专项巩固训练卷(一) 一元二次方程的解法-【勤径学升】2026-2027学年九年级上册数学全程时习测试卷（人教版·新教材）

专项巩固训练卷（一） 学封 一元二次方程的解法 。类型一形如(x+m)2=n(n≥0)的一元二次方程用直接开平方法 1.下面是某同学解方程(x+3)2-4=0的过程， 解：移项，得(x+3)2=4.…第一步 由此可得x+3=2,…第二步 解得x=-1.…第三步 该同学的解答从第 步开始出错，请写出正确的解答过程 2.用直接开平方法解下列方程： （1)3x2-27=0; (2)(2x-1)2=9. 类型二用配方法求解一元二次方程 3.用配方法解一元二次方程：2x2+3x+1=0.小明同学的解题过程 如下： 解：原方程可化为2++宁=-0， +++ 44+2=0, (+-由此可得+。 3 33 21 小明的解题过程是否正确？若正确，请回答“对”；若不正确，请写 出你的解题过程 4.用配方法解下列方程： (1)x2-4x-5=0; (2)x2-4√2x-2=0; (3)x2-2x-1=0; (4)2x2-4x=3-8x. ·类型三用公式法解一元二次方程 5.用公式法解下列方程： (1)6x2-13x-5=0; (2)3x2+2x-1=0; (3)2x2=32x-2. ●类型四用因式分解法求解一元二次方程 (一)提公因式法 6.解下列方程： (1)x-1=x(1-x); (2)x(2x+3)=4x+6. 九年级数学上册第5页 见此图标目民即刻扫码 分层训练助力学习进阶「 7.下面是小明同学解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应 的任务 解方程：(3x-1)2=2(3x-1). 解：方程两边都除以(3x-1),得3x-1=2 第一步 移项、合并同类项，得3x=3. 第二步 系数化为1，得x=1. 第三步 任务： (1)小明的解法从第 步开始出现错误； (2)请写出此题的正确解题过程. （二)十字相乘法 8.新考向>阅读下列材料： I.将x2+2x-35分解因式，我们可以按下面的方法解答： 解：①竖分二次项与常数项：x2=x·x,-35=(-5)×(+7), -5 ②交叉相乘，验中项： →7x+(-5x)=2x. +7 ③横向写出两因式：x2+2x-35=(x+7)(x-5) 我们将这种利用十字交叉相乘分解因式的方法叫作十字相 乘法 Ⅱ.根据乘法原理：若ab=0,则a=0或b=0. 试用上述方法和原理解下列方程： (1)x2-7x+12=0: (2)x2-6x-16=0; (3)3x2+7x+2=0; (4)2x2+11x-21=0. 见此图标目鼠即刻扫码 分层训练助力学习进阶 ·类型五用换元法解一元二次方程 9.阅读下列例题的解答过程： 例：解方程：3(x-2)2+7(x-2)+4=0. 解：设x-2=y,则原方程可化为3y2+7y+4=0 a=3,b=7,c=4, .b2-4ac=72-4×3×4=1, -7±√1-7±1 y=2X3= 6 1=-1n=- 当y=-1时，x-2=-1,∴.x=1; 当y=-时-2=-心x=子， 原方程的根为1，女一号 请仿照上面的例题解一元二次方程：2(x-3)2-5(x-3 10.阅读材料：为了解方程(x2-1)2-5(x2-1)+4=0,我们可以将 x2-1看作一个整体，设x2-1=y,那么原方程可化为y2-5y+4 =0①，解得y1=1,y2=4. 当y=1时，x2-1=1,.x2=2,.x=±√2； 当y=4时，x2-1=4,x2=5,.x=±V5. 故原方程的根为x1=2,x2=-2,x3=5,x4=-√5， 解答问题： (1)上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用 达到了降次的目的，体现了的数学思想； (2)已知实数a,b满足(a2+b2)2-3(a2+b2)-10=0,试求a2+ b2的值； (3)请利用以上知识解方程：(x2+x)2-5(x2+x)+4=0. )-7=0. 九年级 数学上册 第6页 ●类型六含绝对值的一元二次方程的解法 11.阅读下面例题的解题过程，体会、理解其方法，并借鉴该例题的 解法解方程 例：解方程x2-1x1-2=0. 解：当x≥0时，原方程化为x2-x-2=0, 解得x1=2,x2=-1. ·x≥0，.x=-1舍去，∴.x=2是原方程的根. 当x<0时，原方程化为x2+x-2=0, 解得x1=-2,x2=1. x<0,.x=1舍去，∴.x=-2是原方程的根 综上所述，原方程的根为x1=2,x2=-2. 解方程x2+21x+21-4=0.全程时习测试卷·九年级数学·上册 即(x-3)2=8,.x-3=±22， 解得x1=22+3,x2=-22+3. 21.(1)证明：b2-4ac=(m-2)2+4×2m=m2+4m+4=(m+2)2 ,不论m取何值，都有(m+2)2≥0，∴此方程总有实数根 (2)解：：原方程可化为(x+m)(x-2)=0, 解得x1=-m,x2=2. :方程的一个根小于2，-m<2,.m>-2且m为整数. 22.解：(1)当m=-2,n=3时，.m-n=-2-3=-5,mn+1= -2×3+1=-5,∴.m-n=mn+1, 即m=-2,n=3满足上述等式. (2)佳佳的说法正确， 理由：当m=2,n=a2+2a时，2-(a2+2a)=2(a2+2a)+1, 整理，得3a2+6a-1=0. .·4=62-4×3×（-1)=48>0,∴.关于a的方程3a2+6a- 1=0有两个不相等的实数根，即一定存在两个不同的a的值 使得m-n=mn+1成立，∴.佳佳的说法正确. 23.解：(1)将方程x2-3x+2=0分解因式，得(x-2)(x-1) =0, 即x-2=0或x-1=0,解得x1=2,x2=1, 则方程x2-3x+2=0是“倍根方程”. (2)解(x-2)(x-m)=0,得x1=2,x2=m :(x-2)(x-m)=0是“倍根方程”，.m=4或m=1. 当m=4时，m2+2m+2=16+8+2=26; 当m=1时，m2+2m+2=1+2+2=5. 综上所述，代数式m2+2m+2的值为26或5 24.解：(1)设宽为x米，则长为90,2米 2 由题意，得x.90,24=500,整理，得2-45x+500=0, 2 解得x1=20,x2=25. 当x=20时，90,2x=25: 2 当=25时，024=20（不符合题意，合去）， ∴.该矩形基地的长为25米，宽为20米 (2)设每条作品展示长廊的宽为y米， 由题意，得(25-y)(20-y)=300, 整理，得y2-45y+200=0,解得y1=40,y2=5. ,该矩形基地的长为25米，宽为20米， ∴y=5,每条作品展示长廊的宽为5米 25.解：(1)20+2x40-x (2)由题意，得(20+2x)(40-x)=1050, 整理，得x2-30x+125=0, 解得x1=5,x2=25. 要对消费者更有利，∴.x=25 答：当衬衫的单价降25元时，商场销售这批衬衫每天可盈利 1050元，且对消费者更有利， (3)由题意，得(20+2x)(40-x)=1500, 整理，得x2-30x+350=0. 4=b2-4ac=(-30)2-4×1×350=-500<0, ∴.此方程没有实数根 故不能通过降价使商场销售这批衬衫每天盈利1500元. 26.解：（1)t2L (2).'AB=4cm,∴.PB=(4-t)cm(0<t≤4). 由勾股定理，得PQ=√(2)2+(4-t)=√52-8t+16(cm), 当PQ=4cm时，√5i2-8t+16=4, 3…当= 解得t=0(舍去)或t=8,」 5s时，PQ=4cm (3)存在. 令五边形APOCD的面积为矩形面积的，则△PBQ的面积 ·2· 为矩形面积的7，则5m=7×4×9=3(cem). 1 又：5m=PBB0=2(4-)·2=(4-), .t(4-t)=3,即2-4t+3=0,解得t=1或3， ∴.当t=1s或t=3s时，五边形APQCD的面积为矩形面 积的号 专项巩固训练卷（一） 一元二次方程的解法 1.解：二 正确的解答过程如下： (x+3)2-4=0,(x+3)2=4, .x+3=±2，x+3=2或x+3=-2, ∴.x1=-1,x2=-5. 2.解：(1)移项，得3x2=27. 二次项系数化为1，得x2=9, 由此可得x=±3. (2)由方程(2x-1)2=9,得2x-1=±3， 即2x-1=3或2x-1=-3, 解得x1=2,x2=-1. 3.解：小明的解题过程不正确。正确的解题过程如下： 3 1 原方程可化为+2+2=0， 移项，得x+3x= 1 2x=-2 配方，得2+3+()=日+() +6 由此可得x+4 .1 +=或+= 31 1 六=-2=-1. 4.解：(1)移项，得x2-4x=5. 配方，得x2-4x+4=5+4, 即(x-2)2=9. 由此可得x-2=±3， 解得x1=5,x2=-1. (2)移项，得x2-42x=2. 配方，得x2-42x+8=2+8,即(x-22)2=10. 由此可得x-22=±√10， 解得x1=22+√/10,2=22-√10. (3)原方程移项，得x2-2x=1. 配方，得x2-2x+1=2,即(x-1)2=2. 由此可得x-1=±√2， 解得x1=1+2,x2=1-V2. (4)2x2-4x=3-8x, 移项、二次项系数化为1，得父+2x= 3 配方，得(+1P-多 5 由此可得x+1=±√2， 解得名=2+0 2 0,名=2-10 2 5.解：(1)a=6,b=-13,c=-5, .∴.b2-4ac=169+120=289>0, .方程有两个不相等的实数根， 六x=-b±F-4ac-13±28913±17 2a 12 12 1 (2).a=3,b=2,c=-1, .62-4ac=22-4×3×(-1)=16>0, ∴.方程有两个不相等的实数根， x=-b±yB-4ac=-2±16 2a 6 小名=3出=-1 (3)原方程可变形为2x2-32x+2=0. a=2,b=-32,c=2, .b2-4ac=(-32)2-4×2×2=2>0, “.方程有两个不相等的实数根， 六x=-b±Y6-4c-32±2 2a 4 =0号 6.解：(1)(x-1)+x(x-1)=0,.(x-1)(x+1)=0, x-1=0或x+1=0,x1=1,x2=-1. (2)x(2x+3)=4x+6,x(2x+3)-2(2x+3)=0, ∴.(x-2)(2x+3)=0,∴.x-2=0或2x+3=0, g=2=-2 7.解：(1)一 (2)由题意，得(3x-1)2-2(3x-1)=0, ∴.(3x-1-2)(3x-1)=0,∴.(3x-3)(3x-1)=0, 3x-3=0或3x-1=0,名=1，%=分 8.解：(1)由题意，得(x-3)(x-4)=0. 即x-3=0或x-4=0,x=3或x=4. (2)由题意，得(x-8)(x+2)=0, x-8=0或x+2=0,.x1=8,x2=-2 (3)由题意，得(3x+1)(x+2)=0, 1 即3x+1=0或x+2=0,名1=-3=-2. （4)由题意，得(2x-3)(x+7)=0, 即2x-3=0或x+7=0, 3 小为1=2=-7. 9.解：设x-3=y,则原方程可化为2y2-5y-7=0. a=2,b=-5,c=-7, .62-4ac=(-5)2-4×2×(-7)=81, y=5±8=5± 7 2×2 4,心%=-1，=2 当y=-1时，x-3=-1,.x=2; 当y=子时-3=子 13 =2x=2, “原方程的根为名=2，名=2 13 10.解：(1)换元转化 （2)设a2+b2=m,则原方程可化为m2-3m-10=0, .(m+2)(m-5)=0,解得m1=-2,m2=5. :a2+b2>0,.a2+b2的值为5. (3)设x2+x=y,原方程可变为y2-5y+4=0, 则(y-4)(y-1)=0,∴.y-4=0或y-1=0, 解得y1=4,y2=1. 当y=4时，2+x=4,解得x=-1去7 2 参考答案及解析 当y=1时，2+x=1,解得x=1±5 2 心原方程的根为x=1+ 2 ,=1-7 2 名5 2 11.解：当x+2≥0，即x≥-2时，原方程化为x2+2x=0, 即x(x+2）=0,解得x1=0,x2=-2. 当x+2<0,即x<-2时，原方程化为x2-2x-8=0, 即(x-4)(x+2)=0, 解得x3=4(不符合题意，舍去)，x4=-2(不符合题意，舍去). 综上，原方程的根为x1=0,x2=-2. 专项巩固训练卷（二） 一元二次方程应用的常见类型 1.B 2.解：设有x个队参加了报名， 由题意，得(x21少=66， 2 整理，得x2-x-132=0, .（x-12)(x+11)=0, 解得x1=12,x2=-11(负值舍去) 答：有12个队参加了报名. 3.D4.B 5.解：(1)设这种宣讲活动，一个人会给x人宣讲， 依题意，得(1+x)2=81, 解得x1=8,x2=-10(舍去) 答：这种宣讲活动，一个人会给8人宣讲 (2)81×(1+8)=729(人). 答：按照这样的宣讲速度，经过三轮后接受宣讲的人数共有 729人. 6.C7.B8.A 9.解：(1)设AB=CD=x,则AD=BC=120÷2-x=60-x, MN=x-4,MQ=60-x-2=58-x. 由题意，得(x-4)(58-x)=720,解得x1=34,x2=28. .BC>AB,∴.x=28,∴.MQ=58-28=30. .·30<35,∴.拟建的温室达标. (2)AB=28米，BC=32米， ∴.温室的面积为28×32=896（平方米）， .∴.道路面积为896-720=176（平方米）， .道路总造价为176×70=12320（元）. :草莓的总利润为720×100=72000（元）， ∴.净利润为72000-12320-30000=29680（元） 故温室年净利润为29680元. 10.解：(1)设y与x之间的函数解析式为y=x+b(k≠0) 将(25,70)，(35,50)代人y=x+b,得 St6四解得61 b=120, ∴.y与x之间的函数解析式为y=-2x+120(20≤x≤38). (2)依题意，得(x-20)(-2x+120)=600, 整理，得x2-80x+1500=0, 解得x1=30,2=50. 又.20≤x≤38，∴x=30. 答：每件商品的售价应定为30元. 11.解：(1)40+5×2=50（件）. 故平均每天销售数量是50件， (2)设每件商品降价x元，则每件盈利为(50-x)元， 日销售量为(40+2x)件. 根据题意，得(50-x)(40+2x)=2400, 解得x1=10,x2=20. 当x=10时，50-x=40>35; 。3.