综合与实践(一) 旋转相似变换&综合与实践(二) 折叠相似变换-【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案（华东师大版·新教材）

22.3.3相似三角形的性质 .∠FDN=∠C, ∴.△AMCp△FND. A2.A3.8:9,cm 14.(1)证明：·在△ABC中， 4.B5.D6.1:4 ∠BAC=90°，AB=AC, 7.F的长是学m,AC的k是g5m ∴.∠B=∠C=45°. ,∠B+∠BPE+∠BEP= 8.4:25或9：259.B10.D 180°，.∠BPE+∠BEP= 11.1:312.①②③ 135°，∠EPF=45°， 13.(1)证明略：(2) 又.∠BPE+∠EPF+ ∠CPF=180°， 14.(1)证明略； ∴.∠BPE+∠CPF=135°， (2)SA4=5cm2. ∠BEP=∠CPF, 15.C 又.∠B=∠C,∴.△BPEo 阶段提升自测（二） △CFP. 1-5 CCBDD 6.B (2)△BPEp△CFP; 7.例：△EFC∽△AFD,△EAB∽ 理由：在△ABC中，∠BAC △AFD =90°，AB=AC, 8.∠ABP=∠C9.(2,4-22) ∴.∠B=∠C=45° 10.-1611.80 .∠B+∠BPE+∠BEP= 12.(1).AF=1,AD=3,AE=2, 180°，∴.∠BPE+∠BEP CD∥EF,∴.AF:AD=AE:AC, 135°，：∠EPF=45°， 即1：3=2：AC,.AC=6. 又.'∠BPE+∠EPF+ (2)证明：，AD=3,AB=9, ∠CPF=180°， AE=2,AC=6, .∠BPE+∠CPF=135°， ..AD:AB=AE:AC, ∴∠BEP=∠CPF, :∠DAE=∠BAC, 又.∠B=∠C,∴.△BPE ∴.△ABC△ADE. △CFP. 13.(1)不相似. 22.3.4相似三角形的应用 .在Rt△BAC中，∠A=90°，1.92.5.1m3.A4.C5.B AB=3,AC=4: 6.河宽为37.5m. 在Rt△EDF中，∠D=90°，7.10.18.B9.A10.C DE=3,DF=2, 1 漂品号崇影 11.20 12.(1)证明，AB=CD,OA=C, 品.R△BAC与R△DFE 0B-0常% 不相似： 又，∠AOC=∠BOD, (2)能作如图所示的辅助线进 ∴.△AOC△BOD, 行分割 ∴.∠OAC=∠OBD, 证明：作∠BAM=∠E,交BC .AC∥BD. 于M;作∠NDE=∠B,交EF (2)小红的连衣裙会拖落到地 于N,由作法和已知条件可知 面.在△OEF中，OE=OF= △BAM∽△DEN, 34cm,EF=32cm,作OM⊥EF .∠BAM=∠E,∠NDE= 于点M,则EM=16cm. ∠B,∠AMC=∠BAM+∠B, 在Rt△OEM中，OM= ∠FND=∠E+∠NDE, √OE-E曜=√/342-16= ∴.∠AMC=∠FND. 30cm :∠FDN=90°-∠NDE, 过点A作AH⊥BD于点H,同 ∠C=90°-∠B, (1)可证得EF∥BD, 46 '.∠ABH=∠OEM, 位似图形，位似中心的坐标为 则Rt△OEk∽Rt△ABH, (0,0): 器器AH (4)S1:S2=1:4. OE 综合与实践（一）旋转相似变换 30×136-120cm (1)证明：.四边形ABCD是矩 34 形，.∠B=∠C=90°，∴.∠BAP 122>120,.小红的连衣裙 +∠BPA=90°，.∠MPN=90°， 会拖落到地面. ∴.∠CPD+∠BPA=90°， 22.4位似图形 ∴.∠BAP=∠CPD,∴.△ABP∽ 1.D2.A3.D4.B △PCD; 5.36.D7.图略. 8.A9.A10.C11.A (2票的值为定值，理由如下：如 12.18cm13.略 图3，过点F作FG⊥BC于G, 14.(1)AC∥A'C',理由略： ∴∠FGP=90°，∴.∠FGP=∠B, (2)CC=5. ∠PFG+∠FPG=90°，易知四边 15.24040 形ABGF是矩形，∴.G=AB=2, 22.5图形与坐标 ∠MPN=90°，∴.∠EPB+ 22.5.1用坐标确定位置 ∠FPG=90°，.∠EPB 1.C2.C3.D4.D ∠PFG,∴.△EBP∽△PGF, 5.(1)(南偏西60°，25)；(2)（北偏 西30°，15)；(3)图略. 票=熙之“票的值是定 6.A7.D8.C 9.南偏西30°方向，距小明家1000 值，该定值为2； 米 (3).AE=m,∴.BE=2-m, 10.(2,-1) 11.(-1,2),(3,-2),(-1,-2) ①当影-那.：∠R=∠EnF 或(3,2) =9o,ABPE∽△PFE,.B5 BP 12.(1)教学楼在校门的东北方向 2√2cm处，到校门的实际距 20分m= 3 1 离为2002米， (2)(1,1),(5,2),(5,4). ②当部时，：∠B=∠EPF 13.(1)(0,-√3)； 90,.△BPE△PEF,57 (2)Q(2,-√5). 1 22.5.2图形的变换与坐标 PE·1= PF2-m2m=0. 1.D2.D3.C4.(-1,3) 5.-66.A 综上，当m=0或号时，△BPE与 7.(-0.5a,-0.5b) △PEF相似， 8.图略.9.B10.A 综合与实践（二）折叠相似变换 山.（停-4）12.6 (1)证明略； (2),四边形ABCD是矩形， 13.(1)A(0,3),B(2,1),C(3,4), .'CD=AB=2,AD=BC=3, A'(-3,0),B(-1,-2),C ∠A=∠D=∠C=90°， (0,1),△ABC向左平移3个 P为CD中点，∴.DP=CP=1, 单位，向下平移3个单位可以 设EP=AE=x,∴.ED=AD-x 得到△A'B'C'; =3-x,在Rt△EDP中，EP2= (2)a=8,b=4. ED2+DP2,即x2=(3-x)2+1, 14.(1)~(2)图略； （3)△AC是△AB,G的解得x-号，EP=AE-x-号， -47 ∴ED=AD-AE=号：△EDP = 3√2 3 ∽△PCH,. 器即 ED_ .'.BE=- AB- 2 5 (2)略。 PH=号， 第23章解直角三角形 23.1测量 PG=AB=2,.GH=PG 1.C2.12 PH-3. 3.这棵树的高度为6米. 4.水池的深度AC为2米. (3)延长AB,PG交于点M,连接5.C6.A7.C8.7 AP,由折叠的性质，可知AP⊥ 9.DE=14√2米. EF,BG⊥直线EF,.BG∥AP, 10.二、三；AB=12m.理由略. .AE=EP,∴∠EAP=∠EPA, 23.2直角三角形的性质 .∠BAP=∠GPA,∴.△MP1.D2.D3.204.1 是等腰三角形，.MA=MP, 5.证明略. 由题意，设DP=CP=y,∴AB=6.BC=3AD.理由略. PG=CD=2y,由ASA易证7.B8.A9.310.211.8 △MBH≌△PCH, 12.EF⊥AC.证明略. ∴.BM=CP=y,HM=HP, 13.(1)受到台风影响.理由略； ∴.MP=MA=MB+AB=3y, (2)当台风中心位于D处时， 六HP=号PM=号，在R: A市所受风力最大，其风力为 12-1,00=7(级). △PCH中，CH=√PH-PC 20 y-CH-5y..AD 23.3 锐角三角函数 23.3.1 锐角三角函数 =BC=√5y,在Rt△APD中，AP 第1课时正弦、余弦和正切 =√AD+PD=6y, 1.C2.A. .BG∥AP,.△BMG∽ 4.B5.2√76.A7.C △MMP器-器-日G 8.在Rt△ABD中， =6 BD 2y二、 6，∴AB tam∠BAD-0-子∴BD= 6 AD·ta∠BAD=12X是=9， =√6BG ∴.CD=BC-BD=14-9=5, 章末考点整合与素养提升 ∴.AC=√AD+CD=√J12+5 1-3DBB4.1955.C AD_12 6.2:1 7.①②③④8.2.7 =13,.'.sinC= AC13 9.1①g ②20cm (2)0 m. 9.号或号 10.A11.A12.C 10.略.11.C 12.C 13.B 14.D15.12 18号 1.15 16.(1)△BMCp△NMA,证明略： 16.(1):△BDC由△BDC翻折 2柴-只 而成，∴·∠C=∠BAG=90°，CD =AB=CD,∠AGB= 17.(1),BD∥AC,∴.△DBE ∠DGC,在△ABG和△CDG △CE.DB '∠BAD=∠C 中，∠AGB=∠C'GD 2,AC=3√2，AB=2√2， AB-CD 4868 综合与实践（一）旋转相似变换 如图1，在矩形ABCD中，AB=2,BC=5,BP=1,∠MPN=90°，将∠MPN绕点P从PB处开始顺 时针方向旋转，PM交边AB于点E,PN交边AD于点F,当PE旋转至PA处时，∠MPN的旋转 随即停止 (1)如图2，在旋转中发现当PM经过点A时，PN也经过点D,求证：△ABP∽△PCD. (2)如图3，在旋转过程中，的值是否为定值？若是，请求出该定值：若不是，请说明理由. (3)设AE=m,连接EF,则在旋转过程中，当m为何值时，△BPE与△PEF相似 N D(F M D M (E)B P B P 图1 图2 图3 69 综合与实践（二）折叠相似变换 (2025·湖北)在矩形ABCD中，点E,F分别在边AD,BC上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A的 对应点P落在边CD上，点B的对应点为点G,PG交BC于点H (1)如图1，求证：△DEPp△CPH. (2)如图2，当P为CD的中点，AB=2,AD=3时，求 GH的长. (3)如图3，连接BG,当P,H分别为CD,BC的中点 时，探究BG与AB的数量关系，并说明理由. 图 图3