6.3.2 角的比较与运算 (二)学案 2026--2027学年人教版七年级数学上册

该初中数学导学案聚焦“角的比较与运算（二）”，核心内容为余角和补角的概念、性质及方位角的应用。课堂导入通过建筑工地上测角仪的生活情境，观察仰角与竖直线夹角的特殊关系，自然衔接角的运算知识，搭建新旧内容的学习支架。 资料特色突出，以生活情境导入培养学生用数学眼光观察现实世界的意识，合作探究活动通过测量与推理发展数学思维中的推理能力，错误诊所与分层达标检测帮助学生精准掌握知识，中考链接强化应用意识，整体设计助力学生形成数学表达与解决实际问题的能力。

6.3.2 角的比较与运算（二） 一、学习目标 1. 理解余角和补角的概念，掌握余角和补角的性质； 2. 能运用余角和补角的性质进行简单的推理和计算； 3. 了解方位角的概念，能用方位角表示物体的位置； 4. 能运用方位角和角的运算解决实际问题。 二、学习重难点 【重点】余角和补角的概念及性质，方位角的应用。 【难点】余角和补角性质的灵活运用，方位角的实际应用。 三、情境导入 【生活情境】测角仪的奥秘 在建筑工地上，工人师傅经常使用一种叫做测角仪的工具 来测量建筑物的高度或两点之间的夹角。 观察测角仪的工作原理，你会发现其中蕴含着角的运算关系。 比如，当我们测量一个仰角时，视线与水平线形成的角， 和视线与竖直线形成的角，加起来正好是90度。 那么，这两个角之间是什么关系呢？ 今天我们就来学习这种具有特殊数量关系的角——余角和补角。 四、合作探究 探究点1：余角和补角的概念 【活动1】用量角器测量下面两组角的度数，你发现了什么？ 图1：互为余角与互为补角 【知识梳理】余角和补角的定义 1. 余角： 如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角， 简称互余，即其中每一个角是另一个角的余角。 几何语言：若∠1 + ∠2 = 90°，则∠1与∠2互为余角； 反之，若∠1与∠2互为余角，则∠1 + ∠2 = 90°。 2. 补角： 如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角， 简称互补，即其中每一个角是另一个角的补角。 几何语言：若∠α + ∠β = 180°，则∠α与∠β互为补角； 反之，若∠α与∠β互为补角，则∠α + ∠β = 180°。 【注意】 • 互余或互补是两个角之间的数量关系，与它们的位置无关； • 只有锐角才有余角，钝角没有余角； • 锐角、直角、钝角都有补角； • 互余和互补都是针对两个角而言，必须说两个角互为余角（或补角）。 探究点2：余角和补角的性质 【活动2】如图，∠1与∠2互余，∠1与∠3也互余， 那么∠2和∠3有什么关系？为什么？ 图2：余角和补角的性质 【知识梳理】余角和补角的性质 1. 余角的性质： 同角（等角）的余角相等。 • 同角的余角相等：若∠1 + ∠2 = 90°，∠1 + ∠3 = 90°，则∠2 = ∠3； • 等角的余角相等：若∠1 + ∠2 = 90°，∠3 + ∠4 = 90°，且∠1 = ∠3，则∠2 = ∠4。 2. 补角的性质： 同角（等角）的补角相等。 • 同角的补角相等：若∠1 + ∠2 = 180°，∠1 + ∠3 = 180°，则∠2 = ∠3； • 等角的补角相等：若∠1 + ∠2 = 180°，∠3 + ∠4 = 180°，且∠1 = ∠3，则∠2 = ∠4。 【易错提醒】 • 对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角； • 互余的两个角都是锐角，互补的两个角可能是一锐一钝或都是直角； • 互余、互补是两个角之间的关系，不能说三个角互余或互补。 探究点3：方位角 【活动3】在航行、测绘等工作中，经常需要用方位角来描述 物体的位置。什么是方位角？如何用方位角表示方向？ 图3：方位角示意图 【知识梳理】方位角 1. 定义：方位角是以正北、正南方向为基准，来描述物体 所处方向的角。 2. 表示方法： • 北偏东α：从正北方向向东偏转α度； • 北偏西α：从正北方向向西偏转α度； • 南偏东α：从正南方向向东偏转α度； • 南偏西α：从正南方向向西偏转α度。 3. 特殊方向： • 东北方向：北偏东45°； • 西北方向：北偏西45°； • 东南方向：南偏东45°； • 西南方向：南偏西45°。 注意：方位角的起始边是正南或正北方向，不是正东或正西。 五、典型例题 题型一：求一个角的余角和补角 【例1】（2024·甘肃中考真题）若∠A = 55°，则∠A的补角为（　　） A．35°　　B．45°　　C．115°　　D．125° 例1图 【解析】根据补角的定义： 如果两个角的和等于180°，那么这两个角互为补角。 所以∠A的补角 = 180° - ∠A = 180° - 55° = 125° 【答案】D 【方法技巧】 • 求一个角的余角，就用90°减去这个角； • 求一个角的补角，就用180°减去这个角； • 一个角的补角比它的余角大90°。 题型二：余角和补角的性质应用 【例2】（2024·四川广安中考改编）已知∠α和∠β互为补角，且∠α比∠β大30°，求∠α和∠β的度数。 【解析】根据题意，设∠β的度数为x，则∠α的度数为x + 30°。 ∵ ∠α和∠β互为补角（已知） ∴ ∠α + ∠β = 180°（补角的定义） 即 (x + 30°) + x = 180° 2x + 30° = 180° 2x = 150° x = 75° 所以∠β = 75°，∠α = 75° + 30° = 105° 【答案】∠α = 105°，∠β = 75° 【方法技巧】 对于和差关系的角度计算问题，可以用方程思想来解决： 1. 设未知数表示各个角； 2. 根据互余、互补关系列方程； 3. 解方程求出未知数的值。 题型三：方位角的应用 【例3】（2024·河南中考改编）如图，乙地在甲地的北偏东50°方向上，丙地在甲地的南偏西20°方向上，求∠BOC的度数。 例3图 【解析】由题意可知： ∵ 乙地在甲地的北偏东50°方向 ∴ ∠NOB = 50°（方位角的定义） ∵ 丙地在甲地的南偏西20°方向 ∴ ∠SOC = 20°（方位角的定义） 又∵ 南北方向是一条直线 ∴ ∠NOS = 180°（平角的定义） ∴ ∠BOC = 180° - ∠NOB + ∠SOC = 180° - 50° + 20° = 150° 【答案】∠BOC = 150° 【方法技巧】 解决方位角问题的关键： 1. 明确观测点，画出方向坐标（上北下南，左西右东）； 2. 根据方位角的定义，找出各个方向之间的夹角； 3. 利用平角、直角等特殊角进行计算。 六、错误诊所 【易错点1】混淆余角和补角的概念 【错例】如果两个角的和是90°，那么这两个角互为补角。 【诊断】混淆了余角和补角的定义。和为90°的是互为余角， 和为180°的才是互为补角。 【正解】如果两个角的和是90°，那么这两个角互为余角； 如果两个角的和是180°，那么这两个角互为补角。 【易错点2】方位角的起始方向搞错 【错例】北偏东60°也可以说成东偏北60°。 【诊断】方位角通常以正北或正南为起始方向， 北偏东60°等于东偏北30°（90° - 60° = 30°）。 【正解】北偏东60°等同于东偏北30°。 【易错点3】认为互余或互补与位置有关 【错例】只有相邻的两个角才能互余或互补。 【诊断】互余和互补只与两个角的数量关系有关，与它们的位置无关。 不管两个角在什么位置，只要它们的和为90°（或180°）， 就说它们互为余角（或补角）。 【正解】互余或互补只与角的度数有关，与位置无关。 七、达标检测 【基础题】 1. 30°角的余角是（　　） A．30°　　B．60°　　C．150°　　D．70° 2. 若∠1 + ∠2 = 180°，则下列说法正确的是（　　） A．∠1是补角　　　　B．∠2是补角 C．∠1与∠2互为补角　D．∠1和∠2相等 3. 如图，∠AOB = 90°，则图中互余的角有（　　） A．1对　　B．2对　　C．3对　　D．4对 第3题图 4. 已知∠α = 35°，则∠α的余角是______°，补角是______°。 5. 若一个角的余角是它的2倍，则这个角是______°。 6. 东北方向也叫做______偏______ ______°； 西北方向也叫做______偏______ ______°。 【提升题】 7. 已知一个角的补角比它的余角的3倍还大10°，求这个角的度数。 8. 如图，直线AB和CD相交于点O，OE平分∠AOC，若∠AOD = 120°，求∠BOE的度数。 第8题图 9. （2024·宁夏中考改编）小明家在学校的北偏东40°方向，小亮家在学校的南偏西30°方向，求从小明家经学校到小亮家所转过的角度是多少？ 10. 如图，O是直线AB上一点，OC平分∠AOB，∠DOE = 90°，则图中互余的角有几对？分别写出来。 第10题图 八、中考链接 【中考真题1】（2024·甘肃中考）若∠A = 55°，则∠A的补角为（　　） A．35°　　B．45°　　C．115°　　D．125° 【中考真题2】（2024·河南中考）如图，乙地在甲地的北偏东50°方向上，则∠1的度数为（　　） A．60°　　B．50°　　C．40°　　D．30° 中考真题2图 【中考真题3】（2024·四川广安中考）已知∠A = 65°，则∠A的余角等于（　　） A．25°　　B．35°　　C．115°　　D．135° 【中考真题4】（2024·北京中考改编）如图，点O在直线AB上，OC⊥OD。若∠AOC = 120°，则∠BOD的大小为（　　） A．30°　　B．40°　　C．50°　　D．60° 真题4图 九、数学文化 【数学史话】角度测量的历史 角度的测量有着悠久的历史，它与天文学、航海学的发展密不可分。 古巴比伦的六十进制： 早在公元前2000年左右，古巴比伦人就开始使用六十进制来 划分圆周。他们将圆周分为360等份，每一份就是1度。 这可能与他们认为一年有360天有关，也可能是因为360 有很多因数，方便计算。 中国古代的角度计量： 中国古代也有自己的角度计量方法。在《周髀算经》中， 就有关于角度测量的记载。古代中国将一周天分为365.25度， 这与一年的天数相对应，称为度或分。 航海中的方位角： 在大航海时代，方位角是航海家们必须掌握的知识。 他们使用罗盘来测定方向，用方位角来描述航线。 郑和下西洋时，就使用了过洋牵星术来测定方位， 这是一种利用星辰高度来确定纬度的方法。 【生活中的数学】 • 建筑设计：房屋的屋顶角度、窗户的朝向角度； • 交通运输：飞机、轮船的航向都是用方位角表示的； • 体育运动：台球、高尔夫球的击球角度； • 摄影艺术：拍摄角度直接影响照片的构图和效果； • 地理测量：山的坡度、河流的流向都用角度来描述。 角的知识在生活中无处不在，学好角的运算对我们的 学习和生活都有很大帮助！ 十、小结与反思 【知识梳理】 本节课我们学习了： 1. 余角和补角的概念： • 互余：两个角的和等于90°（直角）； • 互补：两个角的和等于180°（平角）。 2. 余角和补角的性质： • 同角（等角）的余角相等； • 同角（等角）的补角相等。 3. 方位角： • 以正北或正南为基准描述方向的角； • 如北偏东30°、南偏西45°等。 【学习反思】 1. 我理解余角和补角的概念了吗？_______________________ 2. 我能运用余角和补角的性质进行计算吗？_______________ 3. 方位角的表示方法我掌握了吗？_______________________ 4. 我能运用角的相关知识解决实际问题吗？_______________ 5. 本节课我还有哪些疑问？_____________________________ 参考答案 【典型例题答案】 例1：D 例2：∠α = 105°，∠β = 75° 例3：∠BOC = 150° 【达标检测答案】 1. B 解析：90° - 30° = 60° 2. C 解析：补角是两个角之间的关系，必须说互为。 3. A 解析：只有1对互余的角（∠AOC和∠COB）。 4. 55，145 解析：90° - 35° = 55°，180° - 35° = 145° 5. 30 解析：设这个角为x，则它的余角为2x，x + 2x = 90°，x = 30° 6. 北，东，45；北，西，45 7. 解：设这个角为x，则它的余角为(90° - x)，补角为(180° - x)。 根据题意：180° - x = 3(90° - x) + 10° 180° - x = 270° - 3x + 10° 2x = 100° x = 50° 答：这个角是50°。 8. 解：∵ ∠AOD = 120°（已知） ∴ ∠AOC = 180° - 120° = 60°（邻补角定义） ∵ OE平分∠AOC（已知） ∴ ∠AOE = 1/2∠AOC = 30°（角平分线定义） ∴ ∠BOE = 180° - ∠AOE = 150° 9. 解：从小明家到学校是南偏西40°， 从学校到小亮家是南偏西30°， 所以转过的角度 = 180° - 40° + 30° = 170° （或取较小的角为170°） 10. 解：互余的角有4对： ∠AOD与∠COD，∠AOD与∠BOE， ∠COD与∠COE，∠COE与∠BOE。 【中考链接答案】 真题1：D 解析：180° - 55° = 125° 真题2：B 解析：两直线平行，内错角相等。 真题3：A 解析：90° - 65° = 25° 真题4：A 解析：∵ OC⊥OD，∴ ∠COD = 90°， ∵ ∠AOC = 120°，∴ ∠BOC = 60°， ∴ ∠BOD = 90° - 60° = 30° 学科网（北京）股份有限公司 $