专项巩固训练卷(六) 与相似有关的动态变换问题-【勤径学升】2026-2027学年九年级上册数学全程时习测试卷（华东师大版·新教材）

专项巩固训练卷（六） 与相似有关的动态变换问题 类型一相似三角形中的平移、翻折、旋转 1.(安徽六安期末)如图，将矩形纸片ABCD(AD>DC)沿着过点D的 直线折叠，使点A落在BC边上，落点为F,折痕交AB边于点E. (1)求证：△EFB∽△FDC; (2)若AD=10,CD=6,求BE的长 1题图 2.如图，将线段AB平移得到CD,点A与点D对应，点B与点C对 应，连结AD、BC (1)求证：∠B=∠ADC; (2)点G在BC的延长线上，点C与点C'关于直线DG对称，直线 DC交BC的延长线于点E.点F在线段CE上，且∠DFE =∠EDF ①设∠B=a,求∠FDG的度数（用含a的代数式表示）； ②求证：GE-DE CG CD 2题图 3.(山东济南期末) (1)如图①，正方形ABCD与等腰直角△AEF有公共顶点A,∠EAF =90°，连结BE、DF,将△AEF绕点A旋转，在旋转过程中，直 线BE,DF相交所成的角为B,则 E ,B= (2)如图②，矩形ABCD与Rt△AEF有公共顶点A,∠EAF=90°，且 AD=2AB,AF=2AE,连结BE、DF,将Rt△AEF绕点A旋转，在 旋转过程中，直线BE,DF相交所成的角为B,请求出二的值及 角B的度数； (3)如图③，若平行四边形ABCD与△AEF有公共顶点A,且∠BAD =∠EAF=x(0°<<180)，AD=kAB,AF=kAE(k≠0)，连结 BE、DF,将△AEF绕点A旋转，在旋转过程中，直线BE、DF相 交所成的角为B,则： 0器 ； ②请直接写出α和B之间的关系. D 3题图① 3题图② 3题图③ 数学 华师版九年级 上册 第21页 见此图标酮抖音/微信扫码领取配套资源，开启高效学习 ! ·类型二相似中的动点问题 4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm,BC=8cm,动点P从 点B出发，在BA边上以3cm/s的速度向点A匀速运动，同时动点 Q从点C出发，在CB边上以2cm/s的速度向点B匀速运动，运动 时间为ts(0<t<2),连结PQ、AQ、CP.当AQ⊥CP时，求t的值. 4题图 5.如图，在△ABC中，AB=AC,点D在边BC上移动（点D不与点B、 C重合)，满足∠EDF=∠B,且点E、F分别在边AB、AC上 (1)求证：△BDE∽△CFD; (2)当点D移动到BC的中点时，求证：点E关于直线DF的对称 点在直线AC上 B 5题图 见此图标眠抖音/微信扫码领取配套资源，开启高效学习 6.如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC,AB=DC=5,AD=6,BC= 12,动点P从点D出发沿DC以每秒1个单位长度的速度向点C 运动，动点Q从点C出发沿CB以每秒2个单位长度的速度向点B 运动，两点同时出发，当点P到达点C时，点Q随之停止运动 (1)梯形ABCD的面积等于 (2)当PQ∥AB时，点P离开点D的时间为 秒； (3)当以P、Q、C为顶点的三角形是直角三角形时，点P离开点D 多长时间？ 6题图 7.(山东烟台期末)在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，P为BC上的 动点，小慧拿含45°角的透明三角板，使45°角的顶点落在点P,三 角板可绕点P旋转. (1)如图①，当三角板的两边分别交AB、AC于点E、F时，求证： △BPE∽△CFP; (2)将三角板绕点P旋转到图②情形，三角板的两边分别交BA的 延长线，边AC于点E、F,此时△BPE与△CFP还相似吗（只需 写出结论)？ (3)在(2)的条件下，连结EF,△BPE与△PFE是否相似？若相 似，请说明理由；若不相似，则动点P运动到什么位置时， △BPE与△PFE相似？ 7题图① 7题图② 数学 华师版 九年级上册 第22页 ·类型三图形变化引起的探究 8.(陕西咸阳期末)【问题提出】 (1)如图①，正方形ABCD的对角线相交于点O,则∠OAB的度数 是 【问题探究】 (2)如图②，在△ABC中，BA=BC,∠B=120°，P为边AC上的点， 点E、F分别在边AB、BC上，连结PE、PF,∠EPF=60°，G为 BC上一点，且PG=PC,求证：△AEP∽△GFP; 【问题解决】 (3)如图③，某地拟建造一个形如四边形ABCD的露营基础，其中 AD=CD,∠D=∠BAD=∠B=90°，为考虑露营客人娱乐休闲 的需求，在四边形ABCD区域中，计划沿线段AC修建隔离防护 栏，将三角形ACD区域打造成花卉观赏区，三角形PEF区域 打造成烧烤区，根据设计要求，点P在线段AC上，点E、F分别 在线段AB,BC上，且∠EPF=90,其中=0PF=120m, 求烧烤区三角形PEF的面积， 8题图① 8题图② 8题图③全程时习测试卷·数学·华师版·九年级·上册 10.（1)证明：如题图①， .D为边AB的中点，E为边BC的中点， :BD=BE.BD BA BA=BC片BE=BC 如盟幽②，根影旋转的性质，可知配隐依然成立，且 BE ∠DBE=∠ABC, .∠DBA=∠EBC ∴.△BDA∽△BEC (2)解：∠AGC的大小不发生变化. 由(1)易得△BDA∽△BEC, ∴.∠DAB=∠ECB .·∠DAB+∠AOG+∠AGC=180°， ∠ECB+∠C0B+∠ABC=180°，∠AOG=∠COB, ∴.∠AGC=∠ABC=30° 11.解：(1)CM=√2BP (2)CM与BP的数量关系不变.理由如下： 当n=2时，AB=2BC,由勾股定理可得AC=√BC2+AB =√349+Ae-9, …指- 由题意知∠ABC=∠APM=90°，∠MAP=∠CAB, △APN△AC指-2 由旋转，得∠PAB=∠MAC, △M△C0-指-H-n (3).AB=4,AP=2, .BC=2,PM=1,由勾股定理可得AC=25,AM=√5. .·△APM绕点A顺时针旋转至B、P、M三点共线， ∴.∠APM=90°，PM=1,∠APB=180°-90°=90°， .BP=√AB2-AP2=√4-2=25 当△APM旋转至直线AB上方时，如答图①， 则BM=BP+PM=2√5+1； 当△APM旋转至直线AB下方时，如答图②， 则BM=BP-PM=2√3-1. 综上所述，线段BM的长为25+1或2√3-1. C 11题答图① 11题答图② 专项巩固训练卷（六） 与相似有关的动态变换问题 1.(1)证明：四边形ABCD是矩形， ∴.∠A=∠B=∠C=90° 根据折叠性质知∠A=∠DFE=90°， ∴.∠BEF+∠BFE=LBFE+∠DFC=90°， ∴.∠BEF=∠DFC,∴.△EFB∽△FDC. ·14. (2)解：由折叠性质知AD=DF=10,AE=EF :CD=6,.CF=√DF2-CD=√102-6=8. 四边形ABCD是矩形，.AD=BC=10,AB=CD=6, ∴.BF=BC-CF=10-8=2. 设BE=x,则EF=AE=AB-BE=6-x. EF2=BE2+BF2,.(6-x)2=x2+22, 解得x=号BE=号 2.(1)证明：由平移，得AB∥CD,AB=CD, ·四边形ABCD是平行四边形， ∴.∠B=∠ADC. (2)①獬：AB∥CD,∴.∠B=LDCF=. .:∠DFE是△DCF的一个外角， ·.LDFE=∠DCF+LCDF. ·∠DFE=∠EDF, .∠CDE=∠CDF+∠EDF=∠CDF+∠DFE=∠CDF+ ∠DCF+∠CDF=2LCDF+∠DCF. 点C与点C'关于直线DG对称， LCDG-LCDG-LGDE-(2LCDF+LDCF)- LCDF+Z∠DCF, ·∠CDG-∠CDF=,∠DcF .∠FDG= 1 2∠DCF=2a, ·LFDG的度数为2“ 1 ②证明：如答图，过点G作GH∥CD,交DE于点H,连 结GC. C G 2题答图 GH∥CD,∴.∠DCG=∠HGE,∠CDH=∠GHE, △CDEAGHE,.DEH屁 DC GH 点C与点C关于直线DG对称， ∴.易得△CDG≌△C'DG, .CG=C'G,∠DCG=LDC'G,LDC'G=∠HGE. 又：∠GHE=∠GHC',∴.△HC'G∽△HGE, ·器距器器器品 3.解：(1)如答图①，延长DF交BE于点G. 在正方形ABCD和等腰直角△AEF中， AD=AB,AF=AE,∠BAD=∠EAF=90° ∠FAD=∠EAB, .△FAD≌△EAB, 3题答图① ∴AD=LAB,DF=-BE,即8器-1 .∠AFD+∠AFG=180°，.AEG+∠AFG=180°. .·∠EAF=90°，∴.∠EGF=360°-180°-90°=90°， .DG⊥BE,B=90. (2)如答图②，延长DF交EB于点H. AD=2M,AP=2E0-装-2 ∠BAD=∠EAF=90°，∴.∠FAD=∠EAB, △MD△B4B,器-能-2，∠Am=LAB, BE 1 DF2 '∠AFD+∠AFH=180°，∴.∠AEH+∠AFH=180° .·∠EAF=90°，∴.∠EHF=360°-180°-90°=90°， ∴.DH⊥BE,∴.B=90° 3题答图② 3题答图③ (3)如答图③，延长DF交EB的延长线于点H. ①：AD=B,4=ME(≠0)0-E=大 .·∠BAD=∠EAF=a,∴.∠FAD=∠EAB, BE 1 .△FAD∽△EAB,.RE=E=k,心DF=k ②a+B=180°. 4.解：如答图所示，过点P作PM⊥BC于点M. 设AQ、CP交于点N. 7 .'∠ACB=90°，AC=6cm,BC=8cm, .'AB =10 cm. N Q 由题意，得BP=3tcm,CQ=2tcm. A .:易得△PBM∽△ABC, 4题答图 熙器觉骆兴 即10=6=8 PN=?em,BM=是e 5t cm, Mc=Bc-aM=(8-号m AQ⊥CP,∴∠ANC=90°，∴∠NAC+∠NCA=90 .·∠PCM+∠NCA=90°， ∴.∠NAC=∠PCM. 又：∠ACQ=∠PMC=90°，△ACQ△CMP, ··一6—=，晖寻三①《容去》龙三， 8号多 故：的值为号 5.证明：(1)AB=AC,.∠B=∠C. .·∠BED=180°-∠B-∠BDE,∠CDF=180°-∠EDF- ∠BDE,∠EDF=∠B, ∴.∠BED=∠CDF,△BDEM△CFD. (2)如答图，连结EF △BDE△CFD,.BD=DE CE FD D是C的中点BD=GD,0路 B4 5题答图 ∠C=∠EDF,∴.△DEF∽△CD, 参考答案及解析 .∠DFE=∠CFD,∴FD平分∠EFC, ..点E关于直线DF的对称点在直线AC上 6.解：(1)36 (2)5 [解析]如答图①，过点D作DF∥AB交BC于点F B 6题答图① .·DF∥AB,PQ∥AB,∴.PQ∥DF AD∥BC,.四边形ABFD是平行四边形. ∴.AD=BF=6,∴CF=BC-BF=6. 设当PQ∥AB时，点P离开点D的时间为t秒. ∴.DP=t,CQ=2t,PC=5-t,易知△DFC∽△PQC, 瓷瓷会郎4=号 (3)过点D作DE⊥BC于点E,则CE=3.当以P、Q、C为顶 点的三角形是直角三角形时，分两种情况： ①当PQ⊥BC时，如答图②，设点P离开点D的时间为x1 秒，则DP=x1,CP=5-x1,QC=2x1· ∠PQC=∠DEC=90°，∠C=∠C,.△QCPm△ECD, 需瓷旷-号解得4吕 15 故当PQ1BC时，点P离开点D的时间为吕秒； D 6题答图② 6题答图③ ②当QP1CD时，如答图③，设点P离开点D的时间为x 秒，则DP=x,PC=5-x,QC=2x. ∠QPC=∠DEC=90°，∠C=∠C,∴△QPC∽△DEC, 瓷8%即号行解得x=引 25 Ec-DC 故当QP1CD时，点P离开点D的时间为票砂 综上所述，当以P、Q、C为顶点的三角形是直角三角形时， 点P离开点D的时间为吕秒或票秋 7.(1)证明：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC, ∴.∠B=∠C=45. .·∠B+∠BPE+∠BEP=180°， .∴.∠BPE+∠BEP=135°. .·∠EPF=45°，∠BPE+∠EPF+∠CPF=180°， .∠BPE+∠CPF=135°，∴.∠BEP=∠CPF. 又：∠B=∠C,.△BPEM△CFP. (2)解：△BPE与△CFP相似.理由： 在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,∴.∠B=∠C=45 .·∠B+∠BPE+∠BEP=180°， .∴.∠BPE+∠BEP=135°. ∠EPF=45°，∠BPE+∠EPF+∠CPF=180°， ∴.∠BPE+∠CPF=135°，∴.∠BEP=∠CPF. ·15· 全程时习测试卷·数学·华师版·九年级·上册 又：∠B=∠C,∴△BPE∽△CFP. (3)解：不相似.动点P运动到BC中点位置时，△BPE与 △PFE相似. 理由：同(2)可证△BPE∽△CFP,则CP:BE=PF:EP CP=BP,..PB:BE PF:PE. 又，'∠EBP=∠EPF,∴.△BPE∽△PFE 8.（1)解：45 (2)证明：BA=BC,∠B=120°，∴.∠A=∠C=30°. .'PG=PC,∴.∠C=∠CGP=30°， .∠APG=60°，∠A=∠PGF=30°. .·∠EPF=60°， ∴.∠EPF-∠EPG=∠APG-∠EPG, .∠APE=∠GPF,∴.△AEP∽△GFP. (3)解：如答图，过点P作PG⊥BC,垂足为点G,过点P作 PH⊥AB,垂足为点H. .·∠D=∠BAD=∠B=90°， D G .四边形ABCD是矩形 .·AD=CD,∴.矩形ABCD是正方形， A EHB .∠PAH=∠PCG=45. 8题答图 PG⊥BC,PH⊥AB, .∠PHA=∠PHB=∠PGB=∠PGC=∠B=90°， LHPG=90,△APH∽△CPG,g=P CP PG '∠EPF=90°，∠EPH=∠FPG, △EPH△FPG,PG-PF,÷PF=CP PH PE PE PA ..PC3 PC 3 AC=104C=AP+PCPA=7 .1203 :PF=120m,PE=7 .PE=280m, 5ag=2×120×280=1680(m2). 期中综合测试卷 1.D2.B3.B4.A5.A 6.A[解析]AF⊥CD,.∠AFD=90°..：G为BE的中点，D 是AB的中点，.DG是△ABE的中位线，.DG∥AE,DG= 24E=分x8=4∠cDG=LAPD=90CD=8,cCc DG2+CD2=45. 7.C[解析]：一元二次方程x2+bx+c=0的两根为x1=-1, 为=3，.6=-（-1+3)=-2，c=-1×3=-3,x2-2x- 3-p=0,∴.4≥0且-3-p>0,.4-4(-3-p)≥0，p<-3, .-4≤p<-3.故选C 8.C9.210.18 11.1612.2或-3 13.9[解析]△ABC是等边三角形AB=AC=32cm,∠A= ∠B=60°.，AD=10cm,∴.BD=AB-AD=22cm.由折叠可 知B'D=BD=22cm,∠B'=∠B=60°，∴.∠A=∠B'.B'M =8cm,∴.DM=B'D-B'M=22-8=14(cm)..∠AMD= ∠BMN,△AWD△BMm,-微9=总 ∴.MW=7cm,∴.CN=AC-AM-MN=32-16-7=9(cm). ·16· 14.4:3[解析]设AB与CC的交点为H,BD=2AD,CG平分 线段BD,BH=DH=2BD=AD.AG∥BC,△AGH △0品-品-0i0-2Ac=2cE/Bc. ∠A8D=∠40B,能-治=DD=子：BP争分 ∠ABD,CG平分∠ACB,:LAEF=分∠ABD,∠ACG 号a0∠AF=a0c,BP∥c6,E--号 AF=号4G=号BC,PG=AG-AF=2BC-号BC= ABC 号c器-C-号p6c=43 15.解：(1)原式=3-26+2-(6-1) =3-2√6+2-5 =-26. (2)原式=45-35+5(w5-1)×5+ 2 =4335+3-1 2 55+2. 2 16.解：(1)3x2-4x-1=0, a=3,b=-4,c=-1, 4=b2-4ac=(-4)2-4×3×(-1)=28, 六x=-6±6-4e_4±282±万 2a 2×3 3 22 3 (2)2(x-3)2=x2-9, 2(x-3)2=(x-3)(x+3), (x-3)[2(x-3)-(x+3)]=0, (x-3)(x-9)=0, x1=3,x2=9. 17.解：(1)该方程的判别式为 4=(k+1)2-4k·年=2k+1. :方程有两个不相等的实数根， .2k+1>0, 解得>一子 又该方程为一元二次方程，∴.k≠0， k的取值范围为>-2且k≠0. (2)由题意，得2k+1=3, 解得k=1, 六原方程为+2+子=0 a=1,b=2,c=4, 1 4=2-4×1x 4=3>0, -2+5x--2-3_2+3 解得x=一22，名= = 2 2