专题03 分式方程解的情况、增根与无解问题8大题型（专项训练）数学新教材冀教版八年级上册

**基本信息** 聚焦分式方程解的情况、增根与无解问题，通过8类分层题型系统覆盖参数求解、综合应用，强化抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |常考题型|8类（含高频/难题）|解的正负/非负、增根、无解及参数和积、方程不等式结合、新定义|从基础解的情况到特殊增根/无解，再到综合应用，形成概念-方法-拓展逻辑链| |综合攻坚|17题综合应用|综合考查解的情况与参数关系|深化跨知识整合，提升问题解决能力|

专题03 分式方程解的情况、增根与无解问题 常考题型·精准突破 考点一 分式方程解的情况、增根与无解问题 题型1 根据分式方程解的情况求参数（正数）（高频） 题型2 根据分式方程解的情况求参数（负数）（高频） 题型3 根据分式方程解的情况求参数（带“非”）（高频） 题型4 分式方程的增根问题（高频） 题型5 分式方程的无解问题（高频） 题型6 分式方程中参数的和与积问题（难） 题型7 分式方程与方程、不等式结合的含参问题（难） 题型8 分式方程的解新定义含参问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 分式方程解的情况、增根与无解问题 ◆题型1 根据分式方程解的情况求参数（正数） 1．若关于x的方程的解为正数，则a的取值范围是（） A．且 B． C． D． 【答案】A 【分析】方程两边同乘，将分式方程转化为整式方程，得到，根据分式方程的解为正数，列出不等式组，求解即可． 【详解】解：方程两边同乘，得， 解得， ∵分式方程的解为正数， ∴当时，且， ∴， 解得且． 2．若关于的分式方程的解是正数，则（    ） A．且 B． C．且 D． 【答案】C 【分析】先解分式方程得到用表示的式子，再结合解为正数、分式分母不为0两个条件列不等式求解，得到的取值范围． 【详解】解：原方程变形为， ∵方程两边同乘得：， 整理得， ∵分式方程的解是正数，且分母不能为0， ∴， 即， 解得且． 3．若关于x的分式方程的解为正数．则m的取值范围为________． 【答案】且 【分析】先解分式方程，用含的代数式表示方程的解，再根据分式方程的解为正数且分式有意义的条件，列出不等式求解，即可得到的取值范围． 【详解】解：给分式方程两边同乘最简公分母，去分母得：， 解得：， 分式方程的解为正数，且分式分母不能为， ，且， 故的取值范围是且． 4．若关于的分式方程的解为正整数，则正数的值为________． 【答案】 【分析】先按照解分式方程的步骤求出，再根据结合分式方程的解为正整数进行求解即可． 【详解】解：，即 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， ∵，即， ∴， ∴， ∵是正整数且 ∴且， ∴． 5．如果关于x的分式方程的解为正数，求常数a的取值范围． 【答案】且 【分析】先解分式方程得出，结合题意得出，即可得到，再结合分式方程分母不能为零，计算得出，即可得出结果． 【详解】解：方程两边同时乘以得：， 去括号得：， 移项并合并同类项得：， 解得， ∵关于x的分式方程的解为正数， ∴， 解得， ∵分式方程分母不能为零，即， ∴， ∴， ∴， 综上所述，常数a的取值范围且． 6．已知关于的分式方程． (1)当时，求该方程的解； (2)若该方程解为正数，求的取值范围． 【答案】(1) (2)，且 【分析】本题考查解分式方程，分式方程的解的定义等知识． （1）将代入方程，可得方程为，解分式方程即可； （2）解分式方程得，根据方程解为正数，得到且，解不等式组即可求解． 【详解】（1）解：当时，原方程化为， 方程两边同时乘以得 ， 解得 ， 检验：当时，， 所以，是原分式方程的解； （2）解： 方程两边同时乘以得 ， 解得 ， ∵方程解为正数， ∴，且， 即，且， ∴，且． ◆题型2 根据分式方程解的情况求参数（负数） 7．若关于的分式方程的解为负数，则字母的取值范围为（     ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【详解】解：， 方程两边同乘，得， 解得， ∵方程的解为负数， ∴， 解得， ∵分式有意义时分母不为0，即， ∴，即， 解得， 综上，的取值范围为且． 8．若关于x的分式方程的解是非负数，则a的取值范围为（     ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】先按解分式方程的步骤求出关于的表达式，再根据“解是非负数”和“分式分母不为0”两个条件列不等式组求解，即可得到的取值范围． 【详解】解：原分式方程变形为： 方程两边同乘（分母不为0，因此）去分母得： 整理得：， 解得：， ∵分式方程的解是非负数，且分母不能为0， ∴ 解不等式得：， 解不等式得：， ∴的取值范围为且． 9．已知，关于x的方程的解是负数，则k的取值范围是________． 【答案】且 【分析】先解分式方程，根据题意建立关于k的不等式组即可得解． 【详解】解： 两边乘，去分母得，， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化成1得， 关于x的方程的解是负数， 则k满足①或②且③，解不等式组①得；解不等式组②，无解，解不等式③得， 综上所述，且． 10．已知关于的分式方程． (1)若该分式方程的解是，求的值； (2)若该分式方程的解是非负数，求的取值范围． 【答案】(1) (2)且 【分析】（1）将代入原方程得到关于b的方程求解即可； （2）先求得分式方程的解，然后再根据解是非负数列不等式求解即可． 【详解】（1）解：将代入方程，得，解得：． （2）解：， ， ， ， ． 分式方程的解是非负数， ，且，解得且． 11．要使关于x的方程的解为负数，求m的取值范围． 【答案】且 【分析】本题考查了根据分式方程的解的情况求参数的取值范围，解一元一次不等式，解分式方程得出，结合原分式方程的解为负数即可得出，解不等式即可得出的取值范围，再根据分式方程的增根情况计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：去分母可得：， 解得：， ∵关于x的方程的解为负数， ∴， 解得：， ∵原分式方程的增根为或， 又∵方程的解为负数，故增根不符合题意， 为使原方程有解，还需满足， ∴， 解得：， 综上所述，且． 12．已知． (1)化简分式； (2)若关于的分式方程：的解是非负数，求的取值范围． 【答案】(1) (2)且 【分析】本题考查了分式的化简，解分式方程． （1）根据分式的除法进行计算即可求解； （2）先解分式方程，根据分式方程的解是非负数，得出，根据分式有意义的条件得出，进而解不等式即可得出的范围． 【详解】（1）解： （2）， ， ， ， ， 分式方程的解是非负数， ，且， 且 解得且， 的取值范围且． ◆题型3 根据分式方程解的情况求参数（带“非”） 13．已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（     ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】先将分式方程化为整式方程，用表示出方程的解，再根据解是非负数，结合分式有意义的条件（分母不为0）列出不等式，求解即可得到的取值范围； 【详解】解：原方程 方程两边同时乘以，得： ， 整理得：， ∵分式方程的解是非负数，且分式有意义时分母不为， ∴，且， ∴，且 解得且； 14．若关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是（     ） A．且 B． C．且 D． 【答案】C 【分析】先解出方程的解，再根据“解为非负数”和“分式分母不为0”两个条件列出不等式，求解的取值范围. 【详解】解：原方程两边同乘去分母，原方程变形得， ， 去括号并整理得：， ∵方程的解为非负数， ∴，即， 解得， 又∵分式分母不能为0，即， 得， ∴，解得， 因此的取值范围是且． 15．已知关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围为________． 【答案】且 【分析】先去分母把分式方程化为整式方程，用含的式子表示出，再根据两个限制条件列不等式：①解；②分母不能为0，即，最后联立求出的取值范围． 【详解】解：， 变形分母：， 方程两边同乘最简公分母去分母： ， 去括号： ， 合并同类项： ， 移项求解： ， 条件1：解为非负数 ，， 解得：， 条件2：分式分母不为0， ， 两边乘2：， 解得：， 综合两个条件：且． 16．若关于的分式方程的解为非正数，则的取值范围是________． 【答案】 且 【分析】本题考查根据分式方程解的情况求值．再解答时注意分母不能为0的条件．将分式方程化为整式方程，解得，根据解为非正数且分母不为零的条件，确定的取值范围． 【详解】解：， ， ， ， ， 解得， 由于解为非正数，即， 所以， 即， 又因为分母且，即且， 当时，，解得，但此时，不符合非正数条件； 当时，，解得，但此时分母，分式无意义， 因此需排除， 故的取值范围是且． 故答案为：且． 17．已知关于x的分式方程．若该分式方程的解为非负数，求a的取值范围． 【答案】且 【分析】先解分式方程可得，然后根据该分式方程的解为非负数列不等式求解． 【详解】解：， ∴， 解得：， ∵该分式方程的解为非负数， ∴且， ∴且， 解得：且， 18．若关于x的方程的解为非负数，求m的取值范围． 【答案】且 【分析】本题考查了解分式方程，解题的关键是熟练掌握分式方程的运算法则，以及分式有意义的条件，把m当作已知数，根据解分式方程的运算法则求出x，再根据分式方程的解为非负数，即可得出m的取值范围，再根据分式方程有意义的条件即可求解． 【详解】解：去分母，得． 去括号、移项，得． 合并同类项，得． 系数化为1，得． ， ， 即． ， ∵解为非负数， ， ， 且． ◆题型4 分式方程的增根问题 19．若方程有增根，则它的增根是（     ） A．0 B． C． D．1 【答案】D 【分析】解题思路是先根据增根定义找出所有可能的增根，再代入去分母后的整式方程验证，得到符合条件的增根. 【详解】解：∵原方程的分母为 ，分式方程的增根使原方程分母为0, ∴，可得可能的增根为 或 ， 给原方程两边同乘 去分母得：， 当时，代入得 ，解得 ，存在，符合增根定义， 当时，代入得 ，即 ，等式不成立，因此不是增根 ∴原方程的增根为. 20．若分式方程有增根，则这个增根的值为（    ） A．1 B．3 C． D．3或 【答案】C 【详解】解：分式方程的增根使原分式的分母为零，原分式方程的分母为， 令，得， 即这个增根的值为． 21．若关于x的分式方程有增根，则它的增根是______． 【答案】 【分析】分式方程的增根是使分式方程最简公分母为的未知数的值，根据增根的定义即可求解． 【详解】解：对于分式方程， 它的最简公分母为， 分式方程的增根使最简公分母为， 则， 解得． 22．若关于的分式方程有增根，则该分式方程的增根为__________． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的增根，掌握分式方程的增根是使分母为零的根，且能使去分母后的整式方程成立是解题的关键． 分式方程的增根是使公分母为零的根，公分母为 ，因此可能增根为 或 ，代入整式方程检验， 时方程不成立， 时方程成立当 ，因此增根为 ． 【详解】解：原方程为 公分母为 ，两边乘公分母得整式方程 增根为使公分母为零的 值，即 或 当 时，代入整式方程得 ，即 ，不成立； 当 时，代入整式方程得 ，即 ，解得 ， 此时整式方程有解 ，但 使原方程分母为零，故为增根 因此该分式方程的增根为 ． 故答案为： ． 23．若关于的分式方程有增根，求该分式方程的增根． 【答案】该分式方程的增根为 【分析】本题考查了分式方程增根的定义与求解，掌握增根是使分母为零且满足去分母后整式方程的根这一核心，以及先找可能增根，再代入检验的步骤是解题的关键． 先确定原分式方程分母为零的可能增根，再去分母化为整式方程，代入可能的增根检验是否成立，从而确定真正的增根． 【详解】解：方程两边同乘，得． 该分式方程有增根， ， 或2． 当时，； 当时，不成立， ，增根不为2， 该分式方程的增根为． 24．先仔细看例题，再解答问题． 例题：a为何值时，方程会产生增根？ 解：方程两边同时乘以（x-3），得 x=2（x-3）＋a，① ∵x=3是原方程的增根，但却是方程①的根， ∴将x=3代入①得： 3=2×（3-3）＋a， ∴a=3． 问题：当m为何值时，方程会产生增根？ 【答案】当m=±1时，方程有增根． 【分析】根据增根产生的条件，最简公分母为0时，未知数的值即为增根，再求得m的值． 【详解】解：方程两边同乘y（y-1），得 ， ∴， ∴， 方程的增根为y=0或y=1， 当y=0时，=-1，此时m无解； 当y=1时，=1，此时m=±1． 故当m=±1时，方程有增根． 【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． ◆题型5 分式方程的无解问题 25．关于的分式方程无解，则的值为（     ） A． B． C．2 D．1 【答案】D 【分析】分式方程无解的本质是解为增根，增根使原分式方程分母为0，先将分式方程化为整式方程，再根据增根计算m的值即可． 【详解】解：对原方程变形得， 方程两边同乘，得， 整理得， ∵原分式方程无解， ∴（分母为0的增根）， 代入得， 解得． 26．关于x的分式方程无解，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分式方程无解包括去分母后的整式方程无解或整式方程的解为增根两种情况，本题去分母后的整式方程有解，故无解说明方程存在增根，增根是使原分式方程的最简公分母为0的未知数的值，先确定增根为，再将分式方程化为整式方程，代入增根即可求出的值． 【详解】解：，即 方程两边同乘最简公分母，去分母得： 整理得：， 即 ∵原分式方程无解， ∴方程的解为增根，满足分母，即增根为 令 解得． 27．若关于的分式方程无解，则的值为______． 【答案】或 【分析】分式方程无解分两种情况：去分母后得到的整式方程本身无解，或整式方程的解是原分式方程的增根，分两种情况计算即可得到的值． 【详解】解：， 方程两边同乘，得， 整理得． 当，即时，方程变为，等式不成立，整式方程无解，因此原分式方程无解； 当时，整式方程有解，若原分式方程无解，则整式方程的解是原分式方程的增根， 原分式方程的增根满足分母，即， 把代入，得， 解得； 因此的值为或． 28．若关于x的分式方程无解，求m的值． 【答案】或 【分析】解分式方程，然后根据分式方程无解，进行求解即可． 【详解】解：， 去分母得：， 整理得： ， ∵关于x的分式方程无解， ∴或， ∴或， ∴或， 解得：或． 29．若关于x的方程无解，求m的值． 【答案】或 【分析】本题考查了分式方程的无解问题．方程去分母转化为整式方程，根据分式方程无解可得或将代入整式方程，即可求出m的值． 【详解】解：整理得 去分母得： ∴， 整理得：， 当，整式方程无解； 解得：， 当分式方程的解为增根时，原方程无解， 将代入中，得：， 解得：m， 综上，或． 30．如果两个分式与的和为常数，且为正整数，则称与互为“和整分式”，常数称为“和整值”．如分式，，，则与互为“和整分式”，“和整值”． (1)已知分式，，判断与是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”； (2)已知分式，，与互为“和整分式”，且“和整值”，若为正整数，分式的值为正整数． ①求所代表的代数式； ②求的值； (3)在（2）的条件下，已知分式，，且，若该关于的方程无解，求实数的值． 【答案】(1)2 (2)①；②1 (3)或 【分析】本题考查了异分母分式加减法，分式化简求值，分式方程无解问题等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）先求，再得出“和整值”； （2）①先求得，再根据与互为“和整分式”，且“和整值”，求得所代表的代数式； ②先求得，再根据题意求出的值； （3）先由（2）求出代入，得到分式方程，再分与两种情况讨论，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴与互为“和整分式”， ∴“和整值”； （2）①∵，， ∴， ∵与互为“和整分式”，且 “和整值”， ∴， ∴， ∴， ∴； ②∵，， ∴，且， ∴，且， ∵分式的值为正整数， ∴，且，正整数， ∴可以取1，2， 当时，， 当时，， 又为正整数， ∴不符合， 故； （3）由（2）得， ∴ ∵，，， ∴， 情况1：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 当时，方程无解， 此时； 情况2：当时，方程有增根， 则增根为， 将代入， 得， 解得：； 综上所述，或． ◆题型6 分式方程中参数的和与积问题 31．已知关于的分式方程无解，则满足条件的所有的和为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】若关于的分式方程无解，则最简公分母为零或所化成的整式方程无解，据此求解即可． 【详解】解： 方程两边乘， 得， 整理可得， 当，即时，整式方程无解， 即分式方程无解； 当时，有或时，分式方程无解， 此时或，解得或， 经检验均为该方程的解， 综上所述，或0或满足条件， 所以． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了分式方程无解问题，解题关键是要考虑到了最简公分母为零的情况，同时还要注意化为整式方程后，整式方程无解这一情况． 32．若关于x的不等式的解集为，且关于x的分式方程有正整数解，则满足条件的所有整数m的和为（　　） A．5 B．6 C．7 D．9 【答案】B 【分析】解不等式组，根据解不等式组的法则可得m的取值范围，再解分式方程，根据题意求出整数m的值即可解答． 【详解】解：解不等式组， 得：， 不等式组的解集为， ， 解关于x的分式方程， 可得且， 分式方程有正整数解， 的值为，，， 即的值为，，， ， 的值为，， 故满足条件的所有整数m的和为． 故选：B． 【点睛】本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式组，熟练掌握计算法则，记住分式方程增根的情况是解题的关键． 33．若整数使关于的不等式组无解，且使关于的分式方程有整数解，那么所有满足条件的的值的积是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解，根据关于的不等式组无解，求出的取值范围，在把分式方程解出，用表示，根据分式方程有整数解，的取值范围这两个条件，最终确定的值，掌握不等式无解、分式方程有整数解满足的条件是解题得关键． 【详解】解：， 解不等式得：， 解不等式得：， ∵关于的不等式组无解， ∴， 解分式方程得，， ∵分式方程有整数解，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴满足条件的的值的积是， 故答案为：． 34．已知a是正整数，关于y的分式方程有非负整数解．求满足条件的所有正整数a的和． 【答案】8 【分析】本题主要考查了分式方程的知识，先解关于y的分式方程，再根据分式方程有非负整数解，列出关于a的不等式组并求解，然后根据a是正整数，求出满足条件的所有正整数a的值，再求出它们的和即可． 【详解】解：， 等号两边同时乘以，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得 ， ∵分式方程有非负整数解， ∴且， ∴且， ∵a是正整数， ∴a的可能取值为2, 3, 4, 5， 又∵是整数， ∴必为偶数， ∴a为奇数，即a只能取3或5， ∴满足条件的所有正整数a的和为：． 35．若关于的不等式组有且只有五个整数解，且关于的分式方程的解为非负整数，则符合条件的所有整数的和为多少？ 【答案】 【分析】本题考查了根据不等式组和分式方程解的情况求解参数，准确的计算是解题关键．解关于的不等式组得：．可得；分式方程的解为：．根且即可求解； 【详解】解：解关于的不等式组得：． 关于的不等式组有且只有五个整数解， ． 关于的分式方程的解为：． 关于的分式方程可得产生增根2， ． 关于的分式方程的解为非负整数， 且． ．解得：． 为整数，且为整数，． 符合条件的所有整数的和为：． 故答案为：． 36．若数使关于的不等式组至少有三个整数解，且使关于的分式方程有整数解，求所有满足条件的整数的值的和． 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次不等式组及分式方程的解法，熟练掌握一元一次不等式组及分式方程的解法是解题的关键． 根据题意解不等式组的解集，然后根据不等式组至少有个整数解，得出的取值范围，解分式方程，得，再根据，，得出的值，即可得出答案． 【详解】解：解不等式组， 解得：， 关于的不等式组至少有三个整数解， ∴取， ， ． 解分式方程， 解得：， 关于的分式方程有可能产生增根， ， ， 关于的分式方程有整数解， 为整数， 又∵，， 或， 所有满足条件的整数的值的和为． ◆题型7 分式方程与方程、不等式结合的含参问题 37．若m为整数，关于x的不等式组有5个整数解，关于y的分式方程的解是整数，则所有满足条件的m的值的和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出不等式组的解集，根据解集情况得到，即，解，得到，根据分式方程的解为整数求出的值，结合已知条件得到满足条件的m的值，相加即可． 【详解】解：解不等式，得． 解不等式，得． 不等式组的解集为． 不等式组有5个整数解， 整数解为， ， 解得． 解分式方程， 两边同乘，得， 整理得， ，其中，且． 分式方程的解为整数，为整数， 是的整数约数， 即，对应的值为． 结合，，且即， 得符合条件的整数为． 所有满足条件的的值的和为． 38．若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解是正整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（    ） A．5 B．8 C．12 D．15 【答案】D 【分析】先解一元一次不等式组，根据已知解集确定的取值范围，再解分式方程，根据分式方程的解是正整数且不为增根，找出所有符合条件的整数，最后计算求和即可． 【详解】解：， 解不等式①得， 解不等式②得， ∵不等式组的解集为， ∴， 解得， 解分式方程， 方程两边同乘得， 整理得， 解得， ∵分式方程的解是正整数，且分母不为0即， ∴且， 解得且， 综上，，，且是正整数， 符合条件的整数为， 所有满足条件的整数的和为． 39．若关于的方程的解为正数，关于的不等式组有解，则的取值范围是（     ） A． B．且 C．且 D．且 【答案】B 【分析】分别求解分式方程与不等式组，结合方程解为正数、分母不为0及不等式组有解的条件，综合得到a的取值范围. 【详解】解：解方程， 整理得， 去分母得， 解得 ∵方程的解为正数，且分母不为0， ∴且， 解得且 解不等式组， 解得， 解得 ∵不等式组有解， ∴， 解得， 综上，的取值范围是且． 40．若关于x的不等式组至少有4个整数解，且关于y的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数a的值之和为________． 【答案】 【分析】先解一元一次不等式组，根据至少有4个整数解确定a的取值范围，再解分式方程，根据分式方程有非负整数解筛选出符合条件的整数a，即可求解． 【详解】解： ， 解不等式，得 ， 解不等式，得 ， 因此不等式组的解集为 ， ∵不等式组至少有4个整数解， ∴，解得 ， ， 方程两边同乘（），得 ， 整理得， 解得 ， ∵分式方程有非负整数解，且 ， ∴，，且为整数， 解得，，且为奇数， 结合，为整数， 可得符合条件的整数为 ， 因此所有满足条件的整数的值之和为． 41．已知不等式组和分式方程 (1)若不等式组无解，求的取值范围； (2)在（1）的条件下，若分式方程的解是整数，求满足条件的所有整数的值． 【答案】(1) (2)和 【分析】（1）根据不等式组无解的判定规则得到第一问的取值范围．再解分式方程； （2）结合第一问的范围、分式方程解为整数且分式有意义的要求，筛选出符合条件的所有整数． 【详解】（1）解：， 解不等式得， ∵不等式组无解， ∴； （2）解：， 方程两边同乘，得， 整理得， 由（1）知， 若，方程变为，不成立， ∴， ∴， 解得， ∵分式方程的解是整数，是整数，且， ∴是的负整数因数，且，的负整数因数为， 当时，，，符合要求， 当时，，，符合要求， 当时，，，为增根，舍去， ∴满足条件的整数为和． 42．若数使关于的不等式组无解，且使关于的分式方程有正整数解，求满足条件的整数的值． 【答案】或2 【分析】本题考查了一元一次不等式组的无解条件，分式方程的解法及正整数解的限制，掌握不等式组无解的条件，分式方程去分母转化为整式方程的方法，解的限制条件是解题的关键． 先根据不等式组无解的条件确定的取值范围，再解分式方程并结合正整数解和分母不为零的条件，筛选出符合条件的整数． 【详解】解：∵关于的不等式组无解， ， 解得． 将分式方程去分母得， 移项、合并同类项得， 系数化为1得． ∵分式方程有正整数解，且， 为10的正整约数，即或2或5或10， 解得或或2或7． 当时，， 此时分母，故舍去． ∴的整数值为或2或7 ， ∴满足条件的整数的值是或2． ◆题型8 分式方程的解新定义含参问题 43．定义运算：对于任意实数a、b、c，有．若关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】本题主要考查分式方程的含参数问题，新定义问题，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键． 根据题意先求出分式方程的解，然后根据方程的解为非负数可进行求解． 【详解】解：∵ ∴ 解得， ∵解为非负数， ∴ ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴且． 故选：B． 44．对于实数x、y定义一种新运算“*”：，例如：，则分式方程有增根时，m的值是________． 【答案】 【分析】根据新运算法则得到分式方程，去分母化简求解得，再根据分式方程有增根，得到，即可得解． 【详解】解：由得，， 整理得：， 解得：， 分式方程有增根， ， ， ， 解得：． 45．对于实数，定义一种新运算“”：，例如：，则当分式方程的解大于时，的取值范围是_______． 【答案】且 【分析】本题考查了实数新定义运算，解分式方程；根据新运算定义将方程转化为分式方程，求解后得到，再结合解大于及分母不为零的条件求的取值范围，即可求解． 【详解】解：由题意得， 去分母得， 解得， 由解大于得， 解得， 由得，即， 由 得 即， 综上， 且 ， 故答案为： 且 ． 46．定义：如果一个关于分式方程的解是，我们就说这个方程是和解方程．比如就是一个和解方程．如果关于的分式方程是一个和解方程，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的解． 根据和解方程的定义，方程的解应为，代入原方程求解． 【详解】解：∵方程是和解方程 ∴解为， 将代入原方程： ， ， ， ． 47．【提炼题型】 我们定义：如果两个实数使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”． 【识别模型】 (1)判断下列数对是否为关于的分式方程的“关联数对”（请在横线上填“是”或“否”）． ____________ 【应用模型】 (2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值． 【答案】(1)否，是； (2)． 【分析】根据“关联数对”定义分别判断即可； 根据“关联数对”定义得到，然后求解即可； 【详解】（1）解：当，时，分式方程无解，不符合“关联数对”的定义， ∴数对不是关于的分式方程的“关联数对”； 当，时，分式方程， ，解得， 经检验：是原分式方程的解， ∴分式方程的解为， ∵， ∴数对是关于的分式方程的“关联数对”； 故答案为：否，是； （2）解：∵数对是关于的分式方程的“关联数对”， ∴，， ∴，解得． 48．新定义：如果两个实数a，b使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”．例如：，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对”． (1)下列数对是关于的分式方程的“关联数对”有 ，（填字母） A：               B： (2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值． (3)若数对（，且，）是关于的分式方程的“关联数对”，且关于的方程有整数解，求整数的值． 【答案】(1)A (2) (3) 【分析】本题考查了新定义，分式方程的解，读懂题意，准确理解新定义，运用知识的迁移能力求解即可，理解“关联数对”的定义是解题的关键． （1）根据“关联数对”定义逐个计算判断即可得到答案； （2）根据“关联数对”定义，先求分式方程的解及，列方程求解即可得到答案； （3）根据“关联数对”定义，先求分式方程的解及，列方程解得，再由关于的方程有整数解，将代入恒等变形为，解出，进而得到或或或，求解即可得到答案． 【详解】（1）解：当，时， 分式方程，解得， ， 是“关联数对”； 当，时， 分式方程，解得， ， 不是“关联数对”； 故答案为：A； （2）解：数对是关于的分式方程的“关联数对”， ，， ， 解得， ， ， 解得； （3）解：数对是关于的分式方程的“关联数对”， ，， ，， ，， ， ， 当时，解得， 将化简得：， 解得， 关于的方程有整数解，且为整数， 或， 即或或或， 解得或或（不是整数，舍去）或（不是整数，舍去）， ， ． 综合攻坚·知能拔高 1．若关于x的分式方程的解是正数，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】A 【分析】本题考查了解分式方程，先将分式方程去分母转化为整式方程，得到关于的表达式，再根据解为正数，结合分式分母不为零的要求，确定的取值范围． 【详解】解：去分母，方程两边同乘得， 展开整理得 ， 解得 ． ∵ 分式方程的解是正数， ∴ ，即 ． 解得 ． 又∵ 分式方程分母不能为， ∴ ，即 ． ∴ ，解得 ． ∵ 已经满足， ∴ 实数的取值范围为． 2．关于x的方程，下列说法正确的是（   ） A．方程的解为 B．方程的解不能为0 C．当时，方程的解为负数 D．当时，方程的解为正数 【答案】C 【分析】本题主要考查了解分式方程，考虑分母不为零的条件，逐一验证选项即可． 【详解】解：∵方程，且， 两边乘得， ∴， 当 即 时解有效。 A．当时无解，故A错误； B．当时，，解可为0，故B错误； C．当时，，且满足，故解为负数，故C正确； D．当且时解为正数，但时无解，故D错误． 故选：C． 3．若关于x的分式方程有增根，则m的值为（   ） A．0 B．2 C．3 D．1 【答案】C 【分析】本题主要是考查了分式方程的增根，先将原式去分母整理得到关于x的整式方程，根据方程有增根可得x的值，代入整式方程可得m的值． 【详解】解：方程两边都乘，得 ∵原方程有增根， ∴最简公分母， 解得， 当时，， 解得：， 故m的值是3． 故选：C． 4．已知关于x的方程的解是非负数，那么m的取值范围是（   ） A．且 B． C．且 D． 【答案】A 【分析】本题考查根据分式方程的解求解参数，解一元一次不等式，正确解出分式方程是求解此题的前提． 先求解分式方程，根据“方程无增根”和“解是非负数”即可求出的取值范围． 【详解】解：原式去分母得：， 解得：， ∵， ∴， ∵方程的解是非负数， ∴， ∴， 解得， 综上：且， 故选：A． 5．若关于的分式方程无解，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查分式方程的解，熟练掌握其意义是解题的关键． 原方程去分母得，整理得，然后根据题意分类讨论即可． 【详解】解：原方程去分母得， 整理得：， 当，即时， 无解，则原分式方程无解，符合题意， 当时， 若原方程无解，那么它有增根， 把代入整式方程， 得：， 解得：， 综上，或， 故选：D． 6．若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是________． 【答案】且 【分析】本题考查解分式方程和一元一次不等式，关键是根据题意讨论出最后结果．解分式方程，解得的解含有字母，根据题意列不等式，解不等式确定字母的取值范围． 【详解】解：去分母可得：， 去括号可得：， 解得：， ∵关于x的分式方程的解为正数， ∴， 解得：， ∵，即， ∴， 解得， ∴的取值范围为：且， 故答案为：且． 7．若关于x的方程的解为负数，则m的取值范围是_________． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，解一元一次不等式，先将方程中的分式化简，利用分母互为相反数的关系合并分式，然后求解关于的方程，得到解的表达形式，根据解为负数的条件列出不等式，同时考虑分母不为零的约束，排除使解为1的值，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 去分母可得：， 解得：， ∵解为负数， ∴， 解得：， 同时，分母不为零要求，即， 解得， 综上所述，的取值范围为， 故答案为：． 8．若解关于x的分式方程会产生增根，则m的值为______． 【答案】或 【分析】此题主要考查了分式方程的增根，解答此题的关键是要明确：（1）化分式方程为整式方程；（2）把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到，进而求出x的值，代入整式方程求出m的值即可 【详解】解：原分式方程去分母得：， 由分式方程有增根，得到， 解得：或， 当时，，即； 当时，，即， 综上，m的值是或． 故答案为：或． 9．关于的方程有整数解，且使关于的不等式组的解集是，则满足条件的所有整数的值的和是______． 【答案】14 【分析】本题考查根据不等式组的解集求参数的范围，根据分式方程的解的情况求参数，分别求出不等式组的解集，分式方程的解，根据解集和解的情况求出的取值范围，确定整数的值，求和即可． 【详解】解：解，得：， ∵关于的方程有整数解， ∴为整数，且， ∴， ∴， 解，得：， ∵使关于的不等式组的解集是， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：14． 10．若关于的不等式组至少有3个整数解，且关于的分式方程有正整数解，则符合条件的所有整数的和是______． 【答案】6 【分析】本题考查了解不等式组，解分式方程． 先求出，得到，再根据分式方程有解得到，最后根据分式方程有正整数解求出符合条件的所有整数的值，求和即可． 【详解】解：解不等式组， 得 不等式组至少有3个整数解， ， ． 解分式方程得． ∵分式方程有解， ， ， ． 分式方程有正整数解， 是正整数且， 符合条件的所有整数为，， 符合条件的所有整数的和是 故答案为：6． 11．若关于的不等式组，有解且至多有三个整数解，关于的方程的解为正整数，则所有满足条件的整数的值之和为___________． 【答案】6 【分析】本题考查了解不等式组，分式方程，掌握解不等式的方法，取值方法，分式方程解法等知识是解题的关键． 根据解不等式组的方法，m取值的方法先算出的取值范围，再解分式方程，得到方程的解，结合题意找出符合题意的m的值，即可求解． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组有解， ∴， ∵不等式组至多有三个整数解， ∴， ∴， ， 解得：， ∵方程的解为正整数， ∴取1，2，3，6， 此时m取0，1，2，5， ∵， ∴m不能去2， ∴所有满足条件的整数的值为1，5， ∴所有满足条件的整数的值之和为． 故答案为：6 12．已知关于x的分式方程，当m为何值时，分式方程无解？ 【答案】或 【分析】本题考查解分式方程、分式方程的解，分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程无解得到最简公分母为0求出x的值，代入整式方程即可求出m的值． 【详解】解：， 去分母，得， 移项，得， 合并同类项，得， 当无解时该分式方程有增根， ∴， ∴； ∵分式方程无解， ∴，即， ∴， 解得． 综上，当或时，分式方程无解． 13．已知关于x的分式方程． (1)当时，甲同学的解题过程如下： 解：（第一步）去分母，得：， （第二步）去括号，得：， （第三步）合并同类项，得：， （第四步）系数化为1，得：， （第五步）检验：当时，，所以是增根， （第六步）所以原分式方程无解． 甲同学从第__________步开始出现错误，请你写出正确的解法； (2)若该方程去分母后所得的整式方程的解是增根，求m的值． 【答案】(1) 一，正确的解法： 去分母，得：， 去括号，得：， 移项、合并同类项，得：， 检验：当时，， 所以是原分式方程的解； (2) 【分析】本题考查了分式方程的增根，步骤如下：①分式方程化为整式；②最简公分母为0确定增根；③将增根代入整式方程求解．也考查了解分式方程． （1）检查甲同学解方程过程，找出错误步骤分析即可； （2）原分式方程化为整式方程，根据方程有增根，得到，将其代入整式方程即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：去分母，得：， ∵原方程有增根， ∴，即， 把代入整式方程得， 解得， ∴原方程有增根时，． 14．关于的方程的解为非负数，求自然数 ． 【答案】0；1；2 【分析】根据分式方程求解步骤得到关于方程的解，再根据题意进行判断即可求解； 【详解】两边同时乘以得：， 移项得： ， 化简得： ， 解得： ， ∴， 两边，得： ， 解之得： ． ∴的值为，，． 【点睛】本题主要考查知道分式方程的解情况求参数，掌握分式方程的求解步骤是解题的关键． 15．关于的分式方程：． (1)当时，求此时方程的根； (2)若这个方程的解为正数，求取值的范围． 【答案】(1) (2)且 【分析】（1）把代入分式方程，去分母，解的值，再进行检验即可； （2）首先解分式方程，解出，分式方程解为正数的条件为有解且解为正数，分式方程有解的条件为，故且，解出的范围即可． 【详解】（1）解：（1）当时，分式方程为； ， 方程两边同乘以，得 ， 解得， 当时，， 所以当时，分式方程的解为； （2）， 方程两边同乘以，得 ， 解得， 这个方程的解为正数， 且， 解得且． 【点睛】本题考查了分式方程的解法，解题的关键是掌握分式方程的解法以及分式方程解为正数的条件的理解． 16．已知，关于的分式方程． (1)当，时，求分式方程的解； (2)当时，求为何值时分式方程无解； (3)若，且、为正整数，当分式方程的解为整数时，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3)3、29、55、185 【分析】（1）将和的值代入分式方程，解分式方程即可； （2）把的值代入分式方程，分式方程去分母后化为整式方程，分类讨论的值，使分式方程无解即可； （3）将代入方程，分式方程去分母化为整式方程，表示出整式方程的解，由解为整数和为正整数确定的取值． 【详解】（1）解：把，代入分式方程中，得 方程两边同时乘以， ∴， 检验：把代入≠0， 所以原分式方程的解是． 答：分式方程的解是． （2）把代入分式方程得 方程两边同时乘以， ①当时，即，方程无解； ②当时， 时，分式方程无解，即，不存在； 时，分式方程无解，即，． 综上所述，或时，分式方程无解． （3）把代入分式方程，得： 方程两边同时乘以， 整理得： ∴ ，且为正整数，为整数 必为195的因数， ∵195=3×5×13 的因数有1、3、5、13、15、39、65、195 但1、3、5 小于11，不合题意，故可以取13、15、39、65、195这五个数． 对应地，方程的解为3、5、13、15、17 由于为分式方程的增根，故应舍去． 对应地，只可以取3、29、55、185 所以满足条件的可取3、29、55、185这四个数． 【点睛】此题考查了分式方程的计算，难度较大，涉及知识点较多，熟练掌握解分式方程的步骤是解决问题的前提，其次，分式方程无解的两种情况要熟知，一是分式方程去分母后的整式方程无解，二是分式方程去分母后的整式方程的解是分式方程的增根．总之，解分式方程的步骤要重点掌握． 17．【建构模型】 对于两个不等的非零实数，，若分式的值为零，则或． 又因为， 所以关于的方程有两个解，分别为，． 【应用模型】 利用上面的结论解答下列问题： (1)方程的两个解分别为，，则______，______； (2)关于的方程的两个解分别为，，求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）由题意可得，； （2）将已知方程变形为，则可得或，再求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得，； （2）解：， ， ， 或， 或， 又， ，， ． 【点睛】本题考查分式方程的解，根据题中所给的方法，将方程进行适当的变形，利用整体思想是解题的关键． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 分式方程解的情况、增根与无解问题 常考题型·精准突破 考点一 分式方程解的情况、增根与无解问题 题型1 根据分式方程解的情况求参数（正数）（高频） 题型2 根据分式方程解的情况求参数（负数）（高频） 题型3 根据分式方程解的情况求参数（带“非”）（高频） 题型4 分式方程的增根问题（高频） 题型5 分式方程的无解问题（高频） 题型6 分式方程中参数的和与积问题（难） 题型7 分式方程与方程、不等式结合的含参问题（难） 题型8 分式方程的解新定义含参问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 分式方程解的情况、增根与无解问题 ◆题型1 根据分式方程解的情况求参数（正数） 1．若关于x的方程的解为正数，则a的取值范围是（） A．且 B． C． D． 2．若关于的分式方程的解是正数，则（    ） A．且 B． C．且 D． 3．若关于x的分式方程的解为正数．则m的取值范围为________． 4．若关于的分式方程的解为正整数，则正数的值为________． 5．如果关于x的分式方程的解为正数，求常数a的取值范围． 6．已知关于的分式方程． (1)当时，求该方程的解； (2)若该方程解为正数，求的取值范围． ◆题型2 根据分式方程解的情况求参数（负数） 7．若关于的分式方程的解为负数，则字母的取值范围为（     ） A． B．且 C． D．且 8．若关于x的分式方程的解是非负数，则a的取值范围为（     ） A． B．且 C． D．且 9．已知，关于x的方程的解是负数，则k的取值范围是________． 10．已知关于的分式方程． (1)若该分式方程的解是，求的值； (2)若该分式方程的解是非负数，求的取值范围． 11．要使关于x的方程的解为负数，求m的取值范围． 12．已知． (1)化简分式； (2)若关于的分式方程：的解是非负数，求的取值范围． ◆题型3 根据分式方程解的情况求参数（带“非”） 13．已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（     ） A． B． C．且 D．且 14．若关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是（     ） A．且 B． C．且 D． 15．已知关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围为________． 16．若关于的分式方程的解为非正数，则的取值范围是________． 17．已知关于x的分式方程．若该分式方程的解为非负数，求a的取值范围． 18．若关于x的方程的解为非负数，求m的取值范围． ◆题型4 分式方程的增根问题 19．若方程有增根，则它的增根是（     ） A．0 B． C． D．1 20．若分式方程有增根，则这个增根的值为（    ） A．1 B．3 C． D．3或 21．若关于x的分式方程有增根，则它的增根是______． 22．若关于的分式方程有增根，则该分式方程的增根为__________． 23．若关于的分式方程有增根，求该分式方程的增根． 24．先仔细看例题，再解答问题． 例题：a为何值时，方程会产生增根？ 解：方程两边同时乘以（x-3），得 x=2（x-3）＋a，① ∵x=3是原方程的增根，但却是方程①的根， ∴将x=3代入①得： 3=2×（3-3）＋a， ∴a=3． 问题：当m为何值时，方程会产生增根？ ◆题型5 分式方程的无解问题 25．关于的分式方程无解，则的值为（     ） A． B． C．2 D．1 26．关于x的分式方程无解，则的值为（   ） A． B． C． D． 27．若关于的分式方程无解，则的值为______． 28．若关于x的分式方程无解，求m的值． 29．若关于x的方程无解，求m的值． 30．如果两个分式与的和为常数，且为正整数，则称与互为“和整分式”，常数称为“和整值”．如分式，，，则与互为“和整分式”，“和整值”． (1)已知分式，，判断与是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”； (2)已知分式，，与互为“和整分式”，且“和整值”，若为正整数，分式的值为正整数． ①求所代表的代数式； ②求的值； (3)在（2）的条件下，已知分式，，且，若该关于的方程无解，求实数的值． ◆题型6 分式方程中参数的和与积问题 31．已知关于的分式方程无解，则满足条件的所有的和为（    ） A． B．1 C． D． 32．若关于x的不等式的解集为，且关于x的分式方程有正整数解，则满足条件的所有整数m的和为（　　） A．5 B．6 C．7 D．9 33．若整数使关于的不等式组无解，且使关于的分式方程有整数解，那么所有满足条件的的值的积是______． 34．已知a是正整数，关于y的分式方程有非负整数解．求满足条件的所有正整数a的和． 35．若关于的不等式组有且只有五个整数解，且关于的分式方程的解为非负整数，则符合条件的所有整数的和为多少？ 36．若数使关于的不等式组至少有三个整数解，且使关于的分式方程有整数解，求所有满足条件的整数的值的和． ◆题型7 分式方程与方程、不等式结合的含参问题 37．若m为整数，关于x的不等式组有5个整数解，关于y的分式方程的解是整数，则所有满足条件的m的值的和为（    ） A． B． C． D． 38．若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解是正整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（    ） A．5 B．8 C．12 D．15 39．若关于的方程的解为正数，关于的不等式组有解，则的取值范围是（     ） A． B．且 C．且 D．且 40．若关于x的不等式组至少有4个整数解，且关于y的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数a的值之和为________． 41．已知不等式组和分式方程 (1)若不等式组无解，求的取值范围； (2)在（1）的条件下，若分式方程的解是整数，求满足条件的所有整数的值． 42．若数使关于的不等式组无解，且使关于的分式方程有正整数解，求满足条件的整数的值． ◆题型8 分式方程的解新定义含参问题 43．定义运算：对于任意实数a、b、c，有．若关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 44．对于实数x、y定义一种新运算“*”：，例如：，则分式方程有增根时，m的值是________． 45．对于实数，定义一种新运算“”：，例如：，则当分式方程的解大于时，的取值范围是_______． 46．定义：如果一个关于分式方程的解是，我们就说这个方程是和解方程．比如就是一个和解方程．如果关于的分式方程是一个和解方程，求的值． 47．【提炼题型】 我们定义：如果两个实数使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”． 【识别模型】 (1)判断下列数对是否为关于的分式方程的“关联数对”（请在横线上填“是”或“否”）． ____________ 【应用模型】 (2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值． 48．新定义：如果两个实数a，b使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”．例如：，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对”． (1)下列数对是关于的分式方程的“关联数对”有 ，（填字母） A：               B： (2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值． (3)若数对（，且，）是关于的分式方程的“关联数对”，且关于的方程有整数解，求整数的值． 综合攻坚·知能拔高 1．若关于x的分式方程的解是正数，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C．且 D．且 2．关于x的方程，下列说法正确的是（   ） A．方程的解为 B．方程的解不能为0 C．当时，方程的解为负数 D．当时，方程的解为正数 3．若关于x的分式方程有增根，则m的值为（   ） A．0 B．2 C．3 D．1 4．已知关于x的方程的解是非负数，那么m的取值范围是（   ） A．且 B． C．且 D． 5．若关于的分式方程无解，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或 6．若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是________． 7．若关于x的方程的解为负数，则m的取值范围是_________． 8．若解关于x的分式方程会产生增根，则m的值为______． 9．关于的方程有整数解，且使关于的不等式组的解集是，则满足条件的所有整数的值的和是______． 10．若关于的不等式组至少有3个整数解，且关于的分式方程有正整数解，则符合条件的所有整数的和是______． 11．若关于的不等式组，有解且至多有三个整数解，关于的方程的解为正整数，则所有满足条件的整数的值之和为___________． 12．已知关于x的分式方程，当m为何值时，分式方程无解？ 13．已知关于x的分式方程． (1)当时，甲同学的解题过程如下： 解：（第一步）去分母，得：， （第二步）去括号，得：， （第三步）合并同类项，得：， （第四步）系数化为1，得：， （第五步）检验：当时，，所以是增根， （第六步）所以原分式方程无解． 甲同学从第__________步开始出现错误，请你写出正确的解法； (2)若该方程去分母后所得的整式方程的解是增根，求m的值． 14．关于的方程的解为非负数，求自然数 ． 15．关于的分式方程：． (1)当时，求此时方程的根； (2)若这个方程的解为正数，求取值的范围． 16．已知，关于的分式方程． (1)当，时，求分式方程的解； (2)当时，求为何值时分式方程无解； (3)若，且、为正整数，当分式方程的解为整数时，求的值． 17．【建构模型】 对于两个不等的非零实数，，若分式的值为零，则或． 又因为， 所以关于的方程有两个解，分别为，． 【应用模型】 利用上面的结论解答下列问题： (1)方程的两个解分别为，，则______，______； (2)关于的方程的两个解分别为，，求的值． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $