第24章 随机事件及其概率 能力提优测试卷-【勤径学升】2026-2027学年九年级上册数学全程时习测试卷（华东师大版·新教材）

第24章 随机事件及其概率 能力提优测试卷 ·时间：120分钟 ·满分：120分 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题 给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 装 1.下列事件中，是必然事件的是 ()答题卡 A.掷一次骰子，向上一面的点数是6 B.13个同学参加一个聚会，他们中至少有两个同学的生日在同一 个月 句 C.任意买一张电影票，座位号是3的倍数 蕾 D.经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 2.不透明袋子中有除颜色外完全相同的4个黑球和2个白球，从袋 子中随机摸出3个球，下列事件是必然事件的是 ( 线 A.3个都是黑球 B.2个黑球1个白球 C.2个白球1个黑球 D.至少有1个黑球 3.某路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5 T 秒，当小明到达该路口时，遇到绿灯的概率是 ( 内 A 2 B c 12 .----------- 4.小强同学从-1、0、1、2、3、4这六个数中任选一个数，满足不等式 x+1<2的概率是 ( 不 R c 5.在口ABCD中，AC、BD是两条对角线，现从以下四个关系：①AB= BC,②AC=BD,③AC⊥BD,④AB⊥BC中任取一个作为条件，即可 要 推出口ABCD是菱形的概率为 B时 c D.1 6.某校决定从三名男生和两名女生中选出两名同学担任校艺术节文 答 艺演出专场的主持人，则选出的恰为一男一女的概率是（) ! A号 B.s c D.5 7.某学校在进行防溺水安全教育活动中，将以下几种在游泳时的注 题 意事项写在纸条上并折好，内容分别是：①互相关心；②互相提醒； ③不要相互嬉水；④相互比潜水深度；⑤选择水流湍急的水域； ⑥选择有人看护的游泳池.小颖从这6张纸条中随机抽出一张，抽 到内容描述正确的纸条的概率是 B.7 3 c D.1 6 8.一个不透明的口袋里装有除颜色外其他都相同的5个白球和若干 个红球，在不允许将球倒出来数的前提下，小亮为了估计其中的红 球数，采用如下方法，先将口袋中的球摇匀，再从口袋里随机摸出 一球，记下颜色，然后把它放回口袋中，不断重复上述过程，小亮共 摸了100次，其中有10次摸到白球，因此小亮估计口袋中的红球大 约有 A.45个 B.48个 C.50个 D.55个 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 9.在一个不透明布袋里装有3个白球、2个红球和α个黄球，这些球 除颜色不同其他没有任何区别.若从该布袋里任意摸出1个球，该 球是黄球的概率为)，则a等于 10.某十字路口汽车能够行驶的方向有左转、右转还有直行.假设所 有的汽车经过这个十字路口时，所行驶的这三种方向可能性大 小相同，则两辆汽车经过这个十字路口时，在这三种方向中，它 们行驶的方向相同的概率为 11.有两把不同的锁和三把钥匙，其中两把钥匙分别能打开这两把 锁，第三把钥匙不能打开这两把锁，随机取出一把钥匙开任意一 把锁，一次打开锁的概率是 12.某鱼塘里养了1600条鲤鱼、若干条草鱼和800条罗非鱼，该鱼 塘主通过多次捕捞试验后发现，捕捞到草鱼的频率稳定在50% 左右，若该鱼塘主随机在鱼塘捕捞一条鱼，则捞到鲤鱼的概率约 为 13.如图，在两个同心圆中，三条直径把大圆分成六等份，若在这个 圆面上均匀地撒一把豆子，则豆子落在阴影部分的概率 是 13题图 14.在一块试验田抽取1000个麦穗，考察它们的长度（单位：cm), 对数据适当分组后，看到落在5.75~6.05之间的频率为36%， 于是可以估计出这块田里长度为5.75~6.05cm之间的麦穗约 占 %. 三、解答题：本题共10小题，共78分。 15.(6分)下列问题哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是 随机事件？ (1)太阳从西边落山；(2)某人的体温是100℃；(3)a2+b2=-1 (其中a、b都是实数)；(4)水往低处流；(5)三个人性别各不相 数学华师版九年级上册第35页 见此图标眼抖音/微信扫码领取配套资源，开启高效学习 同；(6)一元二次方程x2+2x+3=0无实数解；(7)随意翻到一 本数学书的某页，这页的页码是奇数. 6.(6分)甲、乙两名同学玩一个游戏：在一个不透明的口袋中装有 标号分别为1、2、3、4的四个小球（除标号外无其他差异）.从口 袋中随机摸出一个小球，记下标号后放回口袋中，充分摇匀后， 再从口袋中随机摸出一个小球，记下该小球的标号，两次记下的 标号分别用x、y表示.若x+y为奇数，则甲获胜；若x+y为偶 数，则乙获胜 (1)用列表法或树状图法中的一种方法，求(x,y)所有可能出现 的结果总数； (2)你认为这个游戏对双方公平吗？请说明理由. 7.(6分)小丽和小刚都想参加学校组织的暑期实践活动，但只有一 个名额，小丽提议：将一个转盘9等分，分别将9个区间标上1至 9的9个号码，随意转动一次转盘，根据指针指向区间决定谁去 参加活动，具体规则：若指针指向偶数区间，小刚去参加活动；若 指针指向奇数区间，小丽去参加活动. (1)求小刚去参加活动的概率是多少？ (2)你认为这个游戏公平吗？请说明理由. 17题图 见此图标眠抖音/微信扫码领取配套资源，开启高效学习 18.(7分)点M(x,y)可以在数-1、0、12中任意选取.试求： (1)点M在第二象限内的概率； (2)点M在直线y=-2x+3上的概率. 19.(7分)有4张卡片，正面分别写上1、2、3、4，它们的背面都相同. 现将它们背面朝上，先从中任意摸出一张，卡片不放回，再任意 摸出一张 (1)请用树状图或列表法表示出所有可能的结果； (2)求摸出的两张卡片上的数之和大于5的概率. 20.(7分)在四张完全相同的卡片正面写上数字1、2、34，将卡片的 背面朝上，洗匀后从中任意抽取1张，将抽得卡片上的数字记为 α；不透明的袋子中装有标号为1、2、3的三个小球，这些球除标号 外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，将摸到的球的标号记 为b. (1)先抽取一张卡片，再摸一个球，求a-b=0的概率； (2)若规定：当α-b≥0时，甲获胜；否则，乙获胜.这样的规则公平 吗？请说明理由.如果不公平，能否只将袋子中一个球的标号 调整为另一个整数，使得规则公平？写出一个调整方案 21.(8分)跨学科酚酞试液是化学实验室中一种常见的酸碱指示 剂，通常情况下，酚酞遇酸性和中性溶液不变色，遇碱性溶液变 红色.一次化学实验课上，老师让学生用酚酞试液检测四瓶因标 签污损无法分辨的无色溶液的酸碱性，已知这四瓶溶液分别是 盐酸（呈酸性）、硝酸钾溶液（呈中性）、氢氧化钠溶液（呈碱性）、 氢氧化钙溶液（呈碱性）· (1)小明将这四种溶液分别取一部分置入试管中，然后将酚酞试 液随机滴入其中一种溶液里，结果变红的概率是多少？ (2)小明和小亮从这四种溶液中各随机选一种溶液（两种溶液不 相同)，用酚酞试液进行检测，请你用列表或画树状图的方 法，求两种溶液中一种变红、一种不变色的概率。 22.(9分)A.《简·爱》，B.《艾青诗选》，C.《水浒传》，D.《儒林外 史》（分别编号为A、B、C、D)都是具有较高艺术价值的著作.某 学校为了解学生对这四部著作的阅读情况，在全校九年级学生 中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如图所示的两个不完 整的统计图，请结合图中信息，解决下列问题： (1)本次调查一共抽取了 名学生； (2)请将条形统计图补充完整； (3)小红和小颖两位同学分别从这四部著作中任选一部阅读，请 用列表或画树状图的方法，求两人恰好阅读同一部著作的 概率. 1人数 0部 28 20 20 、4部 20% 3部 1部 25% 4 2部 0 0部1部2部3部4部数量 22题图 数学 华师版 九年级上册 第36页 3.(10分)有形状、大小和质地都相同的四张卡片，正面分别写有 A、B、C、D和一个等式，将这四张卡片背面向上洗匀，从中随机抽 取一张（不放回），接着再随机抽取一张. A:√16=±4B:-22=4C:3x3-x3=2xD:b5÷b3=b2(b≠0) (1)用画树状图或列表的方法表示抽取两张卡片可能出现的所 有情况（结果用A、B、C、D表示）； (2)小明和小强按下面规则做游戏：抽取的两张卡片上若等式都 不成立，则小明胜；若至少有一个等式成立，则小强胜.你认 为这个游戏公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，则这个 规则对谁有利？为什么？ 24.(12分)[核心素养]一个不透明的袋子中装有四个小球，上面分 别标有数-2、-1、0、1，它们除数不同外，其他完全相同. (1)随机从袋子中摸出一个小球，摸出的球上面标的数为正数的 概率是 (2)小聪先从袋子中随机摸出一个小球，记下数作为平面直角坐 标系内点M的横坐标，然后放回搅匀，接着小明从袋子中随 机摸出一个小球，记下数作为点M的纵坐标.如图，已知四边 形ABCD的四个顶点分别为A(-2,0)、B(0,-2)、C(1,0)、 D(0,1),求点M落在四边形ABCD内部（含边界）的概率. 24题图由树状图可知，共有6种等可能的结果，其中小明顺利过关 的结果只有1种， 、P(小明顺利过关)=石 小明在第二题使用“求助”机会，分别用A、B、C表示第一道 单选题的3个选项，a、b表示第二道单选题剩下的2个选项. 用树状图表示出所有可能出现的情况如答图③ 第一题 B 第二题a b a b a 23题答图③ 由树状图可知，共有6种等可能的结果，其中小明顺利过关 的结果只有1种， P(小明顺利过关)=石， .在第一题求助和在第二题求助后能顺利过关的概率相等 24.解：(1)设袋中白球的个数为x, 在该袋中摸出1个白球后不放回并搅匀，再摸出1个，摸 到白球的概率是小产2品之，解得x=3,经检验x 3是原方程的解，且符合题意， ∴.袋中白球的个数是3. (2)选择“在线支付”获得20元礼金券的概率较大 理由：依题意列表如下： 红 红 白 白 白 红 (红，红) (红，白) (红，白) (红，白) 红 (红，红) (红，白) (红，白) (红，白) (白，红) （白，红) (白，白)》 (白，白) (白，红) （白，红) (白，白) (白，白) 白（白，红） (白，红) (白，白) (白，白) 由表易知共有20种等可能的结果，其中抽到两个红球的结 果有2种，抽到一个红球一个白球的结果有12种，抽到两个 白球的结果有6种， 采用“在线支付”获得20元礼金券的概率为号-号 采用 “现金支付"获得20元礼金券的凝率为”-号 > ∴.选择“在线支付”获得20元礼金券的概率较大 第24章随机事件及其概率 能力提优测试卷 1.B2.D3.D4.C5.B6.B7.C8.A 9510号1号2号1B3 14.36[解析].抽取1000个麦穗考查它的长度落在5.75~ 6.05cm之间的频率为36%，∴.这块田里长度为5.75~ 6.05cm之间的麦穗约占36%， 15.解：(1)(4)(6)是必然事件， (2)(3)(5)是不可能事件， (7)是随机事件 参考答案及解析 16.解：(1)列表如下： 1 2 3 1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) 3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) 由表格可知(x,y)所有可能出现的结果共有16种 (2)这个游戏对双方公平.理由如下： 由列表法可知，在16种可能出现的结果中， 它们出现的可能性相等。 ,·x+y为奇数的有8种情况， P(甲获)-是-宁 x+y为偶数的有8种情况， P(乙获胜)。之 .P(甲获胜)=P(乙获胜)， ·这个游戏对双方公平 17.解：(1)小刚转动一次转盘的所有可能结果共有9种， 它们每一种出现的可能性都相等，其中指针指向偶数区间的 结果共有4种， 则小刚去参加活动的概率是P= 4 9 (2)这个游戏不公平.理由如下： 小丽转动一次转盘的所有可能结果共有9种， 它们每一种出现的可能性都相等，其中指针指向奇数区间的 结果共有5种， 则小丽去参加活动的概率是P=} 5 45 9≠9， ·.这个游戏不公平 18.解：点M的坐标情况列表如下： -1 0 1 y -1 (-1,-1) (-1,0) (-1,1) (-1,2) 0 (0,-1) (0,0) (0,1) (0,2) 1 (1,-1) (1,0) (1,1) (1,2) 2 (2,-1) (2,0) (2,1) (2,2) 通过列表分析知所有可能的点共有16种， (1)在第二象限内的点有2个，即(-1,1)、(-1,2)， ∴P(点M在第二象限肉)=品日 (2)在直线y=-2x+3上的点有2个，即(1,1)、(2，-1)， P代点M在直线y=-2z+3上)-名-名 ·27· 全程时习测试卷·数学·华师版·九年级·上册 19.解：(1)根据题意画树状图如答图. 1 19题答图 共有12种等可能的结果. (2)根据(1)可得共有12种等可能的结果，摸出的两张卡片 上的数之和大于5的有4种， 则摸出的两张卡片上的数之和大于5的概率是立=了 4 20.解：(1)根据题意，列表如下： a y 6 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) 2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) 3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) 共有12种等可能的结果，其中a-b=0的结果有(1,1)、（2， 2)、(3,3),共3种， ra-6=0)=是-4 (2)这样的规则不公平.理由如下： :a-b≥0，即a≥b的情况有9种， P(甲获陆)=品-子P代乙获陶)=合- ∴.P(甲获胜)>P(乙获胜)」 .这样的规则不公平 由(1)中表格可知，将标有数字1的小球改成4后，a-b≥0， 即a≥b的情况变成6种， aP(甲获胜)-吕-7，P(乙获胜)-合-之， ∴.P(甲获胜)=P(乙获胜)，此时规则是公平的， 21.解：(1)：酚酞遇酸性和中性溶液不变色，遇碱性溶液变红色， ∴.盐酸（呈酸性）和硝酸钾溶液（呈中性）遇到酚酞试液不变 色，氢氧化钠溶液（呈碱性）和氢氧化钙溶液（呈碱性）遇到 酚酞试液变红， P(变红)=子= 。1 (2)将盐酸（呈酸性）、硝酸钾溶液（呈中性）、氢氧化钠溶液 (呈碱性)、氢氧化钙溶液（呈碱性）分别记作A、B、C、D.根据 题意，列表如下： 小明 B D 小亮 (B,A) (C,A) (D,A) B (A,B) (C,B) (D,B) C (A,C) (B,C) (D,C) D (A,D) (B,D) (C,D) 由表可知，共有12种等可能出现的结果，其中一种变红、 种不变色的结果有(A,C)、(A,D)、(B,C)、(B,D)、(C,A) (C,B)、(D,A)、(D,B),共8种， “P(一种变红、一种不变色）=2=行 82 ·28· 22.解：(1)80 (2)补全条形统计图如答图. 人数 28 28 20 20------ 16 16 -"12 12------ 84 4 0部1部2部3部4部数量 22题答图 (3)列表表示所有可能出现的结果如下： 小红 A B 0 小颖 (A,A) (A,B) (A,C) (A,D) B (B,A) (B,B) (B,C) (B,D) (C,A) (C,B) (C,C) (C,D) D (D,A) (D,B) (D,C) (D,D) 由表可知，共有16种等可能的结果，其中两人恰好阅读同一 部著作的结果有4种， 、两人恰好阅读同一部著作的概率P=64 4 23.解：(1)列表如下： 第1张 A B C D 第2张 A BA CA DA 小 AB CB DB AC BC DC D AD BD CD 所有情况共有I2种：AB、AC、AD、BA、BC、BD、CA、CB、CD、 DA、DB、DC (2)游戏不公平，这个规则对小强有利理由如下： 上述四个等式中，C、D对应的等式正确，A、B对应的等式 错误， 小明胜利包含的可能情况有：AB、BA两种情况， 小强胜利包含的可能情况有12-2=10种情况， P代小明胜)=后石，P代小强陆)=吕名， ∴.P(小明胜)<P(小强胜)， .这个规则对小强有利. 24解：（子 (2)列表如下： 、小聪 -1 0 1 小明 -2 （-2,-2) (-1,-2) (0,-2) (1,-2) -1 (-2,-1) (-1,-1) (0,-1) (1,-1) 0 (-2,0) (-1,0) (0,0) (1,0) 1 (-2,1) (-1,1) (0,1) (1,1) 由表知，共有16种等可能的结果，其中点M落在四边形 ABCD内部（含边界）的有(-2,0)、(-1，-1)、(-1,0)、 (0,-2)、(0,-1)、(0,0)、(0,1)、(1,0),共8个， :点M落在四边形ABCD内部（含边界）的概率为2 专项巩固训练卷（九） 新定义型试题 1解：(1)0cs(-60)=c0s60=7,原等式不成立； ②sin2x=sin(x+x)=sinx·cosx+cosx·sinx=2sinx· cosx,原等式成立； ③sin(x-y）=sinx·cos(-y）+cosx·sin(-y）=sinx· cosy-cosx·siny,原等式成立.故答案为②③. (2)①sin75°=sin(30°+45)=sin30°·cos45°+cos30°· m45=分×号+9×9=+55+2 +2×2=4+4 4 ②sin15°=sin(45°-30)=sin45°·cos30°-cos45°· 0竖×号-竖×6：2 4 2.解：(1)如答图① .270°<a<360°， .点P(x,y)在第四象限， .x>0,y<0. .r>0,".sin a=Y<0,cos a=%>0,tan a=<0, r .'.sina,cosa,tana中取正值的是cosa. y 0 P(x,y) 2题答图① (2),直线y=2x经过原点和第一、三象限，且角α的终边与 直线y=2x重合， ∴.点P(x,y)在第一象限或第三象限，且可以表示为P(x,2x) 作PQ⊥x轴于点Q,如答图②，点P在第一象限，则x>0, y>0, .r=√R+y=√2+(2x)2=√5x, .'sin a cos a =Y+=2x x35 5 P(x,y) O a 0 O/ 0 P(x,y) 2题答图② 2题答图③ 如答图③，点P在第三象限，则x<0,y<0, .r=√+Y=x+(2x)=-√5x, ina+cosa=+2g t-x r -5x-5x 5 6或、36 综上所述，sina+cosa的值为3,5或 5 参考答案及解析 (3)如答图④. ·角是钝角，且点P(x,W5)是角α终边上一点， ∴.点P在第二象限，作PQ⊥x轴于点Q. a-且a= 74x,解得r=22, .00=√P-7=√(22)2-(5)2=5， Q(-5,0),P(-5,w5), tana==5。 -5 3 y Px,5) a 2题答图④ 3.解：(1)设6x=t,得到新方程2-t-1=0, 得654-16或615， 2 21 小原方程的两根为山1百 12 (2)原方程可化为9x2-480x+4800=0, 即(3x)2-160×3x+4800=0,设3x=t, 得到新方程2-160+4800=0，解得t1=40,2=120, ∴3x=40或3x=120原方程的两根为与-9出=40 4.(1)(i)证明：点D为AB的“趣点”，点E为AC的“趣点” (CE<AE), .AD=1 AE 1 ·AB2'AC√2' ADAE ·AB-AC ∠A=∠A,∴.△ADE∽△ABC, 票-(( （ⅱ)解：点Q是BC的“趣点”.理由：如答图①，连结DQ E2外 D B 4题答图① .·∠ACB=90°，AC=BC,.∠A=∠B=45° AC=AD,∠2=∠ADC=180°-45 2 =67.5°， .∠3=90°-67.5°=22.5. .·△EDF∽△CDB, ∴.∠4=∠3=22.5 .·△ADE∽△ABC, .∠1=∠B=45°，.∴.DE∥BC, .∠6=L4=22.5°，∠5=∠3=22.5°， ·29·全程时习测试卷·数学·华师版·九年级·上册 第24章能力提优测试卷答题卡 姓 名 准考证号 贴条形码区 缺考 缺考考生由监考员粘贴条形码， 标 并用2B铅笔涂黑缺考标记。 一、 答题前，考生必须将自己的姓名、准考证号填写在答题卡指 定的位置上，并核准条形码上的信息是否与本人相符，完全 正确后，将条形码粘贴在答题卡上的指定位置上。 二、选择题必须在答题卡上用2B铅笔涂黑，非选择题必须用 填 注 0.5mm黑色水签字笔答题，字迹要工整、清楚。 涂样 正确填涂 意 三、考生必须在答题卡上每题指定的答题区域内答题。在其他 项 题号的答题空间答题无效。答案不能超出黑色边框，超出 黑色边框的答案无效。写在试题卷上的答案无效。 四、要保持答题卡整洁，不准折叠，不准弄破。 色 五、考试结束后，将试题卷和答题卡一并交给监考员。考生不准 将试题卷或答题卡带出考场，否则，将按有关规定处理。 一、选择题（用2B铅笔填涂） 1[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 5[A[B][C][D] 8[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 二、填空题 9 10 12 13 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 三、解答题 15. 16. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ■ 17. 2 17题图 18. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 19. 20. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 21. 22. 1人数 0部 强 20 4部 6 -12 209% 1部 3 4- 0 3 0部1部2部3部4部数量 22题图 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 23. ■ ■ 24. y A 2 请 24题图 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效