6.3.1 角的概念导学案 2026-2027学年数学人教版七年级上册

该初中数学导学案聚焦“角的概念”，涵盖角的静态与动态定义、四种表示方法、度分秒换算及方位角。通过观察钟表指针、剪刀等生活实例导入，衔接射线知识，以填空梳理和探究辨析为支架，帮助学生构建角的概念体系。 特色在于“生活观察-概念辨析-实践应用”的设计，结合生活实例培养数学眼光（几何直观），易错提示与推理辨析发展数学思维（推理意识），度分秒换算技巧和方位角画法提升运算能力与应用意识（数学语言），助力学生理解概念本质并解决实际问题。

6.3.1 角的概念 学案 班级：__________ 姓名：__________ 一、学习目标 1. 理解角的静态定义和动态定义，能正确说出角的顶点和边。 2. 掌握角的四种表示方法，能根据图形选择恰当的方法表示角。 3. 知道角的度量单位（度、分、秒），会进行度分秒的换算。 4. 了解方位角的概念，能画出表示特定方向的射线。 二、知识梳理 1. 角的定义 静态描述：有____________的两条________组成的图形叫作角。这个公共端点叫作角的________，这两条射线叫作角的________。 动态描述：角是由一条射线绕着它的________旋转而形成的图形。旋转开始时的射线叫作________，旋转终止时的射线叫作________。 2. 平角与周角 当终边与始边成________时，形成平角；当终边与始边________时，形成周角。 注意：平角的两边形成一条________，但不能说平角就是________；周角的两边重合形成一条________，但不能说周角就是________。 3. 角的表示方法 表示方法 记法 注意事项 用三个大写英文字母 ∠AOB或∠BOA 顶点字母写在中间 用一个大写英文字母 ∠O 顶点处只有一个角时才能用 用小写希腊字母 ∠α 在靠近顶点处加弧线并标注 用数字 ∠1 在靠近顶点处加弧线并标注 4. 角的度量 把一个周角________等分，每一份就是1度的角，记作________； 把1度的角________等分，每一份叫做1分的角，记作________； 把1分的角________等分，每一份叫做1秒的角，记作________。 角的度、分、秒是________进制的。 5. 角的换算关系 1周角=________° 1平角=________° 1直角=________° 1°=________′ 1′=________″ 1周角=________平角=________直角 6. 方位角 方位角是用________和________表示方向的角。以________、________为基准。 平面图上方向规定为"________________"。 当角度为________时，可以表示为东南、东北、西南、西北方向。 三、课堂探究 探究1：角的定义 观察生活中的角（钟表指针、剪刀、三角尺等），回答： (1) 这些角的共同特征是什么？________________ (2) 角的静态定义：________________________________ (3) 角的动态定义：________________________________ 🔍 概念辨析：静态描述强调"构成要素"（顶点+两边），动态描述强调"形成过程"（始边旋转到终边），两种描述从不同角度刻画了角。 探究2：平角与周角 探究1：射线OA绕端点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，形成什么角？ 结论：形成________角。 探究2：继续旋转，OB和OA重合时，又形成什么角？ 结论：形成________角。 ⚠ 易错提示：易错提醒：平角≠直线，周角≠射线。平角和周角都是特殊的角，有顶点、有边，只是两条边处于特殊位置。 探究3：角的表示方法 如图，能把∠α记作∠O吗？为什么？ 答：________，因为________________________________。 ∠α还可以表示为________。 ⚠ 易错提示：易错提醒：当顶点处只有一个角时，才可以用一个大写字母表示。顶点处有多个角时，必须用三个大写字母表示，顶点字母写在中间。 探究4：角的度量与换算 把一个周角360等分，每一份就是1°；把1°的角60等分，每一份就是1′；把1′的角60等分，每一份就是1″。 换算关系：， 完成以下换算： (1) 1.45°=____′=____″ (2) 1800″=____′=____° (3) 58.37°=____°____′____″ (4) 15°32′24″=____°=____″ 💡 解题技巧：解题技巧：大化小乘进率（度→分×60，分→秒×60），小化大除进率（秒→分÷60，分→度÷60）。换算时注意保留精度，逐步转换。 探究5：方位角 方位角是用方向和角度表示方向的角，以正北、正南为基准。 例如：射线OA的方向是，射线OB的方向是 💡 解题技巧：方位角画法四步：①确定中心；②确定始边（正北或正南）；③确定偏向（偏东或偏西）；④确定角度，画出终边。 例题精讲：方位角的应用 如图，货轮O在航行过程中，发现灯塔A在它南偏东60°的方向上。同时，在它北偏东40°、南偏西10°、西北（北偏西45°）方向上又分别发现了客轮B、货轮C和海岛D。画出表示客轮B、货轮C和海岛D方向的射线。 解：以点O为顶点，表示正北方向的射线为角的一边，画40°的角，使它的另一边OB落在东与北之间。射线OB的方向就是北偏东40°，即客轮B所在位置。 类似地，画南偏西10°的角得到货轮C方向，画北偏西45°的角得到海岛D方向。 四、巩固练习 练习1 下列关于角的说法正确的有（ ） ①角是由两条射线组成的图形；②角的大小与边的长短无关；③平角就是一条直线；④周角就是一条射线 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 练习2 如图，下列说法错误的是（ ） A. ∠ECA是一个平角 B. ∠ADE也可以用∠D表示 C. ∠BCA也可以用∠1表示 D. ∠ABC也可以用∠B表示 练习3 计算：(1) 1.45°=____′=____″ (2) 1800″=____′=____° (3) 58.37°=____°____′____″ (4) 15°32′24″=____°=____″ 练习4 6时整，钟表的时针和分针构成多少度的角？8时呢？8时30分呢？ 练习5 根据图中信息填写下表，将表中的角用其他方法表示出来。 练习6 (1) 35°等于多少分？等于多少秒？ (2) 38°15′和38.15°相等吗？如不相等，哪一个大？ 练习7 计算：0.25°=____′=____″ 练习8 计算：2700″=____′=____° 练习9 将42.6°化为度分秒的形式：____°____′ 练习10 将25°24′化为度的形式：____° 提示：24′÷60=0.4°，所以25°24′=25.4°。 五、归纳总结 1. 角的概念 静态描述：有公共端点的两条射线组成的图形。 动态描述：一条射线绕端点旋转而成的图形。 2. 角的表示方法 表示方法 记法 注意事项 三个大写字母 ∠AOB 顶点字母在中间 一个大写字母 ∠O 顶点处只有一个角 希腊字母 ∠α 加弧线标注 数字 ∠1 加弧线标注 3. 度分秒换算 六十进制：，。 大化小乘进率，小化大除进率。 4. 方位角 以正北、正南为基准，先写南或北再写偏东或偏西。45°时可表示为东南、东北、西南、西北方向。 ⚠ 易错提示：易错点提醒： 1. 角是由有公共端点的两条射线组成，不是任意两条射线。 2. 平角≠直线，周角≠射线。 3. 顶点处有多个角时，不能用一个大写字母表示。 4. 38.15°≠38°15′，>。 5. 度分秒是六十进制，不是十进制，换算时乘除60而非100。 六、参考答案 知识梳理答案 1. 公共端点；射线；顶点；边。端点；始边；终边。 2. 一条直线；重合。直线；直线；射线；射线。 4. 360；1°；60；1′；60；1″。六十。 5. 360；180；90；60；60；2；4。 6. 方向；角度；正北；正南。上北下南，左西右东。45°。 课堂探究答案 探究1：(1) 都有公共端点和两条射线。(2) 有公共端点的两条射线组成的图形叫作角。(3) 由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形叫作角。 探究2：平角；周角。 探究3：不能；顶点O处不止一个角，用∠O会产生歧义；∠AOB。 探究4：(1) 87′；5220″。(2) 30′；0.5°。(3) 58°22′12″。(4) 15.54°；55944″。 巩固练习答案 练习1：A。①错误（需有公共端点）；②正确；③错误（平角≠直线）；④错误（周角≠射线）。 练习2：D。顶点B处有多个角，不能用∠B表示∠ABC。 练习3：；；； 练习4：，，。钟表每大格30°，6时间隔6大格=180°，8时间隔4大格=120°，8:30间隔2.5大格=75°。 练习5：∠1=∠BAC，∠2=∠ABC，∠3=∠BAD，∠4=∠ADC（具体对应关系需看图）。 练习6：(1) 。(2) 不相等，>，38°15′更大。 练习7：。0.25°×60=15′，15′×60=900″。 练习8：。2700″÷60=45′，45′÷60=0.75°。 练习9：。0.6°×60=36′。 练习10：。24′÷60=0.4°。 学科网（北京）股份有限公司 $