专项巩固训练卷(八) 旋转中常见题型&专项巩固训练卷(九) 利用旋转构造全等模型-【勤径学升】2026-2027学年九年级上册数学全程时习测试卷（人教版·新教材）

专项巩固训练卷（八） 旋转中常见题型 类型一旋转60°，造等边 1.如图，三角形ABC绕点A逆时针旋转60°得到三角形AB1C1,若 ∠ABC=30°，则∠BB,C1的度数为 () A.80° B.90° C.100° D.110° 1题图 2题图 2.如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60得到△ADE,若线段AC=2, 则△ACE的面积为 () A.5 B.5 C.3 D.6 3.(陕西西安期末)如图，0是等边△ABC内一点，∠B0C=a.将 △BOC绕，点C按顺时针方向旋转60得△ADC,连接OD. (1)求证：△COD是等边三角形； (2)当a=150时，0B=4,0C=3,求0A的长 3题图 ●类型二旋转90°，造垂直 4.如图，等腰直角三角形ABC中，斜边AB=4,D是AB中点，E为BC 边上一动点，直线DE绕点D逆时针旋转90°交AC于点F,则 CE+CF的值为 () A.2 B.23 C.√3 D.22 D D 4题图 5题图 5.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，D,E是斜边BC上两点， 满足∠DAE=45°，将△ACD绕点A顺时针旋转90°得到△ABF,有 下列结论：①BF⊥BC;②点F,D关于直线AE对称；③点F,E关于 直线AB对称；④若BE=3,ED=5,则CD=4.其中正确的个数是 () A.1 B.2 C.3 D.4 6.如图，△ADE由△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到，且点B 的对应点D恰好落在BC的延长线上，AD,EC相交于点P. (1)求∠BDE的度数； (2)F是EC延长线上的点，且∠CDF=∠DAC.判断DF和PF的 数量关系，并证明 6题图 九年级数学上册第33页 见此图标园即刻扫码 分层训练助力学习进阶 类型三旋转180°，造中心对称 7.如图，在△ABC中，BC=2AB,D,E分别是边BC,AC的中点.将 △CDE绕点E旋转180度，得到△AFE. (1)判断四边形ABDF的形状并证明； (2)已知AB=3,AD+BF=8,求四边形ABDF的面积 7题图 8.【阅读理解】 (1)如图①，在△ABC中，若AB=8,AC=12,求BC边上的中线AD 的取值范围； 解决此问题可以用如下方法：将△ACD绕点D旋转180°得到 △EBD,把AB,AC,2AD集中在△ABE中，体现了转化与化归的 数学思想，利用三角形三边的关系即可解决问题 请根据上述方法解决问题， 【问题解决】 (2)如图②，在△ABC中，D是BC边上的中点，DM⊥DN,DM交AB 于点M,DN交AC于点N,连接MN,求证：BM+CN>MN. D M 公 D 8题图① 8题图② 见此图标目园即刻扫码 分层训练助力学习进阶「 专项巩固训练卷（九）》 学封 利用旋转构造全等模型 模型一手拉手模型 1.如图，在等腰△ABC中，AB=AC,将△ABC绕点A逆时针旋转得到 △AB'C',连接BB',CC',交点记为M. (1)求证：BB'=CC'; (2)若∠BAC=50°，求∠BMC的度数 1题图 2.如图，在Rt△ABC中，AC=BC=3V2,点D在AB边上，连接CD,将 CD绕点C逆时针旋转90得到CE,连接BE,DE. (1)求证：△CAD≌△CBE; (2)当AD=2时，求CE的长； (3)点D在AB上运动时，试探究AD2+BD2的值是否存在最小值？ 如果存在，求出这个最小值；如果不存在，请说明理由. D 2题图 模型二半角模型 3.旋转变换是解决数学问题的一种重要思想方法，通过旋转变换可 以将分散的条件集中到一起，从而便于解决问题.已知△ABC中， AB=AC,∠BAC=a,点D,E在边BC上（不与B,C重合），且 ∠DAE=)a,如图，当a=60时，将△AEC绕点A顺时针旋转60° 到△AFB的位置，连接DF. (1)∠DAF=_； (2)求证：DF=DE. 3题图 4.已知，四边形ABCD是正方形 (1)如图①，∠EAF在∠BAD的内部绕点A旋转，若EA平分 ∠BEF,求证：FA平分∠DFE; (2)如图②，∠EAF=45°，将∠EAF绕点A旋转，若点E在CB的延 长线上，点F在DC的延长线上，判断BE,EF,DF之间的数量 关系，并证明. 4题图① 4题图② 九年级 数学上册 第34页 ·模型三对角互补模型 5.如图，AB=AD,∠BAD=∠BCD=90° (1)如图①，AD与BC交于点P,求证：CD+√2CA=CB; (2)如图②，AE⊥CD于点E,猜想线段BC,CD,ED三者之间的数 量关系，并写出证明过程。 5题图① 5题图② 6.如图，在四边形ABCD中，BC=CD,∠BCD=a°，∠ABC+∠ADC= 180°，AC,BD交于点E.将△CBA绕点C顺时针旋转a°得 到△CDF. (1)画出旋转之后的图形； (2)求证：∠CAB=∠CAD; (3)若∠ABD=90°，AB=3,BD=4,△BCE的面积为S1,△CDE的 面积为，求号的值 6题图.DE∥CH,CH=2DE. 由旋转的性质，得DM=DE,∠MDE=2a,.∠FCH=2a. .∠B=∠ACB=a, ∴.∠ACH=a,AB=AC,∴.∠B=∠ACH. 设DM=DE=m,CD=n,则CH=2m,CM=m+n, DF=CD=n,:.FM=DF-DM =n-m. AM L BC,..BM CM=m+n, .BF =BM-FM=m +n-(n -m)=2m,.'.CH BF. AB=AC. 在△ABF和△ACH中，{∠B=∠ACH: LBF =CH. ∴.△ABF≌△ACH(SAS),.AF=AH. FE=EH,∴.AE⊥FH,即∠AEF=90° 26.解：(1)60°1 (2)∠CBD'=60°成立，助=1不成立 理由：，△ABC为等边三角形， ∴.AB=AC=BC=a,∠A=∠ACB=60°. 由旋转的性质，得CD=CD',LDCD'=60°， .∠ACD+∠BCD=∠BCD+LBCD'=60°， ∴.∠ACD=∠BCD', .△ACD≌△BCD', .∠CBD'=LA=60°，BD=AD=m. BD =AB-AD=a-m:BD=am BD' ∠CBD'=60°成立，BD=1不成立. （3)部的值为2或2 专项巩固训练卷（八） 旋转中常见题型 1.B2.A 3.（1)证明：.将△BOC绕点C顺时针旋转60°得到△ADC, ∴.C0=CD,LOCD=60°，∴.△COD是等边三角形. (2)解：：将△BOC绕点C顺时针旋转60°得到△ADC, ∴.△B0C≌△ADC,∴.∠ADC=∠B0C=150°，AD=OB=4. 又.△C0D是等边三角形，∴.∠0DC=60°，0D=0C=3, ∴.∠AD0=∠ADC-∠ODC=90°，.OA=AD2+OD2=5: 4.D5.C 6.解：(1)由旋转的性质可知AB=AD,∠BAD=90°，∠B= ∠ADE,∴.在Rt△ABD中，∠B=∠ADB=45°， ∴.∠ADE=∠B=45°，.∠BDE=∠ADB+∠ADE=90°， (2)DF=PF. 证明：由旋转的性质可知AC=AE,∠CAE=90°， ∴.△ACE是等腰直角三角形， .∴.在Rt△ACE中，∠ACE=∠AEC=45°. .·∠CDF=∠CAD,∠ACE=∠ADB=45°， .∴.∠ADB+∠CDF=∠ACE+∠CAD, 即∠FDP=∠FPD,.DF=PF 7.解：(1)四边形ABDF是菱形. 证明：D,E分别是BC,AC的中点， .CD=DB,CE=EA,DE是△ABC的中位线， .DE∥AB,AB=2DE. 由旋转的性质可知DE=EF, D,E,F三点共线，DF=2DE=AB. 又·AB∥DF, ∴.四边形ABDF是平行四边形. BC =2AB,BC =2BD,..AB=BD, 4 .平行四边形ABDF是菱形. 7题答图 (2)设BF,AD交于点O,如答图. 参考答案及解析 ·四边形ABDF是菱形， .AD⊥BF,OB=OF,A0=OD 设0A=x,OB=y, 则有2+2y=8, x+y2=32,x+y=4,2+y2=9, x2+2xy+y2=(x+y)2=16,.2xy=16-9=7, ∴Semr=2AD·BF=7×2x·2=2g=7. 8.(1)解：将△ACD绕点D旋转180°得到△EBD, 则AD=ED,BE=AC=12. 在△ABE中，由三角形的三边关系，得BE-AB<AE<BE+AB, .12-8<AE<12+8,即4<2AD<20,.2<AD<10. (2)证明：.D是BC边上的中点，∴.将△CND绕点D旋转 180°得到△BFD,点C的对应点为点B,点V的对应点为点F, 如答图，则△BFD≌△CND,∴.BF=CN,FD=ND.连接MF. 又：DM⊥DN,∴.MF=MN.在△BFM中，由三角形的三边关 系，得BM+BF>MF,∴.BM+CN>MN. A 8题答图 专项巩固训练卷（九） 利用旋转构造全等模型 1.(1)证明：.将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB'C', .∠B'AC'=∠BAC,AB'=AB,AC'=AC .·AB=AC,.AB=AC=AB′=AC .:∠BAB'=∠BAC+∠CAB',∠CAC'=∠B'AC'+∠CAB', .∠BAB'=∠CAC',.△BAB'≌△CAC',.BB'=CC (2)解：由(1)得△BAB'≌△CAC',.∠ABB'=∠ACC' 如答图..·∠2=∠1，∴.∠BMC=∠BAC=50°. X1 B 1题答图 2.(1)证明：由题意，知∠ACB=∠DCE=90°，CA=CB,CD=CE, .∴.∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB,即∠ACD=∠BCE. CA=CB, 在△CAD和△CBE中，{∠ACD=∠BCE, CD CE. ,∴.△CAD≌△CBE(SAS). (2)解：在Rt△ABC中，AC=BC=3√2， .∠CAB=∠CBA=45°，AB=VAC2+BC=6, ∴.BD=AB-AD=6-2=4. .·△CAD≌△CBE,.BE=AD=2,∠CBE=∠CAD=45°， .∠ABE=∠ABC+∠CBE=90°， .DE=√BD2+BE=25. 在Rt△CDE中，CE=CD,√CE2+CD=DE, CE=DE,CE=DE=10. 2 (3)解：存在 由(2)可知AD2+BD2=BE2+BD2=DE2=2CD2,AB=6, ·17· 全程时习测试卷·九年级数学·上册 ∴.当CD的值最小时，AD2+BD的值最小，此时CD⊥AB. :△ABC为等腰直角三角形CD=2AB=2×6=3, .AD2+BD2=2CD2≥2×32=18，即AD2+BD2的最小值 为18. 3.(1)解：30° (2)证明：由旋转知AF=AE,由(1)知∠DAF=∠DAE=30° 又，AD=AD,∴.△DAF≌△DAE,∴.DF=DE. 4.（1)证明：过点A作AG⊥EF,垂足为G,如答图①所示， ·四边形ABCD为正方形， .∠B=∠D=90°，AB=AD,∴.AB⊥EB,AD⊥FD .·EA平分∠BEF,AB⊥EB,AG⊥EF, .AB=AG,∴AG=AD. .AD⊥FD,AG⊥FE,∴.FA平分∠DFE. D B E 4题答图① 4题答图② (2)解：DF=BE+EF. 证明：在DC上截取DM=BE,连接AM,如答图②所示. ,四边形ABCD为正方形， .∠ABC=∠D=∠BAD=90°，AB=AD ∴.∠ABE=180°-∠ABC=90°，∴.∠ABE=∠ADM. AB=AD. 在△ABE和△ADM中， ∠ABE=∠ADM BE =DM, ∴.△ABE≌△ADM(SAS), ∴.AE=AM,∠EAB=∠DAM. .∠EAB+∠BAF=∠EAF=45°， ∴.∠DAM+∠BAF=45°， ∴.∠MAF=∠BAD-(∠DAM+∠BAF)=45°， .∠EAF=∠MAF. AE =AM. 在△EAF和△MAF中，{∠EAF=∠MAF, LAF=AF, ∴.△EAF≌△MAF(SAS),∴.EF=MF ∴，DF=DM+MF=BE+EF. 5.(1)证明：如答图①，在BC上截取BM=CD,连接AM: ,'AB=AD,∠BAD=∠BCD=90°， ∴.∠ABD=∠ADB=45° 设∠CBD=a,则∠ABM=45°-&，∠BDC=90°-a, ·.∠ADC=∠BDC-45°=45°-x=∠ABM. .AB=AD,BM=CD,∴.△ABM≌△ADC, ∴.AC=AM,∠CAD=∠MAB, ∴.∠CAM=∠CAD+∠DAM=∠MAB+∠DAM=90°， .△AMC是等腰直角三角形，CM=√2CA, ∴.CB=BM+CM=CD+√2CA,即CD+√2CA=CB. Gr- 5题答图① 5题答图② (2)解：CD=BC+2ED ·18· 证明：如答图②，延长CB至点G,使得BG=ED,连接AG ∠BAD=∠BCD=90°，.∠D+∠ABC=180. .∠ABG+∠ABC=180°，∴.∠ABG=∠D. AB=AD,BG=DE,∴.△ABG△ADE, ∴.AG=AE,∠BAG=∠DAE,∠G=∠AED. 'AE⊥CD,∴.∠G=∠AED=90°. 又.·∠EAG=∠EAB+∠BAG=∠EAB+∠EAD=∠BAD=90°， .四边形AGCE是矩形. .AG=AE,∴.四边形AGCE是正方形，∴.CG=CE, .BC+BG=BC+ED=CE=CD-ED. .∴.CD=BC+2ED. 6.(1)解：如答图，△CDF即为旋转之后的图形 （2)证明：由旋转的性质， 得∠CDF=∠CBA, ∠F=∠CAB,CA=CF ·.·∠CBA+∠CDA=180°， .∠CDF+∠CDA=180, ∴.A,D,F三点共线. AC=CF,∴.∠F=∠CAD, 6题答图 .∴.∠CAB=∠CAD. (3)解：如答图，过点E作EM⊥AF于点M,过点C作CN⊥BD 于点N,∴.∠ABE=∠AME=90°. ,∠EAB=∠EAM 在△ABE和△AME中，∠ABE=∠AME, LAE =AE, ∴.△ABE≌△AME(AAS),∴.AM=AB=3,BE=ME. .∠ABD=90°，AB=3,BD=4, ∴.AD=√AB2+BD2=5,∴.DM=2. 设BE=EM=x,则DE=4-x. 在△DEM中，+2=(4-)，解得x=多， B=DE= 2 s=7E0W,S=2nEm…-=号 S BE 3 第二十九章圆 基础过关检测卷 1.C2.D3.A4.A5.B6.D7.D8.B9.D 10.A[解析]：∠ACB=90°，∠A=60°，LABC=30°.AC =1,AB=2AC=2,BC=√AB2-AC=√5.根据旋转 的性质，得LBCE=90°，AF=AB=2,CE=BC=5,.Sm影= 5aae+Sasa-Sam=子×1×y月+90mXB2- 360 002+要-行-吕选 11.(1,1)(答案不唯一)12.213.314.60°15.316.4 17.2 18.√41[解析]如答图，延长CD至 点P使CP=BD,连接AP,作AQ⊥ 0 CP于点Q.AD=AD,∠ABD= ∠ACP.在△ABD和△ACP中， AB=AC, ∠ABD=∠ACP LBD=CP, 18题答图 ∴.△ABD≌△ACP(SAS),∴.BD=CP=8,AD=AP=5..在 △ADP中，AD=AP,AQ⊥DP,DQ=2DP.又：CP=8,CD -2..DQ-DP-(CP-CD)-3CQ-CD+DQ-5.