这样一些勾股数：3,4,5；5,12,13；7,24,25…，他发现这些勾股数 都是由一个大于1的奇数和两个连续的正整数组成。 (1)小明根据他的发现写出了这样一组数：9,40,41，这是一组勾股数吗？请给出证明； (2)为了进一步探究这些勾股数的构成规律，小明设这样的勾股数为m,n,n+1(m为大于1的奇 数，且m<n),他猜想是否可以用m表示出n。若可以，请帮小明完成他的猜想；若不可以，请说 明理由； (3)当奇数m=17时，请直接写出这组勾股数。 20.如图，经过A村和B村（将A,B村看成直线1上的点）的笔直公路l旁有一块山地正在开发，现需要 在C处进行爆破。已知C处与A村的距离为900米，C处与B村的距离为1200米，且AC1BC。 (1)求A,B两村之间的距离； (2)为了安全起见，爆破点C周围半径750米范围内不得进入，在进行爆破时，公路AB段是否有危 险而需要封锁？如果需要，请计算需要封锁的路段长度；如果不需要，请说明理由。 4 一3一 21.在物理力学实验探究活动中，同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A,一端拴在滑块B上，另一 端拴在物体C上，滑块B与物体C均放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物 体C的升降。实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，实验初始状态如图1所示，物体C到定滑轮A 的垂直距离是16dm,AB+BC=32dm。定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计。 (1)求绳子的总长度； (2)如图2，若物体C升高14dm,求滑块B向左滑动的距离。 MZL ①A L14 A 中C B 777777 图1 图2 22.【问题提出】勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”。 (1)在我国最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽。如图1是著名的赵爽弦图， 由四个全等的直角三角形（直角边分别为a,b,斜边为c)拼成，用它可以验证勾股定理a2+b2 =c2; (2)如图2为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，它用两个全等的直角三角形（直角边分别 为a,b,斜边为c)和直角边为c的等腰直角三角形拼成一个直角梯形，用它也可以验证勾股定理 a2+b2=c2。 【问题解决】 (1)在直角三角形中，直角边分别为α，b,斜边为c,从上述两种方法中，任选一种方法证明勾股定理 a2+b2=c2; (2)勾股定理的验证过程体现了一种重要的数学思想是 A.函数思想 B.整体思想 C.分类讨论思想 D.数形结合思想 【知识应用】 (3)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C,河边原有两个取水点A,B,该村为方便村民取水 决定在河边新建一个取水点H(点A,H,B在同一条直线上)，并新修一条路CH,现测得AC=1 千米，AB=2.1千米，BC=1.7千米，为最大限度节省铺路的费用（保证质量的前提下），求新修 路CH的长。 H B 图1 图2 图3 -4参考答案及解析 (部分答案不唯一) 考前专项复习一 9.D【解析】因为C,D两村庄到E距离相等， 勾股定理 所以CE=DE。 1.D 在Rt△DAE和Rt△CBE中，DE=AD2+AE,CE= 2.C【解析】在Rt△ABC中，斜边BC=4, BE2 +BC2, 所以BC2=AB2+AC2=42=16。 所以AD2+AE2=BE2+BC2。 所以AB2+BC2+AC2=16+16=32。 设AE=xkm,则BE=(18-x)km。 3.C4.D 所以x2+92=(18-x)2+152,解得x=13, 5.D【解析】设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边 所以AE的长为13km。 长为x,则x2=122+52=169,所以x=13。 10.D【解析】设直角三角形的两条直角边为a,b,斜边 所以“数学风车”的外围周长是(13+6)×4=76。 为c,所以a2+b2=c2。 因为正方形的边长为1， 6.B【解析】设△ABC中，∠A的对边是a,∠B的对边 所以a2+b2=1。 是b,∠C的对边是c。A.由∠A=∠B-∠C,∠A+ 由题图1可知，“生长”1次后，以直角三角形两条直 ∠B+∠C=180°，得∠B=90°，△ABC是直角三角形， 角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的 故本选项不符合题意；B.由∠A:∠B:∠C=3:4:5, 正方形的面积， ∠A+∠B+∠C=180,得LC=180°×3+4+5= 5 所以此时所有正方形的面积和为2×1=2。 75°，△ABC不是直角三角形，故本选项符合题意；C.由 由题图2可知，“生长”2次后，所有正方形的面积和 a2=(b+c)(b-c),得c2+a2=b2,△ABC是直角三角 为3×1=3， 形，故本选项不符合题意；D.由a:b:c=5:12:13, 得a2+b2=c2,△ABC是直角三角形，故本选项不符合 所以在“生长”了2026次后形成的图形中所有正方 题意。 形的面积和是2027×1=2027。 7.B【解析】由折叠可知，DE=BE。 11.8米12.1513.45° 设AE=x,则BE=DE=18-x。 14.5【解析】将楼梯展开，如图。 由勾股定理，得AB2+AE2=BE2, 即62+x2=(18-x)2,解得x=8。 所以BE=18-8=10。 D 8.C【解析】当筷子的底端在，点D时，筷子浸没在杯子 因为AD=3,BE=1,AE=3, 里面的长度最短，所以h=BD=8cm; 所以CD=AE+BE=4。 所以在Rt△ADC中，AC2=AD2+CD2=32+42=25。 所以AC=5。 15.139【解析】根据题意知，AB2=25,AC2=144, 如图，当筷子的底端在，点A时，筷子浸没在杯子里面的 所以AB=5,AC=12。 长度最长，在Rt△ABD中，AD=15cm,BD=8cm, 由勾股定理，得BC2=AC2+AB2=144+25=169。 所以AB=√AD2+BD=17cm。 所以h的取值范围是8cm≤h≤17cm。 所以5as=BC-分4B.AC=160-分×5x12=139。 33 167 【解析】如图，连接BG。 所以9,40,41是一组勾股数。 (2)因为m2+n2=(n+1)2, 所以m2=(n+1)2-n2=2n+1。 所以n=m2-1 o (3)当奇数m=17时，n-m,1_17,-1=144, 因为EF是AB的垂直平分线， 2 2 所以AG=BG。 所以这组勾股数是17,144,145。 因为AB=AC=10,BC=12,AD为△ABC的中线， 20.解：(1)在Rt△ABC中，AC=900米，BC=1200米， 所以BD=2BC=6,AD1BC。 所以AB=√AC+BC=√9002+12002=1500（米）。 答：A,B两村之间的距离为1500米。 所以∠ADB=90°。 (2)如图，过点C作CD⊥AB于点D。以点C为圆心， 所以AD=√AB2-BD2=√102-62=8。 750米为半径画弧，交AB于点E,F,连接CE,CF。 设DG=x,则BG=AG=8-x。 B 在Rt△BDG中，由勾股定理，得BG2=BD2+DG2, 即(8-)2-6+，解得x子。 所以G=子 1 因为SA4Bc=2AB·CD= 17.解：因为AD是△ABC在边BC上的高， 所以CD=4C.BC_900x1200=720(米)。 所以LADC=90°。 AB 1500 因为AD=12,BC=21,BD=5, 由于720米<750米，故有危险， 所以CD=BC-BD=21-5=16。 因此AB段公路需要封锁。 因为CE=CF=750米， 所以AC=√AD2+CD2=√122+162=20。 18.解：(1)在Rt△ADC中， 所以DE=√7502-7202=210（米）。 因为AD=12,CD=9, 所以EF=420米。 所以AC2=AD2+CD2=122+92=225。 所以需要封锁的路段长度为420米。 所以AC=15(负值舍去)。 21.解：(1)因为AB+BC=32dm, 在△ABC中， 所以设AB=xdm,则BC=(32-x)dm。 因为AC2+BC2=152+202=625,AB2=252=625。 在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC2+BC=AB2, 即162+(32-x)2=x2,解得x=20。 所以AC2+BC2=AB2。 所以AB=20dm。 所以△ACB为直角三角形，∠ACB=90°。 所以AB+AC=20+16=36(dm)。 (2)S影=7AC·BC-740.CD 答：绳子的总长度为36dm。 =2x15x20-7x12x9 (2)如图， IlLlL =96。 ⊙A 19.解：(1)9,40,41是一组勾股数。证明如下： 因为92+402=81+1600=1681,412=1681， 所以92+402=412。 777777777777777 34 因为物体C升高14dm, B-日的立方根是-2，固北逸项结论错误；C立方根 所以此时AB=20+14==34(dm)。 等于本身的数有0或1或-1，因此选项结论错误；D. 在Rt△ABD中，由勾股定理，得 √64=8,64的平方根，即8的平方根，8的平方根是 BD=√AB2-AD2=√342-162=30(dm), 由(1)可知，DE=32-20=12(dm), ±2√2，因此选项结论错误。 所以BE=BD-DE=30-12=18(dm)。 5.A 答：滑块B向左滑动的距离为18dm。 6.B【解析】因为AC=AB=180cm,CE=90cm,BD= 22.解：(1)赵爽弦图证明： 140cm,∠ADB=90°， 因为S大正方形=4S三角形+S小正方形， 所以AD=√AB2-BD2=80√2cm。 所以c=4×2b+(6-a)2。 所以BF=DE=AE-AD=AC+CE-AD=180+90- 80√2=(270-80√2)cm 所以c2=a2+b2。 7.B【解析】根据题意可知，a=√⑧-8=32-22=√2。 “总统证法”证明： 因为√T<2<4, 因为Sw形ABGD=Si△ADE+SR△CDE+SR△BCE, 所以时(a+b(a+b)=b++d。 所以1<2<2，即1<a<2。 故表示实数a的点会落在数轴的段②上。 所以a2+2ab+b2=c2+2ab。 8.D【解析】因为√5=a,√14=b, 所以a2+b2=c2。 9×70_V9×70_3×5×√14_3ab (2)D 所以0.063=√10000/10000 100 -1009 (3)当CH⊥AB时，CH最小，能最大限度节省铺路的 9C【解析】当医=时，=6<，不符合题意；当 1 费用。 设AH=x千米，则BH=AB-AH=(2.1-x)千米。 6时=好，当=子对<，不将合随意 因为CH⊥AB, 在Rt△ACH中，由勾股定理，得 当x=时=方2<x<,特合题意：当=。时， C=AC2-A=12-x2, t=256<x,不特合题意。 在Rt△BCH中，由勾股定理，得 CH=BC2-B=1.72-(2.1-x)2, 10.B【解析】因为1<3<4，所以1<√3<2。 所以12-x2=1.72-(2.1-x)2, 所以3的整数部分为1。 解得x=0.6。 所以小数部分a=√3-1。 所以AH=0.6千米。 所以2、2 2(3+1) `a3-1(3-1)(5+1 、=5+1。 在Rt△ACH中，由勾股定理，得 CH=AC2-AH=0.64。所以CH=0.8千米。 故①正确； 答：新修路CH的长为0.8千米。 1 1 1+店3+5+5+万++ √/2023+√2025 考前专项复习二 5-1 5-3 万-5 实数 (1+5)(5-1)'(5+5⑤)(5-3)'(5+7)(7-5⑤) 1.D2.D3.B √2025-√/2023 十… 4.A【解析】A.√3是3的算术平方根，因此选项结论正确； (W/2023+√2025)（√/2025-√/2023） 35