第25章一元二次方程 单元测试题 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 本卷聚焦一元二次方程单元，融合文化传承（花拉子米图解法、赵爽几何解法）与科技情境（AI平台下载量），覆盖定义、解法、应用等全知识点，适配单元复习，提升抽象能力、模型意识与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|一元二次方程定义、一般形式、公式法|基础巩固，如第3题考查a,b,c确定| |填空题|5/15|根与系数关系、新定义运算|能力提升，如第13题结合韦达定理| |解答题|8/75|实际应用（展销区扩建）、几何解法|创新应用，如23题赵爽方法拓展，体现数学思维与文化传承|

班级： 姓名： 得分： 一元二次方程单元测试题 满分：120分 建议用时：100分钟 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A．x+y＝2 B． C．x2﹣13＝0 D．2x+1＝0 2．将一元二次方程2x﹣x（x﹣3）＝3化为一般形式，正确的是（　　） A．5x﹣x2＝3 B．x2﹣5x＝﹣3 C．x2﹣5x+3＝0 D．5x﹣x2﹣1＝0 3．用公式法解一元二次方程3x2﹣2x+5＝0时，首先要确定a，b，c的值，正确的是（　　） A．a＝3，b＝2，c＝5 B．a＝﹣3，b＝2，c＝5 C．a＝3，b＝2，c＝﹣5 D．a＝3，b＝﹣2，c＝5 4．若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣5x+m2﹣4＝0有一个根为0，则m的值为（　　） A．m＝﹣2 B．m＝2 C．m＝±2 D．m≠2 5．解一元二次方程（x+2）2＝4时，通常将其转化为两个一元一次方程，已知其中一个方程为x+2＝2，则另一个方程为（　　） A．x﹣2＝﹣2 B．x+2＝﹣2 C．x﹣2＝2 D．x+2＝2 6．用公式法解方程x2﹣1＝2x时，得，则“□”处应填（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 7．若关于x的一元二次方程2x2+3x﹣c＝0有两个不相等的实数根，则实数c的值可以是（　　） A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1 8．若一元二次方程ax2＝1（a＞0）的两根分别是m+1与2m﹣4，则这两根分别是（　　） A．1，4 B．1，﹣1 C．2，﹣2 D．3，0 9．我们可以用几何的方法求一元二次方程的解．例如求方程x2+4x＝32的解时，如图，先画Rt△ABC，使∠ACB＝90°，BC＝2，AC＝3，在斜边AB上截取BD＝2，则下列线段可以表示方程x2+4x＝32的一个解的是（　　） A．AD的长 B．AC的长 C．BC的长 D．CD的长 10．为传承中华优秀传统文化，某校开展“古法数学趣题探究”活动．同学们以《增删算法统宗》中的“圆中方”问题为素材，设计了如下校园景观方案：在一块圆形空地的正中间修建一个正方形水池，水池的每条边到圆周的距离都相等（如图）均为3米．水池以外的区域全部种植绿植．已知绿植部分的面积为72平方米，设正方形水池的边长为x米．下列方程中，能正确表示圆面积、正方形面积与绿植面积之间数量关系的是（　　） A．π（x+3）2﹣x2＝72 B． C．π（x+6）2﹣x2＝72 D． 二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11．一个三角形的两边长分别为5和7，第三边长是方程x2﹣6x+8＝0的根，则这个三角形的周长为　 　 ． 12．对于实数a，b定义一种新运算“☆”如下：a☆b＝ab2﹣ab，例如4☆3＝4×32﹣4×3＝24，则关于x的方程1☆x＝2的根为 　 　 ． 13．已知一元二次方程x2﹣4x+2＝0的两个实数根为a，b，那么a+b﹣ab＝　 　 ． 14．电流通过导线会产生热量，电流I（单位：A）、导线电阻R（单位：Ω）、通电时间t（单位：s）与产生的热量Q（单位：J）满足Q＝I2Rt．已知电阻为5Ω的导线1s时间产生20J的热量，则电流I的值是　 　 A． 15．小鹿利用欧几里得的一元二次方程图解法，解方程x2+8ax＝9a2（a＞0）的过程如下：将方程配方得（x+4a）2＝（3a）2+（4a）2，以3a和4a为两直角边作△ABC（如图），再在斜边AB及其延长线上截取BD＝BE＝BC，发现方程的解x1＝AD，x2＝﹣AE．若x1＝AD＝2，则x2的值为　 　 ． 三．解答题（共8小题，共75分） 16．（10分）解方程： （1）3x2﹣27＝0； （2）25（x+1）2﹣16＝0． 17．（7分）阅读材料，并回答问题． 下面是亮亮用“配方法”解一元二次方程2x2+4x﹣8＝0的过程： 解：2x2+4x﹣8＝0， 二次项系数化为1，得：x2+2x﹣4＝0第一步； 移项，得：x2+2x＝4第二步； 配方，得：x2+2x+4＝4+4，即（x+2）2＝8第三步； 由此可得：第四步； 解得：，第五步． （1）“配方法”所依据的公式是　 　 ；（填“完全平方公式”或“平方差公式”） （2）上面解答过程，从第　 　 步开始出现错误； （3）写出正确的解答过程． 18．（7分）近年来，各地深挖传统文化，结合现代设计推出文创潮品，既拉近文物与公众距离，又推动文化产业发展与消费升级．我省晋祠景区设置了一块矩形文创展销区，已知该展销区的长比宽多2米，为迎接旅游旺季，工作人员计划对该展销区进行扩建，从而可多摆放一些文创展示架；若将该展销区的长和宽分别增加3米，则扩建后展销区的面积为48平方米，求原矩形文创展销区的长和宽． 19．（7分）已知关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x﹣k﹣2＝0． （1）求证：无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根． （2）若方程有两个实数根x1、x2，且x1+x2﹣4x1x2＝1，求k的值． 20．（9分）项目学习 项目背景：人工智能的发展为人们的生活与学习带来了诸多便利，初中生也能借助人工智能提升学习效率，为此，向阳综合实践小组的同学们围绕“依托人工智能平台的自主高效学习”开展了项目学习活动，形成了如下活动报告． 项目主题 依托人工智能平台的自主高效学习 活动内容 选择人工智能平台，开展以问题驱动为核心的高效学习 活动过程 活动1：选择人工智能平台 小组成员搜集到如下资料：学习所使用的智能平台所属公司是一家专注人工智能领域的科技公司，该公司致力于开发先进的大语言模型和生成式AI技术，平台一经发布，便占据各大手机下载市场下载榜首位．据统计，该平台首日在某下载市场的下载量为100万次，第二天、第三天的下载量连续增长，第三天的下载量为121万次. 活动2：向人工智能平台提出问题 向平台提出的首个问题：如图，把一根长为32cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，问这两个正方形的面积之和能否等于30cm2 平台回复的结果：… 交流展示 … 请根据以上的活动报告，解答下列问题． （1）求所使用平台前三天下载量的日平均增长率； （2）请你猜想人工智能平台回复的结果是“能”还是“不能”，并说明理由． 21．（9分）阅读与思考 花拉子米与《代数学》 中亚细亚数学家阿尔•花拉子米（约780﹣约850）是对欧洲数学影响最大的数学家之一，他的著作《对消与还原》（拉丁文译本），重点论述解方程，该书传入欧洲后，到14世纪，演变为拉丁语“algebra”，这就成了今天英文“algebra”（代数）一词的来源，因此花拉子米的这一著作也称为《代数学》． 《代数学》一书，第一次给出了一元二次方程的一般代数解法及图解法．书中记载的图解法：形如x2+10x＝39的方程，求正数解的几何方法如下：“如图1，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为x的矩形，得到大正方形的面积为39+25＝64，则该方程的正数解为8﹣5＝3”． 任务： （1）根据学过的一元二次方程的一般代数解法，求解方程：x2﹣4x+1＝0． （2）若按上述图解法解关于x的方程x2+6x+m＝0时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为72，则图中阴影小矩形的宽为　 　 ，该方程的正数解为　 　 ． 22．（12分）综合与实践 项目主题：劳动基地扩建方案 项目背景：学校计划扩建某劳动基地，综合实践活动小组以设计“劳动基地扩建方案”为主题开展了一次项目学习． 信息获取： 信息1，如图，原劳动基地为矩形，AB的长为25m，BC的长为45m； 信息2，如图，扩建后的新劳动基地仍为矩形，BE的最大长度为32m，BG的最大长度为58m． 问题解决： （1）若新劳动基地的面积为1500m2，且AE＝CG，求BG和BE的长． （2）当CG＝3AE时，新劳动基地的面积可以为1800m2吗？请说明理由． 23．（14分）综合与探究 【学习研究】：北师大版教材九年级上册第39页介绍了我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中关于一元二次方程的几何解法：以x2+2x﹣35＝0为例，构造方法如下： 首先将方程x2+2x﹣35＝0变形为x（x+2）＝35，然后画四个长为x+2，宽为x的矩形，按如图（1）所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图中大正方形的面积可表示为（x+x+2）2，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即4x（x+2）+22＝4×35+4，因此，可得新方程：（x+x+2）2＝144．∵x表示边长，∴2x+2＝12，即x＝5，遗憾的是，这样的做法只能得到方程的其中一个正根． 【类比迁移】：小明根据赵爽的办法解方程x2+3x﹣4＝0，请你帮忙画出相应的图形，将其解答过程补充完整； 第一步：将原方程x2+3x＝4变形为x（　 　 ）＝4； 第二步：利用四个长为　 　 ，宽为　 　 （用x表示）的全等矩形构造“空心”大正方形（请在画图区画出示意图，标明各边长），并写出完整的解答过程； 第三步：方程的一个正根为　 　 ． 【拓展应用】：一般地对于形如：x2+ax＝b一元二次方程可以构造图2来解，已知图2是由4个面积为5的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为16．那么此方程的系数a＝　 　 ，b＝　 　 ．求得方程的一个正根为　 　 ． 参考答案与试题解析 1．【解答】解：A、该方程中含有2个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； B、该方程不是整式方程，不符合题意； C、该方程符合一元二次方程的定义，符合题意； D、该方程中没有二次项，不是一元二次方程，不符合题意． 故选：C． 2．【解答】解：2x﹣x（x﹣3）＝3， 2x﹣x2+3x＝3， x2﹣2x﹣3x+3＝0， x2﹣5x+3＝0， 故选：C． 3．【解答】解：∵给定方程为3x2﹣2x+5＝0，符合一般形式， ∴对比可得a＝3，b＝﹣2，c＝5． 故选：D． 4．【解答】解：由题意，将x＝0代入方程，得m2﹣4＝0，即m2＝4，∴m＝2或m＝﹣2． 又∵该方程是一元二次方程， ∴二次项系数m﹣2≠0，即m≠2， ∴m＝﹣2． 故选：A． 5．【解答】解：由题知， 因为（x+2）2＝4， 则x+2＝±2， 所以x+2＝2或x+2＝﹣2， 即另一个方程是x+2＝﹣2． 故选：B． 6．【解答】解：原方程移项得x2﹣2x﹣1＝0， ， 对比题干给出的式子，可知□处应填2． 故选：C． 7．【解答】解：由条件可知Δ＝b2﹣4ac＞0，其中a＝2，b＝3，常数项为﹣c， 代入得：32﹣4×2×（﹣c）＞0， 整理得9+8c＞0， 解得， ∵选项中只有﹣1＞﹣1.125， ∴c的值可以是﹣1． 故选：D． 8．【解答】解：由题意知，方程ax2＝1（a＞0）的两根互为相反数， ∴m+1+2m﹣4＝0， 解得m＝1， ∴m+1＝2，2m﹣4＝﹣2， 故选：C． 9．【解答】解：利用配方法解一元二次方程求出正数解，再在Rt△ABC中利用勾股定理求出AB的长，结合BD＝2求出AD的长如下： 配方得（x+2）2＝13， 解得，， ∵线段长度必须为正数， ∴该方程符合几何意义的解为， 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， BC＝2，AC＝3， 由勾股定理得， ∵在斜边AB上截取BD＝2， ∴． ∴线段AD的长表示方程的一个解． 故选：A． 10．【解答】解：根据题意可得：． 故选：B． 二．填空题（共5小题） 11．【解答】解：x2﹣6x+8＝0， 因式分解得：（x﹣2）（x﹣4）＝0， 解得：x1＝2，x2＝4， 设第三边长为x， 根据三角形三边关系可得7﹣5＜x＜7+5，即2＜x＜12， 所以第三边长为4， 所以三角形的周长为5+7+4＝16， 故答案为：16． 12．【解答】解：1☆x＝2， x2﹣x＝2， x2﹣x﹣2＝0， （x﹣2）（x+1）＝0， ∴x1＝2，x2＝﹣1， 故答案为：x1＝2，x2＝﹣1． 13．【解答】解：由条件可得：，， ∴a+b﹣ab＝4﹣2＝2． 故答案为：2． 14．【解答】解：将 R＝5，Q＝20，t＝1，代入Q＝I2Rt， 得：20＝I2×5×1， 化简得：I2＝4， 解得I＝2或I＝﹣2（负值不合题意，舍去）， 故答案为：2． 15．【解答】解：在Rt△ABC中，AC＝3a，BC＝4a，∠ACB＝90°， ∴AB5a， ∴AD＝AB﹣BD＝5a﹣4a＝a． ∵x1＝AD＝2， ∴a＝2， ∴x2＝﹣AE＝﹣（AB+BE）＝﹣（5a+4a）＝﹣9a＝﹣9×2＝﹣18． 故答案为：﹣18． 16．【解答】解：（1）原方程移项可得： x2＝9， ∴x＝±3． ∴x1＝3，x2＝﹣3； （2）原方程变形可得： ， ∴或． ∴x1，x2． 17．【解答】解：（1）“配方法”所依据的公式是完全平方公式， 故答案为：完全平方公式； （2）根据配方法的步骤可知再把二次项系数化为1后，应该把方程的两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方， 从第三步开始出现错误的，原因是把二次项系数化为1后，应该把方程的两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，即加上1，而第三步加上的是4， 故答案为：三； （3）2x2+4x﹣8＝0， x2+2x﹣4＝0， x2+2x＝4， x2+2x+1＝4+1， （x+1）2＝5， ， 解得，． 18．【解答】解：设原矩形文创展销区的宽为x米，长为（x+2）米，则扩建后的宽为（x+3）米，扩建后的长为（x+2+3）＝（x+5）米，根据题意可得： （x+3）（x+5）＝48， 解方程得x1＝3，x2＝﹣11（宽度不能为负，舍去）， ∴x+2＝5， ∴原矩形文创展销区的长为5米，宽为3米． 19．【解答】（1）证明：∵Δ＝（2k﹣1）2﹣4×1×（﹣k﹣2） ＝4k2+1﹣4k+4k+8 ＝4k2+9＞0， ∴无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）解：由根与系数的关系得出：x1+x2＝﹣（2k﹣1），x1x2＝﹣k﹣2， 由x1+x2﹣4x1x2＝1得：﹣（2k﹣1）﹣4（﹣k﹣2）＝1， 解得：k＝﹣4． 20．【解答】解：（1）设下载量的日平均增长率为x， 根据题意列一元二次方程得，100（1+x）2＝121， 整理得，100x2+200x﹣21＝0， 解得：或（舍去）， 答：所使用平台前三天下载量的日平均增长率为10%； （2）猜想：人工智能平台回复的结果是“不能”，理由如下： 设一段铁丝的长度为ycm，另一段为（32﹣y）cm， 根据题意列一元二次方程得，，即y2﹣32y+272＝0， ∵（﹣32）2﹣4×1×272＝1024﹣1088＝﹣64＜0， ∴方程无解， ∴这两个正方形的面积之和不能等于30cm2， 答：人工智能平台回复的结果是“不能”． 21．【解答】解：（1）由题意，∵x2﹣4x+1＝0， ∴x2﹣4x＝﹣1． ∴x2﹣4x+4＝3． ∴（x﹣2）2＝3． ∴x﹣2＝±． ∴x＝2． ∴x＝2或x＝2； （2）由题意，∵x2+6x+m＝0， ∴x2+6x＝﹣m， ∵阴影部分的面积为72， ∴x2+6x＝72， 设4a＝6， 则a， ∴此时图中阴影小矩形的宽为；同理：先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为x的矩形，得到大正方形的面积为72+（）2×4＝72+9＝81，则该方程的正数解为9﹣3＝6， 故答案为：；6． 22．【解答】解：（1）设AE＝CG＝xm， 根据题意列一元二次方程得，（25+x）（45+x）＝1500， 解得x1＝5，x2＝﹣75（不合题意，舍去）； ∴25+x＝25+5＝30，45+x＝45+5＝50； 答：BG的长为50m，BE的长为30m； （2）不可以， 理由：设AE＝am，则CG＝3am， 根据题意列一元二次方程得，（25+a）（45+3a）＝1800， 解得a1＝5，a2＝﹣45（不合题意，舍去）， 当a＝5时，45+3a＝60＞58，不合题意，舍去， ∴当CG＝3AE时，新劳动基地的面积不可以为1800m2． 23．【解答】解：[类比迁移]小明根据赵爽的办法解方程x2+3x﹣4＝0， 第一步：将原方程变形为x2+3x＝4，即x（x+3）＝4； 第二步：利用四个面积可用x表示为长为x+3，宽为x的全等矩形构造“空心”大正方形， 画四个长为x+3，宽为x的矩形，按如图所示的方式拼成如图，拼成一个“空心”大正方形，则图中大正方形的面积可表示为（x+x+3）2，还可表示为四个矩形与一个边长为3的小正方形面积之和，即4x（x+3）+32＝4×4+9，因此，可得新方程：（x+x+3）2＝25， ∵x表示边长， ∴2x+3＝5，即x＝1， 第三步：方程的一个正根为x＝1； 故答案为：x+3；x+3，x，图形及解答过程见解析；x＝1； 【拓展应用】：一般地对于形如：x2+ax＝b一元二次方程可以构造图2来解，已知图2是由4个面积为5的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为16．则： ∵x2+ax＝b， ∴x（x+a）＝b， ∴四个小矩形的面积各为b，大正方形的面积是（x+x+a）2，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×b+a2， ∵图2是由4个面积为5的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为42＝16， ∴b＝5，a2＝16， 解得：a＝±4，b＝5， 当a＝4时，（x+x+4）2＝4×5+16，2x+4＝6，x＝1，方程的一个正根为1； 当a＝﹣4时，（x+x﹣4）2＝4×5+16，2x﹣4＝6，x＝5，方程的一个正根为5． 故答案为：±4，5，1或5． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/7/27 15:59:48；用户：贾老师；邮箱：18700475953；学号：68421402 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $