2.3.2 两点间的距离公式（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

本讲义聚焦两点间的距离公式这一核心知识点，从数轴上两点距离入手，通过向量法和勾股定理推导平面直角坐标系中两点距离公式，延伸至公式应用及坐标法证明几何问题，构建从基础到综合的学习支架。 资料以公交站点选址情境导入激发兴趣，多方法推导公式培养逻辑推理，例题训练提升数学运算与直观想象，坐标法应用体现用数学语言表达几何关系。课中辅助教师引导探究，课后帮助学生复习巩固，查漏补缺。

2.3.2　两点间的距离公式 课标要求 1.探索并掌握平面上两点间的距离公式（逻辑推理）. 2.会用坐标法证明简单的平面几何问题（数学运算、直观想象）. 情境导入 　　在一条笔直的公路同侧有两个大型小区，现计划在公路上某处建一个公交站点C，以方便居住在两个小区的住户出行.如何选址能使站点到两个小区的距离之和最小？ 知识点一｜两点间的距离公式 问题　（1）在数轴上已知两点A，B，如何求A，B两点间的距离？ 提示：｜AB｜＝｜xA－xB｜. （2）如何用向量法求平面内两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）之间的距离？ 提示：因为＝（x2－x1，y2－y1），所以｜｜＝. （3）你能利用P1（x1，y1），P2（x2，y2）构造直角三角形，再用勾股定理求P1，P2两点间的距离吗？ 提示：如图，在Rt△P1QP2中，｜P1P2｜2＝｜P1Q｜2＋｜QP2｜2，所以｜P1P2｜＝. 【知识梳理】 条件 点P1（x1，y1），P2（x2，y2） 结论 ｜P1P2｜＝　 特例 点P（x，y）到原点O（0，0）的距离｜OP｜＝　 　　提醒：当A，B两点的连线平行x轴时，｜AB｜＝｜x1－x2｜；当两点的连线平行y轴时，｜AB｜＝｜y1－y2｜. 【例1】（1）已知A（－1，0），B（5，6），C（3，4）三点，则＝（　A　） A.2 B.3 C. D. 解析：｜AC｜＝＝4，｜CB｜＝＝2，所以＝2. （2）已知三角形的三个顶点A（2，4），B（3，－6），C（5，2），则BC边上中线的长为2. 解析：设BC的中点为D（x，y），由中点坐标公式得所以D（4，－2），所以｜AD｜＝＝＝2. 【规律方法】 求两点间距离的方法 首先根据题目条件确定点的坐标，再代入到两点间的距离公式求值，代入时注意点的坐标的对应位置要准确. 训练1　（1）（2025·烟台月考）直线y＝x上的两点P，Q的横坐标分别是1，5，则｜PQ｜＝（　B　） A.4 B.4 C.2 D.2 解析：由题意得P（1，1），Q（5，5），∴｜PQ｜＝＝4. （2）已知过A（m，2），B（－m，m－1）两点的直线的倾斜角是45°，则｜AB｜＝（　C　） A.2 B. C.2 D.3 解析：由题知，＝tan 45°＝1，解得m＝1，故A（1，2），B（－1，0），则A，B两点间的距离为＝2.故选C. 知识点二｜两点间距离公式的应用 【例2】（1）在已知直线2x－y＝0上存在一点P，使它到点M（5，8）的距离为5，则直线PM的方程为4x－3y＋4＝0或24x－7y－64＝0； 解析：∵点P在直线2x－y＝0上，∴可设P点坐标为（a，2a），∴＝5，即5a2－42a＋64＝0，解得a＝2或a＝，∴点P的坐标为（2，4）或（，）.∴直线PM的方程为＝或＝，即4x－3y＋4＝0或24x－7y－64＝0. （2）已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（1，－1），B（－1，3），C（3，0），试判断△ABC的形状. 解：因为｜AB｜＝＝2， ｜AC｜＝＝， ｜BC｜＝＝5. 所以｜AB｜2＋｜AC｜2＝｜BC｜2，即△ABC是以A为直角顶点的直角三角形. 变式　若本例（2）条件不变，试求△ABC的面积. 解：由例2（2）得｜AB｜＝2，｜AC｜＝. 又因为A＝90°，所以S△ABC＝｜AB｜｜AC｜＝×2×＝5. 【规律方法】 关于两点间距离公式的应用 （1）已知距离求参数，一般通过两点间的距离公式建立方程求解，但是求出的值需要检验； （2）判断三角形的形状，先根据两点间的距离公式分别求出三边的长，再结合三角形的性质判断. 训练2　已知点A（－3，4），B（2，），在x轴上找一点P，使｜PA｜＝｜PB｜，并求｜PA｜的值. 解：设点P的坐标为（x，0），则有 ｜PA｜＝＝， ｜PB｜＝ ＝. 由｜PA｜＝｜PB｜，得x2＋6x＋25＝x2－4x＋7，解得x＝－. 故所求点P的坐标为. ｜PA｜＝ ＝. 知识点三｜坐标法的应用 【例3】（链接教材P73例4）在△ABC中，AD是BC边上的中线，求证：｜AB｜2＋｜AC｜2＝2（｜AD｜2＋｜DC｜2）. 证明：如图，以D为原点，以BC所在边的直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，设点A（b，c），C（a，0），则B（－a，0）， 因为｜AB｜2＝（a＋b）2＋c2， ｜AC｜2＝（a－b）2＋c2，｜AD｜2＝b2＋c2， ｜DC｜2＝a2， 所以｜AB｜2＋｜AC｜2＝2（a2＋b2＋c2）， ｜AD｜2＋｜DC｜2＝b2＋c2＋a2， 所以｜AB｜2＋｜AC｜2＝2（｜AD｜2＋｜DC｜2）. 【规律方法】 用坐标法解决几何问题的基本步骤 （1）建立适当的平面直角坐标系，用坐标表示有关的量； （2）进行有关的代数运算； （3）把代数运算结果“翻译”成几何关系. 　　提醒：建系时让图形中尽可能多的点落在坐标轴上，这样便于运算. 训练3　（2025·常州月考）已知在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，对角线为AC和BD.求证：｜AC｜＝｜BD｜. 证明：建立如图所示的平面直角坐标系，则A（0，0）， 设B（a，0），C（b，c），则点D的坐标是（a－b，c），所以｜AC｜＝＝， ｜BD｜＝＝. 故｜AC｜＝｜BD｜. 1.原点O与点A（－6，8）之间的距离为（　　） A.6　　　　B.8 C.10　　　　D.14 解析：C　因为｜OA｜2＝（－6）2＋64＝100，所以｜OA｜＝10. 2.已知点A（1，2），B（3，4），C（5，0），若A，B，C是△ABC的三个顶点，则△ABC是（　　） A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 解析：B　因为｜AB｜＝＝2，｜AC｜＝＝2，｜BC｜＝＝2，所以｜AC｜＝｜BC｜＞｜AB｜，△ABC为等腰三角形. 3.在平面直角坐标系xOy中，已知点A（4，2）和B（0，b）满足｜OB｜＝｜BA｜，那么b＝5. 解析：由｜OB｜＝｜BA｜及两点间距离公式可得＝，即b2＝42＋（2－b）2，解得b＝5. 4.（链接教材P79习题11题）已知等腰三角形ABC的顶点是A（3，0），｜BC｜＝4，BC边的中点是D（5，4），则此三角形的腰长为2. 解析：｜BD｜＝｜BC｜＝2，｜AD｜＝＝2，所以在Rt△ADB中，｜AB｜＝＝2. 课堂小结 1.理清单 （1）两点间的距离公式； （2）两点间距离公式的应用； （3）坐标法的应用. 2.应体会 利用两点间距离公式解决平面几何问题时，要注意数形结合思想与坐标法的应用. 3.避易错 （1）已知距离求参数问题时易漏解； （2）利用坐标法判断几何图形的形状不仅考察平行、垂直等位置关系，同时不要忽视边长之间的相等关系. 1.已知点M（x，－4）与点N（2，3）间的距离为7，则x＝（　　） A.－5 B.－9 C.－5或9 D.－9或5 解析：C　由｜MN｜＝7，得｜MN｜＝＝7，即x2－4x－45＝0，解得x1＝9或x2＝－5.故所求x的值为9或－5. 2.已知直线l1：x＋2y－5＝0，直线l2：3x－y－1＝0的交点为A，O为坐标原点，则点A到原点的距离为（　　） A.1 B.2 C. D. 解析：C　解方程组得即A（1，2），而O为坐标原点，则｜AO｜＝＝，所以点A到原点的距离为. 3.到点A（1，3），B（－5，1）的距离相等的动点P满足的方程是（　　） A.3x－y－8＝0 B.3x＋y＋4＝0 C.3x－y＋6＝0 D.3x＋y＋2＝0 解析：B　设P（x，y），则＝，化简得3x＋y＋4＝0. 4.光线从点A（－3，5）射到x轴上，经反射后经过点B（2，10），则光线从A到B经过的路程为（　　） A.5 B.2 C.5 D.10 解析：C　点A（－3，5）关于x轴的对称点为A'（－3，－5），则光线从A到B经过的路程为A'B的长度，｜A'B｜＝＝5.故选C. 5.若点A（－3，4）与坐标轴上的点P的距离等于5，则点P的个数是（　　） A.1 B.2 C.3 D.4 解析：C　若点P在x轴上，设点P的坐标为（x，0），由点P与点A之间的距离等于5，得＝5，解得x＝0或x＝－6.∴点P的坐标为（0，0）或（－6，0）.若点P在y轴上，设点P的坐标为（0， y），由点P与点A之间的距离等于5，得＝5，解得y＝0或y＝8.∴点P的坐标为（0，0）或（0，8）.综上所述，满足题意的点有3个. 6.〔多选〕在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，若点A，C的坐标分别为（0，4），（3，3），则点B的坐标可能是（　　） A.（6，4） B.（2，0） C.（4，6） D.（0，2） 解析：BC　设B（x，y），因为△ABC是等腰直角三角形，且∠C＝90°，点A，C的坐标分别为（0，4），（3，3），所以解得或故选B、C. 7.〔多选〕对于，下列说法正确的是（　　） A.可看作点（x，0）与点（1，2）的距离 B.可看作点（x，0）与点（－1，－2）的距离 C.可看作点（x，0）与点（－1，2）的距离 D.可看作点（x，－1）与点（－1，1）的距离 解析：BCD　＝＝＝，可看作点（x，0）与点（－1，2）的距离，也可看作点（x，0）与点（－1，－2）的距离，或者可看作点（x，－1）与点（－1，1）的距离，故B、C、D正确. 8.已知A，B两点都在直线y＝2x－1上，且A，B两点的横坐标之差的绝对值为，则A，B两点间的距离为. 解析：设点A（a，2a－1），点B（b，2b－1），因为｜a－b｜＝，所以｜AB｜＝＝｜a－b｜＝. 9.（2025·杭州月考）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x＋y＋a＝0与点A（2，0）.若直线l上存在点M满足｜MA｜＝2｜MO｜（O为坐标原点），则实数a的取值范围是［，］. 解析：设M（x，－x－a）.由｜MA｜＝2｜MO｜，得（x－2）2＋（－x－a）2＝4x2＋4（－x－a）2，整理得6x2＋（6a＋4）x＋3a2－4＝0.由Δ≥0得9a2－12a－28≤0，解得≤a≤，故实数a的取值范围为［，］. 10.已知A（－2，0），B（0，4），线段AB的垂直平分线为直线l. （1）求直线l的一般式方程； （2）若点C在直线l上，且｜AC｜＝，求点C坐标. 解：（1）因为A（－2，0），B（0，4），所以线段AB的中点坐标为（－1，2），kAB＝＝2. 又线段AB的垂直平分线为直线l，所以kl＝－＝－， 所以直线l的方程为y－2＝－（x＋1）， 即x＋2y－3＝0. （2）设点C的坐标为（a，b）.由题意有 解得或 所以点C的坐标为（1，1）或（－3，3）. 11.设m∈R，过定点A的直线x＋my－m＝0和过定点B的直线mx－y－m＋3＝0交于点P，则｜PA｜2＋｜PB｜2＝（　　） A.5 B. C. D.与m的取值有关 解析：A　直线x＋my－m＝0过定点A（0，1），直线mx－y－m＋3＝0过定点B（1，3），且直线x＋my－m＝0和直线mx－y－m＋3＝0满足1×m－m×1＝0，故两直线垂直，故｜PA｜2＋｜PB｜2＝｜AB｜2＝12＋22＝5.故选A. 12.著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休.”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点M（x，y）与点N（a，b）的距离.结合上述观点，可得y＝＋的最小值为（　　） A.4 B.2 C.＋ D.3＋ 解析：A　因为y＝f（x）＝＋＝＋，则f（x）可看作x轴上一点P（x，0）到点A（－2，－2）与点B（2，2）的距离之和，即｜PA｜＋｜PB｜，则可知当A，P，B三点共线时，｜PA｜＋｜PB｜取得最小值，即（｜PA｜＋｜PB｜）min＝｜AB｜＝＝4.故选A. 13.〔多选〕已知点A（－2，－1），B（2，2），直线l：ax＋y＋3a－3＝0上存在点P满足｜PA｜＋｜PB｜＝5，则实数a的取值可能为（　　） A.－2 B.0 C.1 D.3 解析：CD　直线l：ax＋y＋3a－3＝0变形为y－3＝－a（x＋3），故直线l过定点C（－3，3），且斜率为－a，又｜AB｜＝＝5，要想直线l：ax＋y＋3a－3＝0上存在点P满足｜PA｜＋｜PB｜＝5，即l：ax＋y＋3a－3＝0与线段AB有交点，因为kBC＝＝－，kAC＝＝－4，故－a∈［－4，－］，解得a∈［，4］，故C、D满足要求，A，B不满足要求.故选C、D. 14.在△ABC中，D是BC边上的任意一点（D与B，C不重合），且｜AB｜2＝｜AD｜2＋｜BD｜｜DC｜.求证：△ABC为等腰三角形. 证明：作AO⊥BC，垂足为O，以BC所在的直线为x轴，OA所在的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系. 设A（0，h），B（b，0），C（c，0），D（d，0）. 因为｜AB｜2＝｜AD｜2＋｜BD｜｜DC｜， 则由两点间的距离公式得b2＋h2＝d2＋h2＋（d－b）·（c－d）， 整理得－（d－b）（b＋d）＝（d－b）（c－d）. 因为点D与点B，C不重合，所以d－b≠0， 所以－b－d＝c－d，即－b＝c. 所以｜OB｜＝｜OC｜，于是｜AB｜＝｜AC｜，即△ABC为等腰三角形. 15.如图，梯形ABCD在平面直角坐标系中，AD∥BC，∠ADC＝90°，｜AB｜＝｜DA｜＋｜CB｜.腰DC在x轴上，O是线段DC的中点，｜BO｜＝4，且∠BOC＝60°.求： （1）A，B，C，D各点的坐标； （2）梯形ABCD的面积. 解：（1）如图所示，过点A作AE⊥BC于点E， 因为AD∥BC，∠ADC＝90°， 所以∠BCD＝90°， 又因为｜BO｜＝4，且∠BOC＝60°， 所以｜OC｜＝2，｜BC｜＝2， 所以点C的坐标为（2，0），点B的坐标为（2，2）. 又因为O为线段DC的中点，所以｜DO｜＝2， 所以点D的坐标为（－2，0）， 设点A的纵坐标为y，所以点A的坐标为（－2，y）. 所以｜AE｜＝｜DC｜＝4，｜EC｜＝｜AD｜＝y， ｜BE｜＝｜BC｜－｜EC｜＝2－y. 因为｜AB｜＝｜DA｜＋｜CB｜＝y＋2，且∠BEA＝90°， 所以｜AB｜2＝｜AE｜2＋｜BE｜2，即（y＋2）2＝42＋（2－y）2，解得y＝，所以点A的坐标为（－2，）. （2）S梯形ABCD＝×（＋2）×4＝. 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $