专项巩固训练卷(五) 相似三角形的常考模型-【勤径学升】2026-2027学年九年级上册数学全程时习测试卷（华东师大版·新教材）

专项巩固训练卷（五） 相似三角形的常考模型 D模型一“A”字型 1.(凉山州中考)如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、 AC上若DE/BC,0-号E=-6m则BC的长为 B （）1题图 A.9 cm B.12 cm C.15 cm D.18 cm 2.(绵阳中考改编)如图，在△ACD中，AD=6,BC=5,AC2=AB(AB+ BC),且△DAB∽△DCA,若AD=3AP,Q是线段AB上的动点，求 PQ的最小值. 2题图 模型二“8”字型 3.如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E,DB平分 ∠ADC,且AB2=BE·BD.求证：△ABE△DCE. 3题图 4.(湖北武汉期末)如图，已知平行四边形ABCD中，∠A=62°，BE平 分∠ABC交AD的延长线于点E. (1)求∠E的度数； (2)若D为AE的中点，BE交DC于点F,求Sc的值 S四边形ABCD A D E 4题图 5.(鄂州中考)如图，在口ABCD中，E、F分别在边AD,BC上，且 ∠ABE=∠CDF. (1)探究四边形BEDF的形状，并说明理由； (2)连结AC,分别交BE、DF于点G、H,连结BD交AC于点O.若 能-号AB=4,求BC的长 5题图 数学华师版 九年级上册第19页 见此图标盟抖音/微信扫码领取配套资源，开启高效学习 ·模型三一线三等角模型 6.(江苏扬州期末)如图，CA⊥AD,ED⊥AD,B是线段AD上的一点， 且CB⊥BE. (1)求证：△ABC∽△DEB; (2)已知AB=8,AC=6,DE=4,求线段BD的长 C 6题图 7.如图，AB⊥BC,DC⊥BC,E是BC上一点，使得AE⊥DE. (1)求证：△ABE∽△ECD; (2)若AB=4,AE=BC=5,求CD的长； (3)当△AED∽△ECD时，请写出线段AD、AB、CD之间的数量关 系，并说明理由. D 7题图 见此图标酮抖音/微信扫码领取配套资源，开启高效学习 ·模型四双垂直模型 8.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是边AB上的高. (1)求证：△ACD∽△ABC; (2)若AC=3,BC=4,求BD的长 D 8题图 ·模型五手拉手模型 9.如图，在△ADE和△ABC中，AB·AE=AD·AC,且∠EAC= ∠DAB.求证：△ABC∽△ADE. 9题图 10.如图①，在钝角三角形ABC中，∠ABC=30°，AB=4,D为边AB 的中点，E为边BC的中点.将△BDE绕点B按逆时针方向旋转 a°(0<a<180). (1)如图②，连结AD、CE.求证：△BDA∽△BEC; (2)如图③，CE与AB相交于点O,直线CE,AD交于点G.在旋转 过程中，∠AGC的大小是否发生变化？若变化，请说明理由； 若不变，请求出这个角的度数. 10题图① 10题图② 10题图③ 数学华师版 九年级 上册第20页 11.在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=nBC,P为AB上的一点（不与 端点重合)，过点P作PM⊥AB交AC于点M,得到△APM. 【问题发现】 (1)如图①，当n=1,P为AB的中点时，CM与BP的数量关系 为 【类比探究】 (2)如图②，当n=2时，△APM绕点A顺时针旋转，连结CM BP,则在旋转过程中CM与BP之间的数量关系是否发生变 化？请说明理由； 【拓展延伸】 (3)在(2)的条件下，已知AB=4,AP=2,当△APM绕点A顺时 针旋转至B、P、M三点共线时，求出线段BM的长， 11题图① 11题图② 11题备用图专项巩固训练卷（五） 相似三角形的常考模型 1.C 2解△DABWADGA2品-05D0。 6-BD 解得BD=4(负值已舍去)， ÷所-物-名=子4C=2B AC CD 9 3 D AC2 =AB(AB+BC), (3B=AB(4B+5), C Q 2题答图 .AB=4或0（不符合题意，舍去），.AB=BD=4. 如答图，过点B作BH LAD于点H, AM=4D=3B朗=VB-Af=V军-3=万 AD =3AP,AD=6,..AP=2. 当PQ⊥AB时，PQ的值最小. .·∠AQP=∠AHB=90°，∠PAQ=∠BAH, .△APQ△ABH,AB-Bi: AP PO 子-层m=9 4 √万 .√7 即PQ的最小值为2 3.证明：AB2=BE·BD,AB:BE=BD:AB. .·∠ABE=∠DBA, .△ABE△DBA, ∴.∠BAC=∠BDA. .·DB平分∠ADC, ∴.∠ADB=∠BDC=∠BAC 又.∠AEB=∠DEC ∴.△ABE∽△DCE. 4.解：(1).四边形ABCD是平行四边形， ∴.AD∥BC,CD∥AB,AD=BC, ∴.∠A+∠ABC=180°，∠CBE=∠E. ,∠A=62°，∴.∠ABC=118°. :BE平分∠ABC, LGBE=7∠Bc=59, .LE=LCBE=59°. (2).D为AE的中点，.DE=AD. .BC=AD,∴.DE=BC. ,'AD∥BC,∴.∠E=∠CBF,∠EDF=∠C, .△DEF≌△CBF, .△EAB的面积=四边形ABCD的面积， DF∥AB,∴.△EDF∽△EAB, 5.解：(1)四边形BEDF为平行四边形.理由如下： .·四边形ABCD为平行四边形，∴.∠ABC=∠ADC. .LABE =LCDF,..LEBF=LEDF. ,·四边形ABCD为平行四边形，∴.AD∥BC, ∴.LEDF=LDFC=LEBF,∴BE∥DF. 参考答案及解析 AD∥BC,∴.四边形BEDF为平行四边形. AG 2 (2)设AG=2a,0C=30G=30,40=5a :四边形ABCD为平行四边形， ∴.A0=C0=5a,.AC=10a,CG=8a. AD∥BC,.△AGE△CGB, 器8 .AE=4,∴.BC=16. 6.(1)证明：.·CA⊥AD,ED⊥AD,CB⊥BE, ∴.∠A=∠CBE=∠D=90°， ∴.∠C+∠CBA=90°，∠CBA+∠DBE=90°， ∴.∠C=∠DBE,∴.△ABC∽△DEB. (2)解：.'△ABC∽△DEB, 小胎-品品=受m-3 7.（1)证明：，'AB⊥BC,DC⊥BC, ∴.LB=∠C=90°，∴.∠BAE+LAEB=90° ·AE⊥DE,∴.∠AED=90°， ∴.LAEB+∠DEC=90°，∴.LDEC=∠BAE. ·△ABE∽△ECD. (2)解：Rt△ABE中，.·AB=4,AE=5,.∴.BE=3. BC=5,.EC=5-3=2. 由(1)得△ABE∽△ECD, 船品号品0=子 (3)解：线段AD、AB、CD之间的数量关系为AD=AB+CD. 理由：如答图，过点E作EF⊥AD于点F :△AED△ECD,∴.LADE=∠EDC. .·DC⊥BC,∴.EF=EC ·DE=DE,∴.Rt△DFE≌Rt△DCE, ∴.DF=DC. 由(1)得△ABE∽△ECD. 7题答图 又.△AED△ECD, .△ABE△AED. 同理可得△ABE≌△AFE,∴.AF=AB, .AD =AF DF=AB CD. 8.（1)证明：，CD⊥AB,.∠ADC=90° ∠ACB=90°，∴.∠ADC=∠ACB. .·∠A=∠A,.△ACD∽△ABC. (2)解：∠ACB=90°，AC=3,BC=4, AB=W√AC2+BC=5. SAG BCABCD, AC·BC=AB·CD,CD=AC.BC=12 AB D1A8BD=Vc-CD=√4-（号=9 9证明：AB:A6=AD·4C侣伦 .·∠EAC=∠DAB, .∴.∠EAC+∠BAE=∠DAB+∠BAE,即∠BAC=∠DAE, ∴.△ABCM△ADE. ·13· 全程时习测试卷·数学·华师版·九年级·上册 10.（1)证明：如题图①， .D为边AB的中点，E为边BC的中点， :BD=BE.BD BA BA=BC片BE=BC 如盟幽②，根影旋转的性质，可知配隐依然成立，且 BE ∠DBE=∠ABC, .∠DBA=∠EBC ∴.△BDA∽△BEC (2)解：∠AGC的大小不发生变化. 由(1)易得△BDA∽△BEC, ∴.∠DAB=∠ECB .·∠DAB+∠AOG+∠AGC=180°， ∠ECB+∠C0B+∠ABC=180°，∠AOG=∠COB, ∴.∠AGC=∠ABC=30° 11.解：(1)CM=√2BP (2)CM与BP的数量关系不变.理由如下： 当n=2时，AB=2BC,由勾股定理可得AC=√BC2+AB =√349+Ae-9, …指- 由题意知∠ABC=∠APM=90°，∠MAP=∠CAB, △APN△AC指-2 由旋转，得∠PAB=∠MAC, △M△C0-指-H-n (3).AB=4,AP=2, .BC=2,PM=1,由勾股定理可得AC=25,AM=√5. .·△APM绕点A顺时针旋转至B、P、M三点共线， ∴.∠APM=90°，PM=1,∠APB=180°-90°=90°， .BP=√AB2-AP2=√4-2=25 当△APM旋转至直线AB上方时，如答图①， 则BM=BP+PM=2√5+1； 当△APM旋转至直线AB下方时，如答图②， 则BM=BP-PM=2√3-1. 综上所述，线段BM的长为25+1或2√3-1. C 11题答图① 11题答图② 专项巩固训练卷（六） 与相似有关的动态变换问题 1.(1)证明：四边形ABCD是矩形， ∴.∠A=∠B=∠C=90° 根据折叠性质知∠A=∠DFE=90°， ∴.∠BEF+∠BFE=LBFE+∠DFC=90°， ∴.∠BEF=∠DFC,∴.△EFB∽△FDC. ·14. (2)解：由折叠性质知AD=DF=10,AE=EF :CD=6,.CF=√DF2-CD=√102-6=8. 四边形ABCD是矩形，.AD=BC=10,AB=CD=6, ∴.BF=BC-CF=10-8=2. 设BE=x,则EF=AE=AB-BE=6-x. EF2=BE2+BF2,.(6-x)2=x2+22, 解得x=号BE=号 2.(1)证明：由平移，得AB∥CD,AB=CD, ·四边形ABCD是平行四边形， ∴.∠B=∠ADC. (2)①獬：AB∥CD,∴.∠B=LDCF=. .:∠DFE是△DCF的一个外角， ·.LDFE=∠DCF+LCDF. ·∠DFE=∠EDF, .∠CDE=∠CDF+∠EDF=∠CDF+∠DFE=∠CDF+ ∠DCF+∠CDF=2LCDF+∠DCF. 点C与点C'关于直线DG对称， LCDG-LCDG-LGDE-(2LCDF+LDCF)- LCDF+Z∠DCF, ·∠CDG-∠CDF=,∠DcF .∠FDG= 1 2∠DCF=2a, ·LFDG的度数为2“ 1 ②证明：如答图，过点G作GH∥CD,交DE于点H,连 结GC. C G 2题答图 GH∥CD,∴.∠DCG=∠HGE,∠CDH=∠GHE, △CDEAGHE,.DEH屁 DC GH 点C与点C关于直线DG对称， ∴.易得△CDG≌△C'DG, .CG=C'G,∠DCG=LDC'G,LDC'G=∠HGE. 又：∠GHE=∠GHC',∴.△HC'G∽△HGE, ·器距器器器品 3.解：(1)如答图①，延长DF交BE于点G. 在正方形ABCD和等腰直角△AEF中， AD=AB,AF=AE,∠BAD=∠EAF=90° ∠FAD=∠EAB, .△FAD≌△EAB, 3题答图① ∴AD=LAB,DF=-BE,即8器-1 .∠AFD+∠AFG=180°，.AEG+∠AFG=180°. .·∠EAF=90°，∴.∠EGF=360°-180°-90°=90°， .DG⊥BE,B=90.